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Ecuación de Laplace y de Poisson (GIXP)

2025-04-27T20:00:30Z

Israellm:

{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao}}

[[Archivo:Poster_-_Ecuación_de_Laplace_-_GIXP.pdf]]
[[Archivo:Poster_-_Ecuación_de_Laplace_-_GIXP_imagen.jpg|800px]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación de Laplace y de Poisson (GIXP)

2025-04-27T19:57:42Z

Israellm:

{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao}}

[[Archivo:Poster_-_Ecuación_de_Laplace_-_GIXP_imagen.jpg]]
[[Archivo:Poster_-_Ecuación_de_Laplace_-_GIXP.pdf]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Archivo:Poster - Ecuación de Laplace - GIXP imagen.jpg

2025-04-27T19:56:41Z

Israellm:

Ecuación de Laplace y de Poisson (GIXP)

2025-04-27T19:54:13Z

Israellm:

Ecuación de Laplace y de Poisson (GIXP)

2025-04-27T19:54:00Z

Israellm:

{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao}}

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[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Archivo:Poster - Ecuación de Laplace - GIXP.pdf

2025-04-27T19:52:34Z

Israellm:

Ecuación de Laplace y de Poisson (GIXP)

2025-04-27T19:51:53Z

Israellm:

{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao}}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación de Laplace y de Poisson (GIXP)

2025-04-27T19:51:40Z

Israellm: Página creada con «{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo GIXP | EDP|2024-25 | Gonzalo Garelly Israel López Francisco Lavao P...»

{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

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[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-18T22:43:07Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción y enfoque =

La modelización matemática se emplea en física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, la cual supondremos constante en tiempo y espacio.

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \ f = \frac{1}{Q} \omega
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0(x), & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Suponiendo que <math> f = K </math> constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha}\left(Lx -x^2 \right) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L} x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos

<math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}}e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L}t} \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)}, </math> con <math> c_n = \dfrac{2}{\sqrt{L}}\int_{0}^{L} \left(u_0(x) - v(x)\right) \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)} \ dx </math>

y <math> u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} t} \sin{\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)} + v(x) </math> es la solución del problema original.

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 0.5; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/(2*alpha)*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L^2).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la varilla es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K >0 </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f_1(x) \geq f_2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:Grupo_GIXP_vista_plana_K=1.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:Grupo_GIXP_vista_plana_K=3.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 3 </math>]]

[[Archivo:Grupo_GIXP_vista_3D_K=1.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:Grupo_GIXP_vista_3D_K=3.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 3 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos cómo el máximo de la temperatura que alcanza la barra es ligeramente mayor y que el intervalo donde se alcanza es mayor. Mientras que si disminuimos L, se observa cómo al mantenerse los extremos temperatura 0, y ahora estar todos los puntos intermedios más próximos a estos extremos, se llega a reducir el máximo que se alcanza.

[[Archivo:Grupo_GIXP_Ec.Calor_(L=0.5).png|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 0.5 </math>]] [[Archivo:Grupo_GIXP_Ec.Calor_(L=5).png|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T23:16:48Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción y enfoque =

La modelización matemática se emplea en física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema (CORTO) =

Suponiendo que <math> f(x) = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha} \cdot (Lx -x^2) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L}\cdot x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos

<math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)}, </math> con <math> c_n = \dfrac{2}{\sqrt{L}}\int_{0}^{L} (u_0(x) - v(x)) \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} dx </math>

y <math> u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} + v(x) </math> es la solución del problema original.

= Resolución del sistema =
Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la varilla es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f_1(x) \geq f_2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T23:16:18Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción y enfoque =

La modelización matemática se emplea en física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema (CORTO) =

Suponiendo que <math> f(x) = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha} \cdot (Lx -x^2) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L}\cdot x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos

<math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)}, </math> con <math> c_n = \dfrac{2}{\sqrt{L}}\int_{0}^{L} (u_0(x) - v(x)) \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} dx </math>

y <math> u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} + v(x) </math> es la solución del problema original.

= Resolución del sistema =
Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la varilla es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T23:11:29Z

Israellm:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción y enfoque =

La modelización matemática se emplea en física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema (CORTO) =

Suponiendo que <math> f(x) = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha} \cdot (Lx -x^2) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L}\cdot x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos

<math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)}, </math> con <math> c_n = \dfrac{2}{\sqrt{L}}\int_{0}^{L} (u_0(x) - v(x)) \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} dx </math>

y <math> u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} + v(x) </math> es la solución del problema original.

= Resolución del sistema =
Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T23:10:49Z

Israellm:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción y enfoque =

La modelización matemática se emplea en física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema (CORTO) =

Suponiendo que <math> f(x) = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha} \cdot (Lx -x^2) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L}\cdot x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos

<math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)}, </math>

con <math> c_n = \dfrac{2}{\sqrt{L}}\int_{0}^{L} (u_0(x) - v(x)) \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} dx </math>

y <math> u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} + v(x) </math> es la solución del problema original.

= Resolución del sistema =
Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

'''Nota:'''
Suponiendo que <math> f(x) = K </math> es constante, la solución estacionaria es

<math> v(x) = \frac{K}{2\alpha} (Lx -x^2) + \frac{(u_2 - u_1)}{L} x + u_1 </math>.

Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos

<math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{\sqrt{L}} e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} t} \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right), </math>

con

<math> c_n = \frac{2}{\sqrt{L}} \int_{0}^{L} (u_0(x) - v(x)) \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx </math>.

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T23:07:39Z

Israellm: /* Resolución del sistema (CORTO) */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción y enfoque =

La modelización matemática se emplea en física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>
= Resolución del sistema (CORTO) =

Suponiendo que <math> f(x) = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2\alpha} \cdot (Lx -x^2) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L}\cdot x + u_1 </math>. Definiendo <math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math> y aplicando separación de variables, obtenemos

<math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{c_n}{\sqrt{L}} \cdot e^{- \frac{n^2\pi^2}{\alpha L} \cdot t} \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)}, </math>

con <math> c_n = \dfrac{2}{\sqrt{L}}\int_{0}^{L} (u_0(x) - v(x)) \cdot \sin{\Bigl( \dfrac{n\pi x}{L} \Bigr)} dx </math>

= Resolución del sistema =
Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:46:38Z

Israellm:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción y enfoque =

La modelización matemática se emplea en física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>
= Resolución del sistema (CORTO) =

Suponiendo que <math> f(x) = K </math> es constante, la solución estacionaria es <math> v(x) = \dfrac{K}{2} \cdot (Lx -x^2) + \dfrac{(u_2 - u_1)}{L}\cdot x + u_1 </math>

= Resolución del sistema =
Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:22:33Z

Israellm: /* Resolución del sistema */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =
Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:17:09Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:16:50Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura alcanzada aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:16:09Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u(x,t) \geq v(x,t) \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1(x) \geq f2(x) \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:13:13Z

Israellm: /* Planteamiento del sistema de EDP */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial es \( u_0(x) \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas \( u_1 \) y \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa, constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones iniciales y fronterizas, el sistema queda:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:07:43Z

Israellm: /* Pérdida de calor en la varilla */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:07:24Z

Israellm: /* Pérdida de calor en la varilla */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> f(x) = 0 </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:06:44Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> (f(x) = 0) </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T22:06:11Z

Israellm: /* Modelización de fenómenos */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0
</math>

Y variamos los demás parámetros para modelizar distintas situaciones con el siguiente código en MatLab

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa <math> (f(x) = 0) </math> y con temperatura nula en ambos extremos <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si la temperatura en los extremos es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de calor a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables se cumple el '''principio de comparación''', que afirma:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si las condiciones fronterizas de ambas soluciones y sus fuentes de calor externas son comparables, las soluciones son comparables.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:53:10Z

Israellm: /* Planteamiento del sistema de EDP */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la '''conductividad térmica''' de la varilla y \( Q \) es el '''calor específico,''' que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:52:14Z

Israellm: /* Planteamiento del sistema de EDP */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor de forma externa con distintos medios.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde \( k \) es la constante de conductividad térmica de la varilla y \( Q \) es el calor específico, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se denomina '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:49:58Z

Israellm: /* Planteamiento del sistema de EDP */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como '''coeficiente de difusión térmica.'''

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:47:13Z

Israellm: /* Pérdida de calor en la varilla */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. <math> \alpha = 0.1 </math>]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:46:06Z

Israellm: /* Modelización de fenómenos */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> K = 5 </math>]]

Al aumentar la longitud de la varilla <math> L </math> observamos que la temperatura que alcanza esta también aumenta. Esto se debe a que la superficie de contacto con la fuente de calor es mayor, por lo que la varilla absorbe más calor.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_L5.jpg|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 5 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_L10.jpg|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> L = 10 </math>]]

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:37:09Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:36:18Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_3D.jpg|300px|thumb|Gráfica espacio-temporal de la solución. K = 1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_K3_3D.jpg|300px|thumb|Gráfica espacio-temporal de la solución. K = 3]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_3D.jpg|300px|thumb|Gráfica espacio-temporal de la solución. K = 5]]
|}

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:33:52Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_K1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> K = 1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_K5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> K = 5 </math>]]

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:29:44Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Si

<math>
\begin{cases}
u \geq v \text{ en } \partial_pQ_T \\
f1 \geq f2 \text{ en } \bar{Q_T}
\end{cases}
</math>

Se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T21:25:14Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>.

Si

<math> u \geq v </math> en <math> \partial_pQ_T </math> y <math> f1(x) \geq f2(x) </math> en <math> \bar{Q_T} </math> se tiene que <math> u \geq v </math> en <math> \bar{Q_T} </math>.

Es decir, si tanto las condiciones fronterizas de ambas soluciones como sus fuentes de calor externas son comparables, se tiene que las soluciones son comparables en cualquier instante de tiempo.

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:32:36Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}1(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>.

Entonces, si <math> u \geq v </math> en <math> \partial_pQ_T </math> y <math> f1(x) \geq f2(x) </math> en <math> Q_T </math>

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:31:57Z

Israellm: /* Aumento de temperatura por una fuente de calor externa */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el '''Principio de Comparación''', que afirma lo siguiente:

Si <math> u,v \in C^{2,1}1(Q_T) \cap C(\bar{Q_T}) </math>, donde <math> Q_T </math> es la región de nuestro dominio hasta tiempo <math> T </math>, son soluciones de la ecuación del calor con fuentes de calor <math> f_1(x), f_2(x) </math> acotadas en <math> Q_T </math>. Entonces, si <math> u \geq v </math> en <math> \partial_pQ_T </math>

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:26:16Z

Israellm: /* Introducción Y enfoque */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* '''Gestión térmica en electrónica:''' permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* '''Climatología:''' estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* '''Biología:''' describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el Principio de Comparación.

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:22:58Z

Israellm: /* Variación de la constante de difusión \alpha */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

.

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el Principio de Comparación.

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:19:49Z

Israellm: /* Modelo 3 */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

== Aumento de temperatura por una fuente de calor externa ==

Si la temperatura inicial de la barra es <math> \quad u_0 = 0 </math> y existe una fuente de calor externa <math> f(x) = K </math>, observamos cómo esta gana calor conforme pasa el tiempo. Con diferentes fuentes comparables, se puede visualizar el Principio de Comparación.

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:13:06Z

Israellm: /* Variación de la constante de difusión \alpha */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido. Físicamente, esto quiere decir que cuanto mayor es la conductividad térmica del material <math> k </math> y menor es su densidad <math> \rho </math>, más rápido se difunde el calor a lo largo del mismo.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:10:14Z

Israellm: /* Variación de la constante de difusión \alpha */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

-

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:09:45Z

Israellm: /* Variación de la constante de difusión \alpha */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión <math> \alpha </math>, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:09:21Z

Israellm: /* Variación de la constante de difusión \alpha */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión alpha, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:08:03Z

Israellm: /* Variación de la constante de difusión */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión <math> \alpha </math> ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión alpha, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.1 </math>]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. <math> \alpha = 0.5 </math>]]

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:05:56Z

Israellm: /* Variación de la constante de difusión */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión alpha, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|Vista de planta de la varilla. alfa = 0.1]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|Vista de planta de la varilla. alfa = 0.5]]

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_ED.gif|400px|left|thumb|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. alfa = 0.1]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_3D.gif|400px|thumb|center|Representación tridimensional de la solución, que avanza en tiempo en el eje Y. alfa 0.5]]

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:02:37Z

Israellm: /* Variación de la constante de difusión */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión alpha, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|alfa 0.1]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|alfa 0.5]]

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Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T20:00:10Z

Israellm: /* Introducción Y Enfoque */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
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imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
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colormap hot
colorbar
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axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

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close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
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imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión alpha, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|alfa 0.1]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|alfa 0.5]]

{| align=center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.5]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T19:59:56Z

Israellm: /* Pérdida de calor en la varila */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y Enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varilla ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión alpha, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|alfa 0.1]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|alfa 0.5]]

{| align=center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.5]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T19:59:37Z

Israellm: /* Pérdida de calor en la varila */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y Enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
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axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
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imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varila ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula <math> \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 0, </math> observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10, </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión alpha, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|alfa 0.1]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|alfa 0.5]]

{| align=center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.5]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo GIXP)

2025-03-17T19:35:55Z

Israellm: /* Pérdida de calor en la varila */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GIXP | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Gonzalo Garelly

Israel López

Francisco Lavao

Paula León}}

= Introducción Y Enfoque =

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:
* <math>\textbf{Gestión térmica en electrónica:}</math> permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
* <math>\textbf{Climatología:}</math> estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
* <math>\textbf{Biología:}</math> describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

= Planteamiento del sistema de EDP=

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \) (Condiciones Dirichlet).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

<math>
u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>

donde:
\( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier.
\( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos:
<math>
\alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x)
</math>
donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t > 0 \\
u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\
u(0,t) = u_1, & t > 0 \\
u(L,t) = u_2, & t > 0
\end{cases}
</math>

= Resolución del sistema =

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

<math>
v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x)
</math>

Integrando dos veces:

<math>
v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2
</math>

Imponiendo las condiciones de contorno:

<math>
\begin{cases}
v(0) = u_1 \\
v(L) = u_2
\end{cases}
</math>

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

<math>
w_t - \alpha w_{xx} = 0
</math>
con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

<math>
w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t}
</math>

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

<math>
w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right)
</math>

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

<math>
c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx
</math>

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

= Modelización de fenómenos =

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

<math>
L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10
</math>

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

<math>
\alpha = K, \quad f(x) = \omega(x)
</math>

Procedemos a variarlos para modelizar distintas situaciones.

{{matlab|codigo=

% Ecuación del Calor

clear all; close all;

t0 = 0; % Instante de tiempo inicial
tf = 1; % Instante de tiempo final
L = 1; % Longitud de la barra
a = 1; % Coeficiente flamígero inicial
alpha = 0.1; % Coeficiente de difusión
K = 0; % Temperatura de la fuente de calor externa

u0 = 0; % Temperatura de la barra en el extremo izquierdo
uL = 0; % Temperatura de la barra en el extremo derecho

%ui = @(x) a; % Temperatura de la barra en el instante inicial (Constante)
%ui = @(x) a*(L*x - x.^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Parábola)
ui = @(x) a.*exp(-((x - L/2) / 0.1).^2); % Temperatura de la barra en el instante inicial (Campana de Gauss)

XX = linspace(0,L,500); % Linspace espacial [0,L]
TT = linspace(t0,tf,500); % Linspace temporal [t0,tf]

v = @(x) K/2*(L*x - x.^2) + (uL - u0)/L*x + u0; % Solución estacionaria (Fuente externa f(x) = K)

% Defino w = u - v

w0 = @(x) ui(x) - v(x); % Condición inicial de w(x,t)

% Cálculo de los coeficientes de Fourier de w(x,t)

n = 10; % Nº de términos en la Serie de Fourier
CC = zeros(1,n); % Vector de coeficientes ck
SS = zeros(1,length(XX)); % Serie de Fourier de w disretizada en espacio

for k = 1:n
% Aproximación de la integral usando la regla del trapecio
W = ones(size(XX));
W(1) = 1/2; W(end) = 1/2;
integrand = w0(XX) .* sin(k * pi * XX / L)/sqrt(L);
ck = 2 * trapz(XX, integrand .* W);
CC(k) = ck; % Coeficiente de Fourier c_k
end

w = @(x,t) 0; % Solución del nuevo problema

for k = 1:n % Actualiza w(x)
w = @(x,t) w(x,t) + CC(k).* exp((-alpha * k^2 * pi^2.* t)/L).* sin(k * pi.* x / L)/sqrt(L);
end

u = @(x,t) w(x,t) + v(x); % Solución del problema original

%% Representación en vídeo 2D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_2D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
plot(XX,u(XX,TT(i)),color='red',LineWidth=1.5); % Solución en el instante temporal TT(i)
axis([0 L 0 1])
xlabel("x"); ylabel("u(x)")
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
grid on
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en tiempo con vista de planta %%

MiPeli = VideoWriter('Varilla6_VistaPlanta'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 1:length(TT)

figura = figure(1);
imagesc(u(XX,TT(i)))
colormap hot
colorbar
clim([0 1]);
axis off
title("Evolución de la difusión de calor en tiempo")
imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación en vídeo 3D %%

MiPeli = VideoWriter('varilla6_3D'); % Crear el vídeo
MiPeli.FrameRate = 30; % Velocidad de reproducción
open(MiPeli);

for i = 2:length(TT)

figura = figure(1);

TTi = TT(1,1:i);
[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TTi);
mesh(XX,TTi,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

imagen = getframe(figura);
writeVideo(MiPeli,imagen); % Insertar imagen en cada frame

end

close(MiPeli)

%% Representación tridimensional %%

[XXX,TTT] = meshgrid(XX,TT); % Malla espacio-temporal
mesh(XX,TT,u(XXX,TTT))
axis([0 L t0 tf])
xlabel("x"); ylabel("t"); zlabel("u(x,t)")
title("Representación espacio-temporal de la solución u(x,t)")
colormap hot
colorbar

}}

== Pérdida de calor en la varila ==

Suponiendo que no hay fuente de calor externa, es decir f(x) = 0, e imponiendo que la temperatura en ambos extremos sea nula, observamos la pérdida de calor en la varilla con el paso del tiempo.

{| align = center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCte.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Constante. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialParabola.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Parabólica. Alpha = 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_InicialCampana.jpg|300px|thumb|Condición inicial de tipo Campana de Gauss. Alpha = 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_Fronteriza.jpg|300px|center|thumb|u1 = 1, u2 = 10]]

== Variación de la constante de difusión ==

Fijados los parámetros anteriores y modificando el coeficiente de difusión alpha, observamos cómo el calor se difunde más rápido.

[[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|400px|left|thumb|alfa 0.1]] [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|400px|thumb|center|alfa 0.5]]

{| align=center
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.1]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.5_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.5]]
| [[Archivo:GIXP_Ecalor_alpha0.1_2D.gif|200px|thumb|alfa 0.1]]
|}

Si suponemos que la temperatura en los extremos de la barra es <math> \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 </math> observaremos que se forma un gradiente de temperatura a lo largo de la varilla.

== Modelo 3 ==
(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))
== Modelo 4 ==
(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]