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La cicloide G-23

2024-12-09T16:08:53Z

Inesdevicente: /* Visualización de la curva */

{{ TrabajoED |La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
Daniel Sanz Lavera 
Inés de Vicente López 
José Luís Leines Almeida 
María Vázquez Subires 
Wenhao Xu 
}}
 
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
 
 
'''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)</math>'''
 
 
Donde R es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado.

Se toma R=2.

==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautócrona. 
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
 
 
 
 

== Vector velocidad y aceleración de la cicloide==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t. Nos indica la dirección y rapidez de movimiento sobre la curva en cada instante.
 
* <math> γ'(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 

===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t. Nos indica cómo cambia la velocidad, tanto en magnitud como en dirección.
* <math> γ''(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

== Longitud de la cicloide ==
La longitud se obtiene al realizar la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo. Para la resolución numérica se ha utilizado los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática. 
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <math> = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m </math> 
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes

figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end

end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
}}
 
 
 
 

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.

Su fórmula es:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
 
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
== Circunferencia Osculatriz ==
La circunferencia osculatriz es el círculo que mejor se ajusta a una curva en un punto dado. Es tangente a la cicloide.

 Para hallar esa circunferencia osculatriz, primero se halla el radio y luego hallar el punto en el que se encuentra dicha circunferencia. El radio de de la circunferencia osculatriz es el inverso de la curvatura en valor absoluto

 Esta circunferencia tiene el mismo radio de curvatura que la curva en ese punto, por lo que se utiliza para entender la curvatura de una línea. Por ejemplo, en una curva con una mayor curvatura, la circunferencia osculatriz será más pequeña (radio más corto), mientras que una curva menos pronunciada, la circunferencia será más grande (radio más largo).
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(4cost-4)}{(8-8cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}=> R(2)= 6.73 </math>

== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==

 
La cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de
un círculo que rueda sin deslizarse sobre una recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|500px|thumb|centro|Figura. Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
 

La cicloide tiene varias propiedad físicas en las que destacan:
 
'''1. La curva braquistócrona''' describe el movimiento de un cuerpo para llegar más rápido de un punto a otro, en el punto inicial se comienza con velocidad cero y se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Es una cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.
[[Archivo:Braquistócrona.gif|500px|thumb|centro|Figura. Curva braquistócrona]]
 
 
'''2. La curva tautócrona''' es la trayectoria en la que un cuerpo, independientemente de su punto de inicio, llega al mismo tiempo al fondo bajo la acción de la gravedad. Es decir, si se deja caer un objeto desde diferentes alturas sobre la curva, todos llegan al mismo tiempo al mismo punto, sin importar su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|500px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
 
En el ámbito de la ingeniería civil tiene aplicaciones en diseño de
arcos y puentes debido a su capacidad de distribución de cargas de
manera eficiente, optimizando la resistencia estructural y
minimizando el material necesario.

Una aplicación interesante son los pavimentos, donde los perfiles
cicloidales pueden inspirar diseños de superficies que mejora la
fricción y el drenaje del agua.
 Ejemplo de uso en la ingeniería civil: Puente de la Paz (Tiflis, Georgia).
[[Archivo:Cicloide3.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Paz]]

La estructura de sus curvas se basa en los principios del cicloide y así
optimiza su resistencia.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Superficie reglada ==
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
 
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
 
 
 

==Masa de la superficie==

<math>Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
 
 
 
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
'''La masa aproximada de la superficie es 7,1109'''

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La cicloide G-23

2024-12-09T16:06:31Z

Inesdevicente: /* Circunferencia Osculatriz */

{{ TrabajoED |La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
Daniel Sanz Lavera 
Inés de Vicente López 
José Luís Leines Almeida 
María Vázquez Subires 
Wenhao Xu 
}}
 
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
 
 
'''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)</math>'''
 
 
Donde R es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado.

Se toma R=2.

==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona. 
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
 
 
 
 

== Vector velocidad y aceleración de la cicloide==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t. Nos indica la dirección y rapidez de movimiento sobre la curva en cada instante.
 
* <math> γ'(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 

===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t. Nos indica cómo cambia la velocidad, tanto en magnitud como en dirección.
* <math> γ''(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

== Longitud de la cicloide ==
La longitud se obtiene al realizar la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo. Para la resolución numérica se ha utilizado los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática. 
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <math> = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m </math> 
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes

figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end

end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
}}
 
 
 
 

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.

Su fórmula es:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
 
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
== Circunferencia Osculatriz ==
La circunferencia osculatriz es el círculo que mejor se ajusta a una curva en un punto dado. Es tangente a la cicloide.

 Para hallar esa circunferencia osculatriz, primero se halla el radio y luego hallar el punto en el que se encuentra dicha circunferencia. El radio de de la circunferencia osculatriz es el inverso de la curvatura en valor absoluto

 Esta circunferencia tiene el mismo radio de curvatura que la curva en ese punto, por lo que se utiliza para entender la curvatura de una línea. Por ejemplo, en una curva con una mayor curvatura, la circunferencia osculatriz será más pequeña (radio más corto), mientras que una curva menos pronunciada, la circunferencia será más grande (radio más largo).
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(4cost-4)}{(8-8cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}=> R(2)= 6.73 </math>

== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==

 
La cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de
un círculo que rueda sin deslizarse sobre una recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|500px|thumb|centro|Figura. Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
 

La cicloide tiene varias propiedad físicas en las que destacan:
 
'''1. La curva braquistócrona''' describe el movimiento de un cuerpo para llegar más rápido de un punto a otro, en el punto inicial se comienza con velocidad cero y se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Es una cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.
[[Archivo:Braquistócrona.gif|500px|thumb|centro|Figura. Curva braquistócrona]]
 
 
'''2. La curva tautócrona''' es la trayectoria en la que un cuerpo, independientemente de su punto de inicio, llega al mismo tiempo al fondo bajo la acción de la gravedad. Es decir, si se deja caer un objeto desde diferentes alturas sobre la curva, todos llegan al mismo tiempo al mismo punto, sin importar su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|500px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
 
En el ámbito de la ingeniería civil tiene aplicaciones en diseño de
arcos y puentes debido a su capacidad de distribución de cargas de
manera eficiente, optimizando la resistencia estructural y
minimizando el material necesario.

Una aplicación interesante son los pavimentos, donde los perfiles
cicloidales pueden inspirar diseños de superficies que mejora la
fricción y el drenaje del agua.
 Ejemplo de uso en la ingeniería civil: Puente de la Paz (Tiflis, Georgia).
[[Archivo:Cicloide3.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Paz]]

La estructura de sus curvas se basa en los principios del cicloide y así
optimiza su resistencia.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Superficie reglada ==
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
 
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
 
 
 

==Masa de la superficie==

<math>Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
 
 
 
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
'''La masa aproximada de la superficie es 7,1109'''

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La cicloide G-23

2024-12-09T16:05:33Z

Inesdevicente: /* Circunferencia Osculatriz */

{{ TrabajoED |La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
Daniel Sanz Lavera 
Inés de Vicente López 
José Luís Leines Almeida 
María Vázquez Subires 
Wenhao Xu 
}}
 
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
 
 
'''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)</math>'''
 
 
Donde R es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado.

Se toma R=2.

==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona. 
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
 
 
 
 

== Vector velocidad y aceleración de la cicloide==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t. Nos indica la dirección y rapidez de movimiento sobre la curva en cada instante.
 
* <math> γ'(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 

===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t. Nos indica cómo cambia la velocidad, tanto en magnitud como en dirección.
* <math> γ''(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

== Longitud de la cicloide ==
La longitud se obtiene al realizar la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo. Para la resolución numérica se ha utilizado los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática. 
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <math> = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m </math> 
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes

figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end

end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
}}
 
 
 
 

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.

Su fórmula es:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
 
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
== Circunferencia Osculatriz ==
La circunferencia osculatriz es el círculo que mejor se ajusta a una curva en un punto dado. Es tangente a la cicloide.

 Para hallar esa circunferencia osculatriz, primero se halla el radio y luego hallar el punto en el que se encuentra dicha circunferencia. El radio de de la circunferencia osculatriz es el inverso de la curvatura en valor absoluto

 Esta circunferencia tiene el mismo radio de curvatura que la curva en ese punto, por lo que se utiliza para entender la curvatura de una línea. Por ejemplo, en una curva con una mayor curvatura, la circunferencia osculariz será máspequeña (radio más corto), mientras que una curva menos pronunciada, la circunferencia será más grande (radio más largo).
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(4cost-4)}{(8-8cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}=> R(2)= 6.73 </math>

== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==

 
La cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de
un círculo que rueda sin deslizarse sobre una recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|500px|thumb|centro|Figura. Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
 

La cicloide tiene varias propiedad físicas en las que destacan:
 
'''1. La curva braquistócrona''' describe el movimiento de un cuerpo para llegar más rápido de un punto a otro, en el punto inicial se comienza con velocidad cero y se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Es una cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.
[[Archivo:Braquistócrona.gif|500px|thumb|centro|Figura. Curva braquistócrona]]
 
 
'''2. La curva tautócrona''' es la trayectoria en la que un cuerpo, independientemente de su punto de inicio, llega al mismo tiempo al fondo bajo la acción de la gravedad. Es decir, si se deja caer un objeto desde diferentes alturas sobre la curva, todos llegan al mismo tiempo al mismo punto, sin importar su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|500px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
 
En el ámbito de la ingeniería civil tiene aplicaciones en diseño de
arcos y puentes debido a su capacidad de distribución de cargas de
manera eficiente, optimizando la resistencia estructural y
minimizando el material necesario.

Una aplicación interesante son los pavimentos, donde los perfiles
cicloidales pueden inspirar diseños de superficies que mejora la
fricción y el drenaje del agua.
 Ejemplo de uso en la ingeniería civil: Puente de la Paz (Tiflis, Georgia).
[[Archivo:Cicloide3.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Paz]]

La estructura de sus curvas se basa en los principios del cicloide y así
optimiza su resistencia.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Superficie reglada ==
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
 
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
 
 
 

==Masa de la superficie==

<math>Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
 
 
 
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
'''La masa aproximada de la superficie es 7,1109'''

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La cicloide G-23

2024-12-09T15:59:56Z

Inesdevicente: /* Circunferencia Osculatriz */

{{ TrabajoED |La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
Daniel Sanz Lavera 
Inés de Vicente López 
José Luís Leines Almeida 
María Vázquez Subires 
Wenhao Xu 
}}
 
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
 
 
'''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)</math>'''
 
 
Donde R es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado.

Se toma R=2.

==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona. 
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
 
 
 
 

== Vector velocidad y aceleración de la cicloide==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t. Nos indica la dirección y rapidez de movimiento sobre la curva en cada instante.
 
* <math> γ'(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 

===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t. Nos indica cómo cambia la velocidad, tanto en magnitud como en dirección.
* <math> γ''(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

== Longitud de la cicloide ==
La longitud se obtiene al realizar la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo. Para la resolución numérica se ha utilizado los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática. 
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <math> = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m </math> 
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes

figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end

end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
}}
 
 
 
 

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.

Su fórmula es:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
 
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
== Circunferencia Osculatriz ==
La circunferencia osculatriz es el círculo que mejor se ajusta a una curva en un punto dado. Es tangente a la cicloide.

 Para hallar esa circunferencia osculatriz, primero se halla el radio y luego hallar el punto en el que se encuentra dicha circunferencia. El radio de de la circunferencia osculatriz es el inverso de la curvatura en valor absoluto

 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(4cost-4)}{(8-8cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}=> R(2)= 6.73 </math>

== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==

 
La cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de
un círculo que rueda sin deslizarse sobre una recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|500px|thumb|centro|Figura. Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
 

La cicloide tiene varias propiedad físicas en las que destacan:
 
'''1. La curva braquistócrona''' describe el movimiento de un cuerpo para llegar más rápido de un punto a otro, en el punto inicial se comienza con velocidad cero y se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Es una cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.
[[Archivo:Braquistócrona.gif|500px|thumb|centro|Figura. Curva braquistócrona]]
 
 
'''2. La curva tautócrona''' es la trayectoria en la que un cuerpo, independientemente de su punto de inicio, llega al mismo tiempo al fondo bajo la acción de la gravedad. Es decir, si se deja caer un objeto desde diferentes alturas sobre la curva, todos llegan al mismo tiempo al mismo punto, sin importar su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|500px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
 
En el ámbito de la ingeniería civil tiene aplicaciones en diseño de
arcos y puentes debido a su capacidad de distribución de cargas de
manera eficiente, optimizando la resistencia estructural y
minimizando el material necesario.

Una aplicación interesante son los pavimentos, donde los perfiles
cicloidales pueden inspirar diseños de superficies que mejora la
fricción y el drenaje del agua.
 Ejemplo de uso en la ingeniería civil: Puente de la Paz (Tiflis, Georgia).
[[Archivo:Cicloide3.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Paz]]

La estructura de sus curvas se basa en los principios del cicloide y así
optimiza su resistencia.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Superficie reglada ==
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
 
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
 
 
 

==Masa de la superficie==

<math>Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
 
 
 
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
'''La masa aproximada de la superficie es 7,1109'''

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

T.C.V2

2024-12-07T22:36:35Z

Inesdevicente: /* Información la sobre curva y relación con la ingeniería */

https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cycloid_f.gif
 
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
 
 
'''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)</math>'''

Se toma R=2.

==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona. 
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
 
 
 
 

== Vector velocidad y aceleración de la cicloide==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t. Nos indica la dirección y rapidez de movimiento sobre la curva en cada instante.
 
* <math> γ'(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 

===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t. Nos indica cómo cambia la velocidad, tanto en magnitud como en dirección.
* <math> γ''(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

== Longitud de la cicloide ==
En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica. 
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <math> = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m </math> 
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes

figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end

end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
}}
 
 
 
 

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.

Su fórmula es:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
 
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
== Circunferencia Osculatriz ==

Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) = </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}= </math>
== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==
[[Archivo:Cycloid_f.gif|mini|300px|Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
 Una cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de
un círculo que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.

Su ecuación paramétrica se describe como x=r(t-sent), y=r(1-cost);
donde r es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado.

La cicloide describe el movimiento más rápido en un plano bajo
gravedad (braquistócrona), es decir, el camino más rápido entre dos
puntos a diferentes alturas y el movimiento más suave (tautócrona).

La curva braquistócrona es la curva del descenso más rápido,es la
curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un
cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que
debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo
punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y
suponiendo que no existe fricción.Solo depende de las condiciones
iniciales y de la posición final, no del tiempo uniforme.Es una
cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.

La tautócrona es la curva para la cual el tiempo tomado por un
objeto que desliza sin rozamiento en gravedad uniforme hasta su
punto más bajo es independiente de su punto de partida (asegura el
mismo tiempo de recorrido sin importar el inicio).
 En el ámbito de la ingeniería civil tiene aplicaciones en diseño de
arcos y puentes debido a su capacidad de distribución de cargas de
manera eficiente, optimizando la resistencia estructural y
minimizando el material necesario.

Una aplicación interesante son los pavimentos, donde los perfiles
cicloidales pueden inspirar diseños de superficies que mejora la
fricción y el drenaje del agua.
 Ejemplo de uso en la ingeniería civil: Puente de la Paz (Tiflis, Georgia).

La estructura de sus curvas se basa en los principios del cicloide y así
optimiza su resistencia.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Superficie reglada ==
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
 
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
 
 
 

==Masa de la superficie==

<math>Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
 
 
 
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
'''La masa aproximada de la superficie es 7,1109'''

T.C.V2

2024-12-07T22:30:12Z

Inesdevicente: /* Información la sobre curva y relación con la ingeniería */

https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cycloid_f.gif
 
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
 
 
'''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)</math>'''

Se toma R=2.

==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona. 
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
 
 
 
 

== Vectores velocidad y aceleración de la cicloide==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 

===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

== Longitud de la cicloide ==
En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica. 
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <math> = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m </math> 
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes

figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end

end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
}}
 
 
 
 

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.

Su fórmula es:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
 
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
== Circunferencia Osculatriz ==

Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) = </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}= </math>
== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==
[[Archivo:Cycloid_f.gif|mini|300px|Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
 Una cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de
un círculo que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.

Su ecuación paramétrica se describe como x=r(t-sent), y=r(1-cost);
donde r es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado.

La cicloide describe el movimiento más rápido en un plano bajo
gravedad (braquistócrona), es decir, el camino más rápido entre dos
puntos a diferentes alturas y el movimiento más suave (tautócrona).

La curva braquistócrona es la curva del descenso más rápido,es la
curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un
cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que
debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo
punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y
suponiendo que no existe fricción.Solo depende de las condiciones
iniciales y de la posición final, no del tiempo uniforme.Es una
cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.

La tautócrona es la curva para la cual el tiempo tomado por un
objeto que desliza sin rozamiento en gravedad uniforme hasta su
punto más bajo es independiente de su punto de partida (asegura el
mismo tiempo de recorrido sin importar el inicio).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Superficie reglada ==
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
 
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
 
 
 

==Masa de la superficie==

<math>Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
 
 
 
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
'''La masa aproximada de la superficie es 7,1109'''

T.C.V2

2024-12-07T22:28:35Z

Inesdevicente: /* Información la sobre curva y relación con la ingeniería */

https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cycloid_f.gif
 
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
 
 
'''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)</math>'''

Se toma R=2.

==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona. 
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
 
 
 
 

== Vectores velocidad y aceleración de la cicloide==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 

===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

== Longitud de la cicloide ==
En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica. 
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <math> = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m </math> 
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes

figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end

end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
}}
 
 
 
 

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.

Su fórmula es:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
 
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
== Circunferencia Osculatriz ==

Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) = </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}= </math>
== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==
[[Archivo:Cycloid_f.gif|mini|300px|Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
 Una cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de
un círculo que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
Su ecuación paramétrica se describe como x=r(t-sent), y=r(1-cost);
donde r es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado.
La cicloide describe el movimiento más rápido en un plano bajo
gravedad (braquistócrona), es decir, el camino más rápido entre dos
puntos a diferentes alturas y el movimiento más suave (tautócrona).
La curva braquistócrona es la curva del descenso más rápido,es la
curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un
cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que
debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo
punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y
suponiendo que no existe fricción.Solo depende de las condiciones
iniciales y de la posición final, no del tiempo uniforme. Es una
cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.
La tautócrona es la curva para la cual el tiempo tomado por un
objeto que desliza sin rozamiento en gravedad uniforme hasta su
punto más bajo es independiente de su punto de partida (asegura el
mismo tiempo de recorrido sin importar el inicio).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Superficie reglada ==
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
 
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
 
 
 

==Masa de la superficie==

<math>Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
 
 
 
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
'''La masa aproximada de la superficie es 7,1109'''

T.C.V2

2024-12-07T22:27:59Z

Inesdevicente: /* Información la sobre curva y relación con la ingeniería */

https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cycloid_f.gif
 
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
 
 
'''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)</math>'''

Se toma R=2.

==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona. 
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
 
 
 
 

== Vectores velocidad y aceleración de la cicloide==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 

===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

== Longitud de la cicloide ==
En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica. 
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <math> = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m </math> 
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes

figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end

end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
 
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
}}
 
 
 
 

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.

Su fórmula es:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
 
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
== Circunferencia Osculatriz ==

Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) = </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}= </math>
== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==
[[Archivo:Cycloid_f.gif|mini|300px|Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de
un círculo que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
Su ecuación paramétrica se describe como x=r(t-sent), y=r(1-cost);
donde r es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado.
La cicloide describe el movimiento más rápido en un plano bajo
gravedad (braquistócrona), es decir, el camino más rápido entre dos
puntos a diferentes alturas y el movimiento más suave (tautócrona).
La curva braquistócrona es la curva del descenso más rápido,es la
curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un
cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que
debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo
punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y
suponiendo que no existe fricción.Solo depende de las condiciones
iniciales y de la posición final, no del tiempo uniforme. Es una
cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.
La tautócrona es la curva para la cual el tiempo tomado por un
objeto que desliza sin rozamiento en gravedad uniforme hasta su
punto más bajo es independiente de su punto de partida (asegura el
mismo tiempo de recorrido sin importar el inicio).

== Superficie reglada ==
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
 
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
 
 
 

==Masa de la superficie==

<math>Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
 
 
 
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
'''La masa aproximada de la superficie es 7,1109'''

T.C.V2

2024-12-03T12:44:36Z

Inesdevicente: /* Información la sobre curva y relación con la ingeniería */

holaa gente https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cycloid_f.gif
Los españoles muy españoles y MUCHO españoles'''Texto en negrita'''
==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;">
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona. 
[[Archivo:Ciclo.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,100); % Definición del vector t
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Trayectoría de la cicloide

figure % Dibujo de la curva propuesta
plot(X,Y,"g","LineWidth",2)
axis([0,max(X),0,max(Y)])
title('Cicloide')
xlabel('X')
ylabel('Y',"Rotation",0)
}}
== Velocidad, aceleración de la cicloide junto a los vectores normales y tangente==
== Longitud de la cicloide ==
== Curvatura y centro de curvatura ==

== Información la sobre curva y relación con la ingeniería ==
[[Archivo:Cycloid_f.gif|mini|300px|Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]

== Superficie reglada ==

== Masa de la superficie ==

Archivo:Cycloid f.gif

2024-12-03T12:36:57Z

Inesdevicente: