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Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-09T12:20:13Z

J.connold: /* MATLAB: Códigos y gráficas */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 2 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.2 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.

En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]][[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]][[Archivo:presaa.jpeg|200px]][[Archivo:carreteraa.jpeg|200px]]

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) https://digibug.ugr.es/handle/10481/68349?show=full
* https://mat.caminos.upm.es/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas_parab%C3%B3licas_(grupo_21)
* http://tesla.us.es/wiki/index.php/Divergencia_de_un_campo_vectorial

= Póster =
[[Archivo:poster.g17.jpg|700px|]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-08T18:53:53Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.2 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.

En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]][[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]][[Archivo:presaa.jpeg|200px]][[Archivo:carreteraa.jpeg|200px]]

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) https://digibug.ugr.es/handle/10481/68349?show=full
* https://mat.caminos.upm.es/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas_parab%C3%B3licas_(grupo_21)
* http://tesla.us.es/wiki/index.php/Divergencia_de_un_campo_vectorial

= Póster =
[[Archivo:poster.g17.jpg|700px|]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-08T18:48:46Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.

En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]][[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]][[Archivo:presaa.jpeg|200px]][[Archivo:carreteraa.jpeg|200px]]

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) https://digibug.ugr.es/handle/10481/68349?show=full
* https://mat.caminos.upm.es/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas_parab%C3%B3licas_(grupo_21)
* http://tesla.us.es/wiki/index.php/Divergencia_de_un_campo_vectorial

= Póster =
[[Archivo:poster.g17.jpg|700px|]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-08T18:48:26Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.

En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]][[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]][[Archivo:presaa.jpeg|200px]][[Archivo:carreteraa.jpeg|200px]]

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) https://digibug.ugr.es/handle/10481/68349?show=full
* https://mat.caminos.upm.es/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas_parab%C3%B3licas_(grupo_21)
* http://tesla.us.es/wiki/index.php/Divergencia_de_un_campo_vectorial

= Póster =
[[Archivo:poster.g17.jpg|700px|]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-08T18:46:55Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.

En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]][[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]][[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) https://digibug.ugr.es/handle/10481/68349?show=full
* https://mat.caminos.upm.es/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas_parab%C3%B3licas_(grupo_21)
* http://tesla.us.es/wiki/index.php/Divergencia_de_un_campo_vectorial

= Póster =
[[Archivo:poster.g17.jpg|700px|]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-04T15:10:06Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T11:21:36Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T11:17:04Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|thumb|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px|thumb|left|Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|thumb|left|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T11:16:24Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpg|200px|thumb|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px|thumb|left|Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|thumb|left|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Archivo:Iglesiaa.jpeg

2025-11-29T11:14:32Z

J.connold:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T11:09:52Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px|thumb|left|Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|thumb|left|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T11:08:50Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px|thumb|left|Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|thumb|left|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Archivo:Presaa.jpeg

2025-11-29T11:07:36Z

J.connold:

Archivo:Carreteraa.jpeg

2025-11-29T11:07:25Z

J.connold:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T11:05:31Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px|thumb|left|Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|thumb|left|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T11:04:29Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px|thumb|left|Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|thumb|left|Ribbon Bridge]]
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T11:03:46Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.
[[Archivo:golden.jpg|200px|thumb|left|Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|thumb|left|Ribbon Bridge]]
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Archivo:Puente.jpg

2025-11-29T11:01:23Z

J.connold:

Archivo:Golden.jpeg

2025-11-29T11:00:57Z

J.connold:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T10:36:06Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T10:35:05Z

J.connold: /* Arquitectura */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

==Arquitectura==
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

==Estructuras civiles==
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.
==Hidráulica==
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.
==Estructuras antisísmicas==
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T10:10:55Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

==Arquitectura==
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
==Estructuras civiles==
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.
==Hidráulica==
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.
==Estructuras antisísmicas==
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T10:09:51Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

==Arquitectura==
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

==Estructuras civiles==
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

==Hidráulica==
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

==Estructuras antisísmicas==
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:54:35Z

J.connold: /* .Curvatura */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:52:53Z

J.connold: /* .Curvatura */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|300px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:51:56Z

J.connold: /* .Curvatura */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|300px|thumb|left|Curvatura.'']]]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:48:07Z

J.connold: /* .Curvatura */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

[[Archivo:parabol.jpg|300px|thumb|left|Figura 13: Curvatura.'']]]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:47:27Z

J.connold: /* .Curvatura */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

[[Archivo:parabol.jpg|300px|thumb|left|Figura 13: Curvatura.'']]]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:45:07Z

J.connold: /* .Curvatura */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|left|Figura 13: Parabola.'']]]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:21:17Z

J.connold: /* .Curvatura */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:20:28Z

J.connold: /* Curvatura. */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:20:10Z

J.connold: /* . */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán<br>Jimena Connold<br>Paula Jimenez<br>Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center><br>
<br>

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> <br>
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
<br>
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):<br>
<br>
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> <br>
<br>

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::<br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
<br>

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.<br>
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> <br>
<br>
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. <br>'''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]]<br>
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]]<br>
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]]<br>
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== Curvatura.==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:53:40Z

J.connold: /* . */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:50:50Z

J.connold: /* . */

Archivo:Parabol.jpg

2025-11-26T21:50:21Z

J.connold:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:47:10Z

J.connold: /* . */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:46:42Z

J.connold: /* . */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:41:16Z

J.connold: /* . */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:37:49Z

J.connold: /* . */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:27:30Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:26:53Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:25:02Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:22:56Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:22:35Z

J.connold: /* 10. */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:22:25Z

J.connold:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:22:05Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

Coordenadas cilíndricas parabólicas Grupo 6B

2025-11-26T21:20:17Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 6B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Alejandro Flores Guevara<br>Juan Andres Cebrian Gonzalez<br>Elena Losada Santana<br>Gilem Sendín Gallastegi}}

<big><big>'''Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas, que se denotan por ''(u, v, z)''. Estas tienen la siguiente relación con las coordenadas cartesianas ''(x₁, x₂, x₃)'':

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\
x_2 &= uv, \\
x_3 &= z,
\end{aligned}
\right.
</math>

donde ''u > 0''.

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son una generalización de las coordenadas cilíndricas estándar y extienden un cambio de coordenadas en ''R²'' a todo el espacio ''R³''. A continuación, se presentan los cálculos, representaciones y aplicaciones.

{| class="" style="border: none; width: 100%;"
|-

| __TOC__

| [[Archivo:CoordenadasCilindricasParabolicas.png|500px|thumb|none|''Figura 1: Coordenadas Cilindricas Parabolicas.'']]

|}

= Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) =

'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
* ''\(\gamma_u\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)</math>, con ''t'' variable y ''v, z'' constantes.
* ''\(\gamma_v\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)</math>, con ''t'' variable y ''u, z'' constantes.
* ''\(\gamma_z\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)</math>, con ''t'' variable y ''u, v'' constantes.
''' Código MATLAB y representación '''
[[Archivo:LineasCoordenadas.PNG|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordendas.'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:LineasCoordenadasUV.png|500px|thumb|right|''Figura 3: Líneas coordendas.'']]

{{matlab|codigo=
% Inicialización
clear; clc;

% Definición de rangos
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores de u para curvas gamma_u
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores de v para curvas gamma_v

% Preparación del gráfico
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_fixed = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de u
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_fixed = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_fixed .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Configuración del gráfico
title('Familias de curvas de nivel \gamma_u y \gamma_v');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u varía)', 'Curvas \gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

= Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) =

'''Cálculos:'''
Los campos velocidad de las líneas coordenadas son:
* Para <math>\gamma'_u</math>:
<math>\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right) \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

* Para <math>\gamma'_v</math>:
<math>\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right) \Rightarrow \gamma'_v = - v \vec{i} + u \vec{j}</math>

* Para <math>\gamma'_z</math>:
<math>\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right) \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}</math>

'''Factores de escala:'''
Los factores de escala ''h<sub>u</sub>, h<sub>v</sub>, h<sub>z</sub>'' son los módulos de los campos velocidad:

<math>
h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad
h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad
h_z = |\gamma_z'(z)| = 1.
</math>

'''Vectores tangentes:'''
Los vectores tangentes unitarios son:
* <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math>,
* <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math>,
* <math>\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)</math>.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:VectoresEuEv.PNG|500px|thumb|right|''Figura 4.1: Vectores unitarios Eu Ev.'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc,clf
% Punto de interés
u = 1;
v = 1;

% Vectores unitarios en ese punto
h = sqrt(u^2 + v^2);
eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v

% Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en el plano z = 0
x1_u = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u .* v;

% Gráfico
figure;
hold on;
quiver(x1_u, x2_u, eu(1), eu(2), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver(x1_u, x2_u, ev(1), ev(2), 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(x1_u, x2_u, 'k--', 'LineWidth', 1); % Línea coordenada
title('Vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'e_u', 'e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

[[Archivo:VectoresEuEv_2.PNG|500px|thumb|right|''Figura 4.2: Vectores unitarios Eu Ev & Lineas Coordenadas.'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;

u = 1;
v = 1;

% Vectores unitarios en ese punto
h = sqrt(u^2 + v^2);
eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v

% Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en el plano z = 0
x1_u = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u .* v;

% Gráfico
quiver(x1_u, x2_u, eu(1), eu(2), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver(x1_u, x2_u, ev(1), ev(2), 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(x1_u, x2_u, 'k--', 'LineWidth', 1); % Línea coordenada
title('Vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'e_u', 'e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

'''Comprobación de Ortonormalidad '''

Para comprobar que estos vectores forman una base ortonormal:<br>
<br>
Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)=0</math><br>
<br>
Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>
Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math><br>
<br>

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''.<br>
<br>
'''Conclusión'''<br>
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal.

=Matrices de Cambio de Base=
Las matrices permiten transformar entre las bases cilíndrica parabólica y cartesiana.

* La matriz \( Q \) transforma las coordenadas de la base \(\{e_u, e_v, e_z\}\) al sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

<math>
Q = \begin{bmatrix}
\frac{u}{h_u} & -\frac{v}{h_v} & 0 \\
\frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix}
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

* La matriz inversa \( Q^{-1} \) permite transformar vectores en el sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\) al sistema cilíndrico parabólico \(\{e_u, e_v, e_z\}\).

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\
-\frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
-\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

=Expresar el campo posicion \(\vec{r}\) en el sistema cilindrico parabolico=

[[Archivo:CampoPosicion.PNG|500px|thumb|mid-right|''Figura 5: Campo Posicion'']]

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

''' Factores de escala '''

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.

=Gradiente de un campo escalar=
La expresión del gradiente de un campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico es:
<math>
\nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \mathbf{e_u} + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \mathbf{e_v} + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e_z}.
</math>

Se nos pide calcular el caso concreto del gradiente del campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \).

''' Transformación de las coordenadas '''

Sabemos que \( x_2 = uv \), por lo que en términos de \( (u, v, z) \), la función se transforma como sigue:

<math>
f(u, v, z) = uv.
</math>

''' Cálculo de las derivadas parciales '''
Las derivadas parciales de \( f(u, v, z) = uv \) son:

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0.
</math>

''' Cálculo del gradiente \( \nabla f \) '''
El gradiente de \( f \) en coordenadas \( (u, v, z) \) es:

<math>
\nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \mathbf{e_u} + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \mathbf{e_v} + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e_z}.
</math>

Sustituyendo las derivadas parciales:

<math>
\nabla f = \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} \mathbf{e_u} + \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} \mathbf{e_v}.
</math>

''' Cálculo de las coordenadas \( (u, v, z) \) '''
Las coordenadas \( (u, v, z) \) se obtienen de las ecuaciones de transformación:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

Para el punto \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \):

<math>
uv = 1, \quad \frac{u^2 - v^2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad u^2 = v^2.
</math>

Por lo tanto:

<math>
u = 1, \quad v = 1, \quad z = 1.
</math>

''' Sustitución en el gradiente '''

En el punto \( (u, v, z) = (1, 1, 1) \):

<math>
h_u = h_v = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad e_u = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right), \quad e_v = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right).
</math>

Sustituyendo en el gradiente:

<math>
\nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right).
</math>

Sumando las componentes:

<math>
\nabla f = (0, 1, 0).
</math>

''' Resultado '''
El gradiente de \( f \) en el punto cartesiano \( (0, 1, 1) \) es:

<math>
\nabla f = (0, 1, 0).
</math>

=Divergencia =
La divergencia en este sistema es:
<math>
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].
</math>

Ejemplo: calcular la divergencia del campo posición.

[[Archivo:divergencia01.jpg|600px|thumb|right|''Figura 6: Divergencia del campo posición.'']]

[[Archivo:campodiver.jpg|600px|thumb|right|''Figura 7: Campo vectorial y divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas.'']]

''' Divergencia del campo vectorial en coordenadas cilíndrico-parabólicas '''

La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se define como:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Donde las componentes del campo vectorial \( \mathbf{r} \) son:

<math>
r_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Paso 1: Derivada respecto a \( u \) '''

Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \) respecto a \( u \):

<math>
\frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) = \frac{3u^2 + v^2}{2}.
</math>

'''Paso 2: Derivada respecto a \( v \) '''

Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \) respecto a \( v \):

<math>
\frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) = \frac{u^2 + 3v^2}{2}.
</math>

''' Paso 3: Derivada respecto a \( z \) '''

La derivada de \( r_z = z \) respecto a \( z \) es:

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1.
</math>

''' Paso 4: Sustitución en la fórmula de la divergencia '''

Sustituyendo todos los términos en la fórmula de la divergencia:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{3u^2 + v^2}{2} + \frac{u^2 + 3v^2}{2} \right] + 1.
</math>

Simplificando:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot 2(u^2 + v^2) + 1 = 2 + 1 = 3.
</math>

'''Resultado Final '''

La divergencia del campo posición \( \mathbf{r} \) es:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = 3.
</math>

=Rotacional=

El rotacional en este sistema es:
<math>
\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix}
h_u e_u & h_v e_v & h_z e_z \\
\frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\
h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z
\end{vmatrix}
</math>

Ejemplo: calcular el rotacional del campo posición.

''' Cálculo del Rotacional en Coordenadas Cilíndricas Parabólicas '''

En coordenadas cilíndricas parabólicas, los factores de escala son:

<math>
h_u = h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1
</math>

Por lo tanto:

<math>
h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 \cdot 1 = u^2 + v^2
</math>

La fórmula para el rotacional en coordenadas ortogonales es:

<math>
\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix}
h_u e_u & h_v e_v & h_z e_z \\
\frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\
h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z
\end{vmatrix}
</math>

Sustituyendo los factores de escala:

<math>
\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{vmatrix}
\sqrt{u^2 + v^2} e_u & \sqrt{u^2 + v^2} e_v & e_z \\
\frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\sqrt{u^2 + v^2} F_u & \sqrt{u^2 + v^2} F_v & F_z
\end{vmatrix}
</math>

Con las componentes del campo:

<math>
F_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = z
</math>

'''Cálculo por Componentes'''

'''Componente <math>e_u</math>'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v)
</math>

<math>\frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0</math>
<math>\frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_v) = 0</math>, porque <math>F_v</math> no depende de <math>z</math>.

Por lo tanto:

<math>
e_u = 0
</math>

'''Componente <math>e_v</math>'''

<math>
e_v = \frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z)
</math>

<math>\frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_u) = 0</math>, porque <math>F_u</math> no depende de <math>z</math>.

<math>\frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0</math>.

Por lo tanto:

<math>
e_v = 0
</math>

'''Componente <math>e_z</math>'''

<math>
e_z = \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)
</math>

Derivada de <math>h_v F_v</math> con respecto a <math>u</math>:

<math>
h_v F_v = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{v u^2 + v^3}{2}
</math>

Entonces:

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2 + v^3}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v^3}{2} \right) = v \cdot u
</math>

Derivada de <math>h_u F_u</math> con respecto a <math>v</math>:

<math>
h_u F_u = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{u^3 + uv^2}{2}
</math>

Entonces:

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3 + uv^2}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{uv^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3}{2} \right) = u \cdot v
</math>

Por lo tanto:

<math>
e_z = v u - u v = 0
</math>

'''Resultado Final'''

El rotacional es:

<math>
\nabla \times \mathbf{F} = 0 \cdot e_u + 0 \cdot e_v + 0 \cdot e_z = \mathbf{0}
</math>

Esto significa que el campo <math>\mathbf{F}</math> es irrotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas.

=Superficies de nivel=

Las ''' superficies de nivel de campos escalares ''' son:

<math>
f_1(u, v, z) = u : \text{ Superficie parabólica.}
</math>

<math>
f_2(u, v, z) = v : \text{ Superficie parabólica.}
</math>

<math>
f_3(u, v, z) = z : \text{ Plano horizontal.}
</math>

'''Superficies de nivel en cartesianas:'''

- Para el campo escalar \( f_1(u, v, z) = u \):
<math>

(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{c_1^2 - v^2}{2}, \, c_1 v, \, z \right), \quad \text{con } v, z \text{ variables y } u = c_1 \text{ constante.}

</math>

- Para el campo escalar \( f_2(u, v, z) = v \):
<math>

(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - c_2^2}{2}, \, u c_2, \, z \right), \quad \text{con } u, z \text{ variables y } v = c_2 \text{ constante.}

</math>

- Para el campo escalar \( f_3(u, v, z) = z \):
<math>

(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, \, u v, \, c_3 \right), \quad \text{con } u, v \text{ variables y } z = c_3 \text{ constante.}

</math>

'''Código de MATLAB y representación: Coordenadas cilíndricas parabólicas '''

[[Archivo:graficf11.jpg|400px|thumb|right|''Figura 8: Superficie de nivel f₁'']]
[[Archivo:graficf22.jpg|400px|thumb|right|''Figura 9: Superficie de nivel f₂'']]
[[Archivo:graficf33.jpg|400px|thumb|right|''Figura 10: Superficie de nivel f₃'']]

<syntaxhighlight lang="matlab">
clc; clear;

% Rango de variables
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(-1, 1, 50); % z es libre
[V, Z] = meshgrid(v, z); % Creación de mallas para v y z

% --- 1. Superficie de nivel f1(u, v, z) = u ---
figure;
u1 = 1; % Fijar u como constante
x1 = (u1.^2 - V.^2) / 2; % Calcular x1 con u constante
x2 = u1 .* V; % Calcular x2 con u constante
x3 = Z; % z es la tercera dimensión
surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la superficie

% Etiquetas y formato
title('Superficie de nivel: f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
colormap turbo;
axis equal;
grid on;

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50); % u es libre
z = linspace(-1, 1, 50); % z es libre
[U, Z] = meshgrid(v, z); % Creación de mallas para u y z

% --- 2. Superficie de nivel f1(u, v, z) = v ---
figure;
v1 = 1; % Fijar v como constante
x1 = (U.^2 - v1.^2) / 2; % Calcular x1 con v constante
x2 = U .*v1; % Calcular x2 con v constante
x3 = Z; % z es la tercera dimensión
surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la superficie

% Etiquetas y formato
title('Superficie de nivel: f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
colormap turbo;
axis equal;
grid on;

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50); % u es libre
v = linspace(-1, 1, 50); % v es libre
[U, V] = meshgrid(u, v); % Creación de mallas para u y v

% --- 3. Superficie de nivel f3(u, v, z) = z ---
figure;
z1 = 1; % Fijar z como constante
x1 = (U.^2 - V.^2) / 2; % Calcular x1
x2 = U .* V; % Calcular x2
x3 = z1 * ones(size(U)); % Crear una matriz constante para z1

surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la superficie

% Etiquetas y formato
title('Superficie de nivel: f_3(u, v, z) = z');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
colormap turbo;
axis equal;
grid on;

</syntaxhighlight>

'''¿Qué es una superficie reglada? '''

[[Archivo:SuperficieReglada.png|300px|thumb|right|''Figura 11: Superficie Reglada'']]

Una '''superficie reglada''' es una superficie que se puede formar moviendo una '''recta''' (conocida como "generatriz") a lo largo de una '''curva directriz'''. Este movimiento puede incluir cambios en la orientación o la posición de la generatriz.

''' Parametrización matemática '''

<math>
\Phi(u, v) = \gamma(v) + u \cdot \mathbf{w}(v),
</math>
donde:
* <math>\gamma(v)</math>: describe la '''curva directriz''' en <math>\mathbb{R}^3</math>.
* <math>\mathbf{w}(v)</math>: es un vector (generatriz) que cambia a lo largo de <math>\gamma(v)</math>.
* <math>u</math>: controla el desplazamiento a lo largo de <math>\mathbf{w}(v)</math>.

*Ejemplos:
# Si <math>\gamma(v)</math> es una línea recta y <math>\mathbf{w}(v)</math> es constante, la superficie generada es un '''plano'''.
# Si <math>\gamma(v)</math> es una parábola y <math>\mathbf{w}(v)</math> varía, se pueden generar superficies como '''hiperboloides''' o '''paraboloides'''.

<big>''' Aplicación a las funciones dadas '''</big>

Estas funciones representan superficies de nivel en coordenadas cilíndricas parabólicas. Vamos a analizar cada una para comprobar si son superficies regladas.

'''Superficie de nivel de <math>f_1(u, v, z) = u</math>'''

La ecuación <math>f_1(u, v, z) = u</math> se puede escribir como:
<math>
u = c \quad (\text{donde } c \text{ es constante}).
</math>

Sustituyendo <math>u = c</math> en las coordenadas cilíndricas parabólicas:
<math>
(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{c^2 - v^2}{2}, \, c v, \, z \right), \quad \text{con } v, z \text{ variables y } u = c \text{ constante.}
</math>

*Esta ecuación describe una superficie en <math>\mathbb{R}^3</math>, donde: '''c''' es '''constante''' y '''v''' y '''z''' son '''variables'''.

*Si fijamos <math>v = v_0</math> (un valor constante), la ecuación genera una recta en el plano <math>x</math><math>z</math> para distintos valores de <math>z</math>. Estas rectas son las generatrices.

Por lo tanto, la superficie '''es reglada''' porque se puede formar moviendo una recta (generatriz) a lo largo de una curva directriz en el plano <math>x_1x_3</math>.

'''Superficie de nivel de <math>f_2(u, v, z) = v</math>'''

La ecuación <math>f_2(u, v, z) = v</math> se escribe como:
<math>
v = c \quad (\text{donde } c \text{ es constante}).
</math>

Sustituyendo <math>v = c</math> en las coordenadas:
<math>
(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - c^2}{2}, \, c u, \, z \right), \quad \text{con } u, z \text{ variables y } v = c \text{ constante.}
</math>

* Aquí, <math>u</math> y <math>z</math> son variables, mientras que <math>c</math> es constante.

* Si fijamos <math>u = u_0</math>, se genera una recta en el plano <math>xz</math> para distintos valores de <math>z</math>. Estas rectas son las generatrices.

Por lo tanto, esta superficie también '''es reglada''' porque se puede generar moviendo rectas a lo largo de una curva directriz en <math>x_1x_3</math>.

'''Superficie de nivel de <math>f_3(u, v, z) = z</math>'''

La ecuación <math>f_3(u, v, z) = z</math> se puede escribir como:
<math>
z = c \quad (\text{donde } c \text{ es constante}).
</math>

Sustituyendo <math>z = c</math> en las coordenadas:
<math>
(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, \, u v, \, c \right), \quad \text{con } u, v \text{ variables y } z = c \text{ constante.}
</math>

* En este caso, <math>u</math> y <math>v</math> son variables.

* La ecuación describe un plano horizontal (donde <math>z</math> es constante). Un plano es un caso trivial de superficie reglada, ya que puede generarse moviendo una recta paralela en el espacio.

Por lo tanto, esta superficie '''es reglada'''.

<big>''' Uso de las superficies regladas en la ingeniería '''</big>

[[Archivo:iglesiaMX.jpeg|300px|thumb|right|''Figura 12: La iglesia de la Virgen Milagrosa en Monterrey'']]

Las superficies regladas han sido fundamentales en ingeniería gracias a su facilidad de construcción, resistencia estructural y versatilidad estética. Desde estructuras emblemáticas hasta aplicaciones prácticas, estas geometrías han transformado múltiples áreas de la ingeniería.

'''Ingeniería Civil y Arquitectura'''
En arquitectura e ingeniería civil, las superficies regladas permiten crear diseños estéticos y funcionales. Ejemplos destacados incluyen:

*Cúpulas y techos: Las cubiertas de paraboloides hiperbólicos se usan en estadios y auditorios debido a su capacidad para cubrir grandes áreas sin necesidad de soportes intermedios.

*Puentes: Las torres y cables de suspensión a menudo utilizan superficies regladas para combinar resistencia y ligereza.

*Edificios icónicos: Obras como las estructuras de Félix Candela en México emplearon paraboloides hiperbólicos, combinando funcionalidad y belleza.

'''Ingeniería Estructural'''

En ingeniería estructural, las superficies regladas son ideales para estructuras que deben soportar cargas significativas con eficiencia:

*Chimeneas de refrigeración: Las torres hiperboloides de centrales nucleares distribuyen cargas de viento de manera uniforme y son estables frente a movimientos laterales.

*Sistemas de soporte: Se utilizan en puentes colgantes y techos tensados, donde las generatrices rectilíneas permiten una distribución eficiente de fuerzas.

'''Ventajas clave de las superficies regladas en ingeniería'''

*Fácil construcción: Su geometría permite fabricarlas usando métodos tradicionales como moldeo en hormigón o doblado de acero.

*Estabilidad estructural: Distribuyen las cargas uniformemente, ofreciendo alta resistencia con menos material.

*Versatilidad estética: Facilitan diseños innovadores que combinan funcionalidad y atractivo visual.

= Calculo de la curvatura =
Determinar la curvatura \( k(t) \).

[[Archivo:ParabolaCilindricas.png|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 2</math>
* <math>B = 2</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -2x^2 + 2
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -2t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -4t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -4, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -4t & 0 \\
0 & -4 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-4)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -4)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-4)^2}
= \sqrt{16}
= 4
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-4t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 16t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{4}{(1 + 16t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}}
= \frac{4}{17^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}}
= \frac{4}{17^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{4}{(1)^{3/2}}
= 4
</math>

''' Conclusión '''

La mayor curvatura se encuentra en el vértice de la parábola, y tiene un valor de 4 .

La menor curvatura se encuentra cuando <math>t = -1</math> & <math>t = 1</math>, en estos puntos, la curvatura tiene un valor de <math>\frac{4}{17^{3/2}}</math>

[[Archivo:CurvaturaEj.PNG|400px|thumb|right|''Figura 14: Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
clear,clc
% Parámetros de la parábola
A = 2;
B = 2;

% Intervalo de t (x)
t = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura teórica
kappa = (2 * A) ./ ((1 + 4 * A^2 * t.^2).^(3/2));

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, kappa, 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -Ax^2 + B');
xlabel('t (x)');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;

% Mostrar los puntos de mayor y menor curvatura
hold on;
plot(0, 2*A, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Mayor curvatura');
plot([-1, 1], kappa([1, end]), 'go', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Menor curvatura');
legend;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=

La parábola es una figura geométrica que desempeña un papel crucial en el diseño y construcción de diversas estructuras de ingeniería civil. Su capacidad para distribuir fuerzas de manera eficiente y proporcionar estabilidad estructural ha llevado a su adopción en puentes, carreteras, edificios y presas. A continuación, se detalla cómo se aplica y cuáles son sus beneficios en cada ámbito.

<big>'''Puentes '''</big>

La parábola es particularmente relevante en los puentes colgantes y de arco, dos de las tipologías más icónicas en la ingeniería civil:

[[Archivo:Puentecolg.png|400px|thumb|right|''Figura 15: Puente colgante.'']]

*'''Puentes colgantes''':
- Los cables principales de un puente colgante adoptan una curva parabólica, lo que permite una distribución uniforme de las fuerzas de compresión y tensión.
- Esta configuración transfiere las fuerzas de compresión hacia las torres de soporte de manera eficiente, optimizando la estabilidad de la estructura.

[[Archivo:puenteparab.png|400px|thumb|right|''Figura 16: Puente de arco.'']]

*'''Puentes de arco''':
- Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para repartir las cargas de manera equitativa.
- Su diseño permite abarcar espacios más amplios en comparación con otros tipos de arcos, lo que resulta ideal para proyectos de gran envergadura.
- La parábola contribuye a un mayor empuje en la base del arco, incrementando la estabilidad general del puente.

<br />

<big>''' Elementos arquitectónicos''' </big>

En el ámbito arquitectónico, la parábola es un elemento recurrente en la creación de estructuras innovadoras y funcionales:

[[Archivo:cubierta1.jpg|400px|thumb|right|''Figura 17: Cubierta estructural.'']]

* '''Cubiertas estructurales''':
- Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para diseñar cubiertas ligeras pero resistentes.
- Estas formas permiten un aprovechamiento eficiente de los materiales, combinando ligereza y durabilidad.

[[Archivo:ArcoParabolicoEstadio.jpg|400px|thumb|right|''Figura 18: Arco parabolico estadio.'']]

* '''Arcos parabólicos''':
- Usados en grandes espacios como estadios y centros comerciales, ofrecen una distribución eficiente de las cargas estructurales.
- Permiten diseños arquitectónicos más audaces, combinando funcionalidad y estética.

<big>''' Presas ''' </big>

Las presas también se benefician del uso de la parábola, especialmente en términos de resistencia y funcionalidad:
[[Archivo:presa1.png|400px|thumb|right|''Figura 19: Presa.'']]

* '''Perfil estructural''':
- La forma parabólica distribuye la presión del agua de manera uniforme, lo que contribuye a la estabilidad de la presa.
* '''Vertederos''':
- Los diseños parabólicos optimizan el flujo del agua, minimizando la erosión y reduciendo el impacto sobre el medio ambiente.
* '''Estabilidad estructural''':
- Las curvas parabólicas mejoran la capacidad de la presa para resistir fuerzas horizontales, como las producidas por el empuje del agua.

<br />

<big>''' Carreteras ''' </big>

En el diseño de carreteras, la parábola se utiliza para crear trayectorias suaves y transiciones graduales que mejoran la seguridad y comodidad del usuario:
[[Archivo:CarreteraParabola.jpg|400px|thumb|right|''Figura 20: Carretera en forma de parábola'']]

* '''Perfiles verticales''':
- Especialmente en terrenos montañosos, las parábolas facilitan la adaptación del trazado a la topografía, reduciendo el desgaste del vehículo y el consumo de combustible.
* '''Curvas de transición''':
- Estas aseguran un cambio progresivo entre pendientes, minimizando los riesgos asociados con cambios bruscos de inclinación.
* '''Diseño de rampas''':
- Las parábolas optimizan la inclinación y aprovechan eficientemente el espacio disponible.
<br />

<big>''' Ventajas generales de la parábola ''' </big>

'''1) Eficiencia estructural''': Permite una distribución óptima de las fuerzas, lo que reduce la necesidad de material sin comprometer la resistencia.

'''2) Versatilidad''': Su adaptabilidad la hace adecuada para diversas escalas y tipos de construcciones.

'''3) Estética''': Aporta un atractivo visual que se combina con diseños innovadores y funcionales.

'''4) Economía''': Al requerir menos material, reduce costos de construcción y mantenimiento.

'''5) Resistencia''': Su capacidad para distribuir fuerzas de forma uniforme incrementa la durabilidad de las estructuras.

= Bibliografia =

* Apuntes de clase & Trabajos de otros años

* https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas_parab%C3%B3licas

* https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonales

* Chat GPT

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:16:37Z

J.connold: /* . */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:13:36Z

J.connold: /* . */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-26T21:09:09Z

J.connold: /* Uso de la parábola en ingeniería */