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Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T22:14:44Z

Isabel Sastre:

{{ TrabajoSIG | Estudio sobre el túnel de Vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.

Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.

Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.

Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejo ==

En este anejo se recogen los mapas temáticos a los que se ha hecho referencia a lo largo del trabajo y que constituyen los resultados obtenidos a partir del programa QGIS.
[[Archivo:Figura1Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 1. Curvas de nivel cada 10 m.'']]
[[Archivo:Figura2Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 2. Mapa del tráfico en los alrededores de Barcelona en 2014.'']] [[Archivo:Figura3Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 3. Mapa del tráfico en los alrededores de Barcelona en 2014.'']]
[[Archivo:Figura4Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 4. Mapa del tráfico en los alrededores de Barcelona en 1970.'']] [[Archivo:Figura5Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 5. Mapa del tráfico en los alrededores de Barcelona en 1970.'']]
[[Archivo:Figura6Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 6. Situación del Túnel de Vallvidrera respecto al Parque Natural de la Sierra de Collserola.'']]
[[Archivo:Figura7Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 7. Bandas inalteradas alrededor del Túnel de Vallvidrera.'']]
[[Archivo:Figura8Tunel.jpeg|500x500px|marco|centro|''Figura 8. Interacción del Túnel de Vallvidrera con los cauces más cercanos.'']]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T22:12:59Z

Isabel Sastre:

Archivo:Figura3Tunel.jpg

2015-11-29T22:06:44Z

Isabel Sastre:

Archivo:Figura2Tunel.jpg

2015-11-29T22:05:25Z

Isabel Sastre:

Archivo:Figura5Tunel.jpg

2015-11-29T22:04:54Z

Isabel Sastre:

Archivo:Figura4Tunel.jpg

2015-11-29T22:04:24Z

Isabel Sastre:

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T22:00:01Z

Isabel Sastre:

{{ TrabajoSIG | Estudio sobre el túnel de Vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.

Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.

Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.

Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejo ==

En este anejo se recogen los mapas temáticos a los que se ha hecho referencia a lo largo del trabajo y que constituyen los resultados obtenidos a partir del programa QGIS.
[[Archivo:Figura1Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 1. Curvas de nivel cada 10 m.'']]
[[Archivo:Figura6Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 6. Situación del Túnel de Vallvidrera respecto al Parque Natural de la Sierra de Collserola.'']]
[[Archivo:Figura7Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 7. Bandas inalteradas alrededor del Túnel de Vallvidrera.'']]
[[Archivo:Figura8Tunel.jpeg|500x500px|marco|centro|''Figura 8. Interacción del Túnel de Vallvidrera con los cauces más cercanos.'']]

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:58:04Z

Isabel Sastre: /* Anejo */

{{ TrabajoSIG | Estudio sobre el túnel de Vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.

Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.

Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.

Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejo ==

En este anejo se recogen los mapas temáticos a los que se ha hecho referencia a lo largo del trabajo y que constituyen los resultados obtenidos a partir del programa QGIS.
[[Archivo:Figura1Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 1. Curvas de nivel cada 10 m.'']]
[[Archivo:Figura6Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 6. Situación del Túnel de Vallvidrera respecto al Parque Natural de la Sierra de Collserola.'']]
[[Archivo:Figura7Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 7. Bandas inalteradas alrededor del Túnel de Vallvidrera.'']]
[[Archivo:Figura8Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 8. Interacción del Túnel de Vallvidrera con los cauces más cercanos.'']]

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Figura8Tunel.jpeg

2015-11-29T21:56:57Z

Isabel Sastre:

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:56:05Z

Isabel Sastre: /* Anejo */

{{ TrabajoSIG | Estudio sobre el túnel de Vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.

Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.

Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.

Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejo ==

En este anejo se recogen los mapas temáticos a los que se ha hecho referencia a lo largo del trabajo y que constituyen los resultados obtenidos a partir del programa QGIS.
[[Archivo:Figura1Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 1. Curvas de nivel cada 10 m.'']]
[[Archivo:Figura6Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 6. Situación del Túnel de Vallvidrera respecto al Parque Natural de la Sierra de Collserola.'']]
[[Archivo:Figura7Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 7. Bandas inalteradas alrededor del Túnel de Vallvidrera.'']]

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Figura7Tunel.jpg

2015-11-29T21:54:19Z

Isabel Sastre:

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:51:33Z

Isabel Sastre: /* Anejo */

{{ TrabajoSIG | Estudio sobre el túnel de Vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.

Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.

Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.

Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejo ==

En este anejo se recogen los mapas temáticos a los que se ha hecho referencia a lo largo del trabajo y que constituyen los resultados obtenidos a partir del programa QGIS.
[[Archivo:Figura1Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 1. Curvas de nivel cada 10 m.'']]
[[Archivo:Figura6Tunel.jpg|500x500px|marco|centro|''Figura 6. Situación del Túnel de Vallvidrera respecto al Parque Natural de la Sierra de Collserola.'']]

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Figura6Tunel.jpg

2015-11-29T21:49:59Z

Isabel Sastre:

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:44:57Z

Isabel Sastre:

Archivo:Figura1Tunel.jpg

2015-11-29T21:16:44Z

Isabel Sastre:

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:11:45Z

Isabel Sastre:

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:09:57Z

Isabel Sastre:

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:07:37Z

Isabel Sastre:

{{ TrabajoSIG | Estudio sobre el túnel de Vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejos ==

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:07:05Z

Isabel Sastre:

{{ TrabajoSIG | Estudio sobre el túnel de Vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejos ==

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:06:50Z

Isabel Sastre:

{{ TrabajoSIG | Estudio sobre el túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejos ==

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T21:06:18Z

Isabel Sastre:

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel Ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

== Metodología ==

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

'''Datos:'''
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

'''Operaciones:'''

Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejos ==

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:46:05Z

Isabel Sastre:

=== Resumen ===

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

=== Introducción y contexto ===

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

=== Metodología ===

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

Datos:
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

Operaciones:
Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

=== Análisis y resultados ===

==== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ====

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

==== Medio ambiente y red hídrica ====

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra. 

'''Antes del inicio de la obra''' 

* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima. 

'''Durante la obra y en vía de explotación''' 

* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido. 

'''Una vez con la obra en explotación''' 

Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

=== Conclusiones ===

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

=== Anejos ===

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:44:57Z

Isabel Sastre:

=== Resumen ===

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

=== Introducción y contexto ===

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

=== Metodología ===

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

Datos:
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

Operaciones:
Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

=== Análisis y resultados ===

==== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ====

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

==== Medio ambiente y red hídrica ====

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra.
''':Antes del inicio de la obra '''
* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima.
''':Durante la obra y en vía de explotación'''
* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido.
''':Una vez con la obra en explotación'''
Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

=== Conclusiones ===

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

=== Anejos ===

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:43:58Z

Isabel Sastre:

=== Resumen ===

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

:Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

:Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

:Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

:Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

=== Introducción y contexto ===

:Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes. 

:Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos. 

:El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel. 

:La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental. 

:Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

=== Metodología ===

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación: 

Datos:
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña. 

Operaciones:
Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

=== Análisis y resultados ===

==== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ====

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

==== Medio ambiente y red hídrica ====

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra.
''':Antes del inicio de la obra '''
* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima.
''':Durante la obra y en vía de explotación'''
* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido.
''':Una vez con la obra en explotación'''
Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

=== Conclusiones ===

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

=== Anejos ===

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:41:50Z

Isabel Sastre:

=== Resumen ===

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

:Línea con sangría
Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

=== Introducción y contexto ===

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes.
Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos.
El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel.
La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental.
Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

=== Metodología ===

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación:
Datos:
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña.
Operaciones:
Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

=== Análisis y resultados ===

==== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ====

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

==== Medio ambiente y red hídrica ====

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra.
''':Antes del inicio de la obra '''
* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima.
''':Durante la obra y en vía de explotación'''
* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido.
''':Una vez con la obra en explotación'''
Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

=== Conclusiones ===

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

=== Anejos ===

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:40:49Z

Isabel Sastre:

=== Resumen ===

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías). 

Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014. 

Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto. 

Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

=== Introducción y contexto ===

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes.
Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos.
El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel.
La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental.
Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

=== Metodología ===

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación:
Datos:
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña.
Operaciones:
Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

=== Análisis y resultados ===

==== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ====

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

==== Medio ambiente y red hídrica ====

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra.
''':Antes del inicio de la obra '''
* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima.
''':Durante la obra y en vía de explotación'''
* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido.
''':Una vez con la obra en explotación'''
Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

=== Conclusiones ===

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

=== Anejos ===

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:39:14Z

Isabel Sastre:

=== Resumen ===

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías).
Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014.
Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto.
Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

=== Introducción y contexto ===

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes.
Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos.
El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel.
La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental.
Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

=== Metodología ===

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación:
Datos:
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña.
Operaciones:
Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

=== Análisis y resultados ===

==== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ====

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

==== Medio ambiente y red hídrica ====

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra.
''':Antes del inicio de la obra '''
* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima.
''':Durante la obra y en vía de explotación'''
* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido.
''':Una vez con la obra en explotación'''
Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

=== Conclusiones ===

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

=== Anejos ===

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:36:16Z

Isabel Sastre:

=== Resumen ===

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías).
Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014.
Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto.
Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

=== Introducción y contexto ===

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes.
Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos.
El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel.
La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental.
Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

=== Metodología ===

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación:
Datos:
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña.
Operaciones:
Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

=== Análisis y resultados ===

==== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ====

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

==== Medio ambiente y red hídrica ====

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra.
:Antes del inicio de la obra
* Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
* Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
* En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima.
:Durante la obra y en vía de explotación
* Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
* Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
* Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido.
:Una vez con la obra en explotación
Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
* Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
* Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
* Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

=== Conclusiones ===

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
* La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
*Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

=== Anejos ===

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:31:10Z

Isabel Sastre:

=== Resumen ===

{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías).
Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014.
Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto.
Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

=== Introducción y contexto ===

Barcelona tiene una población de 1,6 millones de habitantes, situándose como la segunda ciudad más poblada de España. Se encuentra delimitada por varios accidentes geográficos: el mar Mediterráneo al levante, el río Llobregat al oeste y el Parque Natural de la Sierra de Collserola al norte. Debido al peso socioeconómico de la zona, se vio necesaria la conexión con el Vallés, salvando la sierra de Collserolla. Esto ha generado el desarrollo de ciudades al otro lado de la montaña donde se sitúa dicho parque natural, con ciudades relevantes como Terrassa o Sabadell. Previo a la proyección del túnel, para acceder a estos municipios se tenía que rodear la montaña, bien por el valle de Llobregat o por el paso al norte de la Serralada de Mariana. De esta manera, se ha ahorrado mucho tiempo con la construcción del túnel, además de conseguir una mayor disipación del tráfico, por lo que disminuye la congestión en las carreteras colindantes.
Esta construcción, ha beneficiado a distintos sectores: por un lado el sector del turismo, puesto que Barcelona es la ciudad que más turistas acoge de la península, llegando a los 7,5 millones; y por otro lado al sector transporte, ya que al ser una ciudad costera, se trata de un punto de recogida y de difusión de distintos productos.
El túnel de Vallvidrera es un túnel carretero que comunica la ciudad de Barcelona con la comarca del Vallés Occidental por debajo del Parque Natural de la Sierra de Collserola, concretamente con Les Planes. En la figura 1, se recogen las curvas de nivel cada 10 m, pudiéndose observar el cambio en la orografía que se produce justo en la entrada del túnel.
La construcción del nuevo acceso se concentró en una autovía de 12.287 metros de longitud que sirvió de enlace entre el Plá del Barcelonés y la Comarca del Vallés, conectando Vía Augusta y la autopista de Montmeló-Papiol (A-7), muy cerca de Sant Cugat. Fue aquí donde se previó una prolongación para enlazar con la autopista Tarrasa-Manresa, que años más tarde se llevó a cabo. Constó de 5 túneles (Vallvidrera, La Floresta, Can Llobet, Valldoreix y Can Rabella) de longitudes variables, siendo el de Vallvidrera, de 2.495 metros, el túnel más largo y el único de peaje. Fueron inaugurados en el año 1991 aunque los trabajos se iniciaron en 1971. Hubo serios problemas que hicieron paralizar las obras en el año 1974, cuando ya se habían excavado las boquillas por ambos lados y una galería de exploración de 2.300 metros por el trazado más occidental.
Las características de la vía proyectada fueron las de una autovía con velocidad específica de 80 km/h. Se hizo en dos fases, la primera, comprendió el túnel de Vallvidrera de 3 carriles de 3,5 metros de ancho cada uno, resultando una anchura total de 12,50m pudiéndose usar en doble sentido los carriles con uno reversible. Los accesos al túnel por ambas bocas son de dos carriles para cada sentido en los que se previó en su construcción una I.M.D. de 17.000 vehículos siendo el actual I.M.D. de 35.000-50.000 vehículos (datos del 2014).

=== Metodología ===

Los datos empleados y las operaciones realizadas para el trabajo son las que se describen a continuación:
Datos:
* Hojas MTN50 Ráster 0420 y 0421 correspondientes a la provincia de Barcelona.
* Hojas MDT25 correspondientes a las hojas MTN50 estudiadas.
* Memoria del proyecto de la construcción del túnel, con datos acerca del entorno topográfico.
* Capas de información geográfica relacionadas con el agua y la biodiversidad del Ministerio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente.
* Datos de tráfico y valores de la IMD proporcionados por el Ministerio de Fomento y la Generalitat de Cataluña.
Operaciones:
Respecto a las operaciones realizadas, en su mayoría han sido de tipo vectorial.
* Situación y localización exacta del túnel mediante Google Earth.
* Digitalización del túnel.
* Digitalización de los núcleos urbanos que conecta (Barcelona y Les Planes).
* Digitalización del entorno de la Sierra de Collserola.
* Extracción de las curvas de nivel del territorio.
* Buffer para obtener las bandas inalteradas alrededor del túnel como medida de prevención relacionada con el medio ambiente.
* Digitalización de las vías y carreteras, tanto las existentes en el año 1970, como las actuales en el año 2014, proporcionándole un grosor dependiendo del valor de la IMD correspondiente.

== Análisis y resultados ==

=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===

Se comparan los mapas de tráfico de los años 1970 y 2014. Este estudio se ha hecho con el fin de comprobar la importancia que ha tenido la construcción del túnel, comparándose una fecha antes de la construcción del mismo y la actual. Esta comparación se ilustra mediante el desglose de carreteras para una fecha y otra, indicándose según el grosor de la red viaria las I.M.D. de las mismas, y queda recogida en las figuras 2, 3, 4, 5 incluidas en el Anejo.
Se pueden extraer varias ideas. En primer lugar, cabe destacar la mejoría de la red con el paso de los años, debida tanto al crecimiento del número de vehículos existentes, como también al crecimiento de población, ya que el túnel genera una demanda superior del uso y mejora de la red.
Por otro lado, se puede apreciar también el crecimiento, relativo a lo expuesto en el párrafo anterior, de las intensidades con el tiempo. Aunque en la imagen pueda parecer que los grosores son similares, mirando en las tablas los valores de IMD, se puede observar el incrementado del valor en gran medida.
Por último, destacar como la vía que circula a través del túnel concentra la mayoría del tráfico entre Barcelona y San Cugat del Vallés, aligerando así, las demás vías que conectan los núcleos intermedios a estos dos núcleos, como los mismos con la red de autopistas y autovías.

=== Medio ambiente y red hídrica ===

Durante la ejecución del Túnel de Vallvidrera, el respeto por el medio ambiente y la restitución del medio natural fueron aspectos que se tuvieron en gran consideración. Hay que tener en cuenta que gran parte del trazado de las carreteras transcurre por el Parque Natural de la Sierra de Collserola y por el Parque Natural Cadí-Moixeró respectivamente. Estos parques constituyen más de 30.000 hectáreas, convirtiéndolos en los parques metropolitanos más grandes del mundo. En la figura 6 se recoge la digitalización del primero de ellos, que será el que se vea afectado por la construcción del túnel.
A continuación se detallan una serie de acciones que se llevaron a cabo, bien para prevenir o como medida compensatoria, en distintos momentos de la obra.
Antes del inicio de la obra
‣ Se redujo al máximo la zona de intervención, dejando inalteradas unas bandas tan anchas como fueron posibles entre la propia calzada y el límite de la zona ocupada por la autovía, como se puede observar en la figura 7.
‣ Se estudió de manera individual cada desmonte para preservar al máximo las masas de árboles y para conseguir inclinaciones suaves de forma que la regeneración de la vegetación y la existencia de comunidades animales se conservasen y fuese buena.
‣ En cuanto a los cauces, ecosistemas muy ricos pero escasos en toda la sierra, se tomaron máximas medidas para mantener las mejores condiciones naturales posibles. Como se puede observar en la figura 8, la interacción del túnel con dichos cauces es mínima.
Durante la obra y en vía de explotación
‣ Se controlaron de manera muy estricta las talas y desbroces.
‣ Se evitaron todas las operaciones en las áreas y en las épocas de reproducción de la fauna para favorecer su permanencia en la zona.
‣ Todas las zonas que fueron afectadas por las obras se regeneraron y replantaron rehaciendo el bosque original de modo muy cuidadoso, mediante una replantación masiva de más de 80.000 ejemplares de árboles y arbustos propios del Collserola. Además se creó una malla perimetral fijada al suelo que fuerza a los mamíferos a atravesar la autovía por zonas seguras y adecuadas, evitando atropellos. También se instaló una pantalla formada por árboles y arbustos que amortiguan el ruido.
Una vez con la obra en explotación
Se realizaron actividades de conservación y mantenimiento para comprobar el cumplimiento del plan de corrección de impactos ambientales del túnel, que hoy en día se siguen realizando.
‣ Periódicamente se examinan los cauces y los pasos inferiores y desagües, para comprobar el correcto estado y que se mantiene la transitabilidad y la colonización de la fauna autóctona.
‣ Se procede al riego de zonas ajardinadas y masa forestal además de a la reposición natural de la zona.
‣ Existe también un aprovechamiento de los recursos hídricos mediante la central hidroeléctrica que se encuentra en la zona. Ésta central hidroeléctrica ubicada en el Paraje del Río Greixer, se conoce con el nombre de Mauricio Roset. Se encuentra en permanente funcionamiento, generando energía eléctrica gracias al aprovechamiento del agua precedente de las filtraciones del propio túnel y de los recursos hídricos de la zona. Esta mini central esta integrada en el Sistema de Energía del Túnel del Cadí.

== Conclusiones ==

De lo expuesto en este trabajo, se puede concluir que:
• La construcción del túnel de Vallvidrera, como se ha comprobado con la comparación de los mapas temáticos de evolución del tráfico, ha supuesto una notable mejoría en la red de conexiones de Barcelona, descongestionando el resto de carreteras que conectan Barcelona con San Cugat del Vallés.
• Las medidas referidas a evitar o disminuir el impacto medioambiental de dicha obra han sido ejecutadas satisfactoriamente, respetando tanto la biodiversidad de la zona (aspecto que se tuvo en gran consideración) como la red hídrica circundante, con la cual apenas interfiere.

== Anejos ==

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:27:56Z

Isabel Sastre:

Estudio sobre el túnel de Vallvidrera

2015-11-29T17:25:31Z

Isabel Sastre: Página creada con « == Resumen == {{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | :Categoría:SIGAIC_...»

== Resumen ==
{{ TrabajoSIG | Estudio del túnel de vallvidrera | Itziar Fernández Ortega, Miguel ángel García García, Isabel Sastre Furones | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Con este trabajo se pretende estudiar el impacto de la construcción del túnel de Vallvidrera, tanto en lo relativo a evolución del tráfico como a protección del medio ambiente. Para ello, partimos del contexto en el que se encuentra, conectando Barcelona con la comarca del Vallés, que constituyen una zona de gran peso socioeconómico. Su construcción ha beneficiado a diversos sectores; entre ellos, cabe destacar el sector turismo (siendo Barcelona la ciudad que más turistas acoge de la península) y el sector transportes (sobre todo la influencia del hecho de que sea una ciudad costera en el transporte de mercancías).
Por ello, resulta interesante el estudio de la evolución de las conexiones de Barcelona a través del Parque Natural de la Sierra de Collserola, ya que con la construcción del túnel se ha conseguido disminuir significativamente la congestión de las carreteras de los alrededores. Para comprobar esta mejoría, se compararán en varios mapas temáticos (extraídos de QGIS) las I.M.D. de dichas carreteras antes y después de la construcción del túnel, para lo cual se han tomado datos de los años 1970 y 2014.
Además, el respeto por el medio ambiente ha sido fundamental en todo el proceso, ya que el trazado completo del túnel de Vallvidrera atraviesa el Parque Natural de la Sierra de Collserola, por lo que el impacto medioambiental debía ser mínimo. Se comprueban, mediante diversos mapas temáticos, las medidas llevadas a cabo en las distintas fases del proyecto.
Por último, se concluye que la construcción del túnel de Vallvidrera ha supuesto un gran beneficio para la zona en lo relativo a los aspectos estudiados.

== Introducción y contexto ==

== Metodología ==

== Análisis y resultados ==
=== Evolución del tráfico tras la construcción del túnel ===
=== Medio ambiente y red hídrica ===

== Conclusiones ==

== Anejos ==

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-22T11:49:23Z

Isabel Sastre: /* Con las nuevas condiciones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1;b=6;ya=0;yb=10;h=0.1;dt=h/4;
N=(b-a)/h;r=[a:h:b];rr=[a+h:h:b-h];
%Definimos K1
K1=1/h^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
%Definimos K2
K2=1/(2*h)*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0;TF=10;
t=T0:dt:TF;

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Definimos F
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h^2+10/(2*5.9*h);
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
u(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
u(i)=100;
else
u(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,u,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=u'+(dt/2)*(-(K1+K2)*u'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
u=W';
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

[[Archivo:mayorT.jpg|marco|centro|]]
i
[[Archivo:mayorTP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]
Que demuestra lo comentado anteriormente que cuando se supera el intevalo de tiempo se llegan a valores constantes.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for m=1:length(t)-1
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
m
t(m)
}}

Así, obtenemos como resultado '''t=9.9750''' (*), que se muestra por pantalla al ejecutar el programa.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab (*) para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N+1,K);
z=zeros(N+1,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0*p;
z(:,1)=z0';
%Matriz de soluciones
U=0;
%Mallado en el tiempo
t0=0; tf=20;
m=0.1; %Longitud de paso
t=t0:m:tf;
[Mp,Mt]=meshgrid(p,t);
%Bucle
for k=1:K
z(:,k)=(p)'*sqrt(A(k));
J(:,k)=besselj(0,z(:,k));
h=-log((abs(p+0.1))/6.1); %Vector de condiciones iniciales
ck=trapz(p,p'.*h'.*J(:,k))/trapz(p,p'.*J(:,k).*J(:,k)); %Coeficientes de Fourier
U=U+ck*exp(-A(k)*t)'*J(:,k)';
end
%Representación gráfica de la solución obtenida
mesh(Mp,Mt,U)
}}

La gráfica obtenida es la siguiente:

[[Archivo:FourierGrafica.jpg|centro]]

(*) Ha sido modificado para la exposición oral.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-22T11:40:44Z

Isabel Sastre: /* Método del trapecio en el tiempo */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1;b=6;ya=0;yb=10;h=0.1;dt=h/4;
N=(b-a)/h;r=[a:h:b];rr=[a+h:h:b-h];
%Definimos K1
K1=1/h^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
%Definimos K2
K2=1/(2*h)*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0;TF=10;
t=T0:dt:TF;

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Definimos F
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h^2+10/(2*5.9*h);
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
u(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
u(i)=100;
else
u(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,u,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=u'+(dt/2)*(-(K1+K2)*u'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
u=W';
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

[[Archivo:mayorT.jpg|marco|centro|]]
i
[[Archivo:mayorTP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]
Que demuestra lo comentado anteriormente que cuando se supera el intevalo de tiempo se llegan a valores constantes.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab (*) para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N+1,K);
z=zeros(N+1,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0*p;
z(:,1)=z0';
%Matriz de soluciones
U=0;
%Mallado en el tiempo
t0=0; tf=20;
m=0.1; %Longitud de paso
t=t0:m:tf;
[Mp,Mt]=meshgrid(p,t);
%Bucle
for k=1:K
z(:,k)=(p)'*sqrt(A(k));
J(:,k)=besselj(0,z(:,k));
h=-log((abs(p+0.1))/6.1); %Vector de condiciones iniciales
ck=trapz(p,p'.*h'.*J(:,k))/trapz(p,p'.*J(:,k).*J(:,k)); %Coeficientes de Fourier
U=U+ck*exp(-A(k)*t)'*J(:,k)';
end
%Representación gráfica de la solución obtenida
mesh(Mp,Mt,U)
}}

La gráfica obtenida es la siguiente:

[[Archivo:FourierGrafica.jpg|centro]]

(*) Ha sido modificado para la exposición oral.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-22T11:28:38Z

Isabel Sastre: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

[[Archivo:mayorT.jpg|marco|centro|]]
i
[[Archivo:mayorTP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]
Que demuestra lo comentado anteriormente que cuando se supera el intevalo de tiempo se llegan a valores constantes.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab (*) para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N+1,K);
z=zeros(N+1,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0*p;
z(:,1)=z0';
%Matriz de soluciones
U=0;
%Mallado en el tiempo
t0=0; tf=20;
m=0.1; %Longitud de paso
t=t0:m:tf;
[Mp,Mt]=meshgrid(p,t);
%Bucle
for k=1:K
z(:,k)=(p)'*sqrt(A(k));
J(:,k)=besselj(0,z(:,k));
h=-log((abs(p+0.1))/6.1); %Vector de condiciones iniciales
ck=trapz(p,p'.*h'.*J(:,k))/trapz(p,p'.*J(:,k).*J(:,k)); %Coeficientes de Fourier
U=U+ck*exp(-A(k)*t)'*J(:,k)';
end
%Representación gráfica de la solución obtenida
mesh(Mp,Mt,U)
}}

La gráfica obtenida es la siguiente:

[[Archivo:FourierGrafica.jpg|centro]]

(*) Ha sido modificado para la exposición oral.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Archivo:FourierGrafica.jpg

2014-05-22T11:26:53Z

Isabel Sastre:

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-22T11:25:46Z

Isabel Sastre: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

[[Archivo:mayorT.jpg|marco|centro|]]
i
[[Archivo:mayorTP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]
Que demuestra lo comentado anteriormente que cuando se supera el intevalo de tiempo se llegan a valores constantes.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N+1,K);
z=zeros(N+1,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0*p;
z(:,1)=z0';
%Matriz de soluciones
U=0;
%Mallado en el tiempo
t0=0; tf=20;
m=0.1; %Longitud de paso
t=t0:m:tf;
[Mp,Mt]=meshgrid(p,t);
%Bucle
for k=1:K
z(:,k)=(p)'*sqrt(A(k));
J(:,k)=besselj(0,z(:,k));
h=-log((abs(p+0.1))/6.1); %Vector de condiciones iniciales
ck=trapz(p,p'.*h'.*J(:,k))/trapz(p,p'.*J(:,k).*J(:,k)); %Coeficientes de Fourier
U=U+ck*exp(-A(k)*t)'*J(:,k)';
end
%Representación gráfica de la solución obtenida
mesh(Mp,Mt,U)
}}

La gráfica obtenida es la siguiente:

[[Archivo:FourierGraph.jpg|centro]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-22T11:25:17Z

Isabel Sastre: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

[[Archivo:mayorT.jpg|marco|centro|]]
i
[[Archivo:mayorTP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]
Que demuestra lo comentado anteriormente que cuando se supera el intevalo de tiempo se llegan a valores constantes.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N+1,K);
z=zeros(N+1,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0*p;
z(:,1)=z0;
%Matriz de soluciones
U=0;
%Mallado en el tiempo
t0=0; tf=20;
m=0.1; %Longitud de paso
t=t0:m:tf;
[Mp,Mt]=meshgrid(p,t);
%Bucle
for k=1:K
z(:,k)=(p)'*sqrt(A(k));
J(:,k)=besselj(0,z(:,k));
h=-log((abs(p+0.1))/6.1); %Vector de condiciones iniciales
ck=trapz(p,p'.*h'.*J(:,k))/trapz(p,p'.*J(:,k).*J(:,k)); %Coeficientes de Fourier
U=U+ck*exp(-A(k)*t)'*J(:,k)';
end
%Representación gráfica de la solución obtenida
mesh(Mp,Mt,U)
}}

La gráfica obtenida es la siguiente:

[[Archivo:FourierGraph.jpg|centro]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-20T11:29:18Z

Isabel Sastre:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
%Matriz de soluciones
U=0;
%Mallado en el tiempo
t0=0; tf=2;
m=0.1; %Longitud de paso
t=t0:m:tf;
[Mp,Mt]=meshgrid(p,t);
%Bucle
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
h=-log((abs(p(1,i)+0.1))/6.1); %Vector de condiciones iniciales
ck=trapz(p,(p').*h.*J(i,k))/trapz(p,(p').*J(i,k).*J(i,k)); %Coeficientes de Fourier
U=U+ck*exp(-A(k)*Mt).*J(i,k);
end
end
%Representación gráfica de la solución obtenida
mesh(Mp,Mt,U)
}}

La gráfica obtenida es la siguiente:

[[Archivo:FourierGraph.jpg|centro]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-20T11:28:36Z

Isabel Sastre: /* Disco completo */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

{{ beta }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
%Matriz de soluciones
U=0;
%Mallado en el tiempo
t0=0; tf=2;
m=0.1; %Longitud de paso
t=t0:m:tf;
[Mp,Mt]=meshgrid(p,t);
%Bucle
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
h=-log((abs(p(1,i)+0.1))/6.1); %Vector de condiciones iniciales
ck=trapz(p,(p').*h.*J(i,k))/trapz(p,(p').*J(i,k).*J(i,k)); %Coeficientes de Fourier
U=U+ck*exp(-A(k)*Mt).*J(i,k);
end
end
%Representación gráfica de la solución obtenida
mesh(Mp,Mt,U)
}}

La gráfica obtenida es la siguiente:

[[Archivo:FourierGraph.jpg|centro]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Archivo:FourierGraph.jpg

2014-05-20T11:26:50Z

Isabel Sastre:

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-20T11:25:48Z

Isabel Sastre: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

{{ beta }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
%Matriz de soluciones
U=0;
%Mallado en el tiempo
t0=0; tf=2;
m=0.1; %Longitud de paso
t=t0:m:tf;
[Mp,Mt]=meshgrid(p,t);
%Bucle
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
h=-log((abs(p(1,i)+0.1))/6.1); %Vector de condiciones iniciales
ck=trapz(p,(p').*h.*J(i,k))/trapz(p,(p').*J(i,k).*J(i,k)); %Coeficientes de Fourier
U=U+ck*exp(-A(k)*Mt).*J(i,k);
end
end
%Representación gráfica de la solución obtenida
mesh(Mp,Mt,U)
}}

La gráfica obtenida es la siguiente:

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-20T00:06:33Z

Isabel Sastre: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

{{ beta }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>. Ensayamos con soluciones de la forma:: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema:: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa de Matlab para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-20T00:02:12Z

Isabel Sastre: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

{{ beta }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

Por último, aproximaremos la solución de la ecuación del calor utilizando cinco términos del desarrollo de Fourier cuando el dato inicial es <math> u(ρ,0)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>.

Ensayamos con soluciones de la forma: <math> u(ρ,t)= T_k(t)φ_k(ρ)\\ k=1,2,3,4,5 </math>

Debe satisfacer la condición inicial del problema: <math> u(ρ,0)= T_k(0)J_0(ρλ_k^{1/2}) =-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>

De la serie de Fourier de <math> h(ρ)=-log \frac{|ρ+0.1|}{6.1} </math>, obtenemos la expresión de los coeficientes de Fourier que se utilizará para programar en Matlab. En ella, tendremos en cuenta que, al tratarse de funciones de Bessel, las autofuciones son ortogonales respecto al producto escalar.

El programa e Matlab para obtener la solución de la ecuación del calor por el método de Fourier es:

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-19T23:42:59Z

Isabel Sastre: /* Autovalores y autofunciones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

{{ beta }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

[[Archivo:AutofuncionesGraph.jpg]]

=== Resolución por el método de Fourier ===

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Archivo:AutofuncionesGraph.jpg

2014-05-19T23:40:38Z

Isabel Sastre:

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-19T23:39:45Z

Isabel Sastre: /* Autovalores y autofunciones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

{{ beta }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

'''Autovalores'''

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

'''Autofunciones'''

Para obtener la gráfica con las primeras cinco autofunciones, utilizaremos la función '''besselj''' de Matlab. '''J=besselj(nu,Z)''' computa la función de Bessel de orden nu (en nuestro caso, nu=0) para cada elemento del vector Z (en nuestro caso, el vector de <math> ρλ^{1/2} </math>). Programando en Matlab, obtenemos los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
%Datos del problema
clear all
a=0; b=6;
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36; %Vector de autovalores
K=5; %Número de autovalores y autofunciones buscadas
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(b-a)/h;
%Vector de radios
p=a:h:b;
%Matriz de ceros de la función de Bessel y matriz de autofunciones
J=zeros(N,K);
z=zeros(N,K);
%Inicialización de las matrices
j0=besselj(0,0);
J(:,1)=j0;
z0=0;
z(:,1)=z0;
for k=1:K
for i=1:N
z(i,k)=(p(1,i))'*sqrt(A(k));
J(i,k)=besselj(0,z(i,k));
end
end
%Representación gráfica de las autofunciones J
plot (J)
}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-19T23:25:43Z

Isabel Sastre: /* Disco completo */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

{{ beta }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===

Una vez demostrado que las autofunciones de '''(P)''' son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, para calcular los cinco primeros autovalores utilizaremos la relación anterior e implementaremos un pequeño cálculo vectorial en Matlab.

Tomamos como condición <math> φ_k (6)=0 </math>, obtenemos la relación <math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math> y utilizamos los valores de los cinco primeros ceros de la función de Bessel dados. Así, tenemos:

{{matlab|codigo=
%Cálculo vectorial para la obtención de los 5 primeros autovalores de (P)
r0=[2.4048,5.5201,8.6537,11.7915,14.9309]; %Vector de ceros de la función de Bessel
A=r0.^2/36 %Vector de autovalores
}}

Los resultados que obtenemos son:
'''<math> λ_1 = 0.1606, λ_2=0.8464, λ_3=2.0802, λ_4=3.8622, λ_5=6.1925 </math>'''

=== Resolución por el método de Fourier ===

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-19T23:15:52Z

Isabel Sastre: /* Disco completo */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo. Grupo 6B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa }}

{{ beta }}

== Introducción ==
Tenemos una placa plana en forma de anillo. Vamos a trabajar en coordenadas polares en el plano y sabemos que la placa está comprendida entre los radios ρ=1 y ρ=6 y su temperatura inicial viene definida por la función u(ρ,0):

<math>\left\{\begin{matrix}100(ρ-1) ……… ρ ∈ [1, 2] \\100 ……… ρ ∈ [2, 5]\\90(6-ρ)+10 ……… ρ ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.</math>

Si colocamos en los extremos interior ρ=1 y exterior ρ=6 objetos a una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente, es decir, las condiciones de frontera serán:

<math>\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.</math>

<math> u_t-\Delta u= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ}-\frac{1 }{ρ^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}= u_t- \frac{\partial^2 u }{\partial ρ^2} -\frac{1 }{ρ} \frac{\partial u }{\partial ρ} = 0 </math>

Así la ecuación queda de la siguiente manera:

<math> u_t-\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_(ρρ) = 0 </math>

Suponiendo que la temperatura u de la placa únicamente depende de la coordenada radial y del tiempo, es decir, u=u(ρ,t) y sabiendo que satisface la ecuación del calor <math> u_t-\Delta u=0</math> , vamos a plantear el sistema de ecuaciones que satisface u(ρ,t) en coordenadas polares:

== Resolución por el método de diferencias finitas ==
=== Método del trapecio en el tiempo===

Tomamos los pasos de discretización del espacio <math> \Delta ρ=0.1</math> y del tiempo <math> \Delta t=(\Delta ρ/4)</math> en t ∈ [0; 10]

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; h=0.1;
ya=0; yb=10;
N=(b-a)/h; dt=h/4;
r=[a:h:b]'; rr=[a+h:h:b-h]';
%Definimos K1
K1=diag(ones(1,N-1)*2)+diag(ones(1,N-2)*(-1),-1)+diag(ones(1,N-2)*(-1),1);
K1=K1*(1/h^2);
%Definimos K2
K2=diag(ones(N-2,1)*(-1),1)+diag(ones(N-2,1),-1);
K2=(1/h^2)*K2;
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;

T0=0; TF=10;
t=T0

%Definimos la malla
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Defino F:
F=zeros(1,N-1)
F(end)=F(end)+10/(h^2)+10/(2*5.9*h); %(donde (b-h)=5.9)
%Condición inicial
for i=1:length(rr)
if rr(i)<2
U(i)=100*(rr(i)-1);
elseif rr(i)<5
U(i)=100;
else
U(i)=90*(6-rr(i))+10;
end
end
sol(1,:)=[0,U,10];
%Método del trapecio
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt/2)*(-(K1+K2)*U'+F');
W=eye(N-1)+(dt/2)*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W'
end
%Resultados gráficos
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imagentrapecio.jpg|marco|centro|Superficie temperatura en el eje radial ρ∈[1,6] en el intervalo de tiempo]]

Como se puede observar en la gráfica, la temperatura va disminuyendo hasta alcanzar valores casi constantes a lo largo del tiempo. En el centro (del eje radial) se ve un descenso más brusco, debido a que la temperatura inicial es más alta, y en los extremos se mantiene el mismo valor. Por lo tanto, existe un enfriamiento de la placa, sobre todo en la parte central, hasta unos valores constantes de temperatura: 0 en ρ=1, 10 en ρ=6 y entre 0-10 en ρ∈(1,6).

'''Temperatura en ρ=3'''

Partiendo del programa anterior, queremos ahora dibujar el comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales '''ρ=3''' en una gráfica 2D temperatura/tiempo. Implementamos el siguiente código Matlab y obtenemos dicha gráfica.

{{matlab|codigo=
%Cálculo del punto N que corresponde a ρ=3
N3=(3-a)/h+1;
%Dibujo
plot(sol(:,N3),t)
}}

[[Archivo:imagenP3.jpg|marco|centro|Temperatura en los puntos de la corona ρ=3]]

Con esto, se demuestra lo dicho en el anterior apartado, pero se puede ver de forma mucho más clara para ρ=3 que existe un enfriamiento en la corona, llegando a una temperatura entre los 0 y 10ºC.

=== Método de Euler explícito en el tiempo ===

Puesto que los datos son los mismos que los usados en el método de diferencias finitas con el método del trapecio en el tiempo, únicamente incluimos en este apartado la implementación del nuevo método utilizado.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler explícito
for m=1:length(t)-1
Z=U'+(dt)*(-(K1+K2)*U'+F');
sol(m+1,:)=[0,Z',10];
U=Z';
end
surf(R,T,sol)
}}

[[Archivo:imageneuler.jpg|marco|centro|]]

En esta gráfica resultante se puede observar que, como el método es explícito, el sistema es inestable. Esto significa que el paso tomado es grande, por eso tiene los límites muy elevados.

=== Método de Euler implícito en el tiempo ===

Análogamente, en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito, obviando los datos (que continúan siendo los mismos).

{{matlab|codigo=
%Método de Euler implícito:
for m=1:length(t)-1
Z=U'+dt*(F');
W=eye(N-1)+dt*(K1+K2);
W=W\Z;
sol(m+1,:)=[0,W',10]
U=W';
end
}}

[[Archivo:imageneimp.jpg|marco|centro|]]

Obtenemos una superficie muy parecida a la que salía con el método del trapecio.

=== Método de Euler modificado en el tiempo ===

Al utilizar el método de Euler modificado en el tiempo, observamos que éste es inestable, al igual que el método de Euler explícito.

{{matlab|codigo=
%Método de Euler modificado:
for m=1:length(t)-1
M1=-(K1+K2)*U'+F';
M2=-(K1+K2)*(U'+M1*dt)+F';
W=U'+(dt/2)*(M1+M2);
sol(m+1,:)=[0,W',10];
U=W';
end
}}

[[Archivo:imagenemod.jpg|marco|centro|]]

== Estado estacionario ==
=== Con las mismas condiciones ===

El sistema a resolver para tiempos grandes queda de la siguiente manera:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1 }{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u(6)=10\end{matrix}\right.</math>

El paso que se toma es de 0.1 y 0.01. Como se trata de un problema de contorno, lo resolvereos implementando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
%Datos
a=1; b=6; ya=0; yb=10;
h=[0.1,0.01];
color='rg'
%Para obtener ambas soluciones en la misma gráfica
hold on
for i=1:2
N=(b-a)/h(i); r=[a:h(i):b]';rr=[a+h(i):h(i):b-h(i)]';
K1=1/h(i)^2*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
K2=1/(2*h(i))*( diag(ones(N-2,1),-1)-diag(ones(N-2,1),1) );
M=diag(1./rr);
K2=M*K2;
F=zeros(1,N-1);
F(end)=F(end)+10/h(i)^2+10/(2*5.9*h(i));
u=(K1+K2)\F';
uu=[ya;u;yb];
plot(r,uu,color(i));
end
hold off
}}

[[Archivo:tgrande.jpg|marco|centro|Distribución de la temperatura para tiempos grandes con ambos pasos]]

Como podemos observar, casi no se aprecia la diferencia entre hacerlo con h=0.1 y h=0.01. Además, demuestra que da igual que sean tiempos grandes porque para nuestra placa se obtendrá un valor dentro del intervalo de tiempo dado y, como se había dicho antes, se llegan a valores constantes de temperatura.

[[Archivo:tgrandezoom.jpg|marco|centro|Detalle de la imagen anterior: rojo(0.1) y verde(0.01)]]

En el zoom podemos comprobar como dicha diferencia es mínima.

=== Con las nuevas condiciones ===

Cuando colocamos en la frontera exterior de la placa una pieza aislante, no se produce pérdida de calor en dicho extremo, por lo que el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo.

Una vez alcanzado el estado estacionario, el problema que modeliza la temperatura de la placa es:

<math>\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u(1)=0 ; u_ρ(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Para obtener el valor estacionario de la temperatura de a placa, resolvemos el problema aplicando el cambio de variable '''<math> u_ρ = v </math>'''.

Así, tenemos que resolver una ecuación de variables separables cuya solución será: '''<math> u_ρ = v = \frac{c_1}{ρ} </math>'''

Integrando, obtenemos '''<math> u(ρ)=c_1·log ρ + c_2 </math>'''.

Finalmente, obligando al cumplimiento de las condiciones, obtenemos el valor de las constantes:
<math>\left\{\begin{matrix} u(1)=0 => c_2=0 \\ u_ρ(6)=0 => c_1=0\end{matrix}\right.</math>

Por lo tanto, '''<math> u(ρ)=0 </math>'''.

Ahora comprobamos cuánto tarda la temperatura en alcanzar el estado estacionario con un error del 5%. Para ello, utilizamos un método cualquiera de los progamados anteriormente y añadimos al bucle del tiempo las siguientes líneas:

{{matlab|codigo=
for ...
...
if (max(abs(sol)))<0.05
break
end
end
}}

Así, obtenemos como resultado '''t= '''.

== Disco completo ==

Ahora consideraremos que la placa ocupa todo el disco '''ρ<6'''. La solución sólo dependerá de ρ y t, y la condición de frontera será '''<math> u(6,t)=0 </math>'''.

=== Problema de autovalores ===

Para obtener el problema de autovalores asociado '''(PA)''', partimos del problema '''(P)''', cuyas condiciones se imponen teniendo en cuenta la condición de frontera dada y que las soluciones tienen que ser difereciables en '''ρ=0'''. Debido a este último dato, sabemos que en ese punto tiene que existir tangente horizontal (pendiente nula) y obtenemos, así, la condición '''<math> u_ρ(0)=0 </math>'''.

El problema '''(P)''' inicial es:

<math>\left\{\begin{matrix} u_t -\frac{1}{ρ} u_ρ - u_{ρρ} = 0 \\ u_ρ(0)=0 ; u(6)=0\end{matrix}\right.</math>

Aplicando el método de separación de variables, ya que nuestro problema es homogéneo en las condiciones de frontera, buscamos que '''<math> u(ρ,t) </math>''' sea el producto de dos funciones que dependan respectivamente de una de las variables. Así: '''<math> u(ρ,t)=R(ρ)T(t) </math>'''.

Derivando, sustituyendo en '''(P)''' y dividiendo entre '''<math> R(ρ)T(t) </math>''', llegamos al problema de autovalores asociado '''(PA)''':

<math>\left\{\begin{matrix} R''(ρ) +\frac{R'(ρ)}{ρ} = -λR(ρ) \\ R'(0)=0 ; R(6)=0\end{matrix}\right.</math>

=== Relación con las funciones de Bessel ===

La función de Bessel de primera especie, <math> J_0(r) </math>, es la solución de la ecuación diferencial de Bessel:

<math>\left\{\begin{matrix} r^2 φ''(r) + r φ'(r) + r^2 φ(r) = 0 \\ φ(0)=1 ; φ'(0)=0\end{matrix}\right.</math>

Para demostrar que las autofunciones del problema anterior son de la forma <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math>, siendo λ el autovalor correspondiente, nos basamos en las similitudes entre a ecuación diferencial de Bessel y nuestro problema de autovalores. <math> R = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> tiene que satisfacer '''(PA)'''. Esto se comprueba sin más que derivar aplicando la regla de la cadena y sustituir en el problema de autovalores, lo que nos proporciona una ecuación diferencial de Bessel de la cual '''R''' ya es solución.

Si <math> φ_k = J_0 (ρλ^{1/2}) </math> son las autofunciones del problema que nos ocupa, siendo λ los autovalores, los ceros de la función de Bessel se relacionan con los autovalores de la siguiente forma:
<math> φ_k (6)=0 \\ J_0 (6·λ^{1/2})=0 </math>

Esto sucede si <math> 6·λ^{1/2} </math> es un cero de la función de Bessel. Por tanto, si llamamos '''<math> r_0 </math>''' a las raíces de la función de Bessel, obtenemos la relación:
<math> r_0 = 6·λ^{1/2} </math>

=== Autovalores y autofunciones ===
=== Resolución por el método de Fourier ===

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-19T22:58:05Z

Isabel Sastre: /* Relación con las funciones de Bessel */

Ecuación del calor en una placa en forma de anillo

2014-05-19T22:55:44Z

Isabel Sastre: /* Disco completo */