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Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T16:44:51Z

Ignacio Olalquiaga:

{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López

Juan Junguito Bravo

Cristina Martínez Navarro

Ignacio Olalquiaga Varela| [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Este trabajo se centra en el estudio de ubicación de un aeropuerto que satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid. El primer paso en el proceso seguido consistió en definir un área de actuación. En el ámbito aeronáutico la zona de influencia terrestre de un aeropuerto traspasa la superficie de la ciudad a la que se quiere apoyar, en este caso Madrid, por lo que se tomó la decisión de limitar la zona de influencia a la Comunidad de Madrid y provincias limítrofes. Una vez definido dicho ámbito se procedió a establecer los condicionantes que influyen en el emplazamiento de un aeropuerto.

Así pues se establecieron variables que nos permitieron hacer un primer descarte de las zonas consideradas como no factibles. En este paso se descartaron aquellas zonas con desarrollo urbano, zonas protegidas por motivos medioambientales y por último las zonas de servidumbre aeronáutica. Esta última variable tiene en cuenta la zona de influencia de un aeropuerto o aeródromo, asegurándonos pues que nuestro posible aeropuerto estaba lo suficientemente alejado. Tras realizar un primer descarte, se han considerado aquellas consideradas como no idóneas por motivos de sismicidad.

Por último, con las zonas restantes se ha optado por realizar una ponderación según variables que tuvieran en cuenta el impacto acústico e impacto visual, climatología (se ha enfocado a la visibilidad), impacto medioambiental y las conexiones con infraestructuras de transporte. Adicionalmente se ha tenido en cuenta la servidumbre aeronáutica para descartar posibles soluciones.

Los resultados obtenidos son satisfactorios y congruentes con lo que se da en la realidad. Así pues, según los coeficientes de ponderación usados, la mayor puntuación se da en la provincia de Toledo, descartando otras posibles soluciones según las servidumbres aeronáuticas. Futuras mejoras que se podrían hacer al estudio son la posibilidad de incluir el aspecto geológico en la ponderación. En este estudio actual ha sido imposible considerar dicho factor, a pesar de que estaba dentro de la metodología propuesta. Esto se ha debido a la imposibilidad de obtener un mapa geológico digitalizado, ya fuera vectorialmente o en ráster.

== Introducción ==
La Comunidad de Madrid cuenta con uno de los mejores aeropuertos internacionales, el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas. En el año 2014, este aeropuerto registro un tráfico total de 41,815.261 pasajeros lo que supuso un incremento del 5,3% con respecto al dato del curso anterior, lo que le permitió mantener la sexta plaza en el ranking de aeropuertos con más tráfico de Europa. La creciente demanda de pasajeros hará que en un futuro se rebase la capacidad del aeropuerto de Barajas, por lo que este estudio tiene como objetivo ubicar la localización de un posible segundo aeropuerto que apoye las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid.

Este segundo aeropuerto, compatible con el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas, tiene el objetivo de apoyar el tráfico aeronáutico de Madrid, trasladando gradualmente el tráfico aeronáutico a dicho aeropuerto cuando los niveles de congestión de Barajas lo hagan aconsejable. Así pues se lograría en un futuro evitar problemas asociados a la congestión aeronáutica y cuellos de botella. Una capacidad aeroportuaria aumentada mejoraría la calidad del servicio aeroportuario de Madrid, además de impulsar el desarrollo económico y social de dicha Comunidad.

A pesar de que el objetivo de este estudio no es el estudio de la necesidad de un segundo aeropuerto, puesto que el estudio se ha realizado bajo la hipótesis de que en un futuro será necesario disponer de un segundo aeropuerto, si hemos considerado aconsejable manejar unos datos orientativos sobre el plazo temporal en el que se ubica dicha necesidad. Se estima que tras la ampliación del aeropuerto de Barajas de 2007, éste tiene una capacidad para 70 millones de pasajeros año, lo que según las previsiones del Plan Director de Barajas, resulta en una capacidad válida hasta el 2020. Dado que el plazo es inferior a 5 años, se ha considerado un plazo de estudio válido en el que las variables de estudio serán semejables a aquellas en 2020 y durante la vida útil del aeropuerto.

== Metodología ==
Se describen a continuación los datos empleados y las operaciones realizadas.
===Datos empleados===
En cuanto a los datos manejados, éstos han sido:

• Mapa de peligrosidad sísmica de España, del Instituto Geográfico Nacional. Según dicho mapa, el ámbito de estudio se encontraba se clasificaba bajo el mismo riesgo de sismicidad, por lo que no se ha descartado ninguna de las zonas.

• Mapa de Ríos, de la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala E=1:100.000).

• Mapa de España de Autopistas, de la BTN 100.

• Mapa de España de Autovías, de la BTN 100.

• Mapa de metro de Madrid

• Mapa de España de AVE, cercanías y ferrocarriles.

• Mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100.

• Mapa de España de Zonas Protegidas, de la BTN 100.

• Mapa de Servidumbres aeronáuticas de Madrid.

===Operaciones realizadas===
Respecto a las operaciones realizadas, éstas han sido, en su mayoría, de tipo vectorial. Se pueden citar:

• Buffer, para establecer unas determinadas distancias desde las zonas citadas anteriormente (ríos, municipios, etc.) en las que sea posible o no la localización de la central.

• Grafo de rutas: Se han calculado líneas isócronas (aquellas que enlazan puntos desde los cuales se accede al aeropuerto en el mismo tiempo)

• Unión

• Intersección.

• Diferencia: Usado para recortar los buffers con los límites provinciales.

• GRASS: Algebra de mapas sencillas, y herramientas de conversión de archivos vectoriales a ráster usando valores de atributo. Se tanteó la posibilidad de realizar un estudio de visibilidad a través de la herramienta r.los, pero los resultados no han sido los esperados por lo que se descartó su uso. Se ha usado también la herramienta de null to, para poder así sumar distintos mapas ráster y tener en cuenta la presencia de los pixeles que no se hubieran sido clasificados en el mapa.

• Reclasificación (Reclass)

== Resultados ==
Para la localización de la ubicación idónea de este aeropuerto se considerarán de manera conjunta una serie de parámetros que se consideran determinantes para un aeropuerto. A continuación se ilustran dichos parámetros, haciéndose hincapié en los resultados intermedios obtenidos y en los resultados finales.

===Estudio de accesibilidad por carretera===

Los datos descargados diferenciaban entre carreteras de distinto tipo. Se consideró que las carreteras de mayor importancia para acceso a un aeropuerto serían autovías y autopistas. Así pues, se realiza una unión entre ambas capas, y se procedió a realizar un buffer a 2km, 5km y 10km de distancia. Aquellas que se encuentren a una distancia de 2km recibirán mejor puntuación por su mayor accesibilidad. Esta puntuación se ha determinado como 3 para 2km, 2 para 5km y 1 para 10km, aunque luego se le aplicará el factor de ponderación correspondiente.

[[Archivo:Buffercarreteras.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de consideración de las zonas protegidas===
[[Archivo:Zonas_Protegidas.png|500px|thumb|center|Zonas Protegidas del entorno]]
Con el fin de evaluar el impacto ambiental del segundo aeropuerto, se ha evaluado la distancia de éste a las zonas protegidas por motivos medioambientales. Así pues se ha realizado un buffer de 2km, 5km y 10km. Las zonas situadas a 2km recibirán una nota negativa en la ponderación (puntuación -3) puesto que su impacto será mayor que la situada a una distancia de 10km (puntuación de -1). Se observa a continuación el resultado intermedio.

[[Archivo:Bufferprotegidas.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de la proximidad a otros aeropuertos y otras zonas descartadas===
Al igual que hemos considerado que construir un aeropuerto en una zona de protección ambiental era imposible, también se deben descartar zonas de suelo urbano y zonas en las que ya se encuentre ubicados aeropuertos. Para esto se ha descargado el mapa de aeropuertos y se ha realizado un buffer de 15km para evitar así posibles interferencias con dichos aeropuertos. Uniendo vectorialmente este buffer a las zonas de suelo urbano, se obtiene el mapa de zonas descartadas.

[[Archivo:Descartadas.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de la Climatología ===
Ante la dificultad para obtener datos espaciales referentes a la climatología, se ha decidido que el factor que la visibilidad es la presencia de niebla. Dicha niebla se evaluará teniendo en cuenta la proximidad a ríos, motivo por el cual se ha aplicado un buffer de 2km a los ríos, considerándose dichas zonas como las susceptibles a formación de niebla debido a la evaporación del agua, que pudieran afectar a la visibilidad del aeropuerto. Para evitar esta situación, se ha decidido descartar estas zonas.

[[Archivo:Bufferrios.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de los núcleos de población===
Se hizo uso del mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100, que se recortó a continuación con el límite provincial. Para conocer la proximidad de la posible ubicación del aeropuerto a estos núcleos y así determinar que ubicación es de mayor utilidad para la población se han realizado tres buffers de 5km, 10km y 15km. La puntuación para las zonas que se encontrarán en el buffer de 5km ha sido de 3, 2 para el buffer de 10km y por último 1 para el buffer de 15km.

[[Archivo:Buffernucleos.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de pendientes===
Para el análisis de pendientes se partió del MDT200; un modelo digital del terreno ráster proporcionado por el IGN con un paso de malla de 200 m, es decir, cada píxel del ráster corresponde a un área cuadrada de 200 m de lado, y su valor se traduce en la altitud media de ésta. El análisis es a nivel provincial por lo que consideramos que esta precisión (200 m en longitud y 400m2 en superficies) es suficiente.

Tomando el MDT citado, se realizó un mapa de pendientes con el programa QGIS; este mapa se consigue gracias a un comando incluido en el programa, englobado en las herramientas para archivos ráster, en el apartado de análisis del terreno. Esta herramienta calcula el ángulo de la pendiente de cada celda en grados (basado en primer orden estimación derivada).Se obtiene un mapa con celdas de 200m de lado cuyo valor coincide con la pendiente media en grados de dicha celda.

Este mapa se añade a un directorio de mapas creado en GRASS y se procede a reclasificarlo según el siguiente criterio; si la pendiente es menor del 1% se le asignará el valor 3, si la pendiente se encuentra entre el 1% y el 5% se le asignará a esa celda el valor 2, si la pendiente se encuentra entre el 5% y el 10%, se le asignará a esa celda el valor 1 y si la pendiente supera el 10%, 0. Se debe tener en cuenta que el valor del mapa de pendientes está en grados sexagesimales; para saber la pendiente en estas unidades se debe hacer el cambio de unidades; grados=atan(pendiente en tanto por uno).

[[Archivo:Pendientes.jpg|500px|thumb|center]][[Archivo:Leyendapendientes.jpg|175px|thumb|center]]

===Estudio de proximidad a red principal de transportes===
Una conexión adecuada al resto de la red de transporte es clave para conseguir la intermodalidad de los distintos modos de transporte, que en este aportado se intentó estudiar. Será inevitable la construcción de infraestructuras que permitan conectar el nuevo aeropuerto a la red, sin embargo, es obvio que cuanto más próxima sea la ubicación del mismo, menores serán estas infraestructuras a construir. Para considerar este parámetro se establecerán “buffers” de distinta dimensión en torno a la red principal de carreteras y ferrocarril, la red de AVE y la red de Metro de Madrid.

[[Archivo:Ffcc.png|500px|thumb|center]]

Para la red de carreteras y ferrocarril se establecerán tres niveles. El primero, “muy bueno” corresponde a una distancia de menos de 2km, para la cual las infraestructuras necesarias para la conexión del aeropuerto son mínimas. El siguiente nivel, “bueno” corresponde a una distancia de entre 2 y 5 km, para la cual se necesitará unas infraestructuras poco importantes para la conexión del aeropuerto a la red. Por último, la categoría “adecuado”, para entre 5 y 10 km, que supone unas infraestructuras de cierta importancia para la conexión con la red. Una ubicación a más de 10km de las mencionadas no se considera inaceptable, pero se debería evitar pues el coste de las infraestructuras necesarias empezaría a ser excesivo.

Con las redes de Metro de Madrid y Ave no se considera esta categorización, simplemente se considerará muy positivamente las ubicaciones a menos de 10km de la red de Metro (pues posibilita la construcción de una nueva línea sin que esta sea excesivamente larga) y las ubicaciones a menos de 2km de la red de AVE, pues permite el establecimiento de una parada y de la conexión de la misma con el aeropuerto mediante un medio auxiliar. No se consideran distancias mayores para el AVE pues se considera que carece de sentido realizar una nueva línea, ya que esta contaría con una longitud incompatible con el concepto de tren de alta velocidad.

Finalmente, para considerar conjuntamente todas las redes se hará una suma ponderada a través del algebra de mapas, otorgando un 40% a carreteras, 30% a metro, 20% al cercanías y un 10% al AVE

[[Archivo:Redtransportes.png|500px|thumb|center]]

===Tiempo de viaje a Madrid===
Para los usuarios del aeropuerto, tanto para los de tránsito como para los que su destino final sea Madrid, la cercanía a la ciudad es un punto muy positivo. Para considerar este parámetro se hará una unión de todos los buffers máximos de cada medio de transporte considerado y expuesto anteriormente. Este se intersecará con buffers de 50, 100, 150, 200 y 250 km desde la Puerta del Sol.

El resultado de las distintas intersecciones se considerará como las ubicaciones a 30, 60, 90, 120 y 150 minutos del centro de Madrid. Este es claramente un método aproximado, pero que sin embargo, permite obtener un mapa de tiempos de viaje desde el centro de Madrid de manera rápida y sencilla. Por último se multiplicará esta capa por las puntuaciones asociadas a la red de transportes. Las zonas a 60 minutos se reducirán un 20%, un 40% a las que estén a 90 minutos y así sucesivamente hasta reducir un 20% para las zonas que estén a 150 minutos.

[[Archivo:Tiempoviaje.png|500px|thumb|center]]

===Resultado final===
Una vez obtenido estos parámetros de forma individual, faltaba combinarlos para obtener un único resultado. Esto se hizo a través de la siguiente fórmula, en el que los coeficientes de ponderación fueron asignados según criterio de gabinete.

Total=0,35∙Tiempo transportes+0,35∙Proximidad núcleos+0,2∙Protegidas+0,1∙Pendientes+Zonas descartadas

Cabe recordar que la proximidad a zonas protegidas penaliza, pero se le asignó a cada pixel un valor negativo por lo que solo será necesario sumarlo en esta operación. El proceso ha sido el siguiente:

Primero se ha obtenido el mapa nombrado como “Descartefinal”, suma de los descartes del buffer de los aeropuertos a 15km, las zonas de suelo urbano y el buffer a los ríos. En un principio los pixeles tenían valor 1 o null. Así pues se usó el null to para poner ceros en vez de null, pudiéndose así sumar a los demás ráster. A continuación se aplicó un reclass, de forma que los ceros se queden como ceros y el resto se hagan nulos. El resultado de la reclasificación es “Descarte final”.

Después se realizó la suma ponderada de “Red Transportes y distancia a Madrid”, “Pendientes”, “Proximidad a núcleos”, “Proximidad a zonas protegidas” y “Descartefinal”. Los valores descartados saldrán con valor nulo gracias a la capa de descarte final. El resultado es el siguiente:

[[Archivo:Resultadofinal.png|500px|thumb|center]]

En el mapa “Resultado final” las zonas de mayor tonalidad verde son las que mejor puntuación han recibido, mientras que las blancas son las descartadas. En la elección de las posibles ubicaciones, marcadas en rojo, se han tenido en cuenta dos factores: la nota de ponderación obtenida y las servidumbres aeronaúticas de Madrid, que se adjunta a continuación.

[[Archivo:Servidumbres.png|500px|thumb|center]]

La salida de los aviones comerciales se realiza en dirección norte, mientras que la llegada se realiza en dirección noroeste. Para interferir lo menos posible con esta situación, se ha considerado que la ubicación propuesta en Toledo era la más factible.

== Conclusiones ==
El resultado obtenido es lógico y asemeja bastante a la situación real, por lo que podemos concluir que el estudio ha sido satisfactorio. No obstante, sí que existen mejoras propuestas, como la mencionada anteriormente sobre la geología. Aunque estaba prevista en la metodología inicial considerar la geología, la digitalización de está a la escala del estudio ha sido imposible, por lo que en un futuro podría ser un aspecto a mejorar.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T16:43:42Z

Ignacio Olalquiaga: /* Resultados */

{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López

Juan Junguito Bravo

Cristina Martínez Navarro

Ignacio Olalquiaga Varela| [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Este trabajo se centra en el estudio de ubicación de un aeropuerto que satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid. El primer paso en el proceso seguido consistió en definir un área de actuación. En el ámbito aeronáutico la zona de influencia terrestre de un aeropuerto traspasa la superficie de la ciudad a la que se quiere apoyar, en este caso Madrid, por lo que se tomó la decisión de limitar la zona de influencia a la Comunidad de Madrid y provincias limítrofes. Una vez definido dicho ámbito se procedió a establecer los condicionantes que influyen en el emplazamiento de un aeropuerto.

Así pues se establecieron variables que nos permitieron hacer un primer descarte de las zonas consideradas como no factibles. En este paso se descartaron aquellas zonas con desarrollo urbano, zonas protegidas por motivos medioambientales y por último las zonas de servidumbre aeronáutica. Esta última variable tiene en cuenta la zona de influencia de un aeropuerto o aeródromo, asegurándonos pues que nuestro posible aeropuerto estaba lo suficientemente alejado. Tras realizar un primer descarte, se han considerado aquellas consideradas como no idóneas por motivos de sismicidad. Por último, con las zonas restantes se ha optado por realizar una ponderación según variables que tuvieran en cuenta el impacto acústico e impacto visual, climatología (se ha enfocado a la visibilidad), impacto medioambiental y las conexiones con infraestructuras de transporte. Adicionalmente se ha tenido en cuenta la servidumbre aeronáutica para descartar posibles soluciones.

Los resultados obtenidos son satisfactorios y congruentes con lo que se da en la realidad. Así pues, según los coeficientes de ponderación usados, la mayor puntuación se da en la provincia de Toledo, descartando otras posibles soluciones según las servidumbres aeronáuticas. Futuras mejoras que se podrían hacer al estudio son la posibilidad de incluir el aspecto geológico en la ponderación. En este estudio actual ha sido imposible considerar dicho factor, a pesar de que estaba dentro de la metodología propuesta. Esto se ha debido a la imposibilidad de obtener un mapa geológico digitalizado, ya fuera vectorialmente o en ráster.

== Introducción ==
La Comunidad de Madrid cuenta con uno de los mejores aeropuertos internacionales, el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas. En el año 2014, este aeropuerto registro un tráfico total de 41,815.261 pasajeros lo que supuso un incremento del 5,3% con respecto al dato del curso anterior, lo que le permitió mantener la sexta plaza en el ranking de aeropuertos con más tráfico de Europa. La creciente demanda de pasajeros hará que en un futuro se rebase la capacidad del aeropuerto de Barajas, por lo que este estudio tiene como objetivo ubicar la localización de un posible segundo aeropuerto que apoye las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid.

Este segundo aeropuerto, compatible con el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas, tiene el objetivo de apoyar el tráfico aeronáutico de Madrid, trasladando gradualmente el tráfico aeronáutico a dicho aeropuerto cuando los niveles de congestión de Barajas lo hagan aconsejable. Así pues se lograría en un futuro evitar problemas asociados a la congestión aeronáutica y cuellos de botella. Una capacidad aeroportuaria aumentada mejoraría la calidad del servicio aeroportuario de Madrid, además de impulsar el desarrollo económico y social de dicha Comunidad.

A pesar de que el objetivo de este estudio no es el estudio de la necesidad de un segundo aeropuerto, puesto que el estudio se ha realizado bajo la hipótesis de que en un futuro será necesario disponer de un segundo aeropuerto, si hemos considerado aconsejable manejar unos datos orientativos sobre el plazo temporal en el que se ubica dicha necesidad. Se estima que tras la ampliación del aeropuerto de Barajas de 2007, éste tiene una capacidad para 70 millones de pasajeros año, lo que según las previsiones del Plan Director de Barajas, resulta en una capacidad válida hasta el 2020. Dado que el plazo es inferior a 5 años, se ha considerado un plazo de estudio válido en el que las variables de estudio serán semejables a aquellas en 2020 y durante la vida útil del aeropuerto.

== Metodología ==
Se describen a continuación los datos empleados y las operaciones realizadas.
===Datos empleados===
En cuanto a los datos manejados, éstos han sido:

• Mapa de peligrosidad sísmica de España, del Instituto Geográfico Nacional. Según dicho mapa, el ámbito de estudio se encontraba se clasificaba bajo el mismo riesgo de sismicidad, por lo que no se ha descartado ninguna de las zonas.

• Mapa de Ríos, de la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala E=1:100.000).

• Mapa de España de Autopistas, de la BTN 100.

• Mapa de España de Autovías, de la BTN 100.

• Mapa de metro de Madrid

• Mapa de España de AVE, cercanías y ferrocarriles.

• Mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100.

• Mapa de España de Zonas Protegidas, de la BTN 100.

• Mapa de Servidumbres aeronáuticas de Madrid.

===Operaciones realizadas===
Respecto a las operaciones realizadas, éstas han sido, en su mayoría, de tipo vectorial. Se pueden citar:

• Buffer, para establecer unas determinadas distancias desde las zonas citadas anteriormente (ríos, municipios, etc.) en las que sea posible o no la localización de la central.

• Grafo de rutas: Se han calculado líneas isócronas (aquellas que enlazan puntos desde los cuales se accede al aeropuerto en el mismo tiempo)

• Unión

• Intersección.

• Diferencia: Usado para recortar los buffers con los límites provinciales.

• GRASS: Algebra de mapas sencillas, y herramientas de conversión de archivos vectoriales a ráster usando valores de atributo. Se tanteó la posibilidad de realizar un estudio de visibilidad a través de la herramienta r.los, pero los resultados no han sido los esperados por lo que se descartó su uso. Se ha usado también la herramienta de null to, para poder así sumar distintos mapas ráster y tener en cuenta la presencia de los pixeles que no se hubieran sido clasificados en el mapa.

• Reclasificación (Reclass)

== Resultados ==
Para la localización de la ubicación idónea de este aeropuerto se considerarán de manera conjunta una serie de parámetros que se consideran determinantes para un aeropuerto. A continuación se ilustran dichos parámetros, haciéndose hincapié en los resultados intermedios obtenidos y en los resultados finales.

===Estudio de accesibilidad por carretera===

Los datos descargados diferenciaban entre carreteras de distinto tipo. Se consideró que las carreteras de mayor importancia para acceso a un aeropuerto serían autovías y autopistas. Así pues, se realiza una unión entre ambas capas, y se procedió a realizar un buffer a 2km, 5km y 10km de distancia. Aquellas que se encuentren a una distancia de 2km recibirán mejor puntuación por su mayor accesibilidad. Esta puntuación se ha determinado como 3 para 2km, 2 para 5km y 1 para 10km, aunque luego se le aplicará el factor de ponderación correspondiente.

[[Archivo:Buffercarreteras.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de consideración de las zonas protegidas===
[[Archivo:Zonas_Protegidas.png|500px|thumb|center|Zonas Protegidas del entorno]]
Con el fin de evaluar el impacto ambiental del segundo aeropuerto, se ha evaluado la distancia de éste a las zonas protegidas por motivos medioambientales. Así pues se ha realizado un buffer de 2km, 5km y 10km. Las zonas situadas a 2km recibirán una nota negativa en la ponderación (puntuación -3) puesto que su impacto será mayor que la situada a una distancia de 10km (puntuación de -1). Se observa a continuación el resultado intermedio.

[[Archivo:Bufferprotegidas.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de la proximidad a otros aeropuertos y otras zonas descartadas===
Al igual que hemos considerado que construir un aeropuerto en una zona de protección ambiental era imposible, también se deben descartar zonas de suelo urbano y zonas en las que ya se encuentre ubicados aeropuertos. Para esto se ha descargado el mapa de aeropuertos y se ha realizado un buffer de 15km para evitar así posibles interferencias con dichos aeropuertos. Uniendo vectorialmente este buffer a las zonas de suelo urbano, se obtiene el mapa de zonas descartadas.

[[Archivo:Descartadas.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de la Climatología ===
Ante la dificultad para obtener datos espaciales referentes a la climatología, se ha decidido que el factor que la visibilidad es la presencia de niebla. Dicha niebla se evaluará teniendo en cuenta la proximidad a ríos, motivo por el cual se ha aplicado un buffer de 2km a los ríos, considerándose dichas zonas como las susceptibles a formación de niebla debido a la evaporación del agua, que pudieran afectar a la visibilidad del aeropuerto. Para evitar esta situación, se ha decidido descartar estas zonas.

[[Archivo:Bufferrios.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de los núcleos de población===
Se hizo uso del mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100, que se recortó a continuación con el límite provincial. Para conocer la proximidad de la posible ubicación del aeropuerto a estos núcleos y así determinar que ubicación es de mayor utilidad para la población se han realizado tres buffers de 5km, 10km y 15km. La puntuación para las zonas que se encontrarán en el buffer de 5km ha sido de 3, 2 para el buffer de 10km y por último 1 para el buffer de 15km.

[[Archivo:Buffernucleos.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de pendientes===
Para el análisis de pendientes se partió del MDT200; un modelo digital del terreno ráster proporcionado por el IGN con un paso de malla de 200 m, es decir, cada píxel del ráster corresponde a un área cuadrada de 200 m de lado, y su valor se traduce en la altitud media de ésta. El análisis es a nivel provincial por lo que consideramos que esta precisión (200 m en longitud y 400m2 en superficies) es suficiente.

Tomando el MDT citado, se realizó un mapa de pendientes con el programa QGIS; este mapa se consigue gracias a un comando incluido en el programa, englobado en las herramientas para archivos ráster, en el apartado de análisis del terreno. Esta herramienta calcula el ángulo de la pendiente de cada celda en grados (basado en primer orden estimación derivada).Se obtiene un mapa con celdas de 200m de lado cuyo valor coincide con la pendiente media en grados de dicha celda.

Este mapa se añade a un directorio de mapas creado en GRASS y se procede a reclasificarlo según el siguiente criterio; si la pendiente es menor del 1% se le asignará el valor 3, si la pendiente se encuentra entre el 1% y el 5% se le asignará a esa celda el valor 2, si la pendiente se encuentra entre el 5% y el 10%, se le asignará a esa celda el valor 1 y si la pendiente supera el 10%, 0. Se debe tener en cuenta que el valor del mapa de pendientes está en grados sexagesimales; para saber la pendiente en estas unidades se debe hacer el cambio de unidades; grados=atan(pendiente en tanto por uno).

[[Archivo:Pendientes.jpg|500px|thumb|center]][[Archivo:Leyendapendientes.jpg|175px|thumb|center]]

===Estudio de proximidad a red principal de transportes===
Una conexión adecuada al resto de la red de transporte es clave para conseguir la intermodalidad de los distintos modos de transporte, que en este aportado se intentó estudiar. Será inevitable la construcción de infraestructuras que permitan conectar el nuevo aeropuerto a la red, sin embargo, es obvio que cuanto más próxima sea la ubicación del mismo, menores serán estas infraestructuras a construir. Para considerar este parámetro se establecerán “buffers” de distinta dimensión en torno a la red principal de carreteras y ferrocarril, la red de AVE y la red de Metro de Madrid.

[[Archivo:Ffcc.png|500px|thumb|center]]

Para la red de carreteras y ferrocarril se establecerán tres niveles. El primero, “muy bueno” corresponde a una distancia de menos de 2km, para la cual las infraestructuras necesarias para la conexión del aeropuerto son mínimas. El siguiente nivel, “bueno” corresponde a una distancia de entre 2 y 5 km, para la cual se necesitará unas infraestructuras poco importantes para la conexión del aeropuerto a la red. Por último, la categoría “adecuado”, para entre 5 y 10 km, que supone unas infraestructuras de cierta importancia para la conexión con la red. Una ubicación a más de 10km de las mencionadas no se considera inaceptable, pero se debería evitar pues el coste de las infraestructuras necesarias empezaría a ser excesivo.

Con las redes de Metro de Madrid y Ave no se considera esta categorización, simplemente se considerará muy positivamente las ubicaciones a menos de 10km de la red de Metro (pues posibilita la construcción de una nueva línea sin que esta sea excesivamente larga) y las ubicaciones a menos de 2km de la red de AVE, pues permite el establecimiento de una parada y de la conexión de la misma con el aeropuerto mediante un medio auxiliar. No se consideran distancias mayores para el AVE pues se considera que carece de sentido realizar una nueva línea, ya que esta contaría con una longitud incompatible con el concepto de tren de alta velocidad.

Finalmente, para considerar conjuntamente todas las redes se hará una suma ponderada a través del algebra de mapas, otorgando un 40% a carreteras, 30% a metro, 20% al cercanías y un 10% al AVE

[[Archivo:Redtransportes.png|500px|thumb|center]]

===Tiempo de viaje a Madrid===
Para los usuarios del aeropuerto, tanto para los de tránsito como para los que su destino final sea Madrid, la cercanía a la ciudad es un punto muy positivo. Para considerar este parámetro se hará una unión de todos los buffers máximos de cada medio de transporte considerado y expuesto anteriormente. Este se intersecará con buffers de 50, 100, 150, 200 y 250 km desde la Puerta del Sol.

El resultado de las distintas intersecciones se considerará como las ubicaciones a 30, 60, 90, 120 y 150 minutos del centro de Madrid. Este es claramente un método aproximado, pero que sin embargo, permite obtener un mapa de tiempos de viaje desde el centro de Madrid de manera rápida y sencilla. Por último se multiplicará esta capa por las puntuaciones asociadas a la red de transportes. Las zonas a 60 minutos se reducirán un 20%, un 40% a las que estén a 90 minutos y así sucesivamente hasta reducir un 20% para las zonas que estén a 150 minutos.

[[Archivo:Tiempoviaje.png|500px|thumb|center]]

===Resultado final===
Una vez obtenido estos parámetros de forma individual, faltaba combinarlos para obtener un único resultado. Esto se hizo a través de la siguiente fórmula, en el que los coeficientes de ponderación fueron asignados según criterio de gabinete.

Total=0,35∙Tiempo transportes+0,35∙Proximidad núcleos+0,2∙Protegidas+0,1∙Pendientes+Zonas descartadas

Cabe recordar que la proximidad a zonas protegidas penaliza, pero se le asignó a cada pixel un valor negativo por lo que solo será necesario sumarlo en esta operación. El proceso ha sido el siguiente:

Primero se ha obtenido el mapa nombrado como “Descartefinal”, suma de los descartes del buffer de los aeropuertos a 15km, las zonas de suelo urbano y el buffer a los ríos. En un principio los pixeles tenían valor 1 o null. Así pues se usó el null to para poner ceros en vez de null, pudiéndose así sumar a los demás ráster. A continuación se aplicó un reclass, de forma que los ceros se queden como ceros y el resto se hagan nulos. El resultado de la reclasificación es “Descarte final”.

Después se realizó la suma ponderada de “Red Transportes y distancia a Madrid”, “Pendientes”, “Proximidad a núcleos”, “Proximidad a zonas protegidas” y “Descartefinal”. Los valores descartados saldrán con valor nulo gracias a la capa de descarte final. El resultado es el siguiente:

[[Archivo:Resultadofinal.png|500px|thumb|center]]

En el mapa “Resultado final” las zonas de mayor tonalidad verde son las que mejor puntuación han recibido, mientras que las blancas son las descartadas. En la elección de las posibles ubicaciones, marcadas en rojo, se han tenido en cuenta dos factores: la nota de ponderación obtenida y las servidumbres aeronaúticas de Madrid, que se adjunta a continuación.

[[Archivo:Servidumbres.png|500px|thumb|center]]

La salida de los aviones comerciales se realiza en dirección norte, mientras que la llegada se realiza en dirección noroeste. Para interferir lo menos posible con esta situación, se ha considerado que la ubicación propuesta en Toledo era la más factible.

== Conclusiones ==
El resultado obtenido es lógico y asemeja bastante a la situación real, por lo que podemos concluir que el estudio ha sido satisfactorio. No obstante, sí que existen mejoras propuestas, como la mencionada anteriormente sobre la geología. Aunque estaba prevista en la metodología inicial considerar la geología, la digitalización de está a la escala del estudio ha sido imposible, por lo que en un futuro podría ser un aspecto a mejorar.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Servidumbres.png

2015-11-29T16:43:27Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Resultadofinal.png

2015-11-29T16:42:34Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Tiempoviaje.png

2015-11-29T16:39:23Z

Ignacio Olalquiaga:

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T16:38:08Z

Ignacio Olalquiaga: /* Estudio de accesibilidad por carretera */

{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López

Juan Junguito Bravo

Cristina Martínez Navarro

Ignacio Olalquiaga Varela| [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Este trabajo se centra en el estudio de ubicación de un aeropuerto que satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid. El primer paso en el proceso seguido consistió en definir un área de actuación. En el ámbito aeronáutico la zona de influencia terrestre de un aeropuerto traspasa la superficie de la ciudad a la que se quiere apoyar, en este caso Madrid, por lo que se tomó la decisión de limitar la zona de influencia a la Comunidad de Madrid y provincias limítrofes. Una vez definido dicho ámbito se procedió a establecer los condicionantes que influyen en el emplazamiento de un aeropuerto.

Así pues se establecieron variables que nos permitieron hacer un primer descarte de las zonas consideradas como no factibles. En este paso se descartaron aquellas zonas con desarrollo urbano, zonas protegidas por motivos medioambientales y por último las zonas de servidumbre aeronáutica. Esta última variable tiene en cuenta la zona de influencia de un aeropuerto o aeródromo, asegurándonos pues que nuestro posible aeropuerto estaba lo suficientemente alejado. Tras realizar un primer descarte, se han considerado aquellas consideradas como no idóneas por motivos de sismicidad. Por último, con las zonas restantes se ha optado por realizar una ponderación según variables que tuvieran en cuenta el impacto acústico e impacto visual, climatología (se ha enfocado a la visibilidad), impacto medioambiental y las conexiones con infraestructuras de transporte. Adicionalmente se ha tenido en cuenta la servidumbre aeronáutica para descartar posibles soluciones.

Los resultados obtenidos son satisfactorios y congruentes con lo que se da en la realidad. Así pues, según los coeficientes de ponderación usados, la mayor puntuación se da en la provincia de Toledo, descartando otras posibles soluciones según las servidumbres aeronáuticas. Futuras mejoras que se podrían hacer al estudio son la posibilidad de incluir el aspecto geológico en la ponderación. En este estudio actual ha sido imposible considerar dicho factor, a pesar de que estaba dentro de la metodología propuesta. Esto se ha debido a la imposibilidad de obtener un mapa geológico digitalizado, ya fuera vectorialmente o en ráster.

== Introducción ==
La Comunidad de Madrid cuenta con uno de los mejores aeropuertos internacionales, el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas. En el año 2014, este aeropuerto registro un tráfico total de 41,815.261 pasajeros lo que supuso un incremento del 5,3% con respecto al dato del curso anterior, lo que le permitió mantener la sexta plaza en el ranking de aeropuertos con más tráfico de Europa. La creciente demanda de pasajeros hará que en un futuro se rebase la capacidad del aeropuerto de Barajas, por lo que este estudio tiene como objetivo ubicar la localización de un posible segundo aeropuerto que apoye las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid.

Este segundo aeropuerto, compatible con el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas, tiene el objetivo de apoyar el tráfico aeronáutico de Madrid, trasladando gradualmente el tráfico aeronáutico a dicho aeropuerto cuando los niveles de congestión de Barajas lo hagan aconsejable. Así pues se lograría en un futuro evitar problemas asociados a la congestión aeronáutica y cuellos de botella. Una capacidad aeroportuaria aumentada mejoraría la calidad del servicio aeroportuario de Madrid, además de impulsar el desarrollo económico y social de dicha Comunidad.

A pesar de que el objetivo de este estudio no es el estudio de la necesidad de un segundo aeropuerto, puesto que el estudio se ha realizado bajo la hipótesis de que en un futuro será necesario disponer de un segundo aeropuerto, si hemos considerado aconsejable manejar unos datos orientativos sobre el plazo temporal en el que se ubica dicha necesidad. Se estima que tras la ampliación del aeropuerto de Barajas de 2007, éste tiene una capacidad para 70 millones de pasajeros año, lo que según las previsiones del Plan Director de Barajas, resulta en una capacidad válida hasta el 2020. Dado que el plazo es inferior a 5 años, se ha considerado un plazo de estudio válido en el que las variables de estudio serán semejables a aquellas en 2020 y durante la vida útil del aeropuerto.

== Metodología ==
Se describen a continuación los datos empleados y las operaciones realizadas.
===Datos empleados===
En cuanto a los datos manejados, éstos han sido:

• Mapa de peligrosidad sísmica de España, del Instituto Geográfico Nacional. Según dicho mapa, el ámbito de estudio se encontraba se clasificaba bajo el mismo riesgo de sismicidad, por lo que no se ha descartado ninguna de las zonas.

• Mapa de Ríos, de la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala E=1:100.000).

• Mapa de España de Autopistas, de la BTN 100.

• Mapa de España de Autovías, de la BTN 100.

• Mapa de metro de Madrid

• Mapa de España de AVE, cercanías y ferrocarriles.

• Mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100.

• Mapa de España de Zonas Protegidas, de la BTN 100.

• Mapa de Servidumbres aeronáuticas de Madrid.

===Operaciones realizadas===
Respecto a las operaciones realizadas, éstas han sido, en su mayoría, de tipo vectorial. Se pueden citar:

• Buffer, para establecer unas determinadas distancias desde las zonas citadas anteriormente (ríos, municipios, etc.) en las que sea posible o no la localización de la central.

• Grafo de rutas: Se han calculado líneas isócronas (aquellas que enlazan puntos desde los cuales se accede al aeropuerto en el mismo tiempo)

• Unión

• Intersección.

• Diferencia: Usado para recortar los buffers con los límites provinciales.

• GRASS: Algebra de mapas sencillas, y herramientas de conversión de archivos vectoriales a ráster usando valores de atributo. Se tanteó la posibilidad de realizar un estudio de visibilidad a través de la herramienta r.los, pero los resultados no han sido los esperados por lo que se descartó su uso. Se ha usado también la herramienta de null to, para poder así sumar distintos mapas ráster y tener en cuenta la presencia de los pixeles que no se hubieran sido clasificados en el mapa.

• Reclasificación (Reclass)

== Resultados ==
Para la localización de la ubicación idónea de este aeropuerto se considerarán de manera conjunta una serie de parámetros que se consideran determinantes para un aeropuerto. A continuación se ilustran dichos parámetros, haciéndose hincapié en los resultados intermedios obtenidos y en los resultados finales.

===Estudio de accesibilidad por carretera===

Los datos descargados diferenciaban entre carreteras de distinto tipo. Se consideró que las carreteras de mayor importancia para acceso a un aeropuerto serían autovías y autopistas. Así pues, se realiza una unión entre ambas capas, y se procedió a realizar un buffer a 2km, 5km y 10km de distancia. Aquellas que se encuentren a una distancia de 2km recibirán mejor puntuación por su mayor accesibilidad. Esta puntuación se ha determinado como 3 para 2km, 2 para 5km y 1 para 10km, aunque luego se le aplicará el factor de ponderación correspondiente.

[[Archivo:Buffercarreteras.png|500px|thumb|center]]

===Estudio de consideración de las zonas protegidas===
[[Archivo:Zonas_Protegidas.png|400px|thumb|center|Zonas Protegidas del entorno]]
Con el fin de evaluar el impacto ambiental del segundo aeropuerto, se ha evaluado la distancia de éste a las zonas protegidas por motivos medioambientales. Así pues se ha realizado un buffer de 2km, 5km y 10km. Las zonas situadas a 2km recibirán una nota negativa en la ponderación (puntuación -3) puesto que su impacto será mayor que la situada a una distancia de 10km (puntuación de -1). Se observa a continuación el resultado intermedio.

[[Archivo:Bufferprotegidas.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de la proximidad a otros aeropuertos y otras zonas descartadas===
Al igual que hemos considerado que construir un aeropuerto en una zona de protección ambiental era imposible, también se deben descartar zonas de suelo urbano y zonas en las que ya se encuentre ubicados aeropuertos. Para esto se ha descargado el mapa de aeropuertos y se ha realizado un buffer de 15km para evitar así posibles interferencias con dichos aeropuertos. Uniendo vectorialmente este buffer a las zonas de suelo urbano, se obtiene el mapa de zonas descartadas.

[[Archivo:Descartadas.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de la Climatología ===
Ante la dificultad para obtener datos espaciales referentes a la climatología, se ha decidido que el factor que la visibilidad es la presencia de niebla. Dicha niebla se evaluará teniendo en cuenta la proximidad a ríos, motivo por el cual se ha aplicado un buffer de 2km a los ríos, considerándose dichas zonas como las susceptibles a formación de niebla debido a la evaporación del agua, que pudieran afectar a la visibilidad del aeropuerto. Para evitar esta situación, se ha decidido descartar estas zonas.

[[Archivo:Bufferrios.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de los núcleos de población===
Se hizo uso del mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100, que se recortó a continuación con el límite provincial. Para conocer la proximidad de la posible ubicación del aeropuerto a estos núcleos y así determinar que ubicación es de mayor utilidad para la población se han realizado tres buffers de 5km, 10km y 15km. La puntuación para las zonas que se encontrarán en el buffer de 5km ha sido de 3, 2 para el buffer de 10km y por último 1 para el buffer de 15km.

[[Archivo:Buffernucleos.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de pendientes===
Para el análisis de pendientes se partió del MDT200; un modelo digital del terreno ráster proporcionado por el IGN con un paso de malla de 200 m, es decir, cada píxel del ráster corresponde a un área cuadrada de 200 m de lado, y su valor se traduce en la altitud media de ésta. El análisis es a nivel provincial por lo que consideramos que esta precisión (200 m en longitud y 400m2 en superficies) es suficiente.

Tomando el MDT citado, se realizó un mapa de pendientes con el programa QGIS; este mapa se consigue gracias a un comando incluido en el programa, englobado en las herramientas para archivos ráster, en el apartado de análisis del terreno. Esta herramienta calcula el ángulo de la pendiente de cada celda en grados (basado en primer orden estimación derivada).Se obtiene un mapa con celdas de 200m de lado cuyo valor coincide con la pendiente media en grados de dicha celda.

Este mapa se añade a un directorio de mapas creado en GRASS y se procede a reclasificarlo según el siguiente criterio; si la pendiente es menor del 1% se le asignará el valor 3, si la pendiente se encuentra entre el 1% y el 5% se le asignará a esa celda el valor 2, si la pendiente se encuentra entre el 5% y el 10%, se le asignará a esa celda el valor 1 y si la pendiente supera el 10%, 0. Se debe tener en cuenta que el valor del mapa de pendientes está en grados sexagesimales; para saber la pendiente en estas unidades se debe hacer el cambio de unidades; grados=atan(pendiente en tanto por uno).

[[Archivo:Pendientes.jpg|400px|thumb|center]][[Archivo:Leyendapendientes.jpg|150px|thumb|center]]

===Estudio de proximidad a red principal de transportes===
Una conexión adecuada al resto de la red de transporte es clave para conseguir la intermodalidad de los distintos modos de transporte, que en este aportado se intentó estudiar. Será inevitable la construcción de infraestructuras que permitan conectar el nuevo aeropuerto a la red, sin embargo, es obvio que cuanto más próxima sea la ubicación del mismo, menores serán estas infraestructuras a construir. Para considerar este parámetro se establecerán “buffers” de distinta dimensión en torno a la red principal de carreteras y ferrocarril, la red de AVE y la red de Metro de Madrid.

[[Archivo:Ffcc.png|400px|thumb|center]]

Para la red de carreteras y ferrocarril se establecerán tres niveles. El primero, “muy bueno” corresponde a una distancia de menos de 2km, para la cual las infraestructuras necesarias para la conexión del aeropuerto son mínimas. El siguiente nivel, “bueno” corresponde a una distancia de entre 2 y 5 km, para la cual se necesitará unas infraestructuras poco importantes para la conexión del aeropuerto a la red. Por último, la categoría “adecuado”, para entre 5 y 10 km, que supone unas infraestructuras de cierta importancia para la conexión con la red. Una ubicación a más de 10km de las mencionadas no se considera inaceptable, pero se debería evitar pues el coste de las infraestructuras necesarias empezaría a ser excesivo.

Con las redes de Metro de Madrid y Ave no se considera esta categorización, simplemente se considerará muy positivamente las ubicaciones a menos de 10km de la red de Metro (pues posibilita la construcción de una nueva línea sin que esta sea excesivamente larga) y las ubicaciones a menos de 2km de la red de AVE, pues permite el establecimiento de una parada y de la conexión de la misma con el aeropuerto mediante un medio auxiliar. No se consideran distancias mayores para el AVE pues se considera que carece de sentido realizar una nueva línea, ya que esta contaría con una longitud incompatible con el concepto de tren de alta velocidad.

Finalmente, para considerar conjuntamente todas las redes se hará una suma ponderada a través del algebra de mapas, otorgando un 40% a carreteras, 30% a metro, 20% al cercanías y un 10% al AVE

[[Archivo:Redtransportes.png|400px|thumb|center]]

===Tiempo de viaje a Madrid===
Para los usuarios del aeropuerto, tanto para los de tránsito como para los que su destino final sea Madrid, la cercanía a la ciudad es un punto muy positivo. Para considerar este parámetro se hará una unión de todos los buffers máximos de cada medio de transporte considerado y expuesto anteriormente. Este se intersecará con buffers de 50, 100, 150, 200 y 250 km desde la Puerta del Sol.

El resultado de las distintas intersecciones se considerará como las ubicaciones a 30, 60, 90, 120 y 150 minutos del centro de Madrid. Este es claramente un método aproximado, pero que sin embargo, permite obtener un mapa de tiempos de viaje desde el centro de Madrid de manera rápida y sencilla. Por último se multiplicará esta capa por las puntuaciones asociadas a la red de transportes. Las zonas a 60 minutos se reducirán un 20%, un 40% a las que estén a 90 minutos y así sucesivamente hasta reducir un 20% para las zonas que estén a 150 minutos.

===Resultado final===
Una vez obtenido estos parámetros de forma individual, faltaba combinarlos para obtener un único resultado. Esto se hizo a través de la siguiente fórmula, en el que los coeficientes de ponderación fueron asignados según criterio de gabinete.

Total=0,35∙Tiempo transportes+0,35∙Proximidad núcleos+0,2∙Protegidas+0,1∙Pendientes+Zonas descartadas

Cabe recordar que la proximidad a zonas protegidas penaliza, pero se le asignó a cada pixel un valor negativo por lo que solo será necesario sumarlo en esta operación. El proceso ha sido el siguiente:

Primero se ha obtenido el mapa nombrado como “Descartefinal”, suma de los descartes del buffer de los aeropuertos a 15km, las zonas de suelo urbano y el buffer a los ríos. En un principio los pixeles tenían valor 1 o null. Así pues se usó el null to para poner ceros en vez de null, pudiéndose así sumar a los demás ráster. A continuación se aplicó un reclass, de forma que los ceros se queden como ceros y el resto se hagan nulos. El resultado de la reclasificación es “Descarte final”.

Después se realizó la suma ponderada de “Red Transportes y distancia a Madrid”, “Pendientes”, “Proximidad a núcleos”, “Proximidad a zonas protegidas” y “Descartefinal”. Los valores descartados saldrán con valor nulo gracias a la capa de descarte final. El resultado es el siguiente:

En el mapa “Resultado final” las zonas de mayor tonalidad verde son las que mejor puntuación han recibido, mientras que las blancas son las descartadas. En la elección de las posibles ubicaciones, marcadas en rojo, se han tenido en cuenta dos factores: la nota de ponderación obtenida y las servidumbres aeronaúticas de Madrid, que se adjunta a continuación.

La salida de los aviones comerciales se realiza en dirección norte, mientras que la llegada se realiza en dirección noroeste. Para interferir lo menos posible con esta situación, se ha considerado que la ubicación propuesta en Toledo era la más factible.

== Conclusiones ==
El resultado obtenido es lógico y asemeja bastante a la situación real, por lo que podemos concluir que el estudio ha sido satisfactorio. No obstante, sí que existen mejoras propuestas, como la mencionada anteriormente sobre la geología. Aunque estaba prevista en la metodología inicial considerar la geología, la digitalización de está a la escala del estudio ha sido imposible, por lo que en un futuro podría ser un aspecto a mejorar.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T16:37:14Z

Ignacio Olalquiaga: /* Resultados */

{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López

Juan Junguito Bravo

Cristina Martínez Navarro

Ignacio Olalquiaga Varela| [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Este trabajo se centra en el estudio de ubicación de un aeropuerto que satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid. El primer paso en el proceso seguido consistió en definir un área de actuación. En el ámbito aeronáutico la zona de influencia terrestre de un aeropuerto traspasa la superficie de la ciudad a la que se quiere apoyar, en este caso Madrid, por lo que se tomó la decisión de limitar la zona de influencia a la Comunidad de Madrid y provincias limítrofes. Una vez definido dicho ámbito se procedió a establecer los condicionantes que influyen en el emplazamiento de un aeropuerto.

Así pues se establecieron variables que nos permitieron hacer un primer descarte de las zonas consideradas como no factibles. En este paso se descartaron aquellas zonas con desarrollo urbano, zonas protegidas por motivos medioambientales y por último las zonas de servidumbre aeronáutica. Esta última variable tiene en cuenta la zona de influencia de un aeropuerto o aeródromo, asegurándonos pues que nuestro posible aeropuerto estaba lo suficientemente alejado. Tras realizar un primer descarte, se han considerado aquellas consideradas como no idóneas por motivos de sismicidad. Por último, con las zonas restantes se ha optado por realizar una ponderación según variables que tuvieran en cuenta el impacto acústico e impacto visual, climatología (se ha enfocado a la visibilidad), impacto medioambiental y las conexiones con infraestructuras de transporte. Adicionalmente se ha tenido en cuenta la servidumbre aeronáutica para descartar posibles soluciones.

Los resultados obtenidos son satisfactorios y congruentes con lo que se da en la realidad. Así pues, según los coeficientes de ponderación usados, la mayor puntuación se da en la provincia de Toledo, descartando otras posibles soluciones según las servidumbres aeronáuticas. Futuras mejoras que se podrían hacer al estudio son la posibilidad de incluir el aspecto geológico en la ponderación. En este estudio actual ha sido imposible considerar dicho factor, a pesar de que estaba dentro de la metodología propuesta. Esto se ha debido a la imposibilidad de obtener un mapa geológico digitalizado, ya fuera vectorialmente o en ráster.

== Introducción ==
La Comunidad de Madrid cuenta con uno de los mejores aeropuertos internacionales, el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas. En el año 2014, este aeropuerto registro un tráfico total de 41,815.261 pasajeros lo que supuso un incremento del 5,3% con respecto al dato del curso anterior, lo que le permitió mantener la sexta plaza en el ranking de aeropuertos con más tráfico de Europa. La creciente demanda de pasajeros hará que en un futuro se rebase la capacidad del aeropuerto de Barajas, por lo que este estudio tiene como objetivo ubicar la localización de un posible segundo aeropuerto que apoye las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid.

Este segundo aeropuerto, compatible con el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas, tiene el objetivo de apoyar el tráfico aeronáutico de Madrid, trasladando gradualmente el tráfico aeronáutico a dicho aeropuerto cuando los niveles de congestión de Barajas lo hagan aconsejable. Así pues se lograría en un futuro evitar problemas asociados a la congestión aeronáutica y cuellos de botella. Una capacidad aeroportuaria aumentada mejoraría la calidad del servicio aeroportuario de Madrid, además de impulsar el desarrollo económico y social de dicha Comunidad.

A pesar de que el objetivo de este estudio no es el estudio de la necesidad de un segundo aeropuerto, puesto que el estudio se ha realizado bajo la hipótesis de que en un futuro será necesario disponer de un segundo aeropuerto, si hemos considerado aconsejable manejar unos datos orientativos sobre el plazo temporal en el que se ubica dicha necesidad. Se estima que tras la ampliación del aeropuerto de Barajas de 2007, éste tiene una capacidad para 70 millones de pasajeros año, lo que según las previsiones del Plan Director de Barajas, resulta en una capacidad válida hasta el 2020. Dado que el plazo es inferior a 5 años, se ha considerado un plazo de estudio válido en el que las variables de estudio serán semejables a aquellas en 2020 y durante la vida útil del aeropuerto.

== Metodología ==
Se describen a continuación los datos empleados y las operaciones realizadas.
===Datos empleados===
En cuanto a los datos manejados, éstos han sido:

• Mapa de peligrosidad sísmica de España, del Instituto Geográfico Nacional. Según dicho mapa, el ámbito de estudio se encontraba se clasificaba bajo el mismo riesgo de sismicidad, por lo que no se ha descartado ninguna de las zonas.

• Mapa de Ríos, de la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala E=1:100.000).

• Mapa de España de Autopistas, de la BTN 100.

• Mapa de España de Autovías, de la BTN 100.

• Mapa de metro de Madrid

• Mapa de España de AVE, cercanías y ferrocarriles.

• Mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100.

• Mapa de España de Zonas Protegidas, de la BTN 100.

• Mapa de Servidumbres aeronáuticas de Madrid.

===Operaciones realizadas===
Respecto a las operaciones realizadas, éstas han sido, en su mayoría, de tipo vectorial. Se pueden citar:

• Buffer, para establecer unas determinadas distancias desde las zonas citadas anteriormente (ríos, municipios, etc.) en las que sea posible o no la localización de la central.

• Grafo de rutas: Se han calculado líneas isócronas (aquellas que enlazan puntos desde los cuales se accede al aeropuerto en el mismo tiempo)

• Unión

• Intersección.

• Diferencia: Usado para recortar los buffers con los límites provinciales.

• GRASS: Algebra de mapas sencillas, y herramientas de conversión de archivos vectoriales a ráster usando valores de atributo. Se tanteó la posibilidad de realizar un estudio de visibilidad a través de la herramienta r.los, pero los resultados no han sido los esperados por lo que se descartó su uso. Se ha usado también la herramienta de null to, para poder así sumar distintos mapas ráster y tener en cuenta la presencia de los pixeles que no se hubieran sido clasificados en el mapa.

• Reclasificación (Reclass)

== Resultados ==
Para la localización de la ubicación idónea de este aeropuerto se considerarán de manera conjunta una serie de parámetros que se consideran determinantes para un aeropuerto. A continuación se ilustran dichos parámetros, haciéndose hincapié en los resultados intermedios obtenidos y en los resultados finales.

===Estudio de accesibilidad por carretera===

Los datos descargados diferenciaban entre carreteras de distinto tipo. Se consideró que las carreteras de mayor importancia para acceso a un aeropuerto serían autovías y autopistas. Así pues, se realiza una unión entre ambas capas, y se procedió a realizar un buffer a 2km, 5km y 10km de distancia. Aquellas que se encuentren a una distancia de 2km recibirán mejor puntuación por su mayor accesibilidad. Esta puntuación se ha determinado como 3 para 2km, 2 para 5km y 1 para 10km, aunque luego se le aplicará el factor de ponderación correspondiente.

[[Archivo:Buffercarreteras.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de consideración de las zonas protegidas===
[[Archivo:Zonas_Protegidas.png|400px|thumb|center|Zonas Protegidas del entorno]]
Con el fin de evaluar el impacto ambiental del segundo aeropuerto, se ha evaluado la distancia de éste a las zonas protegidas por motivos medioambientales. Así pues se ha realizado un buffer de 2km, 5km y 10km. Las zonas situadas a 2km recibirán una nota negativa en la ponderación (puntuación -3) puesto que su impacto será mayor que la situada a una distancia de 10km (puntuación de -1). Se observa a continuación el resultado intermedio.

[[Archivo:Bufferprotegidas.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de la proximidad a otros aeropuertos y otras zonas descartadas===
Al igual que hemos considerado que construir un aeropuerto en una zona de protección ambiental era imposible, también se deben descartar zonas de suelo urbano y zonas en las que ya se encuentre ubicados aeropuertos. Para esto se ha descargado el mapa de aeropuertos y se ha realizado un buffer de 15km para evitar así posibles interferencias con dichos aeropuertos. Uniendo vectorialmente este buffer a las zonas de suelo urbano, se obtiene el mapa de zonas descartadas.

[[Archivo:Descartadas.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de la Climatología ===
Ante la dificultad para obtener datos espaciales referentes a la climatología, se ha decidido que el factor que la visibilidad es la presencia de niebla. Dicha niebla se evaluará teniendo en cuenta la proximidad a ríos, motivo por el cual se ha aplicado un buffer de 2km a los ríos, considerándose dichas zonas como las susceptibles a formación de niebla debido a la evaporación del agua, que pudieran afectar a la visibilidad del aeropuerto. Para evitar esta situación, se ha decidido descartar estas zonas.

[[Archivo:Bufferrios.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de los núcleos de población===
Se hizo uso del mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100, que se recortó a continuación con el límite provincial. Para conocer la proximidad de la posible ubicación del aeropuerto a estos núcleos y así determinar que ubicación es de mayor utilidad para la población se han realizado tres buffers de 5km, 10km y 15km. La puntuación para las zonas que se encontrarán en el buffer de 5km ha sido de 3, 2 para el buffer de 10km y por último 1 para el buffer de 15km.

[[Archivo:Buffernucleos.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de pendientes===
Para el análisis de pendientes se partió del MDT200; un modelo digital del terreno ráster proporcionado por el IGN con un paso de malla de 200 m, es decir, cada píxel del ráster corresponde a un área cuadrada de 200 m de lado, y su valor se traduce en la altitud media de ésta. El análisis es a nivel provincial por lo que consideramos que esta precisión (200 m en longitud y 400m2 en superficies) es suficiente.

Tomando el MDT citado, se realizó un mapa de pendientes con el programa QGIS; este mapa se consigue gracias a un comando incluido en el programa, englobado en las herramientas para archivos ráster, en el apartado de análisis del terreno. Esta herramienta calcula el ángulo de la pendiente de cada celda en grados (basado en primer orden estimación derivada).Se obtiene un mapa con celdas de 200m de lado cuyo valor coincide con la pendiente media en grados de dicha celda.

Este mapa se añade a un directorio de mapas creado en GRASS y se procede a reclasificarlo según el siguiente criterio; si la pendiente es menor del 1% se le asignará el valor 3, si la pendiente se encuentra entre el 1% y el 5% se le asignará a esa celda el valor 2, si la pendiente se encuentra entre el 5% y el 10%, se le asignará a esa celda el valor 1 y si la pendiente supera el 10%, 0. Se debe tener en cuenta que el valor del mapa de pendientes está en grados sexagesimales; para saber la pendiente en estas unidades se debe hacer el cambio de unidades; grados=atan(pendiente en tanto por uno).

[[Archivo:Pendientes.jpg|400px|thumb|center]][[Archivo:Leyendapendientes.jpg|150px|thumb|center]]

===Estudio de proximidad a red principal de transportes===
Una conexión adecuada al resto de la red de transporte es clave para conseguir la intermodalidad de los distintos modos de transporte, que en este aportado se intentó estudiar. Será inevitable la construcción de infraestructuras que permitan conectar el nuevo aeropuerto a la red, sin embargo, es obvio que cuanto más próxima sea la ubicación del mismo, menores serán estas infraestructuras a construir. Para considerar este parámetro se establecerán “buffers” de distinta dimensión en torno a la red principal de carreteras y ferrocarril, la red de AVE y la red de Metro de Madrid.

[[Archivo:Ffcc.png|400px|thumb|center]]

Para la red de carreteras y ferrocarril se establecerán tres niveles. El primero, “muy bueno” corresponde a una distancia de menos de 2km, para la cual las infraestructuras necesarias para la conexión del aeropuerto son mínimas. El siguiente nivel, “bueno” corresponde a una distancia de entre 2 y 5 km, para la cual se necesitará unas infraestructuras poco importantes para la conexión del aeropuerto a la red. Por último, la categoría “adecuado”, para entre 5 y 10 km, que supone unas infraestructuras de cierta importancia para la conexión con la red. Una ubicación a más de 10km de las mencionadas no se considera inaceptable, pero se debería evitar pues el coste de las infraestructuras necesarias empezaría a ser excesivo.

Con las redes de Metro de Madrid y Ave no se considera esta categorización, simplemente se considerará muy positivamente las ubicaciones a menos de 10km de la red de Metro (pues posibilita la construcción de una nueva línea sin que esta sea excesivamente larga) y las ubicaciones a menos de 2km de la red de AVE, pues permite el establecimiento de una parada y de la conexión de la misma con el aeropuerto mediante un medio auxiliar. No se consideran distancias mayores para el AVE pues se considera que carece de sentido realizar una nueva línea, ya que esta contaría con una longitud incompatible con el concepto de tren de alta velocidad.

Finalmente, para considerar conjuntamente todas las redes se hará una suma ponderada a través del algebra de mapas, otorgando un 40% a carreteras, 30% a metro, 20% al cercanías y un 10% al AVE

[[Archivo:Redtransportes.png|400px|thumb|center]]

===Tiempo de viaje a Madrid===
Para los usuarios del aeropuerto, tanto para los de tránsito como para los que su destino final sea Madrid, la cercanía a la ciudad es un punto muy positivo. Para considerar este parámetro se hará una unión de todos los buffers máximos de cada medio de transporte considerado y expuesto anteriormente. Este se intersecará con buffers de 50, 100, 150, 200 y 250 km desde la Puerta del Sol.

El resultado de las distintas intersecciones se considerará como las ubicaciones a 30, 60, 90, 120 y 150 minutos del centro de Madrid. Este es claramente un método aproximado, pero que sin embargo, permite obtener un mapa de tiempos de viaje desde el centro de Madrid de manera rápida y sencilla. Por último se multiplicará esta capa por las puntuaciones asociadas a la red de transportes. Las zonas a 60 minutos se reducirán un 20%, un 40% a las que estén a 90 minutos y así sucesivamente hasta reducir un 20% para las zonas que estén a 150 minutos.

===Resultado final===
Una vez obtenido estos parámetros de forma individual, faltaba combinarlos para obtener un único resultado. Esto se hizo a través de la siguiente fórmula, en el que los coeficientes de ponderación fueron asignados según criterio de gabinete.

Total=0,35∙Tiempo transportes+0,35∙Proximidad núcleos+0,2∙Protegidas+0,1∙Pendientes+Zonas descartadas

Cabe recordar que la proximidad a zonas protegidas penaliza, pero se le asignó a cada pixel un valor negativo por lo que solo será necesario sumarlo en esta operación. El proceso ha sido el siguiente:

Primero se ha obtenido el mapa nombrado como “Descartefinal”, suma de los descartes del buffer de los aeropuertos a 15km, las zonas de suelo urbano y el buffer a los ríos. En un principio los pixeles tenían valor 1 o null. Así pues se usó el null to para poner ceros en vez de null, pudiéndose así sumar a los demás ráster. A continuación se aplicó un reclass, de forma que los ceros se queden como ceros y el resto se hagan nulos. El resultado de la reclasificación es “Descarte final”.

Después se realizó la suma ponderada de “Red Transportes y distancia a Madrid”, “Pendientes”, “Proximidad a núcleos”, “Proximidad a zonas protegidas” y “Descartefinal”. Los valores descartados saldrán con valor nulo gracias a la capa de descarte final. El resultado es el siguiente:

En el mapa “Resultado final” las zonas de mayor tonalidad verde son las que mejor puntuación han recibido, mientras que las blancas son las descartadas. En la elección de las posibles ubicaciones, marcadas en rojo, se han tenido en cuenta dos factores: la nota de ponderación obtenida y las servidumbres aeronaúticas de Madrid, que se adjunta a continuación.

La salida de los aviones comerciales se realiza en dirección norte, mientras que la llegada se realiza en dirección noroeste. Para interferir lo menos posible con esta situación, se ha considerado que la ubicación propuesta en Toledo era la más factible.

== Conclusiones ==
El resultado obtenido es lógico y asemeja bastante a la situación real, por lo que podemos concluir que el estudio ha sido satisfactorio. No obstante, sí que existen mejoras propuestas, como la mencionada anteriormente sobre la geología. Aunque estaba prevista en la metodología inicial considerar la geología, la digitalización de está a la escala del estudio ha sido imposible, por lo que en un futuro podría ser un aspecto a mejorar.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Redtransportes.png

2015-11-29T16:36:58Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Ffcc.png

2015-11-29T16:36:18Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Leyendapendientes.jpg

2015-11-29T16:34:03Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Pendientes.jpg

2015-11-29T16:33:01Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Bufferrios.png

2015-11-29T16:32:01Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Bufferprotegidas.png

2015-11-29T16:31:16Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Descartadas.png

2015-11-29T16:30:05Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Buffernucleos.png

2015-11-29T16:29:03Z

Ignacio Olalquiaga:

Archivo:Zonas Protegidas.png

2015-11-29T16:20:10Z

Ignacio Olalquiaga:

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T16:18:43Z

Ignacio Olalquiaga:

{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López

Juan Junguito Bravo

Cristina Martínez Navarro

Ignacio Olalquiaga Varela| [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Este trabajo se centra en el estudio de ubicación de un aeropuerto que satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid. El primer paso en el proceso seguido consistió en definir un área de actuación. En el ámbito aeronáutico la zona de influencia terrestre de un aeropuerto traspasa la superficie de la ciudad a la que se quiere apoyar, en este caso Madrid, por lo que se tomó la decisión de limitar la zona de influencia a la Comunidad de Madrid y provincias limítrofes. Una vez definido dicho ámbito se procedió a establecer los condicionantes que influyen en el emplazamiento de un aeropuerto.

Así pues se establecieron variables que nos permitieron hacer un primer descarte de las zonas consideradas como no factibles. En este paso se descartaron aquellas zonas con desarrollo urbano, zonas protegidas por motivos medioambientales y por último las zonas de servidumbre aeronáutica. Esta última variable tiene en cuenta la zona de influencia de un aeropuerto o aeródromo, asegurándonos pues que nuestro posible aeropuerto estaba lo suficientemente alejado. Tras realizar un primer descarte, se han considerado aquellas consideradas como no idóneas por motivos de sismicidad. Por último, con las zonas restantes se ha optado por realizar una ponderación según variables que tuvieran en cuenta el impacto acústico e impacto visual, climatología (se ha enfocado a la visibilidad), impacto medioambiental y las conexiones con infraestructuras de transporte. Adicionalmente se ha tenido en cuenta la servidumbre aeronáutica para descartar posibles soluciones.

Los resultados obtenidos son satisfactorios y congruentes con lo que se da en la realidad. Así pues, según los coeficientes de ponderación usados, la mayor puntuación se da en la provincia de Toledo, descartando otras posibles soluciones según las servidumbres aeronáuticas. Futuras mejoras que se podrían hacer al estudio son la posibilidad de incluir el aspecto geológico en la ponderación. En este estudio actual ha sido imposible considerar dicho factor, a pesar de que estaba dentro de la metodología propuesta. Esto se ha debido a la imposibilidad de obtener un mapa geológico digitalizado, ya fuera vectorialmente o en ráster.

== Introducción ==
La Comunidad de Madrid cuenta con uno de los mejores aeropuertos internacionales, el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas. En el año 2014, este aeropuerto registro un tráfico total de 41,815.261 pasajeros lo que supuso un incremento del 5,3% con respecto al dato del curso anterior, lo que le permitió mantener la sexta plaza en el ranking de aeropuertos con más tráfico de Europa. La creciente demanda de pasajeros hará que en un futuro se rebase la capacidad del aeropuerto de Barajas, por lo que este estudio tiene como objetivo ubicar la localización de un posible segundo aeropuerto que apoye las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid.

Este segundo aeropuerto, compatible con el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas, tiene el objetivo de apoyar el tráfico aeronáutico de Madrid, trasladando gradualmente el tráfico aeronáutico a dicho aeropuerto cuando los niveles de congestión de Barajas lo hagan aconsejable. Así pues se lograría en un futuro evitar problemas asociados a la congestión aeronáutica y cuellos de botella. Una capacidad aeroportuaria aumentada mejoraría la calidad del servicio aeroportuario de Madrid, además de impulsar el desarrollo económico y social de dicha Comunidad.

A pesar de que el objetivo de este estudio no es el estudio de la necesidad de un segundo aeropuerto, puesto que el estudio se ha realizado bajo la hipótesis de que en un futuro será necesario disponer de un segundo aeropuerto, si hemos considerado aconsejable manejar unos datos orientativos sobre el plazo temporal en el que se ubica dicha necesidad. Se estima que tras la ampliación del aeropuerto de Barajas de 2007, éste tiene una capacidad para 70 millones de pasajeros año, lo que según las previsiones del Plan Director de Barajas, resulta en una capacidad válida hasta el 2020. Dado que el plazo es inferior a 5 años, se ha considerado un plazo de estudio válido en el que las variables de estudio serán semejables a aquellas en 2020 y durante la vida útil del aeropuerto.

== Metodología ==
Se describen a continuación los datos empleados y las operaciones realizadas.
===Datos empleados===
En cuanto a los datos manejados, éstos han sido:

• Mapa de peligrosidad sísmica de España, del Instituto Geográfico Nacional. Según dicho mapa, el ámbito de estudio se encontraba se clasificaba bajo el mismo riesgo de sismicidad, por lo que no se ha descartado ninguna de las zonas.

• Mapa de Ríos, de la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala E=1:100.000).

• Mapa de España de Autopistas, de la BTN 100.

• Mapa de España de Autovías, de la BTN 100.

• Mapa de metro de Madrid

• Mapa de España de AVE, cercanías y ferrocarriles.

• Mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100.

• Mapa de España de Zonas Protegidas, de la BTN 100.

• Mapa de Servidumbres aeronáuticas de Madrid.

===Operaciones realizadas===
Respecto a las operaciones realizadas, éstas han sido, en su mayoría, de tipo vectorial. Se pueden citar:

• Buffer, para establecer unas determinadas distancias desde las zonas citadas anteriormente (ríos, municipios, etc.) en las que sea posible o no la localización de la central.

• Grafo de rutas: Se han calculado líneas isócronas (aquellas que enlazan puntos desde los cuales se accede al aeropuerto en el mismo tiempo)

• Unión

• Intersección.

• Diferencia: Usado para recortar los buffers con los límites provinciales.

• GRASS: Algebra de mapas sencillas, y herramientas de conversión de archivos vectoriales a ráster usando valores de atributo. Se tanteó la posibilidad de realizar un estudio de visibilidad a través de la herramienta r.los, pero los resultados no han sido los esperados por lo que se descartó su uso. Se ha usado también la herramienta de null to, para poder así sumar distintos mapas ráster y tener en cuenta la presencia de los pixeles que no se hubieran sido clasificados en el mapa.

• Reclasificación (Reclass)

== Resultados ==
Para la localización de la ubicación idónea de este aeropuerto se considerarán de manera conjunta una serie de parámetros que se consideran determinantes para un aeropuerto. A continuación se ilustran dichos parámetros, haciéndose hincapié en los resultados intermedios obtenidos y en los resultados finales.

===Estudio de accesibilidad por carretera===

Los datos descargados diferenciaban entre carreteras de distinto tipo. Se consideró que las carreteras de mayor importancia para acceso a un aeropuerto serían autovías y autopistas. Así pues, se realiza una unión entre ambas capas, y se procedió a realizar un buffer a 2km, 5km y 10km de distancia. Aquellas que se encuentren a una distancia de 2km recibirán mejor puntuación por su mayor accesibilidad. Esta puntuación se ha determinado como 3 para 2km, 2 para 5km y 1 para 10km, aunque luego se le aplicará el factor de ponderación correspondiente.

[[Archivo:Buffercarreteras.png|400px|thumb|center]]

===Estudio de consideración de las zonas protegidas===

Con el fin de evaluar el impacto ambiental del segundo aeropuerto, se ha evaluado la distancia de éste a las zonas protegidas por motivos medioambientales. Así pues se ha realizado un buffer de 2km, 5km y 10km. Las zonas situadas a 2km recibirán una nota negativa en la ponderación (puntuación -3) puesto que su impacto será mayor que la situada a una distancia de 10km (puntuación de -1). Se observa a continuación el resultado intermedio.

===Estudio de la proximidad a otros aeropuertos y otras zonas descartadas===
Al igual que hemos considerado que construir un aeropuerto en una zona de protección ambiental era imposible, también se deben descartar zonas de suelo urbano y zonas en las que ya se encuentre ubicados aeropuertos. Para esto se ha descargado el mapa de aeropuertos y se ha realizado un buffer de 15km para evitar así posibles interferencias con dichos aeropuertos. Uniendo vectorialmente este buffer a las zonas de suelo urbano, se obtiene el mapa de zonas descartadas.

===Estudio de la Climatología ===
Ante la dificultad para obtener datos espaciales referentes a la climatología, se ha decidido que el factor que la visibilidad es la presencia de niebla. Dicha niebla se evaluará teniendo en cuenta la proximidad a ríos, motivo por el cual se ha aplicado un buffer de 2km a los ríos, considerándose dichas zonas como las susceptibles a formación de niebla debido a la evaporación del agua, que pudieran afectar a la visibilidad del aeropuerto. Para evitar esta situación, se ha decidido descartar estas zonas.

===Estudio de los núcleos de población===
Se hizo uso del mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100, que se recortó a continuación con el límite provincial. Para conocer la proximidad de la posible ubicación del aeropuerto a estos núcleos y así determinar que ubicación es de mayor utilidad para la población se han realizado tres buffers de 5km, 10km y 15km. La puntuación para las zonas que se encontrarán en el buffer de 5km ha sido de 3, 2 para el buffer de 10km y por último 1 para el buffer de 15km.

===Estudio de pendientes===
Para el análisis de pendientes se partió del MDT200; un modelo digital del terreno ráster proporcionado por el IGN con un paso de malla de 200 m, es decir, cada píxel del ráster corresponde a un área cuadrada de 200 m de lado, y su valor se traduce en la altitud media de ésta. El análisis es a nivel provincial por lo que consideramos que esta precisión (200 m en longitud y 400m2 en superficies) es suficiente.

Tomando el MDT citado, se realizó un mapa de pendientes con el programa QGIS; este mapa se consigue gracias a un comando incluido en el programa, englobado en las herramientas para archivos ráster, en el apartado de análisis del terreno. Esta herramienta calcula el ángulo de la pendiente de cada celda en grados (basado en primer orden estimación derivada).Se obtiene un mapa con celdas de 200m de lado cuyo valor coincide con la pendiente media en grados de dicha celda.

Este mapa se añade a un directorio de mapas creado en GRASS y se procede a reclasificarlo según el siguiente criterio; si la pendiente es menor del 1% se le asignará el valor 3, si la pendiente se encuentra entre el 1% y el 5% se le asignará a esa celda el valor 2, si la pendiente se encuentra entre el 5% y el 10%, se le asignará a esa celda el valor 1 y si la pendiente supera el 10%, 0. Se debe tener en cuenta que el valor del mapa de pendientes está en grados sexagesimales; para saber la pendiente en estas unidades se debe hacer el cambio de unidades; grados=atan(pendiente en tanto por uno).

===Estudio de proximidad a red principal de transportes===
Una conexión adecuada al resto de la red de transporte es clave para conseguir la intermodalidad de los distintos modos de transporte, que en este aportado se intentó estudiar. Será inevitable la construcción de infraestructuras que permitan conectar el nuevo aeropuerto a la red, sin embargo, es obvio que cuanto más próxima sea la ubicación del mismo, menores serán estas infraestructuras a construir. Para considerar este parámetro se establecerán “buffers” de distinta dimensión en torno a la red principal de carreteras y ferrocarril, la red de AVE y la red de Metro de Madrid.

Para la red de carreteras y ferrocarril se establecerán tres niveles. El primero, “muy bueno” corresponde a una distancia de menos de 2km, para la cual las infraestructuras necesarias para la conexión del aeropuerto son mínimas. El siguiente nivel, “bueno” corresponde a una distancia de entre 2 y 5 km, para la cual se necesitará unas infraestructuras poco importantes para la conexión del aeropuerto a la red. Por último, la categoría “adecuado”, para entre 5 y 10 km, que supone unas infraestructuras de cierta importancia para la conexión con la red. Una ubicación a más de 10km de las mencionadas no se considera inaceptable, pero se debería evitar pues el coste de las infraestructuras necesarias empezaría a ser excesivo.

Con las redes de Metro de Madrid y Ave no se considera esta categorización, simplemente se considerará muy positivamente las ubicaciones a menos de 10km de la red de Metro (pues posibilita la construcción de una nueva línea sin que esta sea excesivamente larga) y las ubicaciones a menos de 2km de la red de AVE, pues permite el establecimiento de una parada y de la conexión de la misma con el aeropuerto mediante un medio auxiliar. No se consideran distancias mayores para el AVE pues se considera que carece de sentido realizar una nueva línea, ya que esta contaría con una longitud incompatible con el concepto de tren de alta velocidad.

Finalmente, para considerar conjuntamente todas las redes se hará una suma ponderada a través del algebra de mapas, otorgando un 40% a carreteras, 30% a metro, 20% al cercanías y un 10% al AVE

===Tiempo de viaje a Madrid===
Para los usuarios del aeropuerto, tanto para los de tránsito como para los que su destino final sea Madrid, la cercanía a la ciudad es un punto muy positivo. Para considerar este parámetro se hará una unión de todos los buffers máximos de cada medio de transporte considerado y expuesto anteriormente. Este se intersecará con buffers de 50, 100, 150, 200 y 250 km desde la Puerta del Sol.

El resultado de las distintas intersecciones se considerará como las ubicaciones a 30, 60, 90, 120 y 150 minutos del centro de Madrid. Este es claramente un método aproximado, pero que sin embargo, permite obtener un mapa de tiempos de viaje desde el centro de Madrid de manera rápida y sencilla. Por último se multiplicará esta capa por las puntuaciones asociadas a la red de transportes. Las zonas a 60 minutos se reducirán un 20%, un 40% a las que estén a 90 minutos y así sucesivamente hasta reducir un 20% para las zonas que estén a 150 minutos.

===Resultado final===
Una vez obtenido estos parámetros de forma individual, faltaba combinarlos para obtener un único resultado. Esto se hizo a través de la siguiente fórmula, en el que los coeficientes de ponderación fueron asignados según criterio de gabinete.

Total=0,35∙Tiempo transportes+0,35∙Proximidad núcleos+0,2∙Protegidas+0,1∙Pendientes+Zonas descartadas

Cabe recordar que la proximidad a zonas protegidas penaliza, pero se le asignó a cada pixel un valor negativo por lo que solo será necesario sumarlo en esta operación. El proceso ha sido el siguiente:

Primero se ha obtenido el mapa nombrado como “Descartefinal”, suma de los descartes del buffer de los aeropuertos a 15km, las zonas de suelo urbano y el buffer a los ríos. En un principio los pixeles tenían valor 1 o null. Así pues se usó el null to para poner ceros en vez de null, pudiéndose así sumar a los demás ráster. A continuación se aplicó un reclass, de forma que los ceros se queden como ceros y el resto se hagan nulos. El resultado de la reclasificación es “Descarte final”.

Después se realizó la suma ponderada de “Red Transportes y distancia a Madrid”, “Pendientes”, “Proximidad a núcleos”, “Proximidad a zonas protegidas” y “Descartefinal”. Los valores descartados saldrán con valor nulo gracias a la capa de descarte final. El resultado es el siguiente:

En el mapa “Resultado final” las zonas de mayor tonalidad verde son las que mejor puntuación han recibido, mientras que las blancas son las descartadas. En la elección de las posibles ubicaciones, marcadas en rojo, se han tenido en cuenta dos factores: la nota de ponderación obtenida y las servidumbres aeronaúticas de Madrid, que se adjunta a continuación.

La salida de los aviones comerciales se realiza en dirección norte, mientras que la llegada se realiza en dirección noroeste. Para interferir lo menos posible con esta situación, se ha considerado que la ubicación propuesta en Toledo era la más factible.

== Conclusiones ==
El resultado obtenido es lógico y asemeja bastante a la situación real, por lo que podemos concluir que el estudio ha sido satisfactorio. No obstante, sí que existen mejoras propuestas, como la mencionada anteriormente sobre la geología. Aunque estaba prevista en la metodología inicial considerar la geología, la digitalización de está a la escala del estudio ha sido imposible, por lo que en un futuro podría ser un aspecto a mejorar.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Buffercarreteras.png

2015-11-29T16:15:52Z

Ignacio Olalquiaga:

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T16:12:02Z

Ignacio Olalquiaga:

{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López

Juan Junguito Bravo

Cristina Martínez Navarro

Ignacio Olalquiaga Varela| [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Este trabajo se centra en el estudio de ubicación de un aeropuerto que satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid. El primer paso en el proceso seguido consistió en definir un área de actuación. En el ámbito aeronáutico la zona de influencia terrestre de un aeropuerto traspasa la superficie de la ciudad a la que se quiere apoyar, en este caso Madrid, por lo que se tomó la decisión de limitar la zona de influencia a la Comunidad de Madrid y provincias limítrofes. Una vez definido dicho ámbito se procedió a establecer los condicionantes que influyen en el emplazamiento de un aeropuerto.

Así pues se establecieron variables que nos permitieron hacer un primer descarte de las zonas consideradas como no factibles. En este paso se descartaron aquellas zonas con desarrollo urbano, zonas protegidas por motivos medioambientales y por último las zonas de servidumbre aeronáutica. Esta última variable tiene en cuenta la zona de influencia de un aeropuerto o aeródromo, asegurándonos pues que nuestro posible aeropuerto estaba lo suficientemente alejado. Tras realizar un primer descarte, se han considerado aquellas consideradas como no idóneas por motivos de sismicidad. Por último, con las zonas restantes se ha optado por realizar una ponderación según variables que tuvieran en cuenta el impacto acústico e impacto visual, climatología (se ha enfocado a la visibilidad), impacto medioambiental y las conexiones con infraestructuras de transporte. Adicionalmente se ha tenido en cuenta la servidumbre aeronáutica para descartar posibles soluciones.

Los resultados obtenidos son satisfactorios y congruentes con lo que se da en la realidad. Así pues, según los coeficientes de ponderación usados, la mayor puntuación se da en la provincia de Toledo, descartando otras posibles soluciones según las servidumbres aeronáuticas. Futuras mejoras que se podrían hacer al estudio son la posibilidad de incluir el aspecto geológico en la ponderación. En este estudio actual ha sido imposible considerar dicho factor, a pesar de que estaba dentro de la metodología propuesta. Esto se ha debido a la imposibilidad de obtener un mapa geológico digitalizado, ya fuera vectorialmente o en ráster.

== Introducción ==
La Comunidad de Madrid cuenta con uno de los mejores aeropuertos internacionales, el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas. En el año 2014, este aeropuerto registro un tráfico total de 41,815.261 pasajeros lo que supuso un incremento del 5,3% con respecto al dato del curso anterior, lo que le permitió mantener la sexta plaza en el ranking de aeropuertos con más tráfico de Europa. La creciente demanda de pasajeros hará que en un futuro se rebase la capacidad del aeropuerto de Barajas, por lo que este estudio tiene como objetivo ubicar la localización de un posible segundo aeropuerto que apoye las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid.

Este segundo aeropuerto, compatible con el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas, tiene el objetivo de apoyar el tráfico aeronáutico de Madrid, trasladando gradualmente el tráfico aeronáutico a dicho aeropuerto cuando los niveles de congestión de Barajas lo hagan aconsejable. Así pues se lograría en un futuro evitar problemas asociados a la congestión aeronáutica y cuellos de botella. Una capacidad aeroportuaria aumentada mejoraría la calidad del servicio aeroportuario de Madrid, además de impulsar el desarrollo económico y social de dicha Comunidad.

A pesar de que el objetivo de este estudio no es el estudio de la necesidad de un segundo aeropuerto, puesto que el estudio se ha realizado bajo la hipótesis de que en un futuro será necesario disponer de un segundo aeropuerto, si hemos considerado aconsejable manejar unos datos orientativos sobre el plazo temporal en el que se ubica dicha necesidad. Se estima que tras la ampliación del aeropuerto de Barajas de 2007, éste tiene una capacidad para 70 millones de pasajeros año, lo que según las previsiones del Plan Director de Barajas, resulta en una capacidad válida hasta el 2020. Dado que el plazo es inferior a 5 años, se ha considerado un plazo de estudio válido en el que las variables de estudio serán semejables a aquellas en 2020 y durante la vida útil del aeropuerto.

== Metodología ==
Se describen a continuación los datos empleados y las operaciones realizadas.
===Datos empleados===
En cuanto a los datos manejados, éstos han sido:

• Mapa de peligrosidad sísmica de España, del Instituto Geográfico Nacional. Según dicho mapa, el ámbito de estudio se encontraba se clasificaba bajo el mismo riesgo de sismicidad, por lo que no se ha descartado ninguna de las zonas.

• Mapa de Ríos, de la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala E=1:100.000).

• Mapa de España de Autopistas, de la BTN 100.

• Mapa de España de Autovías, de la BTN 100.

• Mapa de metro de Madrid

• Mapa de España de AVE, cercanías y ferrocarriles.

• Mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100.

• Mapa de España de Zonas Protegidas, de la BTN 100.

• Mapa de Servidumbres aeronáuticas de Madrid.

===Operaciones realizadas===
Respecto a las operaciones realizadas, éstas han sido, en su mayoría, de tipo vectorial. Se pueden citar:

• Buffer, para establecer unas determinadas distancias desde las zonas citadas anteriormente (ríos, municipios, etc.) en las que sea posible o no la localización de la central.

• Grafo de rutas: Se han calculado líneas isócronas (aquellas que enlazan puntos desde los cuales se accede al aeropuerto en el mismo tiempo)

• Unión

• Intersección.

• Diferencia: Usado para recortar los buffers con los límites provinciales.

• GRASS: Algebra de mapas sencillas, y herramientas de conversión de archivos vectoriales a ráster usando valores de atributo. Se tanteó la posibilidad de realizar un estudio de visibilidad a través de la herramienta r.los, pero los resultados no han sido los esperados por lo que se descartó su uso. Se ha usado también la herramienta de null to, para poder así sumar distintos mapas ráster y tener en cuenta la presencia de los pixeles que no se hubieran sido clasificados en el mapa.

• Reclasificación (Reclass)

== Resultados ==
Para la localización de la ubicación idónea de este aeropuerto se considerarán de manera conjunta una serie de parámetros que se consideran determinantes para un aeropuerto. A continuación se ilustran dichos parámetros, haciéndose hincapié en los resultados intermedios obtenidos y en los resultados finales.

===Estudio de accesibilidad por carretera===

Los datos descargados diferenciaban entre carreteras de distinto tipo. Se consideró que las carreteras de mayor importancia para acceso a un aeropuerto serían autovías y autopistas. Así pues, se realiza una unión entre ambas capas, y se procedió a realizar un buffer a 2km, 5km y 10km de distancia. Aquellas que se encuentren a una distancia de 2km recibirán mejor puntuación por su mayor accesibilidad. Esta puntuación se ha determinado como 3 para 2km, 2 para 5km y 1 para 10km, aunque luego se le aplicará el factor de ponderación correspondiente.

===Estudio de consideración de las zonas protegidas===

Con el fin de evaluar el impacto ambiental del segundo aeropuerto, se ha evaluado la distancia de éste a las zonas protegidas por motivos medioambientales. Así pues se ha realizado un buffer de 2km, 5km y 10km. Las zonas situadas a 2km recibirán una nota negativa en la ponderación (puntuación -3) puesto que su impacto será mayor que la situada a una distancia de 10km (puntuación de -1). Se observa a continuación el resultado intermedio.

===Estudio de la proximidad a otros aeropuertos y otras zonas descartadas===
Al igual que hemos considerado que construir un aeropuerto en una zona de protección ambiental era imposible, también se deben descartar zonas de suelo urbano y zonas en las que ya se encuentre ubicados aeropuertos. Para esto se ha descargado el mapa de aeropuertos y se ha realizado un buffer de 15km para evitar así posibles interferencias con dichos aeropuertos. Uniendo vectorialmente este buffer a las zonas de suelo urbano, se obtiene el mapa de zonas descartadas.

===Estudio de la Climatología ===
Ante la dificultad para obtener datos espaciales referentes a la climatología, se ha decidido que el factor que la visibilidad es la presencia de niebla. Dicha niebla se evaluará teniendo en cuenta la proximidad a ríos, motivo por el cual se ha aplicado un buffer de 2km a los ríos, considerándose dichas zonas como las susceptibles a formación de niebla debido a la evaporación del agua, que pudieran afectar a la visibilidad del aeropuerto. Para evitar esta situación, se ha decidido descartar estas zonas.

===Estudio de los núcleos de población===
Se hizo uso del mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100, que se recortó a continuación con el límite provincial. Para conocer la proximidad de la posible ubicación del aeropuerto a estos núcleos y así determinar que ubicación es de mayor utilidad para la población se han realizado tres buffers de 5km, 10km y 15km. La puntuación para las zonas que se encontrarán en el buffer de 5km ha sido de 3, 2 para el buffer de 10km y por último 1 para el buffer de 15km.

===Estudio de pendientes===
Para el análisis de pendientes se partió del MDT200; un modelo digital del terreno ráster proporcionado por el IGN con un paso de malla de 200 m, es decir, cada píxel del ráster corresponde a un área cuadrada de 200 m de lado, y su valor se traduce en la altitud media de ésta. El análisis es a nivel provincial por lo que consideramos que esta precisión (200 m en longitud y 400m2 en superficies) es suficiente.

Tomando el MDT citado, se realizó un mapa de pendientes con el programa QGIS; este mapa se consigue gracias a un comando incluido en el programa, englobado en las herramientas para archivos ráster, en el apartado de análisis del terreno. Esta herramienta calcula el ángulo de la pendiente de cada celda en grados (basado en primer orden estimación derivada).Se obtiene un mapa con celdas de 200m de lado cuyo valor coincide con la pendiente media en grados de dicha celda.

Este mapa se añade a un directorio de mapas creado en GRASS y se procede a reclasificarlo según el siguiente criterio; si la pendiente es menor del 1% se le asignará el valor 3, si la pendiente se encuentra entre el 1% y el 5% se le asignará a esa celda el valor 2, si la pendiente se encuentra entre el 5% y el 10%, se le asignará a esa celda el valor 1 y si la pendiente supera el 10%, 0. Se debe tener en cuenta que el valor del mapa de pendientes está en grados sexagesimales; para saber la pendiente en estas unidades se debe hacer el cambio de unidades; grados=atan(pendiente en tanto por uno).

===Estudio de proximidad a red principal de transportes===
Una conexión adecuada al resto de la red de transporte es clave para conseguir la intermodalidad de los distintos modos de transporte, que en este aportado se intentó estudiar. Será inevitable la construcción de infraestructuras que permitan conectar el nuevo aeropuerto a la red, sin embargo, es obvio que cuanto más próxima sea la ubicación del mismo, menores serán estas infraestructuras a construir. Para considerar este parámetro se establecerán “buffers” de distinta dimensión en torno a la red principal de carreteras y ferrocarril, la red de AVE y la red de Metro de Madrid.

Para la red de carreteras y ferrocarril se establecerán tres niveles. El primero, “muy bueno” corresponde a una distancia de menos de 2km, para la cual las infraestructuras necesarias para la conexión del aeropuerto son mínimas. El siguiente nivel, “bueno” corresponde a una distancia de entre 2 y 5 km, para la cual se necesitará unas infraestructuras poco importantes para la conexión del aeropuerto a la red. Por último, la categoría “adecuado”, para entre 5 y 10 km, que supone unas infraestructuras de cierta importancia para la conexión con la red. Una ubicación a más de 10km de las mencionadas no se considera inaceptable, pero se debería evitar pues el coste de las infraestructuras necesarias empezaría a ser excesivo.

Con las redes de Metro de Madrid y Ave no se considera esta categorización, simplemente se considerará muy positivamente las ubicaciones a menos de 10km de la red de Metro (pues posibilita la construcción de una nueva línea sin que esta sea excesivamente larga) y las ubicaciones a menos de 2km de la red de AVE, pues permite el establecimiento de una parada y de la conexión de la misma con el aeropuerto mediante un medio auxiliar. No se consideran distancias mayores para el AVE pues se considera que carece de sentido realizar una nueva línea, ya que esta contaría con una longitud incompatible con el concepto de tren de alta velocidad.

Finalmente, para considerar conjuntamente todas las redes se hará una suma ponderada a través del algebra de mapas, otorgando un 40% a carreteras, 30% a metro, 20% al cercanías y un 10% al AVE

===Tiempo de viaje a Madrid===
Para los usuarios del aeropuerto, tanto para los de tránsito como para los que su destino final sea Madrid, la cercanía a la ciudad es un punto muy positivo. Para considerar este parámetro se hará una unión de todos los buffers máximos de cada medio de transporte considerado y expuesto anteriormente. Este se intersecará con buffers de 50, 100, 150, 200 y 250 km desde la Puerta del Sol.

El resultado de las distintas intersecciones se considerará como las ubicaciones a 30, 60, 90, 120 y 150 minutos del centro de Madrid. Este es claramente un método aproximado, pero que sin embargo, permite obtener un mapa de tiempos de viaje desde el centro de Madrid de manera rápida y sencilla. Por último se multiplicará esta capa por las puntuaciones asociadas a la red de transportes. Las zonas a 60 minutos se reducirán un 20%, un 40% a las que estén a 90 minutos y así sucesivamente hasta reducir un 20% para las zonas que estén a 150 minutos.

===Resultado final===
Una vez obtenido estos parámetros de forma individual, faltaba combinarlos para obtener un único resultado. Esto se hizo a través de la siguiente fórmula, en el que los coeficientes de ponderación fueron asignados según criterio de gabinete.

Total=0,35∙Tiempo transportes+0,35∙Proximidad núcleos+0,2∙Protegidas+0,1∙Pendientes+Zonas descartadas

Cabe recordar que la proximidad a zonas protegidas penaliza, pero se le asignó a cada pixel un valor negativo por lo que solo será necesario sumarlo en esta operación. El proceso ha sido el siguiente:

Primero se ha obtenido el mapa nombrado como “Descartefinal”, suma de los descartes del buffer de los aeropuertos a 15km, las zonas de suelo urbano y el buffer a los ríos. En un principio los pixeles tenían valor 1 o null. Así pues se usó el null to para poner ceros en vez de null, pudiéndose así sumar a los demás ráster. A continuación se aplicó un reclass, de forma que los ceros se queden como ceros y el resto se hagan nulos. El resultado de la reclasificación es “Descarte final”.

Después se realizó la suma ponderada de “Red Transportes y distancia a Madrid”, “Pendientes”, “Proximidad a núcleos”, “Proximidad a zonas protegidas” y “Descartefinal”. Los valores descartados saldrán con valor nulo gracias a la capa de descarte final. El resultado es el siguiente:

En el mapa “Resultado final” las zonas de mayor tonalidad verde son las que mejor puntuación han recibido, mientras que las blancas son las descartadas. En la elección de las posibles ubicaciones, marcadas en rojo, se han tenido en cuenta dos factores: la nota de ponderación obtenida y las servidumbres aeronaúticas de Madrid, que se adjunta a continuación.

La salida de los aviones comerciales se realiza en dirección norte, mientras que la llegada se realiza en dirección noroeste. Para interferir lo menos posible con esta situación, se ha considerado que la ubicación propuesta en Toledo era la más factible.

== Conclusiones ==
El resultado obtenido es lógico y asemeja bastante a la situación real, por lo que podemos concluir que el estudio ha sido satisfactorio. No obstante, sí que existen mejoras propuestas, como la mencionada anteriormente sobre la geología. Aunque estaba prevista en la metodología inicial considerar la geología, la digitalización de está a la escala del estudio ha sido imposible, por lo que en un futuro podría ser un aspecto a mejorar.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T16:10:21Z

Ignacio Olalquiaga: /* Resultado final */

{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López

Juan Junguito Bravo

Cristina Martínez Navarro

Ignacio Olalquiaga Varela| [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Este trabajo se centra en el estudio de ubicación de un aeropuerto que satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid. El primer paso en el proceso seguido consistió en definir un área de actuación. En el ámbito aeronáutico la zona de influencia terrestre de un aeropuerto traspasa la superficie de la ciudad a la que se quiere apoyar, en este caso Madrid, por lo que se tomó la decisión de limitar la zona de influencia a la Comunidad de Madrid y provincias limítrofes. Una vez definido dicho ámbito se procedió a establecer los condicionantes que influyen en el emplazamiento de un aeropuerto.

Así pues se establecieron variables que nos permitieron hacer un primer descarte de las zonas consideradas como no factibles. En este paso se descartaron aquellas zonas con desarrollo urbano, zonas protegidas por motivos medioambientales y por último las zonas de servidumbre aeronáutica. Esta última variable tiene en cuenta la zona de influencia de un aeropuerto o aeródromo, asegurándonos pues que nuestro posible aeropuerto estaba lo suficientemente alejado. Tras realizar un primer descarte, se han considerado aquellas consideradas como no idóneas por motivos de sismicidad. Por último, con las zonas restantes se ha optado por realizar una ponderación según variables que tuvieran en cuenta el impacto acústico e impacto visual, climatología (se ha enfocado a la visibilidad), impacto medioambiental y las conexiones con infraestructuras de transporte. Adicionalmente se ha tenido en cuenta la servidumbre aeronáutica para descartar posibles soluciones.

Los resultados obtenidos son satisfactorios y congruentes con lo que se da en la realidad. Así pues, según los coeficientes de ponderación usados, la mayor puntuación se da en la provincia de Toledo, descartando otras posibles soluciones según las servidumbres aeronáuticas. Futuras mejoras que se podrían hacer al estudio son la posibilidad de incluir el aspecto geológico en la ponderación. En este estudio actual ha sido imposible considerar dicho factor, a pesar de que estaba dentro de la metodología propuesta. Esto se ha debido a la imposibilidad de obtener un mapa geológico digitalizado, ya fuera vectorialmente o en ráster.

== Introducción ==
La Comunidad de Madrid cuenta con uno de los mejores aeropuertos internacionales, el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas. En el año 2014, este aeropuerto registro un tráfico total de 41,815.261 pasajeros lo que supuso un incremento del 5,3% con respecto al dato del curso anterior, lo que le permitió mantener la sexta plaza en el ranking de aeropuertos con más tráfico de Europa. La creciente demanda de pasajeros hará que en un futuro se rebase la capacidad del aeropuerto de Barajas, por lo que este estudio tiene como objetivo ubicar la localización de un posible segundo aeropuerto que apoye las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid.

Este segundo aeropuerto, compatible con el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas, tiene el objetivo de apoyar el tráfico aeronáutico de Madrid, trasladando gradualmente el tráfico aeronáutico a dicho aeropuerto cuando los niveles de congestión de Barajas lo hagan aconsejable. Así pues se lograría en un futuro evitar problemas asociados a la congestión aeronáutica y cuellos de botella. Una capacidad aeroportuaria aumentada mejoraría la calidad del servicio aeroportuario de Madrid, además de impulsar el desarrollo económico y social de dicha Comunidad.

A pesar de que el objetivo de este estudio no es el estudio de la necesidad de un segundo aeropuerto, puesto que el estudio se ha realizado bajo la hipótesis de que en un futuro será necesario disponer de un segundo aeropuerto, si hemos considerado aconsejable manejar unos datos orientativos sobre el plazo temporal en el que se ubica dicha necesidad. Se estima que tras la ampliación del aeropuerto de Barajas de 2007, éste tiene una capacidad para 70 millones de pasajeros año, lo que según las previsiones del Plan Director de Barajas, resulta en una capacidad válida hasta el 2020. Dado que el plazo es inferior a 5 años, se ha considerado un plazo de estudio válido en el que las variables de estudio serán semejables a aquellas en 2020 y durante la vida útil del aeropuerto.

== Metodología ==
Se describen a continuación los datos empleados y las operaciones realizadas.
===Datos empleados===
En cuanto a los datos manejados, éstos han sido:

• Mapa de peligrosidad sísmica de España, del Instituto Geográfico Nacional. Según dicho mapa, el ámbito de estudio se encontraba se clasificaba bajo el mismo riesgo de sismicidad, por lo que no se ha descartado ninguna de las zonas.

• Mapa de Ríos, de la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala E=1:100.000).

• Mapa de España de Autopistas, de la BTN 100.

• Mapa de España de Autovías, de la BTN 100.

• Mapa de metro de Madrid

• Mapa de España de AVE, cercanías y ferrocarriles.

• Mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100.

• Mapa de España de Zonas Protegidas, de la BTN 100.

• Mapa de Servidumbres aeronáuticas de Madrid.

===Operaciones realizadas===
Respecto a las operaciones realizadas, éstas han sido, en su mayoría, de tipo vectorial. Se pueden citar:

• Buffer, para establecer unas determinadas distancias desde las zonas citadas anteriormente (ríos, municipios, etc.) en las que sea posible o no la localización de la central.

• Grafo de rutas: Se han calculado líneas isócronas (aquellas que enlazan puntos desde los cuales se accede al aeropuerto en el mismo tiempo)

• Unión

• Intersección.

• Diferencia: Usado para recortar los buffers con los límites provinciales.

• GRASS: Algebra de mapas sencillas, y herramientas de conversión de archivos vectoriales a ráster usando valores de atributo. Se tanteó la posibilidad de realizar un estudio de visibilidad a través de la herramienta r.los, pero los resultados no han sido los esperados por lo que se descartó su uso. Se ha usado también la herramienta de null to, para poder así sumar distintos mapas ráster y tener en cuenta la presencia de los pixeles que no se hubieran sido clasificados en el mapa.

• Reclasificación (Reclass)

== Resultados ==
Para la localización de la ubicación idónea de este aeropuerto se considerarán de manera conjunta una serie de parámetros que se consideran determinantes para un aeropuerto. A continuación se ilustran dichos parámetros, haciéndose hincapié en los resultados intermedios obtenidos y en los resultados finales.

===Estudio de accesibilidad por carretera===

Los datos descargados diferenciaban entre carreteras de distinto tipo. Se consideró que las carreteras de mayor importancia para acceso a un aeropuerto serían autovías y autopistas. Así pues, se realiza una unión entre ambas capas, y se procedió a realizar un buffer a 2km, 5km y 10km de distancia. Aquellas que se encuentren a una distancia de 2km recibirán mejor puntuación por su mayor accesibilidad. Esta puntuación se ha determinado como 3 para 2km, 2 para 5km y 1 para 10km, aunque luego se le aplicará el factor de ponderación correspondiente.

===Estudio de consideración de las zonas protegidas===

Con el fin de evaluar el impacto ambiental del segundo aeropuerto, se ha evaluado la distancia de éste a las zonas protegidas por motivos medioambientales. Así pues se ha realizado un buffer de 2km, 5km y 10km. Las zonas situadas a 2km recibirán una nota negativa en la ponderación (puntuación -3) puesto que su impacto será mayor que la situada a una distancia de 10km (puntuación de -1). Se observa a continuación el resultado intermedio.

===Estudio de la proximidad a otros aeropuertos y otras zonas descartadas===
Al igual que hemos considerado que construir un aeropuerto en una zona de protección ambiental era imposible, también se deben descartar zonas de suelo urbano y zonas en las que ya se encuentre ubicados aeropuertos. Para esto se ha descargado el mapa de aeropuertos y se ha realizado un buffer de 15km para evitar así posibles interferencias con dichos aeropuertos. Uniendo vectorialmente este buffer a las zonas de suelo urbano, se obtiene el mapa de zonas descartadas.

===Estudio de la Climatología ===
Ante la dificultad para obtener datos espaciales referentes a la climatología, se ha decidido que el factor que la visibilidad es la presencia de niebla. Dicha niebla se evaluará teniendo en cuenta la proximidad a ríos, motivo por el cual se ha aplicado un buffer de 2km a los ríos, considerándose dichas zonas como las susceptibles a formación de niebla debido a la evaporación del agua, que pudieran afectar a la visibilidad del aeropuerto. Para evitar esta situación, se ha decidido descartar estas zonas.

===Estudio de los núcleos de población===
Se hizo uso del mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100, que se recortó a continuación con el límite provincial. Para conocer la proximidad de la posible ubicación del aeropuerto a estos núcleos y así determinar que ubicación es de mayor utilidad para la población se han realizado tres buffers de 5km, 10km y 15km. La puntuación para las zonas que se encontrarán en el buffer de 5km ha sido de 3, 2 para el buffer de 10km y por último 1 para el buffer de 15km.

===Estudio de pendientes===
Para el análisis de pendientes se partió del MDT200; un modelo digital del terreno ráster proporcionado por el IGN con un paso de malla de 200 m, es decir, cada píxel del ráster corresponde a un área cuadrada de 200 m de lado, y su valor se traduce en la altitud media de ésta. El análisis es a nivel provincial por lo que consideramos que esta precisión (200 m en longitud y 400m2 en superficies) es suficiente.

Tomando el MDT citado, se realizó un mapa de pendientes con el programa QGIS; este mapa se consigue gracias a un comando incluido en el programa, englobado en las herramientas para archivos ráster, en el apartado de análisis del terreno. Esta herramienta calcula el ángulo de la pendiente de cada celda en grados (basado en primer orden estimación derivada).Se obtiene un mapa con celdas de 200m de lado cuyo valor coincide con la pendiente media en grados de dicha celda.

Este mapa se añade a un directorio de mapas creado en GRASS y se procede a reclasificarlo según el siguiente criterio; si la pendiente es menor del 1% se le asignará el valor 3, si la pendiente se encuentra entre el 1% y el 5% se le asignará a esa celda el valor 2, si la pendiente se encuentra entre el 5% y el 10%, se le asignará a esa celda el valor 1 y si la pendiente supera el 10%, 0. Se debe tener en cuenta que el valor del mapa de pendientes está en grados sexagesimales; para saber la pendiente en estas unidades se debe hacer el cambio de unidades; grados=atan(pendiente en tanto por uno).

===Estudio de proximidad a red principal de transportes===
Una conexión adecuada al resto de la red de transporte es clave para conseguir la intermodalidad de los distintos modos de transporte, que en este aportado se intentó estudiar. Será inevitable la construcción de infraestructuras que permitan conectar el nuevo aeropuerto a la red, sin embargo, es obvio que cuanto más próxima sea la ubicación del mismo, menores serán estas infraestructuras a construir. Para considerar este parámetro se establecerán “buffers” de distinta dimensión en torno a la red principal de carreteras y ferrocarril, la red de AVE y la red de Metro de Madrid.

Para la red de carreteras y ferrocarril se establecerán tres niveles. El primero, “muy bueno” corresponde a una distancia de menos de 2km, para la cual las infraestructuras necesarias para la conexión del aeropuerto son mínimas. El siguiente nivel, “bueno” corresponde a una distancia de entre 2 y 5 km, para la cual se necesitará unas infraestructuras poco importantes para la conexión del aeropuerto a la red. Por último, la categoría “adecuado”, para entre 5 y 10 km, que supone unas infraestructuras de cierta importancia para la conexión con la red. Una ubicación a más de 10km de las mencionadas no se considera inaceptable, pero se debería evitar pues el coste de las infraestructuras necesarias empezaría a ser excesivo.

Con las redes de Metro de Madrid y Ave no se considera esta categorización, simplemente se considerará muy positivamente las ubicaciones a menos de 10km de la red de Metro (pues posibilita la construcción de una nueva línea sin que esta sea excesivamente larga) y las ubicaciones a menos de 2km de la red de AVE, pues permite el establecimiento de una parada y de la conexión de la misma con el aeropuerto mediante un medio auxiliar. No se consideran distancias mayores para el AVE pues se considera que carece de sentido realizar una nueva línea, ya que esta contaría con una longitud incompatible con el concepto de tren de alta velocidad.

Finalmente, para considerar conjuntamente todas las redes se hará una suma ponderada a través del algebra de mapas, otorgando un 40% a carreteras, 30% a metro, 20% al cercanías y un 10% al AVE

===Tiempo de viaje a Madrid===
Para los usuarios del aeropuerto, tanto para los de tránsito como para los que su destino final sea Madrid, la cercanía a la ciudad es un punto muy positivo. Para considerar este parámetro se hará una unión de todos los buffers máximos de cada medio de transporte considerado y expuesto anteriormente. Este se intersecará con buffers de 50, 100, 150, 200 y 250 km desde la Puerta del Sol.

El resultado de las distintas intersecciones se considerará como las ubicaciones a 30, 60, 90, 120 y 150 minutos del centro de Madrid. Este es claramente un método aproximado, pero que sin embargo, permite obtener un mapa de tiempos de viaje desde el centro de Madrid de manera rápida y sencilla. Por último se multiplicará esta capa por las puntuaciones asociadas a la red de transportes. Las zonas a 60 minutos se reducirán un 20%, un 40% a las que estén a 90 minutos y así sucesivamente hasta reducir un 20% para las zonas que estén a 150 minutos.

===Resultado final===
Una vez obtenido estos parámetros de forma individual, faltaba combinarlos para obtener un único resultado. Esto se hizo a través de la siguiente fórmula, en el que los coeficientes de ponderación fueron asignados según criterio de gabinete.

Total=0,35∙Tiempo transportes+0,35∙Proximidad núcleos+0,2∙Protegidas+0,1∙Pendientes+Zonas descartadas

Cabe recordar que la proximidad a zonas protegidas penaliza, pero se le asignó a cada pixel un valor negativo por lo que solo será necesario sumarlo en esta operación. El proceso ha sido el siguiente:

Primero se ha obtenido el mapa nombrado como “Descartefinal”, suma de los descartes del buffer de los aeropuertos a 15km, las zonas de suelo urbano y el buffer a los ríos. En un principio los pixeles tenían valor 1 o null. Así pues se usó el null to para poner ceros en vez de null, pudiéndose así sumar a los demás ráster. A continuación se aplicó un reclass, de forma que los ceros se queden como ceros y el resto se hagan nulos. El resultado de la reclasificación es “Descarte final”.

Después se realizó la suma ponderada de “Red Transportes y distancia a Madrid”, “Pendientes”, “Proximidad a núcleos”, “Proximidad a zonas protegidas” y “Descartefinal”. Los valores descartados saldrán con valor nulo gracias a la capa de descarte final. El resultado es el siguiente:

En el mapa “Resultado final” las zonas de mayor tonalidad verde son las que mejor puntuación han recibido, mientras que las blancas son las descartadas. En la elección de las posibles ubicaciones, marcadas en rojo, se han tenido en cuenta dos factores: la nota de ponderación obtenida y las servidumbres aeronaúticas de Madrid, que se adjunta a continuación.

La salida de los aviones comerciales se realiza en dirección norte, mientras que la llegada se realiza en dirección noroeste. Para interferir lo menos posible con esta situación, se ha considerado que la ubicación propuesta en Toledo era la más factible.

== Conclusiones ==

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T16:08:33Z

Ignacio Olalquiaga:

{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López

Juan Junguito Bravo

Cristina Martínez Navarro

Ignacio Olalquiaga Varela| [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

Este trabajo se centra en el estudio de ubicación de un aeropuerto que satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid. El primer paso en el proceso seguido consistió en definir un área de actuación. En el ámbito aeronáutico la zona de influencia terrestre de un aeropuerto traspasa la superficie de la ciudad a la que se quiere apoyar, en este caso Madrid, por lo que se tomó la decisión de limitar la zona de influencia a la Comunidad de Madrid y provincias limítrofes. Una vez definido dicho ámbito se procedió a establecer los condicionantes que influyen en el emplazamiento de un aeropuerto.

Así pues se establecieron variables que nos permitieron hacer un primer descarte de las zonas consideradas como no factibles. En este paso se descartaron aquellas zonas con desarrollo urbano, zonas protegidas por motivos medioambientales y por último las zonas de servidumbre aeronáutica. Esta última variable tiene en cuenta la zona de influencia de un aeropuerto o aeródromo, asegurándonos pues que nuestro posible aeropuerto estaba lo suficientemente alejado. Tras realizar un primer descarte, se han considerado aquellas consideradas como no idóneas por motivos de sismicidad. Por último, con las zonas restantes se ha optado por realizar una ponderación según variables que tuvieran en cuenta el impacto acústico e impacto visual, climatología (se ha enfocado a la visibilidad), impacto medioambiental y las conexiones con infraestructuras de transporte. Adicionalmente se ha tenido en cuenta la servidumbre aeronáutica para descartar posibles soluciones.

Los resultados obtenidos son satisfactorios y congruentes con lo que se da en la realidad. Así pues, según los coeficientes de ponderación usados, la mayor puntuación se da en la provincia de Toledo, descartando otras posibles soluciones según las servidumbres aeronáuticas. Futuras mejoras que se podrían hacer al estudio son la posibilidad de incluir el aspecto geológico en la ponderación. En este estudio actual ha sido imposible considerar dicho factor, a pesar de que estaba dentro de la metodología propuesta. Esto se ha debido a la imposibilidad de obtener un mapa geológico digitalizado, ya fuera vectorialmente o en ráster.

== Introducción ==
La Comunidad de Madrid cuenta con uno de los mejores aeropuertos internacionales, el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas. En el año 2014, este aeropuerto registro un tráfico total de 41,815.261 pasajeros lo que supuso un incremento del 5,3% con respecto al dato del curso anterior, lo que le permitió mantener la sexta plaza en el ranking de aeropuertos con más tráfico de Europa. La creciente demanda de pasajeros hará que en un futuro se rebase la capacidad del aeropuerto de Barajas, por lo que este estudio tiene como objetivo ubicar la localización de un posible segundo aeropuerto que apoye las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid.

Este segundo aeropuerto, compatible con el aeropuerto Adolfo Suárez Madrid Barajas, tiene el objetivo de apoyar el tráfico aeronáutico de Madrid, trasladando gradualmente el tráfico aeronáutico a dicho aeropuerto cuando los niveles de congestión de Barajas lo hagan aconsejable. Así pues se lograría en un futuro evitar problemas asociados a la congestión aeronáutica y cuellos de botella. Una capacidad aeroportuaria aumentada mejoraría la calidad del servicio aeroportuario de Madrid, además de impulsar el desarrollo económico y social de dicha Comunidad.

A pesar de que el objetivo de este estudio no es el estudio de la necesidad de un segundo aeropuerto, puesto que el estudio se ha realizado bajo la hipótesis de que en un futuro será necesario disponer de un segundo aeropuerto, si hemos considerado aconsejable manejar unos datos orientativos sobre el plazo temporal en el que se ubica dicha necesidad. Se estima que tras la ampliación del aeropuerto de Barajas de 2007, éste tiene una capacidad para 70 millones de pasajeros año, lo que según las previsiones del Plan Director de Barajas, resulta en una capacidad válida hasta el 2020. Dado que el plazo es inferior a 5 años, se ha considerado un plazo de estudio válido en el que las variables de estudio serán semejables a aquellas en 2020 y durante la vida útil del aeropuerto.

== Metodología ==
Se describen a continuación los datos empleados y las operaciones realizadas.
===Datos empleados===
En cuanto a los datos manejados, éstos han sido:

• Mapa de peligrosidad sísmica de España, del Instituto Geográfico Nacional. Según dicho mapa, el ámbito de estudio se encontraba se clasificaba bajo el mismo riesgo de sismicidad, por lo que no se ha descartado ninguna de las zonas.

• Mapa de Ríos, de la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala E=1:100.000).

• Mapa de España de Autopistas, de la BTN 100.

• Mapa de España de Autovías, de la BTN 100.

• Mapa de metro de Madrid

• Mapa de España de AVE, cercanías y ferrocarriles.

• Mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100.

• Mapa de España de Zonas Protegidas, de la BTN 100.

• Mapa de Servidumbres aeronáuticas de Madrid.

===Operaciones realizadas===
Respecto a las operaciones realizadas, éstas han sido, en su mayoría, de tipo vectorial. Se pueden citar:

• Buffer, para establecer unas determinadas distancias desde las zonas citadas anteriormente (ríos, municipios, etc.) en las que sea posible o no la localización de la central.

• Grafo de rutas: Se han calculado líneas isócronas (aquellas que enlazan puntos desde los cuales se accede al aeropuerto en el mismo tiempo)

• Unión

• Intersección.

• Diferencia: Usado para recortar los buffers con los límites provinciales.

• GRASS: Algebra de mapas sencillas, y herramientas de conversión de archivos vectoriales a ráster usando valores de atributo. Se tanteó la posibilidad de realizar un estudio de visibilidad a través de la herramienta r.los, pero los resultados no han sido los esperados por lo que se descartó su uso. Se ha usado también la herramienta de null to, para poder así sumar distintos mapas ráster y tener en cuenta la presencia de los pixeles que no se hubieran sido clasificados en el mapa.

• Reclasificación (Reclass)

== Resultados ==
Para la localización de la ubicación idónea de este aeropuerto se considerarán de manera conjunta una serie de parámetros que se consideran determinantes para un aeropuerto. A continuación se ilustran dichos parámetros, haciéndose hincapié en los resultados intermedios obtenidos y en los resultados finales.

===Estudio de accesibilidad por carretera===

Los datos descargados diferenciaban entre carreteras de distinto tipo. Se consideró que las carreteras de mayor importancia para acceso a un aeropuerto serían autovías y autopistas. Así pues, se realiza una unión entre ambas capas, y se procedió a realizar un buffer a 2km, 5km y 10km de distancia. Aquellas que se encuentren a una distancia de 2km recibirán mejor puntuación por su mayor accesibilidad. Esta puntuación se ha determinado como 3 para 2km, 2 para 5km y 1 para 10km, aunque luego se le aplicará el factor de ponderación correspondiente.

===Estudio de consideración de las zonas protegidas===

Con el fin de evaluar el impacto ambiental del segundo aeropuerto, se ha evaluado la distancia de éste a las zonas protegidas por motivos medioambientales. Así pues se ha realizado un buffer de 2km, 5km y 10km. Las zonas situadas a 2km recibirán una nota negativa en la ponderación (puntuación -3) puesto que su impacto será mayor que la situada a una distancia de 10km (puntuación de -1). Se observa a continuación el resultado intermedio.

===Estudio de la proximidad a otros aeropuertos y otras zonas descartadas===
Al igual que hemos considerado que construir un aeropuerto en una zona de protección ambiental era imposible, también se deben descartar zonas de suelo urbano y zonas en las que ya se encuentre ubicados aeropuertos. Para esto se ha descargado el mapa de aeropuertos y se ha realizado un buffer de 15km para evitar así posibles interferencias con dichos aeropuertos. Uniendo vectorialmente este buffer a las zonas de suelo urbano, se obtiene el mapa de zonas descartadas.

===Estudio de la Climatología ===
Ante la dificultad para obtener datos espaciales referentes a la climatología, se ha decidido que el factor que la visibilidad es la presencia de niebla. Dicha niebla se evaluará teniendo en cuenta la proximidad a ríos, motivo por el cual se ha aplicado un buffer de 2km a los ríos, considerándose dichas zonas como las susceptibles a formación de niebla debido a la evaporación del agua, que pudieran afectar a la visibilidad del aeropuerto. Para evitar esta situación, se ha decidido descartar estas zonas.

===Estudio de los núcleos de población===
Se hizo uso del mapa de España de Núcleos de Población, de la BTN 100, que se recortó a continuación con el límite provincial. Para conocer la proximidad de la posible ubicación del aeropuerto a estos núcleos y así determinar que ubicación es de mayor utilidad para la población se han realizado tres buffers de 5km, 10km y 15km. La puntuación para las zonas que se encontrarán en el buffer de 5km ha sido de 3, 2 para el buffer de 10km y por último 1 para el buffer de 15km.

===Estudio de pendientes===
Para el análisis de pendientes se partió del MDT200; un modelo digital del terreno ráster proporcionado por el IGN con un paso de malla de 200 m, es decir, cada píxel del ráster corresponde a un área cuadrada de 200 m de lado, y su valor se traduce en la altitud media de ésta. El análisis es a nivel provincial por lo que consideramos que esta precisión (200 m en longitud y 400m2 en superficies) es suficiente.

Tomando el MDT citado, se realizó un mapa de pendientes con el programa QGIS; este mapa se consigue gracias a un comando incluido en el programa, englobado en las herramientas para archivos ráster, en el apartado de análisis del terreno. Esta herramienta calcula el ángulo de la pendiente de cada celda en grados (basado en primer orden estimación derivada).Se obtiene un mapa con celdas de 200m de lado cuyo valor coincide con la pendiente media en grados de dicha celda.

Este mapa se añade a un directorio de mapas creado en GRASS y se procede a reclasificarlo según el siguiente criterio; si la pendiente es menor del 1% se le asignará el valor 3, si la pendiente se encuentra entre el 1% y el 5% se le asignará a esa celda el valor 2, si la pendiente se encuentra entre el 5% y el 10%, se le asignará a esa celda el valor 1 y si la pendiente supera el 10%, 0. Se debe tener en cuenta que el valor del mapa de pendientes está en grados sexagesimales; para saber la pendiente en estas unidades se debe hacer el cambio de unidades; grados=atan(pendiente en tanto por uno).

===Estudio de proximidad a red principal de transportes===
Una conexión adecuada al resto de la red de transporte es clave para conseguir la intermodalidad de los distintos modos de transporte, que en este aportado se intentó estudiar. Será inevitable la construcción de infraestructuras que permitan conectar el nuevo aeropuerto a la red, sin embargo, es obvio que cuanto más próxima sea la ubicación del mismo, menores serán estas infraestructuras a construir. Para considerar este parámetro se establecerán “buffers” de distinta dimensión en torno a la red principal de carreteras y ferrocarril, la red de AVE y la red de Metro de Madrid.

Para la red de carreteras y ferrocarril se establecerán tres niveles. El primero, “muy bueno” corresponde a una distancia de menos de 2km, para la cual las infraestructuras necesarias para la conexión del aeropuerto son mínimas. El siguiente nivel, “bueno” corresponde a una distancia de entre 2 y 5 km, para la cual se necesitará unas infraestructuras poco importantes para la conexión del aeropuerto a la red. Por último, la categoría “adecuado”, para entre 5 y 10 km, que supone unas infraestructuras de cierta importancia para la conexión con la red. Una ubicación a más de 10km de las mencionadas no se considera inaceptable, pero se debería evitar pues el coste de las infraestructuras necesarias empezaría a ser excesivo.

Con las redes de Metro de Madrid y Ave no se considera esta categorización, simplemente se considerará muy positivamente las ubicaciones a menos de 10km de la red de Metro (pues posibilita la construcción de una nueva línea sin que esta sea excesivamente larga) y las ubicaciones a menos de 2km de la red de AVE, pues permite el establecimiento de una parada y de la conexión de la misma con el aeropuerto mediante un medio auxiliar. No se consideran distancias mayores para el AVE pues se considera que carece de sentido realizar una nueva línea, ya que esta contaría con una longitud incompatible con el concepto de tren de alta velocidad.

Finalmente, para considerar conjuntamente todas las redes se hará una suma ponderada a través del algebra de mapas, otorgando un 40% a carreteras, 30% a metro, 20% al cercanías y un 10% al AVE

===Tiempo de viaje a Madrid===
Para los usuarios del aeropuerto, tanto para los de tránsito como para los que su destino final sea Madrid, la cercanía a la ciudad es un punto muy positivo. Para considerar este parámetro se hará una unión de todos los buffers máximos de cada medio de transporte considerado y expuesto anteriormente. Este se intersecará con buffers de 50, 100, 150, 200 y 250 km desde la Puerta del Sol.

El resultado de las distintas intersecciones se considerará como las ubicaciones a 30, 60, 90, 120 y 150 minutos del centro de Madrid. Este es claramente un método aproximado, pero que sin embargo, permite obtener un mapa de tiempos de viaje desde el centro de Madrid de manera rápida y sencilla. Por último se multiplicará esta capa por las puntuaciones asociadas a la red de transportes. Las zonas a 60 minutos se reducirán un 20%, un 40% a las que estén a 90 minutos y así sucesivamente hasta reducir un 20% para las zonas que estén a 150 minutos.

===Resultado final===
Una vez obtenido estos parámetros de forma individual, faltaba combinarlos para obtener un único resultado. Esto se hizo a través de la siguiente fórmula, en el que los coeficientes de ponderación fueron asignados según criterio de gabinete.

Total=0,35∙Tiempo transportes+0,35∙Proximidad núcleos+0,2∙Protegidas+0,1∙Pendientes+Zonas descartadas

Cabe recordar que la proximidad a zonas protegidas penaliza, pero se le asignó a cada pixel un valor negativo por lo que solo será necesario sumarlo en esta operación. El proceso ha sido el siguiente:

Primero se ha obtenido el mapa nombrado como “Descartefinal”, suma de los descartes del buffer de los aeropuertos a 15km, las zonas de suelo urbano y el buffer a los ríos. En un principio los pixeles tenían valor 1 o null. Así pues se usó el null to para poner ceros en vez de null, pudiéndose así sumar a los demás ráster. A continuación se aplicó un reclass, de forma que los ceros se queden como ceros y el resto se hagan nulos. El resultado de la reclasificación es “Descarte final”.

Después se realizó la suma ponderada de “Red Transportes y distancia a Madrid”, “Pendientes”, “Proximidad a núcleos”, “Proximidad a zonas protegidas” y “Descartefinal”. Los valores descartados saldrán con valor nulo gracias a la capa de descarte final. El resultado es el siguiente:

== Conclusiones ==

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T15:53:39Z

Ignacio Olalquiaga:

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T15:40:11Z

Ignacio Olalquiaga:

Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid

2015-11-29T15:37:58Z

Ignacio Olalquiaga: Página creada con «{{ TrabajoSIG | Estudio de localización de un aeropuerto que apoye y satisfaga las necesidades del nudo aeronáutico de Madrid | Juan Manuel Cano López Juan Junguito Brav...»

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-14T18:29:19Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución continua de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de <math> n </math> partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
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figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
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}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{w}</math>;<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & y_{i} &z_{i}\\
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde <math>I</math> es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. Si el eje de la rotación pasa por el centro de masas, entonces se comprueba que:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}I_G\vec{w}</math>

Donde <math>I_G</math> es el tensor de inercia en el centro de masas, desarrollado en el apartado 1.6. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{r_{cm}}=r_{cm1} \vec{e}_1+r_{cm2} \vec{e}_2+r_{cm3} \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((r_{cm2}-y_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm2}-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm3}-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((r_{cm1}-x_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((r_{cm2}-y_i)(r_{cm3}-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:D \subset \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{\begin{array} \ x=uv\\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \{\ (u,v)\in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>r_{cmX}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ r_{cmY}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{r_{cm}}\end{Vmatrix}^2-\vec{r_{cm}}\otimes \vec{r_{cm}})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-14T18:16:29Z

Ignacio Olalquiaga: /* Energía cinética */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de <math> n </math> partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{w}</math>;<math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & y_{i} &z_{i}\\
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde <math>I</math> es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. Si el eje de la rotación pasa por el centro de masas, entonces se comprueba que:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}I_G\vec{w}</math>

Donde <math>I_G</math> es el tensor de inercia en el centro de masas, desarrollado en el apartado 1.6. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{r_{cm}}=r_{cm1} \vec{e}_1+r_{cm2} \vec{e}_2+r_{cm3} \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((r_{cm2}-y_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm2}-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm3}-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((r_{cm1}-x_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((r_{cm2}-y_i)(r_{cm3}-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{\begin{array} \ x=uv\\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \{\ (u,v)\in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>r_{cmX}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ r_{cmY}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{r_{cm}}\end{Vmatrix}^2-\vec{r_{cm}}\otimes \vec{r_{cm}})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-14T10:52:08Z

Ignacio Olalquiaga: /* Energía cinética */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de <math> n </math> partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & y_{2} &z_{i}\\
w_{1} & w_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde <math>I</math> es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. Si el eje de la rotación pasa por el centro de masas, entonces se comprueba que:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}I_G\vec{w}</math>

Donde <math>I_G</math> es el tensor de inercia en el centro de masas, desarrollado en el apartado 1.6. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{r_{cm}}=r_{cm1} \vec{e}_1+r_{cm2} \vec{e}_2+r_{cm3} \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((r_{cm2}-y_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm2}-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm3}-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((r_{cm1}-x_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((r_{cm2}-y_i)(r_{cm3}-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{\begin{array} \ x=uv\\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \{\ (u,v)\in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>r_{cmX}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ r_{cmY}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{r_{cm}}\end{Vmatrix}^2-\vec{r_{cm}}\otimes \vec{r_{cm}})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-14T09:42:33Z

Ignacio Olalquiaga:

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de <math> n </math> partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & y_{2} &z_{i}\\
w_{1} & w_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{r_{cm}}=r_{cm1} \vec{e}_1+r_{cm2} \vec{e}_2+r_{cm3} \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((r_{cm2}-y_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm2}-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm3}-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((r_{cm1}-x_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((r_{cm2}-y_i)(r_{cm3}-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{\begin{array} \ x=uv\\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \{\ (u,v)\in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>r_{cmX}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ r_{cmY}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{r_{cm}}\end{Vmatrix}^2-\vec{r_{cm}}\otimes \vec{r_{cm}})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-14T09:10:08Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución discreta de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de <math> n </math> partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & y_{2} &z_{i}\\
w_{1} & w_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{r_{cm}}=r_{cm1} \vec{e}_1+r_{cm2} \vec{e}_2+r_{cm3} \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((r_{cm2}-y_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm2}-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm3}-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((r_{cm1}-x_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((r_{cm2}-y_i)(r_{cm3}-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{\begin{array} \ x=uv\\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \{\ (u,v)\in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>r_{cmX}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ r_{cmY}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{r_{cm}}\end{Vmatrix}^2-\vec{r_{cm}}\otimes \vec{r_{cm}})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-14T09:08:51Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución discreta de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de <math>n<\math> partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & y_{2} &z_{i}\\
w_{1} & w_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{r_{cm}}=r_{cm1} \vec{e}_1+r_{cm2} \vec{e}_2+r_{cm3} \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((r_{cm2}-y_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm2}-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm3}-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((r_{cm1}-x_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((r_{cm2}-y_i)(r_{cm3}-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{\begin{array} \ x=uv\\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \{\ (u,v)\in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>r_{cmX}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ r_{cmY}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{r_{cm}}\end{Vmatrix}^2-\vec{r_{cm}}\otimes \vec{r_{cm}})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-14T09:02:29Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución continua de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & y_{2} &z_{i}\\
w_{1} & w_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{r_{cm}}=r_{cm1} \vec{e}_1+r_{cm2} \vec{e}_2+r_{cm3} \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((r_{cm2}-y_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm2}-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm3}-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((r_{cm1}-x_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((r_{cm2}-y_i)(r_{cm3}-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{\begin{array} \ x=uv\\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \{\ (u,v)\in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>r_{cmX}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ r_{cmY}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{r_{cm}}\end{Vmatrix}^2-\vec{r_{cm}}\otimes \vec{r_{cm}})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-14T08:52:39Z

Ignacio Olalquiaga: /* Energía cinética */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & y_{2} &z_{i}\\
w_{1} & w_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{r_{cm}}=r_{cm1} \vec{e}_1+r_{cm2} \vec{e}_2+r_{cm3} \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((r_{cm2}-y_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm2}-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(r_{cm1}-x_i)(r_{cm3}-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((r_{cm1}-x_i)^2+(r_{cm3}-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((r_{cm2}-y_i)(r_{cm3}-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left.\begin{matrix}\ x=uv\\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{matrix}\right\}\(u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{r_{cm}}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>r_{cmX}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ r_{cmY}=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{r_{cm}}\end{Vmatrix}^2-\vec{r_{cm}}\otimes \vec{r_{cm}})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T16:30:41Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución discreta de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T16:27:31Z

Ignacio Olalquiaga:

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>

Expresado en la base canónica:

<math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T16:22:43Z

Ignacio Olalquiaga: /* Momento Angular */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})=\\ \sum_{i}m_i\cdot(({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)1+(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3)\otimes(x_i\vec{e}_1+y_i\vec{e}_2+z_i\vec{e}_3))=\\</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T16:15:43Z

Ignacio Olalquiaga: /* Energía cinética */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia, explicado en el siguiente apartado. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T16:14:13Z

Ignacio Olalquiaga: /* Momento Angular */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia, estudiado en el apartado 1.6.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T15:29:36Z

Ignacio Olalquiaga: /* Energía cinética */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

Donde I es el tensor de inercia. La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T15:28:43Z

Ignacio Olalquiaga: /* Energía cinética */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
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figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Agrupando elementos, esta expresión se transforma en:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]</math>

La matriz representa una forma bilineal, esta matriz puede tomarse como la representación de un tensor de orden dos, llamado tensor de inercia, expresado en la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math>:

<math>\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T12:06:46Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución discreta de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-13T12:04:27Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución discreta de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : <math>\vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T16:25:03Z

Ignacio Olalquiaga: /* Centro de Masas */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
f=d.*(vv.^2+uu.^2);
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T10:41:34Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución continua de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura8grupoB10.png|450px|thumb||right| Distribución de la masa en la placa]]
{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|450px|thumb||right| Centro de masas placa]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T10:39:51Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución discreta de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||right| Sistema de partículas discreto]]
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB; El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2):
[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|right|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|350px|thumb|right|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|350px|thumb||right| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]
{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
[[Archivo:Figura8grupoB10.png|500px|thumb||center| Distribución de la masa en la placa]]
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|500px|thumb||center| Centro de masas placa]]

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T10:30:45Z

Ignacio Olalquiaga: /* Sistema de partículas con distribución discreta de la masa */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>:

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||center| Sistema de partículas discreto]]

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2)

[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|300px|thumb|center|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|300px|thumb||center| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
[[Archivo:Figura8grupoB10.png|500px|thumb||center| Distribución de la masa en la placa]]
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|500px|thumb||center| Centro de masas placa]]

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T10:26:34Z

Ignacio Olalquiaga: /* Energía cinética */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||center| Sistema de partículas discreto]]

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2)

[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|300px|thumb|center|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|300px|thumb||center| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
[[Archivo:Figura8grupoB10.png|500px|thumb||center| Distribución de la masa en la placa]]
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|500px|thumb||center| Centro de masas placa]]

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T10:24:19Z

Ignacio Olalquiaga: /* Rotación */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||center| Sistema de partículas discreto]]

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2)

[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta</math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= R \cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} </math> y ángulo <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|300px|thumb|center|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|300px|thumb||center| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
[[Archivo:Figura8grupoB10.png|500px|thumb||center| Distribución de la masa en la placa]]
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|500px|thumb||center| Centro de masas placa]]

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T10:21:52Z

Ignacio Olalquiaga: /* Rotación */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||center| Sistema de partículas discreto]]

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2)

[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>R </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta </math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= \mathbb{R}\cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} ; </math> y ángulo: <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|300px|thumb|center|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|300px|thumb||center| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
[[Archivo:Figura8grupoB10.png|500px|thumb||center| Distribución de la masa en la placa]]
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|500px|thumb||center| Centro de masas placa]]

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T10:21:14Z

Ignacio Olalquiaga:

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||center| Sistema de partículas discreto]]

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2)

[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \in \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>\mathbb{R} </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>R\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>R= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta </math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= \mathbb{R}\cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} ; </math> y ángulo: <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|300px|thumb|center|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|300px|thumb||center| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
[[Archivo:Figura8grupoB10.png|500px|thumb||center| Distribución de la masa en la placa]]
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|500px|thumb||center| Centro de masas placa]]

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo B-10

2014-12-05T10:20:17Z

Ignacio Olalquiaga: /* Rotación */

{{ TrabajoED | Análisis del movimiento de un Sistema de Partículas Grupo C-10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ángela Béjar, Luis Gutiérrez, Ignacio Olalquiaga, Cristina Pérez, Almudena Rojas }}
Un sistema de partículas es un conjunto de masas puntuales distribuidas en el espacio.Las dimensiones de las masas puntuales se consideran despreciables en comparación a todo el conjunto, lo que permite el estudio del sistema como un único elemento.

Los sistemas de partículas pueden ser discretos, si el número de masas puntuales es finito, o continuo, si la masa sigue una distribución materializada en todos los puntos del espacio.Si la distancia relativa entre las partículas ha de permanecer constante a lo largo del tiempo, se trata de sistemas indeformables. Si esta distancia puede variar, sistemas deformables.

Debido a estas propiedades los sistemas de partículas pueden modelizar una gran cantidad de fenómenos físicos, como el sólido rígido, las moléculas de un gas encerrado en un recipiente, el sistema solar, etcétera.

=Sistema de partículas con distribución discreta de la masa=

Si el número de masas puntuales del sistema de partículas a estudiar es finito se habla de sistema de partículas con distribución discreta de la masa.

Esta distribución en el espacio puede seguir una línea, una superficie o un volumen, según el sistema a estudiar.

Suponiendo una distribución discreta siguiendo una línea parametrizable, para un sistema de i partículas, la posición de cada partícula viene dada por el vector de posición <math>\vec{r}_i</math>, expresado en la base canónica <math>(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}\</math> como : \vec{r}_i(t)=x_i(t)\vec{e}_1+y_i(t)\vec{e}_2+z_i(t)\vec{e}_3

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Si la distribución de las masas siguiera una superficie:
<math>\vec{r}_i(u,v)=x_i(u(i),v(i))\vec{e}_1+y_i(u(i),v(i))\vec{e}_2+z_i(u(i),v(i))\vec{e}_3</math>

Donde <math> x_i , y_i , z_i</math> son funciones discretas para <math>i \in 1,...,n</math> y <math> t, u, v \in\mathbb{R}</math>

Asimismo la masa puede variar según la partícula, pudiendo seguir una función discreta de la forma:

<math>{m}_i=m(i)</math> para <math>i \in 1,...,n</math>

Para una mejor visualización de estos conceptos, se estudiará el sistema de 20 partículas distribuidas según la forma:

<math>\vec{r}_i=x_i(t(i))\vec{e}_1+y_i(t(i))\vec{e}_2+z_i(t(i))\vec{e}_3=cos\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_1+sin\frac{2i\pi}{10}\vec{e}_2+\frac{i}{10}\vec{e}_3</math>

<math>m_i=10+\frac{i}{10}</math>

Representado en la Figura(1) con ayuda del siguiente código MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se generan las coordenadas de cada punto (xi yi zi), donde se aloja la masa
%mi, así como los valores que adopta.
M=0;
for i=1:20
x(i)=cos(2*pi*i/10);
y(i)=sin(2*pi*i/10);
z(i)=i/10;
r(i,:)=[x(i),y(i),z(i)];
m(i)=10+i/10;
M=m(i)+M;
end
%Gráficas
figure (1)
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura1grupoB10c.png|300px|thumb||center| Sistema de partículas discreto]]

==Centro de Masas==

El centro de masas de un sistema discreto de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuvieran aplicadas la resultante de las fuerzas externas. Puede describirse también como la posición media de la masa del sistema; se calcula siguiendo la expresión:

<math>\vec{r}_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\cdot\vec{r_i}</math> Donde <math>\vec{r}_{cm}</math> es el vectorde posición del centro de masas.

En el sistema de partículas estudiado, éste vector se obtiene siguiendo el codigo MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Cálculo del vector de posición rcm del centro de masas.
rcm=[0 0 0];
for i=1:20
rr(i,:)=m(i).*r(i,:);
rcm=(1/M)*m(i).*r(i,:)+rcm;
end
%Gráfica
figure (2)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,0,2])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
El centro de masas estudiado se representa como un punto verde en la Figura(2)

[[Archivo:Figura2grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas discreto y centro de masas (verde)]]

==Rotación==

La rotación de un vector <math>\vec{u} \ \epsilon \ \mathbb{R}^{3}</math>, alrededor de un eje <math>\vec{w} </math>y con un ángulo <math>\theta </math>es el vector transformado <math>\vec{v} </math> , resultado de aplicar el tensor <math>\mathbb{R} </math> (rotación) al vector <math>\vec{u} </math>; <math>\mathbb{R}\cdot \vec{u}= \vec{v} </math>; donde siguiendo la fórmula de Euler-Rodrigues:
<math>\mathbb{R}= 1\cdot \cos \theta \ + (1 - \cos \theta )\cdot \vec{w} \otimes \vec{w} + \sin \theta \cdot \vec{w}\times </math> ;
<math>\vec{w}= \frac{w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}}{\sqrt{w_{1}^{2}+ w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}=\frac{w_{i}\cdot \vec{e}}{\sqrt{w_{i}}}=w_{i}\cdot \vec{e_{i}}=\vec{w}</math> vector unitario;

Referido a la base ortonormal <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como: (suponiendo <math>\vec{w} </math> ya normalizado):
<math> R= (\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) + \sin \theta \cdot( \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \times = \\=(\vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{3}})\cdot \cos \theta + (1 - \cos \theta )\cdot (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \otimes (\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}) \\ + \sin \theta \cdot(-w_{3}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{2}}+w_{2}\cdot \vec{e_{1}}\otimes\vec{e_{3}}+w_{3}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_{1}}-w_{1}\cdot \vec{e_{2}}\otimes\vec{e_3}-w_{2}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{1}}+w_{1}\cdot \vec{e_{3}}\otimes\vec{e_{2}})=\\=[ \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot \ w_1^2]\cdot\vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 ]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{2}}+[ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+ \sin\theta\cdot w_2]\cdot \vec{e_{1}}\otimes \vec{e_{3}} \\ + \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{1}} + [\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{2}}+ [(1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1]\cdot\vec{e_{2}}\otimes \vec{e_{3}} \\+ \ [(1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{1}} + [(1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 ]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{2}} +[\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2]\cdot\vec{e_{3}}\otimes \vec{e_{3}}</math>

En forma matricial: <math>(R_{i,j})=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1-\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

Designamos <math>\vec{r_{rot \ i}}</math> a los vectores <math>\vec{r_{ i}}</math> rotados por la rotación <math> \mathbb{R} </math> de eje
<math>\vec{w}=\ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> y ángulo <math>\theta </math> ;
<math> \vec{r_{rot \ i}}= \mathbb{R}\cdot \vec{r_{i}}=\begin{pmatrix} \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta\cdot w_3 & (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta\cdot w_3 & \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta)\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta\cdot w_2 & (1+\cos\theta)\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta\cdot w_1 & \cos\theta+(1+\cos\theta)\cdot w_3^2 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
x_{i}\\
y_{i}\\
z_{i}

\end{pmatrix} </math>

Considerando las rotaciones de eje: <math>\vec{w}=\vec{e_{1}} ; \ \vec{w}=\vec{e_{2}}; \ \vec{w}=\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}} ; </math> y ángulo: <math>\theta </math>; aplicando los tensores que las representan a los vectores de posicion de las particulas, se obtiene el sistema rotado.
En el siguiente código MATLAB se obtiene el sistema de particulas rotados según estas tres rotaciones. En las figuras 3,4,5 se representa el sistema girado.

{{matlab|codigo=
%Se generan los ejes de rotación, v, v1 y v2 y el ángulo de rotación theta.
v=[1 0 0];
v1=[0 1 0];
v2=[1 1 1];
v2=v2/norm(v2);
id=eye(3);
theta=(pi/16);
%El comando kron genera un vector con los productos tensoriales de las componentes de dos
%vectores, se transforman estos vectores en matrices.
A=kron(v,v);
A1=kron(v1,v1);
A2=kron(v2,v2);
tens=[A(1:3);A(4:6);A(7:9)];
%Se genera la matriz de componentes del tensor producto vectorial, conocido
%el vector axial.
vect=[0 -v(3) v(2);
v(3) 0 -v(1);
-v(2) v(1) 0];
tens1=[A1(1:3);A1(4:6);A1(7:9)];
vect1=[0 -v1(3) v1(2);
v1(3) 0 -v1(1);
-v1(2) v1(1) 0];
tens2=[A2(1:3);A2(4:6);A2(7:9)];
vect2=[0 -v2(3) v2(2);
v2(3) 0 -v2(1);
-v2(2) v2(1) 0];
%Se generan las matrices de rotación.
R=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens+sin(theta).*vect;
R1=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens1+sin(theta).*vect1;
R2=cos(theta).*id+(1-cos(theta)).*tens2+sin(theta).*vect2;
%Se obtienen los vectores de posición rotados, así como el vector de
%posición del centro de masas.
for i=1:20
rrot(:,i)=R*r(i,:)';
xrrot=rrot(1,:);
yrrot=rrot(2,:);
zrrot=rrot(3,:);
rrot1(:,i)=R1*r(i,:)';
xrrot1=rrot1(1,:);
yrrot1=rrot1(2,:);
zrrot1=rrot1(3,:);
rrot2(:,i)=R2*r(i,:)';
xrrot2=rrot2(1,:);
yrrot2=rrot2(2,:);
zrrot2=rrot2(3,:);
end
rcmrrot=R*rcm';
rcmrrot1=R1*rcm';
rcmrrot2=R2*rcm';
%Gráficas
figure (3)
hold on
view (3)
plot3(xrrot,yrrot, zrrot,'o-','Markerface','g')
plot3(rcmrrot(1),rcmrrot(2),rcmrrot(3),'o-','Markerface','g')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (4)
hold on
view (3)
plot3(xrrot1,yrrot1,zrrot1,'o-','Markerface','r')
plot3(rcmrrot1(1),rcmrrot1(2),rcmrrot1(3),'o-','Markerface','r')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
figure (5)
hold on
view (3)
plot3(xrrot2,yrrot2,zrrot2,'o-','Markerface','y')
plot3(rcmrrot2(1),rcmrrot2(2),rcmrrot2(3),'o-','Markerface','y')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}
[[Archivo:Figura3grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_1}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]] [[Archivo:Figura4grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{e_2}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]][[Archivo:Figura5grupoB10.png|300px|thumb|center|Sistema de partículas rotado alrededor de <math>\vec{w}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}</math> con ángulo de <math>\theta=\frac{\pi}{16}</math>]]

==Velocidad Angular y Velocidad Lineal==

Cuando el ángulo de rotación cambia según el instante de tiempo, según una función lineal <math>\theta =\theta (t) </math>; <math>t\ \epsilon \ \mathbb{R} </math> , aparecen los conceptos de velocidad angular y velocidad lineal.

Se define variación angular a la variación del ángulo a lo largo del tiempo. <math> w(t)= \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}= {\theta }'(t)</math>

Siguiendo este razonamiento, hay una rotación para cada instante de tiempo; tomando la expresion del apartado anterior: <math> R(\theta(t))= \begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1+\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_3-\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1+\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1+\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

El vector de posición, rotado un ángulo <math>\theta (t) </math> cada instante de tiempo, según el eje<math> \vec{w}= \ w_{1}\cdot \vec{e_{1}}+ w_{2}\cdot \vec{e_{2}} + w_{3}\cdot \vec{e_{3}}</math> , <math> \left \| \vec{w} \right \|</math>; depende ahora del tiempo, de la forma:
<math>\vec{r_{i}}(t)=R(t)\cdot \vec{r_{i}} \\ \vec{r_{i}}=R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}}(t) </math>

Se define la velocidad lineal como la variación del vector de posición a lo largo del tiempo; es decir:
<math>\vec{v_{i}}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r_{i}}}{\mathrm{d} t}= \\ =\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot \vec{r_{i}}= \\=\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}\cdot R^{-1}(t)\cdot \vec{r_{i}(t)}</math>

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1^2 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_2-[\cos\theta(t)\cdot\theta']\cdot w_3 & [sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1\cdot w_3+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 \\ [ sin\theta(t)\cdot\theta'(t)])\cdot w_2\cdot w_1+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2^2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2\cdot w_3-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 \\ [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_1-[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_2 & [\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3\cdot w_2+[\cos\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_1 & -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)+[\sin\theta(t)\cdot\theta'(t)]\cdot w_3^2 \end{pmatrix}</math>

:

<math>\frac{dR(t)}{dt}=\theta'(t)\cdot\begin{pmatrix} \sin\theta(t)\cdot w_1^2-sin\theta(t) & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2-\cos\theta(t)\cdot w_3 & sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_2 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_2+\cos\theta(t)\cdot w_3 & \sin\theta(t)\cdot w_2^2-\sin\theta(t) & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_1 \\ sin\theta(t)\cdot w_1\cdot w_3-\cos\theta(t)\cdot w_2 & \sin\theta(t)\cdot w_2\cdot w_3+\cos\theta(t)\cdot w_1 & \sin\theta(t)\cdot w_3^2-\sin\theta(t) \end{pmatrix}</math>
Como el tensor rotación es ortogonal:

<math>R^{-1}(t)=R^{T}(t)=(R_{i,j})^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_1^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2+\sin\theta(t)\cdot w_3 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1-\sin\theta(t)\cdot w_2 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_1\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_3 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_2^2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_2\cdot w_3+\sin\theta(t)\cdot w_1 \\ (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_1+\sin\theta(t)\cdot w_2 & (1-\cos\theta(t))\cdot w_3\cdot w_2-\sin\theta(t)\cdot w_1 & \cos\theta(t)+(1-\cos\theta(t))\cdot w_3^2 \end{pmatrix} </math>

:

<math>A=\frac{dR(t)}{dt}\cdot\ R^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 0 & -\theta'(t)\cdot w_3 & \theta'(t)\cdot w_2 \\ \theta'(t)\cdot w_3 & 0 & -\theta'(t)\cdot w_1 \\ -\theta'(t)\cdot w_2 &\theta'(t)\cdot w_1 & 0 \end{pmatrix}</math>

:

<math>A=A^{T}\Rightarrow</math> se trata de un tensor antisimétrico. Demostrar esto analíticamente es tedioso, se ha optado por comprobarlo numéricamente con el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se discretiza el tiempo
h=1/1000;
a=[0:h:2*pi];
N=length(a);
%Se genera el vector de rotación.
w=[1 1 1]
w=w/norm(w);
w1=w(1)
w2=w(2)
w3=w(3)
u=sin(a);
v=cos(a);
A=zeros(3,3*N);
%Comprobación numérica, en la matriz C se alojan matrices antisimétricas.
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
A(:,i:i+2)=[u(n)*w1^2-u(n) u(n)*w1*w2-v(n)*w3 u(n)*w1*w3+v(n)*w2;
u(n)*w1*w2+v(n)*w3 u(n)*w2^2-u(n) u(n)*w2*w3-v(n)*w1;
u(n)*w1*w3-v(n)*w2 u(n)*w2*w3+v(n)*w1 u(n)*w3^2-u(n)];
B(:,i:i+2)=[v(n)+(1-v(n))*w1^2, (1-v(n))*w1*w2+u(n)*w3, (1-v(n))*w1*w3-u(n)*w2;
(1-v(n))*w1*w2-u(n)*w3, v(n)+(1-v(n))*w2^2, (1-v(n))*w3*w2+u(n)*w1,;
(1-v(n))*w1*w3+u(n)*w2, (1-v(n))*w3*w2-u(n)*w1, v(n)+(1-v(n))*w3^2];
C(:,i:i+2)=A(:,i:i+2)*B(:,i:i+2);

end
}}

El vector axial asociado al tensor antisimetrico anterior es <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math>

Por lo tanto la velocidad puede expresarse como: <math>\vec{v}_i(t)=\theta'(t)\cdot\vec{\omega}\times\vec{r}_i(t)</math>

El vector <math>\theta'(t)\cdot\vec{\omega}</math> se conoce como velocidad angular.
Tomando la rotación alrededor del eje <math>\vec{\omega}=\vec{e}_3</math> y considerando que el tiempo varía en el intervalo <math>(0,\pi)</math>; es decir, da una vuelta completa en <math>\pi</math> unidades de tiempo.

<math>\left.\begin{matrix}\theta(0)=0\\ \theta(\pi)=2\cdot\pi\end{matrix}\right\}\Rightarrow\theta'(t)=\alpha \cdot t\Rightarrow\theta'(t)=\frac{4}{\pi}\cdot t\Rightarrow\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot t^{2}</math>

El campo de velocidades del sistema de partículas estudiado se representa según el código de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Se genera el vector de rotación, normalizado, y el tensor antisimétrico
%del cual es vector axial
w=[0 0 1];
w=w/norm(w);
A=[0 -w(3) w(2);
w(3) 0 -w(1);
-w(2) w(1) 0];
%Se discretiza el tiempo en 35 instantes
N=35;
h=pi/(N-1);
t=[0:h:pi];
theta1=4/pi*t;
omega1=2/pi*t.^2;
%Se obtienen las matrices de rotación y velocidad:
B=kron(w,w);
tens=[B(1:3);B(4:6);B(7:9)];
B1=zeros(3,3*N);
A1=zeros(3,3*N);
Tv=zeros(N*20,3);
Tp=zeros(N*20,3);
for i=1:3:(3*N)
n=(i+2)/3;
B1(:,i:i+2)=cos(omega1(n)).*id+(1-cos(omega1(n))).*tens+sin(omega1(n)).*A;
A1(:,i:i+2)=theta1(n)*A;
Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)=(B1(:,i:i+2)*r')';
Tv((n*20-20)+1:(n*20),:)=(A1(:,i:i+2)*Tp((n*20-20)+1:(n*20),:)')';
end
%Gráficas:
figure (6)
hold on
view (3)
plot3(x,y,z,'o-g','Markerface','g')
plot3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),'*y')
quiver3(Tp(:,1),Tp(:,2),Tp(:,3),Tv(:,1),Tv(:,2),Tv(:,3),'b')
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura6grupoB10.png|300px|thumb|center|Campo de velocidades para una rotación de eje <math>\vec{e_3}</math>]]

==Momento Angular==

El momento angular de un sistema de partículas se define como:
<math>\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot\vec{v}_i}</math>

Si el sistema de partículas se encuentra girando y la velocidad angular <math>\vec{\omega}</math> se mantiene constante a lo largo del tiempo, tal y como queda demostrado en el apartado anterior:
<math>\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\\ \Rightarrow\vec{L}=\displaystyle\sum_{i}{\vec{r}_i\times m_i\cdot (\vec{\omega}\times\vec {r}_i)}\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot [\vec{r}_i\times \vec {\omega}\times\vec {r}_i]\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (\left |\vec {r}_i\right|^{2}\cdot\vec{\omega}-(\vec {r}_i\cdot\vec{\omega})\cdot\vec {r}_i)\\ =\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r}_i)\cdot\vec {\omega}\\ =I\cdot\vec {\omega}\\ \Rightarrow I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math>
<math>I</math> es conocido como tensor de inercia.

Aplicando estos dos métodos, se obtienen los siguientes resultados en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Cálculo del momento angular aplicando su definición L1, aplicando el
%tensor de inercia, L2
L=zeros(size(r));
tensr=zeros(20,3);
Il=zeros(20,3);
modr=x.^2+y.^2+z.^2;
L1=[0 0 0];
Ii=zeros(3);
for i=1:20
n=3*i-2;
v(i,:)=cross(w,r(i,:));
L(i,:)=cross(r(i,:),m(i)*v(i,:));
L1=L1+L(i,:);
K(i,:)=kron(r(i,:),r(i,:));
tensr(n:n+2,:)=[K(i,1) K(i,2) K(i,3);
K(i,4) K(i,5) K(i,6);
K(i,7) K(i,8) K(i,9)];
Il(n:n+2,:)=m(i)*modr(i)*id-m(i)*tensr(n:n+2,:);
Ii=Il(n:n+2,:)+Ii;
end
L2=Ii*w';
%Comprobación
L2'-L1}}

En nuestro caso de estudio, estos valores son muy parecidos pero no iguales debido a que el vector de rotación <math>\vec{w}</math> pasa muy cerca del centro de masas pero no exactamente.

==Energía cinética==

Se define la energía cinética como <math>Ec=\frac{1}{2}m\left | \vec{v} \right |^2</math>. Dado que la energía es un escalar, la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula: <math>Ec= \sum_{i=1}^{}\frac{1}{2}m_{i}\left | \vec{v}_{i} \right |^2</math>

Sin embargo, considerando la rotación alrededor de <math>\vec{v_{i}}=\vec{w}\times\vec{r_{i}}</math>

:<math>Ec= \displaystyle\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left |\vec{w}\times\vec{r_{i}} \right |^2 \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left |\vec{r_{i}}\times\vec{w} \right |^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\begin{Vmatrix}
\vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\
x_{i} & w_{2} &z_{i}\\
w_{1} & y_{i} & w_{3}
\end{Vmatrix}^2\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}[(w_{3}y_{i}-w_{2}z_{i})^2+(w_{3}x_{i}-w_{1}z_{i})^2+(w_{2}x_{i}-w_{1}y_{i})^2]\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{3}^2y_{i}^2+w_{2}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{2}y_{i}z_{i}+w_{3}^2x_{i}^2+w_{1}^2z_{i}^2-2w_{3}w_{1}z_{i}x_{i}+w_{2}^2x_{i}^2+w_{1}^2y_{i}^2-2w_{1}w_{2}x_{i}y_{i})\\=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}(w_{1}^2(y_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{1}w_{2}(x_{i}y_{i})-2w_{1}w_{3}(x_{i}z_{i})+w_{2}^2(x_{i}^2+z_{i}^2)-2w_{2}w_{3}(x_{i}y_{i})-2w_{3}w_{2}(z_{i}y_{i})+w_{3}^2(x_{i}^2+y_{i}^2))</math>

Un tensor puede representar una forma bilineal, en este caso representa una forma bilineal cuadrática, representada en la siguiente expresión:

<math>Ec=\frac{1}{2}\sum_{i}
m_{i}\left [ \begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{pmatrix}\right ]\\=\frac{1}{2}\vec{w}\sum_{i}m_{i}\begin{pmatrix}
y_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}x_{i} & -x_{i}z_{i}\\
-x_{i}y_{i}& x_{i}^2+z_{i}^2 & -y_{i}z_{i}\\
-z_{i}x_{i} & -y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2
\end{pmatrix}\vec{w}^{T}</math>
:<math>Ec=\frac{1}{2}\vec{w}\cdot I\cdot \vec{w}</math>

La comprobación numérica con el sistema de partículas empleado en este artículo se consigue con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se toma el tensor de inercia calculado en el apartado anterior
Ii;
%Teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=Ii-M*(idrcm-tensg);
%Cálculo de la energía cinética, comprobación numérica.
w=[0 0 1];
E1=0.5*w*I*w';
E2=0.5*w*Ig*w';
}}

==Tensor de Inercia==

El tensor de inercia es un tensor de orden 2 que se deduce naturalmente de la obtención del momento angular de un sistema de partículas de rotación.
Este tensor tiene en sus componentes los momentos y productos de inercia respecto a los ejes cartesianos en el origen; expresado en a base canónica <math>\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}</math> como:<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>
Donde los momentos de inercia de un sistema de partículas vienen dados como la suma de los productos de la masa de cada partícula por la distancia de las partículas al eje al cuadrado y los productos de inercia como <math>(I_{xy}, I_{xz},I_{yz})</math>
Es decir:
<math>I_x=\sum m_i (y_i^2+z_i^2)\\
I_{xy}=\sum m_ix_iy_i\\
I_{xz}=\sum m_ix_iz_i\\
I_y=\sum m_i(x_i^2+z_i^2)\\
I_{yz}=\sum m_i(y_iz_i)</math>

Se trata de un tensor simétrico, cuyos autovectores se denominan ejes principales de inercia.
Los autovalores asociados se denominan direcciones principales de inercia, y son los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes principales.
Los ejes principales de inercia son ortogonales ya que en un tensor simétrico, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Los ejes principales tienen la característica de que al girar el sistema alrededor de éstos, no cambia su orientación y el momento angular es paralelo.

El tensor de inercia puede obtenerse respecto a cualquier eje en cualquier punto; en el centro de masas y respecto a los ejes cartesianos tiene la siguiente expresión:
<math>I_{Gi,j}=\begin{pmatrix}
I_{Gx} & -I_{Gxy} &-I_{Gxz} \\
-I_{Gxy} & I_{Gy} & -I_{Gyz}\\
-I_{Gxz} & -I_{Gyz} & I_{Gz}
\end{pmatrix}</math>
Tomando el vector de posición del centro de masas <math>\vec{rcm}=rcm_1 \vec{e}_1+rcm_2 \vec{e}_2+rcm_3 \vec{e}_3</math>
los momentos y productos de inercia en este punto son:

<math>I_{Gx}=\sum m_i ((rcm_2-y_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gxy}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_2-y_i)\\
I_{Gxz}=\sum m_i(rcm_1-x_i)(rcm_3-z_i)\\
I_{Gy}=\sum m_i((rcm_1-x_i)^2+(rcm_3-z_i)^2)\\
I_{Gyz}=\sum m_i((rcm_2-y_i)(rcm_3-z_i))</math>

Conocido este tensor se puede calcular el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a los ejes de la base en cualquier punto gracias al Teorema de Steiner. Tomando <math>\vec{a}</math> como el vector que une un punto <math> P</math> con el centro de masas <math>G</math>:
<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

A continuación se demuestra el Teorema de Steiner, con la expresión obtenida en el apartado 1.4 <math>I=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_i\right|^{2}-\vec {r}_i\otimes \vec {r_i})</math> , tensor de inercia del sistema de partículas respecto al origen, haciendo una traslación de ejes al punto <math>P</math> los nuevos vectores de posición son <math>\vec{r}_{ip}</math> así el tensor de inercia en el punto <math>P</math> será <math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i\cdot (1\cdot\left |\vec {r}_{ip}\right|^{2}-\vec {r}_{ip}\otimes \vec {r}_{ip})</math>
Si <math>\vec{a}</math> es el vector que une el centro de masas con el punto <math>P</math> entonces <math> \vec{r}_{ip}=\vec{r}_{iG}-\vec{a}</math>
Así:
<math>I_p=\displaystyle\sum_{i}m_i (1\cdot\left |\vec{r}_{iG}-\vec{a}\right|^{2}-(\vec{r}_{iG}-\vec{a})\otimes (\vec{r}_{iG}-\vec{a}))\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-2\vec{r}_{iG}\vec{a}+\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG}-\vec{a}\otimes \vec{a}+\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a}+\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})\\=\sum_{i}m_i(\left |\vec{r}_{iG}\right|^{2}-\vec{r}_{iG}\otimes \vec{r}_{iG})+\sum_{i}m_i(\left |\vec{a}\right|^{2}-\vec{a}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{r}_{iG}\otimes \vec{a})+\sum_{i}m_i(\vec{a}\otimes \vec{r}_{iG})-2\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}\vec{a}</math>

Por la definición del centro de masas <math>\sum_{i}m_i\vec{r}_{iG}=\vec{0}</math> y por la linealidad del producto tensorial los tres últimos sumandos se anulan, quedando:

<math>I_p=I_G+\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{a}\end{Vmatrix}^2-\vec{a}\otimes \vec{a})}</math>

Para el sistema de partículas estudiado en este artículo, se representan los ejes principales y se comprueba numéricamente el Teorema de Steiner con el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Se calculan los momentos de inercia con respecto a los ejes cartesianos en
%el origen y en el centro de masas.
Ixx=0;
Ixy=0;
Ixz=0;
Iyy=0;
Iyz=0;
Izz=0;
Igxx=0;
Igxy=0;
Igxz=0;
Igyy=0;
Igyz=0;
Igzz=0;
for i=1:20
Ixx=m(i).*((r(i,2))^2+(r(i,3))^2)+Ixx;
Ixy=-m(i).*(((r(i,1))*(r(i,2))))+Ixy;
Ixz=-m(i).*((r(i,1))*(r(i,3)))+Ixz;
Iyy=m(i).*((r(i,1))^2+(r(i,3))^2)+Iyy;
Iyz=-m(i).*((r(i,2))*(r(i,3)))+Iyz;
Izz=m(i).*(r(i,1)^2+r(i,2)^2)+Izz;
end
for i=1:20
Igxx=m(i).*(((r(i,2)-rcm(2))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igxx;
Igxy=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igxy;
Igxz=-m(i).*((r(i,1)-rcm(1))*(r(i,3)-rcm(3)))+Igxz;
Igyy=m(i).*(((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,3)-rcm(3))^2))+Igyy;
Igyz=-m(i).*((r(i,3)-rcm(3))*(r(i,2)-rcm(2)))+Igyz;
Igzz=m(i).*((r(i,1)-rcm(1))^2+(r(i,2)-rcm(2))^2)+Igzz;
end
%Se generan las matrices de componentes de los tensores de inercia en el
%origen y en el centro de masas
I=[Ixx,Ixy,Ixz;
Ixy,Iyy,Iyz;
Ixz,Iyz,Izz];
Ig=[Igxx,Igxy,Igxz;
Igxy,Igyy,Igyz;
Igxz,Igyz,Igzz];
%Comprobación numérica del teorema de Steiner. En este caso el vector a
%coincide con el rcm
G=[rcm;rcm;rcm];
Gt=kron(rcm,rcm);
tensg=[Gt(1:3);Gt(4:6);Gt(7:9)];
idrcm=(norm(rcm))^2.*id;
Igcomp=I-M*(idrcm-tensg);
O=eye(3);
Ig-Igcomp
%Cálculo de los ejes principales de inercia según los autovalores y
%autovectores.
[W,C]=eig(I);
[V,D]=eig(Igcomp);
%Matrices de Gramm de los vectores en V y W, verifican que estos vectores son ortogonales
Gg=[dot(V(:,1),V(:,1)),dot(V(:,1),V(:,2)),dot(V(:,1),V(:,3));
dot(V(:,2),V(:,1)),dot(V(:,2),V(:,2)),dot(V(:,2),V(:,3));
dot(V(:,3),V(:,1)),dot(V(:,3),V(:,2)),dot(V(:,3),V(:,3))];
Gi=[dot(W(:,1),W(:,1)),dot(W(:,1),W(:,2)),dot(W(:,1),W(:,3));
dot(W(:,2),W(:,1)),dot(W(:,2),W(:,2)),dot(W(:,2),W(:,3));
dot(W(:,3),W(:,1)),dot(W(:,3),W(:,2)),dot(W(:,3),W(:,3))];
%Gráficas
figure (7)
hold on
view (3)
quiver3(G(:,1),G(:,2),G(:,3),V(:,1),V(:,2),V(:,3),'g')
quiver3(zeros(1,3)',zeros(1,3)',zeros(1,3)',W(:,1),W(:,2),W(:,3),'b')
plot3(x,y,z,'o-','Markerface','b')
plot3(rcm(1),rcm(2),rcm(3),'o-','Markerface','g')
axis([-2,2,-2,2,-1,3])
axis square
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off}}

[[Archivo:Figura7grupoB10.png|300px|thumb||center| Ejes principales de inercia en el origen y el centro de masas]]

=Sistema de partículas con distribución continua de la masa=
Se habla de sistemas de partículas con distribución continua de la masa cuando, en vez de tratar masas puntuales, se tratan elementos diferenciales de masa, repartidos a lo largo de una región del espacio según una función de densidad, continua.
Este aspecto solamente afecta al cálculo de los sumatorios, que ahora al tratar con elementos diferenciales, se deben usar integrales.

Para un sistema de partículas con distribución continua de la masa, que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad:

<math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math>

La masa vendrá dada por la expresión:

<math>M=\displaystyle{\int\int\int}_D\rho(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3</math>

Para ilustrar estos conceptos se toma una placa de espesor 0.1 m, comprendida entre las parábolas <math>P1: 18y-81x^2-1=0</math> y <math>P2: 2y+x^2-1=0</math>, parametrizada según:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x=uv \\ y=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{array}\right \\ (u,v) \in [\frac{1}{3},1]\times[-1,1] \\ \vec{r}(u,v)= uv\vec{i}+\frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec{j}</math>:

Considerando una distribución de la masa según la función de densidad:

<math>d(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2)}</math>

Tomando la densidad como un campo escalar, el cálculo de la masa se trata como la integral del campo densidad sobre la superficie parametrizada:

<math>M=\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}</math>

Donde:

<math>\vec{r}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=v\vec{i}+u\vec{j} ; \vec{r}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}=u\vec{i}-v\vec{j}</math>

El cálculo de la masa, así como la representación gráfica de cómo se reparte se consigue con el siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
%Mallado y definición de la superficie
h=1/100;
u=[1/3:h:1];
v=[-1:h:1];
N1=length(u);
N2=length(v);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)));
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Gráficas
figure (8)
mesh(xx,yy,d)
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
}}
[[Archivo:Figura8grupoB10.png|500px|thumb||center| Distribución de la masa en la placa]]
==Centro de Masas==

Las coordenadas del centro de masas de un sistema de partículas de distribución continua que abarca una región <math> D\subset \mathbb{R}^3</math> con una función de densidad <math> \rho=\rho(x_1,x_2,x_3) , \subset C^{(2}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} </math> vienen dadas por las expresiones:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dV}=(\int{\rho x dx}, \int{\rho y dy}, \int{\rho z dz})</math>

Debido a que el grosor es constante, la tercera coordenada de este vector es la mitad del grosor, la integral anterior se transforma en la siguiente expresión:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int_D{\rho \cdot \vec{r} dS}</math>

Que puede tomarse como la integral del campo vectorial <math>\rho \cdot \vec{r}</math> sobre la superficie parametrizada:

<math>\vec{rcm}=\displaystyle \frac{1}{M} \int\int_D{\rho(u,v) \cdot (\vec{r}_u\times\vec{r}_v) du dv}</math>

Separando el vector por componentes, éstas pueden interpretarse como las integrales de los campos <math> \rho\cdot x, \rho \cdot y</math>, sobre la superficie parametrizada, esto es:

<math>rcm_x=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot uv \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv} \\ rcm_y=\frac{1}{M}\displaystyle\int\int_D{d(u,v) \cdot \frac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \begin{Vmatrix}\vec{r}_u\times\vec{r}_v\end{Vmatrix} du dv}
</math>

El cálculo de este vector se realiza gracias al siguiente código MATLAB; el cálculo de las integrales se hace por el método numérico del trapecio:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de las coordenadas del centro de masas
f1=xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f2=yy.*d.*(vv.^2+uu.^2);
%Método de integración del trapecio
w1=ones(N1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1)=1/2;
w2=ones(N2,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2)=1/2;
%Obtención de la masa y de la posición del centro de masas
M1=h*h*w2'*f*w1;
xccm=1/M1*h*h*w2'*f1*w1;
yccm=1/M1*h*h*w2'*f2*w1;
zccm=0.05;
rccm=[xccm yccm zccm];
figure (9)
hold on
view (3)
mesh(xx,yy,zz)
plot3(xccm,yccm,zccm,'o','Markerface','r')
axis square
grid on
xlabel x
ylabel y
zlabel z
hold off
}}

[[Archivo:Figura11grupoB10.png|500px|thumb||center| Centro de masas placa]]

==Momento de Inercia==

El cálculo de los momentos de inercia en el origen se realiza siguiendo las siguientes expresiones:

<math>I_{xx}=\int_D\rho \cdot (y^2+z^2)dxdydz \\ I_{yy}=\int_D\rho \cdot (x^2+z^2)dxdydz \\ I_{zz}=\int_D\rho \cdot (x^2+y^2)dxdydz</math>

Y los productos de inercia:

<math>I_{xy}=\int_D\rho xy dxdydz \\ I_{xz}=\int_D\rho xz dxdydz \\ I_{yz}=\int_D\rho yz dxdydz</math>

Conocido el tensor de inercia en el origen:

<math>I_{i,j}=\begin{pmatrix}
I_x & -I_{xy} &-I_{xz} \\
-I_{xy} & I_y & -I_{yz}\\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_z
\end{pmatrix}</math>

Aplicando el teorema de Steiner:

<math>I_G=I-\sum{m_i (\begin{Vmatrix}\vec{rcm}\end{Vmatrix}^2-\vec{rcm}\otimes \vec{rcm})}</math>

En la placa considerada se calcula el tensor de inercia en el centro de masas siguiendo el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
zz=0.1*(ones(size(uu)))
%Función densidad
d=exp(-(xx.^2+yy.^2));
%Integrandos de los momentos de inercia en el origen y en el centro de
%masas.
f3=(yy.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f4=(xx.^2+zz.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f5=(xx.^2+yy.^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f6=yy.*xx.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f7=xx.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f8=yy.*zz.*d.*(vv.^2+uu.^2);
f9=((yy-Yccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f10=((yy-Yccm).*(xx-Xccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f11=((xx-Xccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f12=((xx-Xccm).^2+(zz-Zccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f13=((yy-Yccm).*(zz-Zccm)).*d.*(vv.^2+uu.^2);
f14=((yy-Yccm).^2+(xx-Xccm).^2).*d.*(vv.^2+uu.^2);
Icx=1/M1*h*h*w2'*f3*w1;
Icy=1/M1*h*h*w2'*f4*w1;
Icz=1/M1*h*h*w2'*f5*w1;
Icxy=1/M1*h*h*w2'*f6*w1;
Icxz=1/M1*h*h*w2'*f7*w1;
Icyz=1/M1*h*h*w2'*f8*w1;
Icgx=1/M1*h*h*w2'*f9*w1;
Icgxy=1/M1*h*h*w2'*f10*w1;
Icgxz=1/M1*h*h*w2'*f11*w1;
Icgy=1/M1*h*h*w2'*f12*w1;
Icgyz=1/M1*h*h*w2'*f13*w1;
Icgz=1/M1*h*h*w2'*f14*w1;
Ic=[Icx Icxy Icxz;
Icxy Icy Icyz;
Icxz Icyz Icz]
Icg=[Icgx -Icgxy -Icgxz;
-Icgxy Icgy -Icgyz;
-Icgxz -Icgyz Icgz]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]