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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T17:04:37Z

JEduardo: /* Tensiones originadas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*cos(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2)e^{-x^2+2x-1}\;\vec i +(-2y+2)e^{-x^2+2x-1}\;\vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Campo temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,T,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(2,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero (campo '''''irrotacional''''') no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''conservativo'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal e isótropo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T17:01:30Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*cos(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2)e^{-x^2+2x-1}\;\vec i +(-2y+2)e^{-x^2+2x-1}\;\vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Campo temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,T,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(2,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero (campo '''''irrotacional''''') no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''conservativo'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T16:58:23Z

JEduardo: /* Variación de la temperatura∇T(x,y) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2)e^{-x^2+2x-1}\;\vec i +(-2y+2)e^{-x^2+2x-1}\;\vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Campo temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,T,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(2,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero (campo '''''irrotacional''''') no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''conservativo'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T16:52:13Z

JEduardo: /* Variación de la temperatura∇T(x,y) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2)e^{-x^2+2x-1}\;\vec i +(-2y+2)e^{-x^2+2x-1}\;\vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(grad);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(2,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero (campo '''''irrotacional''''') no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''conservativo'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T16:50:14Z

JEduardo: /* Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes \vec g_\rho y \vec g_\theta/\rho */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(grad);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(2,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero (campo '''''irrotacional''''') no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''conservativo'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T16:49:21Z

JEduardo: /* Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes \vec g_\rho y \vec g_\theta/\rho */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(grad);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(2,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero (campo '''''irrotacional''''') no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''conservativo'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho\cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T16:44:52Z

JEduardo: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(grad);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(2,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero (campo '''''irrotacional''''') no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''conservativo'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T16:42:59Z

JEduardo: /* Campo de los desplazamientos \vec u */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(grad);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero (campo '''''irrotacional''''') no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''conservativo'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T16:38:13Z

JEduardo: /* Variación de la temperatura∇T(x,y) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(8-y^2+2y)(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(grad);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-15T16:36:08Z

JEduardo: /* Variación de la temperatura∇T(x,y) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(grad);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:22:59Z

JEduardo:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:20:21Z

JEduardo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales. Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:19:52Z

JEduardo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.: Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:18:19Z

JEduardo: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\theta/\rho */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.2. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:15:43Z

JEduardo: /* Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes \vec g_\rho y \vec g_\theta/\rho */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las siguientes gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:14:15Z

JEduardo: /* Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes \vec g_\rho y \vec g_\theta/\rho */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen base del espacio <math>R^3</math>. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:12:14Z

JEduardo: /* Tensiones originadas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:11:06Z

JEduardo: /* Tensiones originadas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon_j^i</math> la matriz 1-contravariante 1-covariante del [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> siendo <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:06:14Z

JEduardo: /* Tensiones originadas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En este caso dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> denominado [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones], donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:03:06Z

JEduardo: /* Tensiones originadas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, denominado [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T20:01:38Z

JEduardo: /* Tendencia a la rotación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es cero no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo. Esto conduce a que, respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:59:18Z

JEduardo: /* Variación del volumen */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior, en el punto, por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:56:42Z

JEduardo: /* Campo de los desplazamientos \vec u */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que, para poder trabajar comodamente con el campo, este se define en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:55:11Z

JEduardo: /* Campo de las temperaturas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afecta este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:53:18Z

JEduardo: /* Variación de la temperatura∇T(x,y) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math>, siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:47:37Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la masa y su distribución en la placa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:42:02Z

JEduardo: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después de aplicar el campo <math>\vec u</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:41:09Z

JEduardo: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|560px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:40:36Z

JEduardo: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|410px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:40:14Z

JEduardo: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|450px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:39:47Z

JEduardo: /* Temperatura sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:39:11Z

JEduardo: /* Variación de la temperatura∇T(x,y) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|450px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:38:48Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|400px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:38:06Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|350px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
mesh(x,y,f)
axis image
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:37:36Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|350px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que cumplen <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:36:56Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|350px|thumb|right|Distribución de masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z)</math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:35:50Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB. Además esta rutina permite representar la distribución de masa y la masa según la función de densidad.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}
La masa obtenida es <math>m=3.047 unidades</math>. Se observa cómo aumenta la densidad en los puntos que <math>x=y</math> a medida que están más alejados del origen, debido a la componente exponencial de la función <math>d(x,y,z></math>.

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T19:23:43Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Masa_placa2.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Archivo:5 A Masa placa2.png

2014-12-05T19:23:24Z

JEduardo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T18:31:03Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numérico para el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T18:30:07Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El cálculo de la masa de la placa, con la función de densidad <math>d(x,y,z)=xye^{-1/x^2}</math>, se realiza usando un método numéricopara el cálculo aproximado de integrales definidas, el método del trapecio, con la siguente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T18:19:20Z

JEduardo: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
El método de Simpson es un método numérico que se utiliza para el cálculo aproximado de integrales definidas simples. Se basa en la división del intervalo de integración en subintervalos, y aproximando el área debajo de la curva de cada dos subintervalos (siendo esta la definición de integral), por el área de una parábola que pasa por los extremos de la unión de esos dos subintervalos y por el centro del mismo. La fórmula siguiente es la expresión matemática de lo expuesto anteriormente:
<math> \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]</math>
En lo que refiere a su implementación en Matlab u Octave UPM, lo más comodo es crear una función que realice el método de Simpson. De este modo, cada vez que necesitemos calcular una integral definida no sea necesario escribir el código de la función de nuevo, sino que simplemente con hacer una llamada a la función obtendremos su valor
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T18:14:51Z

JEduardo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <math>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T18:14:31Z

JEduardo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <mat>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T18:13:45Z

JEduardo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
Un elemento importante para comprender el comportamiento de la placa es la Tensión de Von Mises. Se obtiene con la fórmula:math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>Donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como tensiones principales.:Esta magnitud escalar se usa como indicador en los ensayos de materiales para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Con la siguente rutina en MatLAB se consigue representar la Tensión de Von Mises y su evolución, junto con la de los autovalores, a medida que aumenta <mat>\rho</math>
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T17:55:46Z

JEduardo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
legend('Primer autovalor en función de rho','Segundo autovalor en función de rho','Tercer autovalor en función de rho','Tensión de Von Mises según rho','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico3.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Archivo:5 A Grafico3.png

2014-12-05T17:54:55Z

JEduardo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T17:53:20Z

JEduardo: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\theta/\rho */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>, por lo que ambos vectores son ortogonales al mismo plano. Asimismo este resultado se puede obtener con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T17:46:02Z

JEduardo: /* Variación del volumen */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de área local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Asimismo se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A)

2014-12-05T17:40:03Z

JEduardo: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\theta/\rho */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Daniel Bello Bárcenas, Jorge Corella Ramos, Ignacio Cobo Muñoz, Germán Sampedro Feito, Carlos Augusto Calderón Fierro, Jorge Eduardo Montero Aneiros }}
==Introducción==
En este documento se estudia el comportamiento de una placa plana al someterla a un campo escalar y un campo vectorial. Para una mejor interpretación nos ayudamos de una rutina en matlab que nos permite obtener las gráficas que facilitan la comprensión de los resultados obtenidos.

==Placa plana==
La placa plana objeto de estudio se trata de una corona circular centrada en el origen limitada por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades.
[[Archivo:5_A_Mallado_del_solido2.png|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Representacion del mallado
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}

==Masa de la placa==
[[Archivo:5_A_Masa_placa.png|350px|thumb|right|Imagen Command Window]]
{{matlab|codigo=
%número de puntos
N1=100;
N2=100;
%extremos de intervalos
a=1; b=2;
c=0;d=2*pi;
h1=(b-a)/N1; %variable en rho
h2=(d-c)/N1; %variable en phi
%definimos la partición
u=a:h1:b; v=c:h2:d;
%generamos el rectángulo
[uu,vv]=meshgrid (u,v);
%insertamos la función
f=abs(uu.^3.*sin(vv).*cos(vv).*exp(1./-(uu.^2.*sin(vv).^2)));
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones (N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N2+1)=1/2;
resultado=h1*h2*w2'*f*w1;
Masa=resultado;Masa
}}

==Campo de las temperaturas==
Ahora que se ha definido la placa, que será el dominio de trabajo, se puede estudiar el efecto de la aplicación del campo temperatura en la placa. El campo temperatura es un campo escalar que depende de las coordenadas x e y del punto en que se aplique.: <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math>Para entender como afectará este campo es útil calcular calcular su variación en el dominio, es decir, calcular el gradiente del campo (Campo vectorial).
===Variación de la temperatura<math>∇T(x,y)</math>===
:<math>∇T(x,y)=(-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2y+2).e^{-x^2+2x-1} \vec j </math>El gradiente, en los puntos en los que se aplique, indica la dirección en que crece más la temperatura. Las curvas de nivel (también llamadas curvas equipotenciales o isocuantas) del campo escalar son aquellas que cumplen <math>T(x,y)=cte</math>. Por definición <math>∇T(x,y)</math> es ortogonal a las curvas de nivel en cada punto. En la gráfica se representa el campo vectorial <math>∇T(x,y)</math> y las curvas equipotenciales. Se observa cómo varían la dirección (siempre ortogonal a la curva de nivel) y el módulo (que representa cuánto varía la función) del vector gradiente excepto en el máximo global, calculado con la siguiente rutina en MatLAB.
[[Archivo:5_A_Gradiente_de_temperaturas.png|400px|thumb|right|Gradiente y Curvas de nivel sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
hold on
%Gradiente
grad=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
%Representación del gradiente y las curvas de nivel
contour(xx,yy,grad,10,'r')
dx= (-2*xx+2).*(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2*xx-1));
dy= (-2*yy+2).*exp(-xx.^2+2*xx-1);
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold off
axis equal
%máximo global aproximado
[vmaxcol,vfila]=max(T);
[maxf,j]=max(vmaxcol);
i=vfila(j);
x0=xx(j)
y0=yy(vfila(j))
maxf
}}
El máximo global aproximado está en <math>(x,y)=(0.911,0.7174)</math> siendo el valor de la función en ese punto de <math>8.9945</math> unidades

===Temperatura sobre la placa===
Ahora que se conoce cómo "trabaja" el campo escalar temperatura se puede analizar fácilmente su efecto sobre la placa. Con la rutina en MatLAB se ha representado el campo temperatura sobre la placa. La escala de color cuantifica de forma gráfica el aumento de la temperatura sobre la placa, al aplicar la función, con respecto al estado inicial representado por 0. Así es sencillo visualizar el máximo global aproximado, calculado en el apartado anterior, y el efecto que el campo temperatura provoca sobre la placa.
[[Archivo:5_A_Campo_de_temperaturas.png|350px|thumb|right|Temperatura sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo[1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Se dibuja el mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
%Se establecen los límites de los ejes x e y
axis([-3,3,-3,3])
%Función temperatura
T=(8-yy.^2+2*yy).*(exp(-xx.^2+2.*xx-1));
%Representación
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
axis equal
}}

==Campo de los desplazamientos <math>\vec u</math>==
A continuación se estudia el efecto que produce el campo desplazamiento <math> \vec u(\rho,\theta)</math> en la placa. El campo desplazamiento es el campo vectorial expresado matemáticamente por la siguiente función vectorial.:<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math> Para entender cómo afecta este campo vectorial a la placa se analiza el cambio que provoca sobre la placa asi como las propiedades que posee el campo por su definición. Antes de seguir hay que decir que para poder trabajar comodamente con el campo se define este en el espacio, es decir, se trabajará en coordenadas cilíndricas asumiendo que el campo no tiene componente <math>\vec g_{z}</math>.:<math> \vec u(\rho,\theta,z)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}</math>También se define un concepto que ayudará en el análisis de las propiedades del campo, la derivada parcial covariante. Sea <math> \left \{\vec g_{\rho},\;\vec g_{\theta},\;\vec g_{z} \right \}</math> la base natural asociada al sistema de coordenadas curvilíneas<math>\left ( x^1,\;x^2,\;x^3\right )=\left(\rho,\;\theta,\;z \right )</math> y <math>\vec u=u^i\;\vec g_{i}</math> un campo vectorial, las derivadas parciales covariantes de <math>\vec u</math>, <math>u_j^i</math> vienen dadas por:<math>u_j^i=\displaystyle\frac{\partial\;u^i}{\partial\;x^j}+\Gamma_{kj}^i\;u^k</math> que representadas en forma de matriz son:<math>u_j^i=\begin{bmatrix} 2(\rho-\;1) & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>
===Desplazamiento de la placa===
El campo vectorial desplazamientos, expresado en coordenadas polares, sólo varía en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math>. Además esta componente depende, a su vez, exclusivamente de <math>\rho</math>, que toma valores de 1 a 2. Esto significa que el campo no depende de <math>\theta</math>, es decir, el módulo del campo será constante si y sólo si <math>\rho=cte</math>. En la gráfica se verifica lo expresado en este párrafo.
[[Archivo:5_A_Campo_de_desplazamientos1.png|350px|thumb|right|Campo de desplazamientos sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo[0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
hold on;
%Representación del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
%Representación del sólido
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-3,3,-3,3]);
colormap('autumn')
}}
Si se analiza la función vectorial es fácil comprobar que si <math>\rho\;\varepsilon\;[1,2]</math> esta función alcanza su máximo y mínimo valor en <math>\rho=2</math> y <math>\rho=1</math> respectivamente. En la gráfica se representa el cambio que sufre la placa al aplicar el campo desplazamiento y, como queda representado en la figura <math>\vec u(1,\theta)= 0\;\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec u(1,\theta)= 1\;\vec g_{\rho}</math>.
[[Archivo:5_A_Mallado_antes_y_despues5.png|550px|thumb|right|Mallado antes y después]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Componente x(rho,theta) del campo vectorial
fx=((1-rho).^2).*cos(theta);
%Componente y(rho,theta) del campo vectorial
fy=((1-rho).^2).*sin(theta);
%Representación del mallado sin desplazar
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
%Representación del mallado desplazado
subplot(1,2,2);
mesh(xx+fx,yy+fy,0*xx);
axis equal
axis([-4,4,-4,4]);
colormap('autumn')
}}

===Variación del volumen===
La primera propiedad del campo en ser analizada es la divergencia. El sentido físico de la divergencia en un punto es la tasa de flujo neto hacia el exterior en el punto por unidad de volumen. Como el campo analizado provoca el desplazamiento relativo de los puntos que forman la placa, la divergencia expresará el cambio de áres local debido al desplazamiento. Es claro, ahora que se conoce la interpretación de la divergencia, que en los puntos donde el campo sea mayor la divergencia también lo será.:<math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)=Tr(u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j\;)=2(\rho-\;1)+\frac{1}{\rho}+(1-\;\rho)^2</math> Si se analiza el campo escalar obtenido <math>\nabla \cdot \vec u\;(\rho,\theta,z)</math> el valor máximo del mismo se alcanza cuando <math>\rho=2</math>, al igual que en el campo <math>\vec u\;(\rho,\theta,z)</math>
[[Archivo:5_A_Divergencia1.png|350px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matriz de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
%Campo escalar de la divergencia
f=2.*(rho-1)+((1./rho).*(1-rho).^2);
%Representación de la divergencia sobre la placa
surf(xx,yy,f);
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar
axis equal
}}

===Tendencia a la rotación===
Por último se analiza otra propiedad del campo, el rotacional. El rotacional de un campo vectorial en un punto es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de dicho punto. En este caso los puntos son los que pertenezcan al dominio de estudio (placa plana).:<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

A pesar de que el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0 no se puede definir <math>\vec u</math> como un campo vectorial '''''irrotacional'''''. Como la placa está definida en un plano y presenta un agujero, no todas las curvas contenidas en la placa (dominio) pueden reducirse a un punto, es decir, la placa plana no es un dominio simplemente conexo
Esto conduce a que respecto al dominio de la placa, no se puede definir al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

===Tensiones originadas===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_j^i</math> a través de la fórmula:
<math>\sigma_j^i=\lambda\nabla\cdot\vec u\;\delta_j^i + 2\mu\;\epsilon_j^i\;</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones] donde <math>\nabla \vec u=u_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>.:<math>\sigma_j^i=\begin{bmatrix} 6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2 \end{bmatrix}</math>El [http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno esfuerzo interno] es equivalente a las tensiones internas en la placa. Estas se dividen en tensiones normales, que provocan esfuerzos normales, y tensiones tangenciales, que provocan esfuerzos cortantes.
====Tensiones normales en la direcciones que marcan los ejes <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
La resultante de tensiones normales se puede proyectar en tres ejes generados por vectores que formen una base. En este caso, como la placa es plana es interesante conocer la proyección de la resultante de tensiones normales en los ejes del espacio generados por <math>\vec g_\rho</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Para hallar estas proyecciones hay que aplicar la defición de base recíproca de una base ortogonal y la representación diádica del tensor <math>\sigma</math>:<math>\sigma=\sigma_j^i\;\vec g_i\;\otimes\;\vec g^j</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\rho</math> se calcula mediante la operación <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math>:<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho=6(\rho-1)+\frac{1}{\rho}(1-\rho)^2</math>La resultante de tensiones normales en la dirección del eje generado por <math>\vec g_\theta/\rho</math>:<math>\vec g_\theta/\rho=2(\rho-1)+\frac{3}{\rho}(1-\rho)^2</math>Matemáticamente se obtiene que la proyección sobre el eje generado por <math>\vec g_\rho</math> es mayor que la obtenida sobre el eje que genera <math>\vec g_\theta/\rho</math>, esto se puede visualizar en las gráficas obtenidas en MatLAB.
[[Archivo:5_A_tension_g_rho1.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
[[Archivo:5_A_tension_g_theta.png|400px|thumb|right|Representación de las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%Valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[rho, theta]=meshgrid(u,v);
%Parametrización
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
figure(1)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrho
sigmaunouno=6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2));
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,sigmaunouno)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
figure(2)
%Representación de la función sigma en la direccion de gsubrthetaentrerho
subplot(1,2,1)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2)
sigmadosdos=2*(rho-1)+(3./rho).*((1-rho).^2);
surf(xx,yy,sigmadosdos)
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
colorbar
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
La resultante de tensiones tangenciales es el vector nulo, es decir, en el conjunto de tensiones internas no hay tensiones tangenciales. Esto resulta evidente al observar que la matriz <math>\sigma_j^i</math> es una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal representan las tensiones normales en cada uno de los ejes, mientras que los elementos que no pertenecen a la diagonal son el conjunto de tensiones tangenciales. En particular <math>\sigma_2^1</math> y <math>\sigma_3^1</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math>. También se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|=0</math>

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Respecto a las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> el desarrollo teórico es el mismo que el expuesto en el apartado 5.4.1. Lo que varía es que <math>\sigma_1^2</math> y <math>\sigma_3^2</math> son las tensiones tangenciales en el plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta</math>, que es paralelo al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math>. Asimismo se puede obtener este resultado con la operación <math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|=0</math>

====Tensión de Von Mises====
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Valor de u según el muestreo en el intervalo [1,2]
u=1:h:2;
%valor de v según el muestreo en el intervalo [0, 2*pi]
v=0:h:2*pi+h;
%Matrices de las componentes polares de la placa
[ro, theta]=meshgrid(u,v);
%parametrización
xx=ro.*cos(theta);
yy=ro.*sin(theta);
%Creación de la matriz de autovalores V
V=[];
x=1;
for rho=1:0.1:2
A=[6*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2)),0,0;0,2*(rho-1)+((3/rho).*((1-rho).^2)),0;0,0,2*(rho-1)+((1./rho).*((1-rho).^2))];
[X,D]=eig(A);
t=diag(D);
V(:,x)=t;
x=x+1;
end
% Vectores a,b y c que contienen los autovalores para cada valor rho
a=V(1,:); b=V(2,:); c=V(3,:);
%Tensión de Von Mises
VM=sqrt(((a-b).^2+(b-c).^2+(c-a).^2)./2);
%Generación de la matriz TVM
TVM=[];
for i=1:64
TVM(i,:)=VM;
end
figure(1)
%Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa
mesh(xx,yy,TVM);
colorbar
axis equal
figure(2)
%Representación de los autovalores junto con la tensión de Von Mises
hold on
plot(u,a,'r')
plot(u,b,'g')
plot(u,c)
plot(u,VM,'k')
hold off
}}
[[Archivo:5_A_Grafico.png|500px|thumb|right|Autovalores y tensión de Von Mises]]
[[Archivo:5_A_Von_Mises1.png|450px|thumb|left|Representación de la tensión de Von Mises sobre la placa]]