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2025-12-03T12:01:20Z

Israel.redondo:

La Clotoide (Grupo 58)

2025-12-03T12:01:08Z

Israel.redondo:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 58| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Israel Redondo Briceño Lucia Pertusa Diaz Marta Hernandez Bargueño Felipe Gonçalves Soares Diego Ranera Delgado}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción.==
La clotoide, o espiral de Euler, es una curva que se puede definir como una sucesión de curvas tangentes en el origen al eje de abscisas, cuyo radio de curvatura disminuye inversamente proporcional a distancia recorrida sobre la curva, formando un tramo espiral. Esta curva cumple con una serie de propiedades matemáticas que iremos viendo su cumplimiento conforme vamos presentando el trabajo. Con la herramienta de MatLab realizaremos los cálculos y representaremos la curva de forma gráfica para su mejor visualización.
 
En cada apartado se hará una breve introducción de las fórmulas empleadas, así como su desarrollo. Para el estudio de sus propiedades nos vamos a centrar en los vectores de velocidad, aceleración, tangentes y normal, preparando estos para su posterior aplicación y enfoque en la ingeniería civil.

== Dibujo de la curva.==
La expresión matematica de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha hallado mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:curva.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{Matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y, 'g','linewidth',1.5);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}
==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocidad1234.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;
plot(x,y,'g','LineWidth',2);

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (rojo)
for i = 1:4:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'r', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
=Longitud de la curva=
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 
=Vectores tangente y normal=
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:vectoresn123.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;
plot(x,y,'g','LineWidth',2);

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
=Curvatura k(t).=
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvatura12345.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'y','LineWidth',3);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
=Circunferencia osculatriz.=
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferenciaosculatriz1234.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 1.5, 2000);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);

% Circunferencia oscculatriz
t1= linspace (0, 1.5, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
% Definimos la integral para t=1.5
x1= arrayfun (x1, 1.5);
y1= arrayfun (y1, 1.5);
% Punto de la curva
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
% Vector normal
n=[-sin(1.125),cos(1.125)];
% Curvatura y radio de la curvatura
k=1.5;
R=1/1.5;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
% Centro de la circunferencia osculatriz
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1.125));
Qy=y1+R*(cos(1.125));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)

% Parametrización
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;

% Dibujamos
figure
hold on
%clotoide
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
% Circunferencia osculatriz
plot(x1, y1,'+','LineWidth',1.5);
plot(xx,yy,'--','color','b','LineWidth',1.5)
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');

% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
}}
=Propiedades para la ingeniería.=
Carreteras: ajustar el trazado a las velocidades adecuadas del proyecto, para que la seguridad y la comodidad de los vehículos sea la mejor.
 
Ferrocarriles y tranvías: sirve para reducir los esfuerzos en las ruedas y carriles, limitar desgastes y evitar oscilaciones y vibraciones cuando el tren tome una curva.
 
Puentes y viaductos: para coordinar el tablero con el trazado del puente, optimizando el reparto de esfuerzos de estructuras y la comodidad del tráfico.
 
Caminos de obra y pistas industriales/mineras: favorece la movilidad de maquinarias pesadas, reduciendo riegos de vuelco, fatiga de componentes y el mantenimiento de la vía.
=Ejemplos en Ingeniería Civil.=
[[Archivo:Clotoide621.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Clotoide en carretera''' ]]
[[Archivo:clotoide111.png|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Espiral de Euler en carretera''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide116.png|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Clotoide en montaña rusa''' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:heloide1234.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
=La masa de la Superficie Reglada.=

La Clotoide (Grupo 58)