MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-14T11:35:00Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

== Ley de Fourier ==
Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.3738, 1.4535) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.534, 1.2833) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6F-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(-0.3482, 1.9694), P2(-0.1168, 1.9965) y P3(0.1160, 1.9966) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7F.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z las cuales se podrán observar en la Figura 8. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \cdot \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\cdot \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\cdot \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\cdot \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \cdot \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material):

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8F-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{u} </math>, en este caso el plano ortogonal a ρ. En la Figura 9 se dibujaran solo las que no sean nulas.

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9F.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:Apartado10F.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

Sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
Sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
Sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
SigVM=sqrt((Sig1-Sig2).^2 +(Sig2-Sig3).^2 +(Sig3-Sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,SigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%Representación gráfica
%Antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%Después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%Comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}
==== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(exp(U-1)).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}

==== Cálculo del Rotacional ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs(((1+U)./2.*U).*(exp(U-1).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotación son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(exp(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(exp(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(exp(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal al eje Ro
Sigma=(1/2).*((U-1)./U).*(exp(U-1)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%Apartado 10
clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%Procedemos a sacar los autovalores
Sig1=(3.*exp(U-1)).*cos(2.*V-(pi/2))./U;
Sig2=(7.*exp(U-1)).*cos(2.*V-(pi/2))./U;
Sig3=(3.*exp(U-1)).*cos(2.*V-(pi/2))./U;
%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula.
SigVM=sqrt((Sig1-Sig2).^2 +(Sig2-Sig3).^2 +(Sig3-Sig1).^2/2);
%Creamos la grafica de la superficie
surf(X,Y,SigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Tension de Von Mises')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T16:25:07Z

Ignacio Velasco: /* Códigos Matlab */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

== Ley de Fourier ==
Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.3738, 1.4535) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.534, 1.2833) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6F-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(1.3738, 1.4535) y P2(-1.534, 1.2833) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7F-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z las cuales se podrán observar en la Figura 8. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material):

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8F-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{u} </math>, en este caso el plano ortogonal a ρ. Dibujaremos solo las que no sean nulas.

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9F.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:Apartado10F-31.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

Sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
Sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
Sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
SigVM=sqrt((Sig1-Sig2).^2 +(Sig2-Sig3).^2 +(Sig3-Sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,SigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T16:09:33Z

Ignacio Velasco: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

== Ley de Fourier ==
Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material):

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{u} </math>, en este caso el plano ortogonal a ρ. Dibujaremos solo las que no sean nulas.

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:Apartado10F-31.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

Sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
Sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
Sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
SigVM=sqrt((Sig1-Sig2).^2 +(Sig2-Sig3).^2 +(Sig3-Sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,SigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T16:08:44Z

Ignacio Velasco: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

== Ley de Fourier ==
Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material):

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{u} </math>, en este caso el plano ortogonal a ρ. Dibujaremos solo las que no sean nulas.

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ ( . Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:Apartado10F-31.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

Sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
Sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
Sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
SigVM=sqrt((Sig1-Sig2).^2 +(Sig2-Sig3).^2 +(Sig3-Sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,SigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:54:09Z

Ignacio Velasco: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material):

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{u} </math>, en este caso el plano ortogonal a ρ. Dibujaremos solo las que no sean nulas.

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

Sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
Sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
Sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
SigVM=sqrt((Sig1-Sig2).^2 +(Sig2-Sig3).^2 +(Sig3-Sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,SigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:53:23Z

Ignacio Velasco: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material):

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{u} </math>, en este caso el plano ortogonal a ρ. Dibujaremos solo las que no sean nulas.

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:52:39Z

Ignacio Velasco: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material):

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~i, en este caso el plano ortogonal a ρ. Dibujaremos solo las que no sean nulas.

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:50:48Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material):

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~i, en este caso el plano ortogonal a ρ

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:50:23Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math> (coeficientes de Lamé, dependen de las propiedades elásticas de cada material)

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~i, en este caso el plano ortogonal a ρ

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:49:05Z

Ignacio Velasco: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~i, en este caso el plano ortogonal a ρ

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:48:04Z

Ignacio Velasco: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==

En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~i, en este caso el plano ortogonal a

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:44:02Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}

A continuación, se adjunta la representación gráfica de dichas tensiones:

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:42:36Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Una vez calculado el gradiente, ya podemos obtener el valor de <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Ahora que ya tenemos <math>\epsilon (\vec{u}) </math> calculado, podemos por fin calcular <math>\sigma (\vec{u}) </math>:

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Para acabar, las '''tensiones normales a cada dirección''' son:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:37:28Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

Empezamos por el gradiente del campo vectorial:

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:36:52Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*}. A continuación se muestra el proceso para calcularlo:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:34:58Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

Para calcular el tensor de tensiones, <math>\sigma (\vec{u}) </math>, primero necesitamos calcular el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>. Este es igual a la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:32:12Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, el cual en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede escribir como se especifica más abajo:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:30:10Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de tensiones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z. Para ello, calcularemos el tensor de tensiones <math>\sigma (\vec{u}) </math>, . el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>:

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:14:41Z

Ignacio Velasco: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>,

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T15:11:39Z

Ignacio Velasco: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

El resultado del rotacional es un vector, pero después de hacer su valor absoluto, nos da un escalar:

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>,

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T14:57:37Z

Ignacio Velasco: /* Gradiente */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas (<math>\nabla T </math>) ,es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>,

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T14:56:40Z

Ignacio Velasco: /* Gradiente */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente del campo de temperaturas <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>,

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T09:51:55Z

Ignacio Velasco: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>,

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho}-\left( \overrightarrow{e_\rho} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{e_\rho} \right) \overrightarrow{e_\rho} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \\ 0
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
0 \\ 0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) | \\
&=&\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1} | \sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) |.
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-13T09:44:40Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>,

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\lambda \nabla \cdot \overrightarrow{u}\mathbf{1}+2\mu \epsilon
\\
&=&\lambda \left( \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right) \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +2\mu \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

Para <math> \lambda =\mu =1 </math>

\begin{eqnarray*}
\sigma &=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 2\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{2}%
\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 3\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
& 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

Tensiones normales a cada dirección:

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{e_\rho}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\rho} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_\theta}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_\theta} &=&3\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \\
\overrightarrow{e_z}\cdot \sigma \cdot \overrightarrow{e_z} &=&\frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) .
\end{eqnarray*}%

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:51:47Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de ρ, θ y z el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>,

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:47:36Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos las tensiones normales en la dirección de <math> \rho ,\theta \right </math>, el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>,

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:45:02Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos el tensor de deformaciones, <math>\epsilon (\vec{u}) </math>

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:44:25Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos el tensor de deformaciones, <math>\epsilon </math>

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:44:06Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos el tensor de deformaciones, *<math>\epsilon </math>

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:42:59Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:42:18Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\epsilon \left( \overrightarrow{u}\right) &=&\left( \nabla \overrightarrow{u%
}+\nabla \overrightarrow{u}^{t}\right) /2 \\
&=&\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{%
\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & 0 \\
\frac{1}{4}\frac{\rho -1}{\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) &
0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:41:24Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:41:13Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==

En este apartado, calcularemos

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:40:44Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==
*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T22:18:27Z

Ignacio Velasco: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez }}
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.

Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.

== Sección de anillo ==

Empezaremos delimitando la sección sobre la que se va a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano <math>y≥|x|/2 </math>, esto se podrá observar en la Figura 1. En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: <math>\rho</math> y <math>\theta </math> que se encontraran entre los valores: <math>1 \leq \rho \leq 2</math> y <math>0,464 \leq \theta \leq 2,678</math>. La sección del anillo se puede observar con una z genérica, la placa plana se puede en dos dimensiones, en los ejes X e Y que tienen esta delimitada en los intervalos [-3,3]x[-1,3] y en tres dimensiones donde el eje Z no esta delimitada.

[[Archivo:Apartado1-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 1]]

== Temperatura ==

La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: <math>T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x) </math>, para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así:

\begin{eqnarray*}
%x = ρcosθ
%y = ρsenθ
%z = z
x &=& \rho \cos \theta \\
y &=& \rho \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray*}

De tal forma que la temperatura se definiese <math> T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )</math>. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC

[[Archivo:Apartado2-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 2]]

=== Gradiente ===

Después de se procederá a calcular el gradiente <math>,\nabla T, </math> del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial que se podrá ver en la Figura 3

\begin{eqnarray*}
\nabla T (\rho ,\theta ), \ \
&=&\left \{ \left(- 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( -2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado2b-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 3]]

=== Ley de Fourier ===

Para finalizar este tema se calcular la energía calorífica mediante la ley de Fournier, donde k=1 y que se podrá apreciar en la Figura 4. En este caso, Q es la transferencia de energía en forma de calor y k la constante de conductividad térmica del material del cual está hecha la placa.

\begin{eqnarray*}
\bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta )\\
&=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\
&&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin
\theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta
)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado3-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 4]]

== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ==

El campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} representa los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada. A continuación, en la Figura 5 se representará el solido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\bar u\ </math> en t=0:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) =\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}_{\theta }.
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Camposapartado5.jpg|400px|marco|centro|Figura 5]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=2/10;
u=1:h:2;
v=linspace(0.464,2.678,20);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=-1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
FY=1/2.*exp(U-1).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

=== Divergencia ===

Después, se calculará la divergencia del campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} (la cual es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento) y se representa en la Figura 6 para t = 0. Los puntos en los que la divergencia de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} es máxima, mínima y nula son: el P1 (0,0) es el punto donde la divergencia es nulo, el P2 (1.1955, 1.60337) es el punto de la divergencia es máxima y el P3(-1.3744, 1.453) es el punto de la divergencia es mínima.

\begin{eqnarray*}
\nabla \cdot \overrightarrow{u} &=&\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial }{%
\partial \rho }\left( \rho u_{\rho }\right) +\frac{\partial }{\partial
\theta }\left( u_{\theta }\right) +\frac{\partial }{\partial z}\left( \rho
u_{z}\right) \right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0+\frac{1}{2}e^{\rho -1}2\cos \left( 2\theta -\pi
/2\right) +0\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado6-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 6]]

=== Rotacional ===

Por último, calcularemos el valor absoluto del rotacional de \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} que se podra observar el resultado en la Figura 7. Podemos concluir diciendo que los siguientes puntos P1(0,0), P2(1.3738, 1.4535) y P3(-1.5055, 0.9866) son los que sufren un mayor rotacional.

\begin{eqnarray*}
|\nabla \times \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta ,z\right) | &=&\frac{1}{%
\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}%
\end{array}%
\right \vert =\frac{1}{\rho }\left \vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{e}_{\rho } & \rho \overrightarrow{e}_{\theta } &
\overrightarrow{e}_{z} \\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } &
\frac{\partial }{\partial z} \\
0 & \rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0%
\end{array}%
\right \vert \\
&=&\frac{1}{\rho }\left( 0\cdot \overrightarrow{e}_{\rho }+0\cdot \rho
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{\partial }{\partial \rho }\left \{ \rho
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \} \cdot
\overrightarrow{e}_{z}\right) \\
&=&\frac{1}{\rho }\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) +\rho \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{z} \\
&=&\frac{1+\rho }{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \cdot
\overrightarrow{e}_{z}
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado7-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 7]]

== Tensor de deformaciones ==
*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>
*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>

*<math>\overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right)
=\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \overrightarrow{e}%
_{\theta }</math>

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=&\left( \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\ \ \vdots \ \ \frac{1}{\rho }%
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\ \ \vdots \ \ \frac{%
\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\ \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\rho } \\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } \otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{\theta } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{\theta }\\
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho }\otimes \overrightarrow{e}_{z }& \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta }\otimes \overrightarrow{e}_{z } & \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} \otimes \overrightarrow{e}_{z }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{e}_{i}}{\partial x_{j}} &=&\Gamma _{ij}^{k}\cdot
\overrightarrow{e}_{k}=\Gamma _{ij}^{1}\cdot \overrightarrow{e}_{1}+\Gamma
_{ij}^{2}\cdot \overrightarrow{e}_{2}+\Gamma _{ij}^{3}\cdot \overrightarrow{e%
}_{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho } &=&\left \{ \frac{\partial
}{\partial \rho }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right)
\right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left(
2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \rho }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{21}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ 0\right \} \\
&=&\left \{ \frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta } &=&\left \{ \frac{%
\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \right \} \overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin
\left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{ \frac{\partial }{\partial \theta }%
\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow \Gamma _{22}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \left \{ -\overrightarrow{e}_{\rho }\right \} \\
&=&\left \{ e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) \right \}
\overrightarrow{e}_{\theta }-\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi
/2\right) \overrightarrow{e}_{\rho }
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z} &=&0\overrightarrow{e}%
_{\theta }+\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{e}_{\theta }\right \} \rightarrow
\Gamma _{23}^{k}\cdot \overrightarrow{e}_{k} \\
&=&\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) \left \{
0\right \} \\
&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\nabla \overrightarrow{u}\left( \rho ,\theta \right) &=& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}\sin \left( 2\theta -\pi /2\right) & \frac{1}{\rho }%
e^{\rho -1}\cos \left( 2\theta -\pi /2\right) & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}

[[Archivo:Apartado8c-31.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8]]

== Tensiones tangenciales ==
*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|</math>

[[Archivo:Apartado9-31.jpg|400px|marco|centro|Figura 9]]

== Tensión de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>
En la Figura 10 se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección ρ: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= \frac{ 7e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= \frac{ 3e^{ρ-1} \cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} </math>

[[Archivo:VonMoses.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 10]]

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

== Códigos Matlab ==
En este apartado se podrá ver los códigos en Matlab que se han utilizado a lo largo del estudio para representar gráficamente los apartados propuestos.
=== Representación Gráfica de la superficie ===
{{matlab|codigo=
%Apartado 1
%Con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
%h es el paso de nestra malla
h=2/10;
%ro y tt, son los dos vectores, que usaremos para definir una malla en la que representar nuestra figura
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

%Con Meshgrid, creamos una malla, que ocupa un "área" definida por los vectores ro y tt
[U,V]=meshgrid(ro,tt);

%Es importante, saber en que tipo de coordenadas trabajamos, por ello y para más comodidad, vamos a pasar de cilíndricas a cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Representamos el mallado de la placa en dos y tres dimensiones

%Nos abre una ventana, nueva, en este caso la número 1
figure(1);

%Nos permite abrir subventanas dentro de una misma ventana
subplot(1,2,1);

%Representa gráficamente la malla de la superficie definida por las matrices X, Y y Z, en este caso, Z es una matriz nula,
mesh(X,Y,0*X);
%Nota; Una solución más elegante a 0*X, es usar "zeros(size(X))", que da el mismo resultado

%Nos da una perspectiva predefinida, en este caso la vista superior de la pieza
view(2);

%Nos limita la longitud de los ejes, a X=[-3,3] e Y=[-1,3]
axis([-3,3,-1,3]);

%Le da titulo al gráfico
title('Mallado');

%Le da titulo a los ejes del gráfico
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Aqui simplemente se repiten los comandos que ya he explicado con anterioridad, con el extra de zlabel que tambien da titulo al eje Z y view(3) que nos da una vista "ortogonal"
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
}}

=== Representación gráfica de las curvas de nivel de la Temperatura y cálculo del punto máximo ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 2
%AL igual que antes, con estos dos comandos, nos aseguramos de no tener ningún valor guardado en la memoria, ni representado en la interfaz gráfica, no volveré a comentarlo
clear;
clc;

%Volvemos a parametrizar la superficie, creando un mallado y pasando las coordenadas de cilindricas a cartesianas
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);

[U,V]=meshgrid(ro,tt);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Nuestra función de Temperatura viene dada por T(x,y)=cos((y-3)^2+x)
T=cos((Y-3).^2+X);
%Estamos guardando los puntos de la temperatura en una matriz T, que luego usaremos para graficarla
%Nota; Se puede apreciar el uso de un punto antes del exponencial, esto se debe a que se está elevando una matriz y no un número normal, hay que indicarlo a Matlab

%Representamos la temperatura y las curvas de nivel

figure(1)
subplot(1,2,1);
%Este nuevo comando, es muy similar a "mesh", pero nos representa una superficie, y no una malla de la misma
surf(X,Y,T);

%Esta linea, nos genera una leyenda del mapa de colores usado para colorear la superficie
colorbar

title('Temperatura en placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

view(2);
subplot(1,2,2);

%Contour sirve para representar las curvas de nivel, en este caso, el "30" determina la densidad de dichas lineas
contour(X,Y,T,30);

colorbar
title('Curvas de nivel de la Temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis ([-3,3,-1,3]);

%El comando max busca el valor más alto de un vector, en este caso, al ser T una matriz, hay que ejecutarlo 2 veces seguidas
Tmax=max(max(T));

%Con este comando, mostramos en la consola el valor hallado
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n',Tmax);
}}

==== Representación Gráfica del gradiente, sobre el campo de Temperatura ====

{{matlab|codigo=
%Apartado 2, 2ªparte

clear;clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Volvemos a definir T
T=cos((Y-3).^2+X);

%Definimos las dos componentes del gradiente de T(X,Y), para luego poder representar el campo escalar
Tx=-sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=-sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%Hold on, sirve para que Matlab no borre los datos de la ventana, si no que vuelva escribir sobre ella
hold on

%Quiver representa el campo escalar dado por el gradiente de T
quiver(X,Y,Tx,Ty);

axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Hold off, sirve para cerrar el hold on, no es técnicamente necesario en este caso, pero denota una falta de elegancia
hold off
}}

=== Representación Gráfica de la Ley de Fourier ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Definimos la Ley de Fourier donde la energia calorifica es Q=-k∇T

%Al igual que antes, definifmos la Temperatura y su gradiente, solo que esta vez, hemos multiplicado Tx y Ty por -k, siendo k=1
T=cos((Y-3).^2+X);
Tx=sin((Y-3).^2+X)*1;
Ty=sin((Y-3).^2+X).*(2*Y-6);

%Representamos el gradiente del campo vactorial
%A partir de aquí solo definimos como queremos que quede el gráfico
figure(1)
mesh (X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Ley de Fourier');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
===Apartado 4 (No era necesario hacerlo)===
=== Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 5
clear;clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Creamos las funciones para poder representarla gráficamente
Fx=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
Fy=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);

%Visualización de la placa antes de la deformación
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,0*X);
view(2);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Antes de la deformación')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Visualización despues de la deformación
subplot(1,3,2);
Ux=X+Fx;
Uy=Y+Fy;
surf(Ux,Uy,0*Ux);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title('Después de la deformación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparacion del antes y después de la deformación
subplot(1,3,3);
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(Ux,Uy,'b');
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3]);
title ('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold off
}}
=== Representación Gráfica de la Divergencia en t=0 y cálculo de sus máximos, mínimos y valores nulos ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 6
clear;
clc;
%Parametrización de la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos los valores de la divergencia, en t =0
Div=(log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./U;

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Div);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos la divergencia maxima y minima
MaxDiv=max(Div);
MinDiv=min(Div);
%El comando find, nos permite hallar los valores que busquemos en una matriz
NullDiv= find(Div == 0);

fprintf('Los puntos maximos de la divergencia son: %1.5f \n',MaxDiv);
fprintf('Los puntos minimos de la divergencia son: %1.5f \n',MinDiv);
fprintf('Los puntos nulos de la divergencia son: %1.5f \n',NullDiv);
}}
=== Cálculo del Rotacional ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 7
clear;
clc;

%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Calculamos el valor de el rotacional
Rot=abs((log(U).*cos(2.*V-(pi/2)))./(2.*U));

%Creamos la gráfica
surf(X,Y,Rot);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('Rotacional del campo vectorial')
colorbar
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Encontramos los puntos que sufren mayor rotación
MaxRot=max(Rot);
fprintf('Los puntos que sufren mayor rotacion son: %1.5f \n',MaxRot);
}}

=== Representación Gráfica de los tensores de deformaciones ===
{{matlab|codigo=
%Aparatdo 8
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones normales en la dirección del eje Ro, para ello calculamos los valores de Sigma1
Sigma1=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,Sigma1);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Ro')

%Tensiones normales en la dirección del eje Tt, para ello calculamos los valores de Sigma2
Sigma2=(3./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,Sigma2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar;
view(2);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Tt')

%Tensiones normales en la dirección del eje Z, para ello calculamos los valores de Sigma3
Sigma3=(1./(U)).*(log(U-1)).*cos((2.*V)-(pi/2));
subplot(1,3,3);
surf(X,Y,Sigma3);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z');
}}

=== Tensiones tangenciales ===

{{matlab|codigo=
%Apartado 9
clear;
clc;
%Parametrizamos la superficie
h=2/10;
ro=1:h:2;
tt=linspace(0.464,2.678,20);
%Creamos el mallado y pasamos a coordenas cilindricas
[U,V]=meshgrid(ro,tt);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%-----------------------------------
%Hasta aquí nada nuevo

%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ~e_ro
Sigma=(1/4).*(((U-1)./U).^2).*(log(2.*U-2)).*(sin((2.*V)-(pi/2))).^2;
surf(X,Y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Tensiones tangenciales');
}}

=== Tensión de Von Mises ===

{{matlab|codigo=

%parametrización
paso = 0.2;
u = 1:paso:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

%Creamos la matriz de paso mediante la parametrizacion de U y V
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
Z = zeros(size(X));
clf

sig1 = 3.*exp(U-1)./U.*cos(2.*V-pi/2);
sig2= 7./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);
sig3= 3./U.*exp(U-1).*cos(2.*V-pi/2);

%Calculamos la tension de Von Mises usando la formula, teniendo en cuenta que los parametros son vectores.
sigVM=sqrt((sig1-sig2).^2 +(sig2-sig3).^2 +(sig3-sig1).^2/2)

%El termino se usa en la matriz como valor en cada punto conocido de la superficie.
surf(X,Y,sigVM)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tension de Von Mises')
}}

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-12T21:28:14Z

Ignacio Velasco: /* Ley de Fourier */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T22:39:32Z

Ignacio Velasco: /* Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T22:36:53Z

Ignacio Velasco:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T22:35:30Z

Ignacio Velasco: /* Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T22:34:53Z

Ignacio Velasco: /* Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T22:34:06Z

Ignacio Velasco: /* Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T22:24:12Z

Ignacio Velasco: /* Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T22:23:19Z

Ignacio Velasco: /* Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T22:21:58Z

Ignacio Velasco: /* Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T19:35:10Z

Ignacio Velasco: /* Campo vectorial \begin{eqnarray*} \bar u \end{eqnarray*} */

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T18:36:47Z

Ignacio Velasco:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T18:30:03Z

Ignacio Velasco:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T18:28:08Z

Ignacio Velasco:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T17:59:06Z

Ignacio Velasco:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)

2023-12-11T17:57:10Z

Ignacio Velasco: Se ha deshecho la revisión 59596 de Ignacio Velasco (disc.)