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Ecuación de ondas (grupo 2B)

2014-05-20T07:19:15Z

Ignacio Díaz-Caneja:

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo 2-B| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]]|
Ignacio Díaz-Caneja Camblor

Alberto Fernández Pérez

Adela González Barbado

Lucia López Sánchez

Araceli Martín Candilejo

Diego Solano López
}}

== Modelización de los desplazamientos del Cable. ==
El problema que se tratará a continuación describe una ecuación de '''tipo hiperbólico''', una '''ecuación de ondas'''.
Consideramos un '''cable de 10 metros''' de longitud '''sujeto por sus extremos'''. Suponiendo que éste tiene una '''sección pequeña''' respecto a su longitud someteremos al cable a pequeñas vibraciones que estudiaremos con una modelización de la ecuación de ondas.
Se caracteriza al cable de una masa constante por unidad de volumen, es decir, será '''homogéneo'''. Éste, '''flexible''' a la tracción, únicamente ofrece resistencias en su dirección longitudinal, tangenciales, pero no a esfuerzos de flexión o cortes. Se supone, además, que es '''inextensible''' por lo que será lo suficientemente rígido longitudinalmente como para poder despreciar su extensibilidad.

 

Con esta modelización se estudiarán las '''pequeñas vibraciones''', desplazamientos transversales, a las que es sometido el cable. Para iniciar el movimiento del cable lo sujetaremos por el centro subiéndolo dos metros, lo que nos proporciona una primera condición inicial determinada por la función g(x), y soltándolo, con una velocidad inicial nula.

 

Obtenemos la ecuación <math>u_{tt}-u_{xx}=0</math> , de la cual se puede observar que tanto el '''módulo de la tensión''' como la '''densidad''' son '''constantes''' ya que el '''módulo de la elasticidad''' es constante, <math>c^2=1</math> . Al ser ésta primera ecuación homogénea deducimos que transversalmente no actúa ninguna fuerza densidad espacial y temporal. Se deduce del enunciado anterior que las condiciones de frontera son '''homogéneas''', <math>u(0,t)=0</math> y <math>u(10,t)=0</math> que nos indican que los extremos del cable no describen ningún tipo de movimiento en todo instante t al no estar sometidos a ningun tipo de fuerza. Finalmente, añadimos al sistema las condiciones iniciales, la primera de ellas, <math>u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2|</math>, define el '''movimiento descrito por la onda''' en el instante t=0 en cualquier punto del cable; y la segunda, <math>u_t(x,0)=0</math>, que la onda parte de una '''velocidad inicial nula'''.
[[Image:DV.png|300px|thumb|right|Deslizamiento vertical del cable. ]]

<math>

\begin{cases}

u_{tt}- u_{xx}=0 \ x∈[0,10] \ t>0\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)= 2- |\frac{2}{5}x -2|\\
u_t(x,0)=0
\end{cases}
</math>

En los siguientes apartados se realizaran aproximaciones del sistema expuesto con tres métodos distintos de los que más tarde se hará una comparativa.
 
==== Aproximación por el método del trapecio. ====
El método de las diferencias finitas parte de dos discretizaciones, una espacial y una temporal.
En la primera de éstas se realiza una partición de longitud del cable con la longitud de paso h, se sustituye el segundo término de la primera ecuación de sistema por <math> [-U_(n-1)(t)+2U_n(t)-U_(n+1)(t)]/h^2</math> y se eliminan las condiciones de frontera dando lugar a la ecuación <math>U''(t)+KU(t)=F(t)</math>, <math>U(0)=U^0 U'(0)=V^0 </math> que se resolverá con una matriz U y U' (en el programa se ha utilizado U' como V), donde K define la segunda derivada en función del espacio.
En la segunda se establece una malla de tiempo con Δt y se escoge un método (Euler o Trapecio) para el sistema inicial de autovalores.

 

El método del trapecio se basa en aproximar una función integrando. Para ello utilizamos un número N de trapecios (en la imagen inferior hemos aproximado mediante 4 trapecios). Las integrales a resolver para poder poder aproximar una función por este método tendrán la distancia de sus límites de integración constantes para todas las integrales, a esta distancia entre los límites de integración lo llamamos paso. En el desarrollo de este método se supone que la función es continua en el intervalo en que se quiere aproximar.
 

[[Image:Trapecio.png|300px|thumb|center|Función Y(x), el área bajo la curva, se puede aproximar mediante n trapecios]]

 
{{matlab|codigo=
%u_tt-u_xx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all

%Datos del problema
L=10;
T=40;

%Discretización
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;

%Aprox. de u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);

%Posición inicial.
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);

%Aprox. de u_tt
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];

%Aproximación por el método del Trapecio
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

%Dibujo de la solución
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:klklk.jpg|700px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio.]]

Como el método del trapecio tiene '''orden de precisión 2''' sabemos que se trata de una buena aproximación, pero gráficamente también podemos observar que éste es bastante preciso.

==== Aproximación por el método de Euler. ====
Se exponen en este apartado dos tipos de aproximaciones de Euler.

Este método se basa en la posibilidad de aproximar una función original mediante rectas tangentes partiendo de un punto dado. Sabiendo que la recta tangente de una función en un punto es la derivada en dicho punto, este método consiste en calcular derivadas de la función en diferentes puntos pertenecientes a ella. Estos puntos serán tomados con la misma distancia a lo largo de la recta, a esta distancia la denominamos paso de discretización.
 

[[Image:Euler.png|300px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler]]

 

===== Euler Explícito. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
k2=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
WW=WW+(k1+k2)*WW.*(dt/2);
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:3a3a.png|700px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler Explícito]]
Antes de comentar las dos gráficas anteriores, se debe insistir en que el '''orden de precisión''' del método de Euler es '''1''', por tanto, será menos preciso que el primero.

===== Euler Modificado. =====

Este método se basa en la misma idea que el anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre las pendientes, esto parece más razonable para la obtención de un valor más preciso.

{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
U=(2-abs(xint*2/5-2))';
V=zeros(N-1,1);
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}
[[Image:3b3b.png|700px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler Modificado]]

Fijándonos en las gráficas, observamos que la obtenida mediante Euler modificado realiza una mejor aproximación, como ya habíamos anticipado al comentar que éste método se basa en mejorar la aproximación del método de Euler sencillo. Es decir, en precisión '''Euler Modificado > Trapecio > Euler Explícito''', por ello concluimos que se asemeja mejor que la obtenida mediante el método del Trapecio y que la primera aproximación de Euler.

==== Aproximación por Fourier con diferentes términos de series. ====

El método de Fourier se basa en obtener una única solución a partir del sistema obtenido del enunciado. Para ello, buscamos una solución del tipo u(x,t)=φ(t)T(t) que satisfaga las condiciones de contorno, resolviendo un problema de autovalores λ, donde T(t) será una función seno o coseno. Por último con una serie de Fourier (en la cual se puede elegir el número de serie) imponemos las condiciones iniciales para conseguir una solución del sistema completo.

En este apartado se ofrece una aproximación alternativa a las anteriores. Se muestran '''cinco iteraciones''' distintas del '''método del Fourier''' que se compararan entre sí y con los métodos anteriores, Trapecio y Euler. Este método de aproximación depende del número de términos de serie (lo denominamos con la letra Q) con los que se realice el programa de Fourier.

 
Puesto que la realización de este método es la misma sea cual sea el número de serie elegido, se han expuesto únicamente dos casos de Q para una mayor claridad del programa.

{{matlab|codigo= %utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0

%1 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=1;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (1)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');

%3 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=3;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (2)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

 
[[Image:81tF2.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con un término de serie.]]
[[Image:82tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con tres términos de serie.]]

 

[[Image:83tF.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con cinco términos de serie.]]
[[Image:84tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con diez términos de serie.]]

 

[[Image:85tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con veinte términos de serie.]]

 

En este método podemos observar fijándonos en las gráficas que a mayor número de términos (mayor Q), mayor es la aproximación obtenida y más estable.

Realizando una comparación con los otros métodos, se puede observar, fijándonos en las gráficas y en los órdenes de precisión, que el método que mejor aproxima la ecuación del problema es el método del trapecio, seguido de Euler modificado y, por último, Euler, teniendo mayor orden el que mejor aproxima la función.

Gráficamente podemos confirmar este hecho, dándonos cuenta que '''las gráficas más similares''' son '''Fourier con Q=20''' y el método del '''Euler Modificado'''.

== Energía del Cable. ==

La energía del cable que viene definida por la función:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El método utilizado en el desarrollo numérico de está expresión es el '''método de diferencias finitas'''
(Funciona calculando de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.).

'''FUNCIÓN:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)

n = length(x);
del=zeros(1,n);

if t==1

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));

for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end

elseif t==-1

for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end

i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

elseif t==0

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));

for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end

i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

end

v=del;

end
}}

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
U=(2-abs((x*2/5-2)))';
V=(0*x)';
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

'''CÓDIGO PARA ENERGÍA CON TRAPECIO'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
u0=(2-abs(x*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);zeros(N-1,1)];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

'''CÓDIGO PARA ENERGÍA CON EULER MODIFICADOO'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);
u0=(2-abs(x*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
k2=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
WW=WW+(k1+k2)*WW.*(dt/2);
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

El resultado es una gráfica en 3D en la cual se aprecia como la energía forma un "plano" o "malla" uniforma en la práctica totalidad de sus puntos indicando que la energía mecánica del sistema se conserva a lo largo del tiempo, demostrando así el principio de conservación de la energía.

== Aplicaciones. ==

==== Sumersión en un medio viscoso. ====

Suponemos ahora la inmersión del cable en una medio viscoso. Este medio viscoso produce un amortiguamiento en el movimiento del cable, con lo que la anterior ecuación diferencial se convertiría en
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0
\end{equation}
, siendo '''<math> a </math>''' una constante de amortiguamiento propia del medio viscoso.
Puesto que la función '''<math> u(x,t) </math>''' se ve afectada ahora por el medio viscoso, y más directamente, por la constante '''<math> a </math>''' que actúa en su nombre, la energía del cable ,que se expresaba como una integral en función de '''<math> u(x,t) </math>''' también se va a ver afectada:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El obetivo del siguiente código será hallar una representación de la evolución de la energía en función del tiempo a raíz de la modificación de la función '''<math> u(x,t) </math>'''. Para ello asignaremos distintos valores a la constante '''<math> a </math>'''. Éstos van a ser:
'''<math> a=0 </math>''' (la energía para este valor resultará igual que la hallada en el apartado anterior)
'''<math> a=1 </math>'''
'''<math> a=4 </math>'''
'''<math> a=10 </math>'''
''<math> a=100 </math>'''

El procedimiento numérico volverá a seguir el método de '''diferencias finitas''':

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;
%Datos
dx=0.1;L=10;
dt=0.001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;
t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;

for k=1:5

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion5(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion5(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
legend('A=0','A=1','A=4','A=10','A=100');
plot(t,ENE(1,:),t,ENE(2,:),t,ENE(3,:),t,ENE(4,:),t,ENE(5,:));
}}

'''FUNCIONES:'''
DERIVA:

{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''ECUACIÓN 5:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion5( u,x,t )
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1

V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica buscada es:
[[Archivo:Graficadelaenergiaenunmedioviscoso.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía(ordenadas) del cable respecto del tiempo (Abcisas).]]
En la gráfica se aprecian cuatro curvas de distintos colores correspondientes a '''<math> a=0 </math>''','''<math> a=1 </math>''','''<math> a=4 </math>''','''<math> a=10 </math>''',''<math> a=100 </math>'''.

Como podemos apreciar el valor de la energía disminuye a medida que aumentamos el valor de "a". Esto es debido a que "a" define el coeficiente de amortiguamiento del líquido en el cual se encuentra la cuerda. Luego, dicha disminución de energía se produce por la disipación en el medio de gran parte de la energía inicial.

==== Sujeción a una estructura de vibración periódica. ====

En este caso supondremos que el extremo derecho que sujeta el cable está sometido a una vibración periódica de frecuencia <math> F_0 </math> [Herzios]. Al haber una vibración externa que afecta directamente al cable la expresión de su movimiento y, por consecuencia, de su energía, se va a ver modificada. Nosotros incluiremos esta modificación en la función <math> f(t) </math> de problema de valor inicial que venimos tratando. Esta función va a pasar a ser:
\begin{equation}
f(t)= sin(2 \pi F_0t)
\end{equation}

El objetivo será el de ver cómo afecta esta alteración en el desarrollo de la energía del cable frente al tiempo.
Para nuestro cálculo numérico especificaremos para las siguientes situaciones:
En primer lugar, para: <math> F_0= \frac{1}{L} + 0,01 </math>
Después,para: <math> F_0= \frac{1}{L} - 0,01 </math>

Y para finalizar, lo estudiaremos en un intervalo de tiempo de '''t=0''' hasta '''t=60''' : <math>t \in (0,60)</math> [segundos].

El código matemático para matlab / octave:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos

dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=60;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1
%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion6(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion6(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA

for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end
figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
imagesc(U)
}}

'''FUNCIONES:'''

DERIVA:
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}
'''ECUACIÓN 6:'''

function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )
{{matlab|codigo=

%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))+0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:6.1.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica para F_0=1/L +0,1]]

En esta gráfica observamos las fluctuaciones de la energía al imponer la condición de contorno de carácter sinusoidal. Dichas fluctuaciones se diferencian ya que los tonos más cálidos corresponden a los máximos y los fríos a los mínimos.

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))-0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:6.2.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En esta gráfica observamos un caso prácticamente similar al anterior y vemos que únicamente lo que varían son las posiciones de los máximos y mínimos de la energía en la cuerda.

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica resultante es la siguiente:
[[Archivo:6.3.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En este último ensayo se puede apreciar como la energía no presenta grandes variaciones, manteniéndose dichas fluctuaciones en valores próximos entre sí, estando la energía estabilizada y manteniéndose prácticamente constante.

==== Sujeción a un aparato que responde a una vibración externa. ====

La siguiente situación que vamos a representar a modelar a través de ecuaciones diferenciales va a ser la siguiente: supondremos que el cable de la anterior situación (que recibía en su extremo derecho una vibración periódica de <math> F_0 </math> [Herzios])envía una respuesta a la vibración que recibe. Esta situación la vamos a representar como un cambio en la condición de contorno; ésta va a pasar a ser: <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math>

El objetivo, de nuevo será representar la evolución de la energía respecto del tiempo y ver si este cambio en el problema se ve reflejado en su representación.
En el código numérico, no obstante, la situación de <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math> la vamos a aproximar por la siguiente expresión:
<math> u_x(L,t)-bu(L,t) \cong \frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h-u_N(t)} </math>

En la resolución del problema emplearemos de nuevo la condición inicial de sujetar el cable por el centro y elevarlo 2 m perpendicularmente:
<math> u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2| </math>

Y además obtendremos el resultado para los dos valores siguientes de <math>b</math> :
Para <math> b=2 </math> y <math> b=-2 </math>.

El código numérico de matlab/octave es:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos
dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion7(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK
for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;

%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)

D2t_U=Ecuacion7(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;

%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);

%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
plot(t,ENE(1,:))
}}

'''FUNCIONES:'''
'''function v = deriva(x,y,t)'''
{{matlab|codigo=
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:7.1.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración para b=2. ]]

La anterior gráfica muestra el comportamiento de la cuerda como respuesta a la vibración producida en uno de sus extremos así como el movimiento transversal del punto medio al comienzo. Podemos observar el movimiento transversal de cada punto de la cuerda a través de la expresión de la energía, así como que, a medida que transcurre el tiempo, ésta se va estabilizando. La forma de la función recuerda a una función sinusoidal debido a la forma de la condición de contorno impuesta. En este caso la fuerza aplicada en el apoyo del extremo derecho de la cuerda es en un sentido ascendente.

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end

for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La imagen resultante es:
[[Archivo:7.2.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración para b=-2. ]]

En esta última gráfica, se procede al estudio del caso anterior pero ésta vez la carga va aplicada en sentido descendente, como por ejemplo de si un peso se tratase. Apreciamos que la energía se comporta de forma análoga al caso anterior.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación de ondas (grupo 2B)

2014-05-19T21:56:07Z

Ignacio Díaz-Caneja:

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo 2-B| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]]|
Ignacio Díaz-Caneja Camblor

Alberto Fernández Pérez

Adela González Barbado

Lucia López Sánchez

Araceli Martín Candilejo

Diego Solano López
}}

== Modelización de los desplazamientos del Cable. ==
El problema que se tratará a continuación describe una ecuación de '''tipo hiperbólico''', una '''ecuación de ondas'''.
Consideramos un '''cable de 10 metros''' de longitud '''sujeto por sus extremos'''. Suponiendo que éste tiene una '''sección pequeña''' respecto a su longitud someteremos al cable a pequeñas vibraciones que estudiaremos con una modelización de la ecuación de ondas.
Se caracteriza al cable de una masa constante por unidad de volumen, es decir, será '''homogéneo'''. Éste, '''flexible''' a la tracción, únicamente ofrece resistencias en su dirección longitudinal, tangenciales, pero no a esfuerzos de flexión o cortes. Se supone, además, que es '''inextensible''' por lo que será lo suficientemente rígido longitudinalmente como para poder despreciar su extensibilidad.

 

Con esta modelización se estudiarán las '''pequeñas vibraciones''', desplazamientos transversales, a las que es sometido el cable. Para iniciar el movimiento del cable lo sujetaremos por el centro subiéndolo dos metros, lo que nos proporciona una primera condición inicial determinada por la función g(x), y soltándolo, con una velocidad inicial nula.

 

Obtenemos la ecuación <math>u_{tt}-u_{xx}=0</math> , de la cual se puede observar que tanto el '''módulo de la tensión''' como la '''densidad''' son '''constantes''' ya que el '''módulo de la elasticidad''' es constante, <math>c^2=1</math> . Al ser ésta primera ecuación homogénea deducimos que transversalmente no actúa ninguna fuerza densidad espacial y temporal. Se deduce del enunciado anterior que las condiciones de frontera son '''homogéneas''', <math>u(0,t)=0</math> y <math>u(10,t)=0</math> que nos indican que los extremos del cable no describen ningún tipo de movimiento en todo instante t al no estar sometidos a ningun tipo de fuerza. Finalmente, añadimos al sistema las condiciones iniciales, la primera de ellas, <math>u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2|</math>, define el '''movimiento descrito por la onda''' en el instante t=0 en cualquier punto del cable; y la segunda, <math>u_t(x,0)=0</math>, que la onda parte de una '''velocidad inicial nula'''.
[[Image:DV.png|300px|thumb|right|Deslizamiento vertical del cable. ]]

<math>

\begin{cases}

u_{tt}- u_{xx}=0 \ x∈[0,10] \ t>0\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)= 2- |\frac{2}{5}x -2|\\
u_t(x,0)=0
\end{cases}
</math>

En los siguientes apartados se realizaran aproximaciones del sistema expuesto con tres métodos distintos de los que más tarde se hará una comparativa.
 
==== Aproximación por el método del trapecio. ====
El método del trapecio se basa en aproximar una función integrando. Para ello utilizamos un número N de trapecios (en la imagen inferior hemos aproximado mediante 4 trapecios). Las integrales a resolver para poder poder aproximar una función por este método tendrán la distancia de sus límites de integración constantes para todas las integrales, a esta distancia entre los límites de integración lo llamamos paso. En el desarrollo de este método se supone que la función es continua en el intervalo en que se quiere aproximar.
 

[[Image:Trapecio.png|300px|thumb|center|Función Y(x), el área bajo la curva, se puede aproximar mediante n trapecios]]

 
{{matlab|codigo=
%u_tt-u_xx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all

%Datos del problema
L=10;
T=40;

%Discretización
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;

%Aprox. de u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);

%Posición inicial.
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);

%Aprox. de u_tt
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];

%Aproximación por el método del Trapecio
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

%Dibujo de la solución
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:klklk.jpg|700px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio.]]

Como el método del trapecio tiene '''orden de precisión 2''' sabemos que se trata de una buena aproximación, pero gráficamente también podemos observar que éste es bastante preciso.

==== Aproximación por el método de Euler. ====
Se exponen en este apartado dos tipos de aproximaciones de Euler.

Este método se basa en la posibilidad de aproximar una función original mediante rectas tangentes partiendo de un punto dado. Sabiendo que la recta tangente de una función en un punto es la derivada en dicho punto, este método consiste en calcular derivadas de la función en diferentes puntos pertenecientes a ella. Estos puntos serán tomados con la misma distancia a lo largo de la recta, a esta distancia la denominamos paso de discretización.
 

[[Image:Euler.png|300px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler]]

 

===== Euler Explícito. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
k2=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
WW=WW+(k1+k2)*WW.*(dt/2);
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:3a3a.png|700px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler Explícito]]

===== Euler Modificado. =====

Este método se basa en la misma idea que el anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre las pendientes, esto parece más razonable para la obtención de un valor más preciso.

{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
U=(2-abs(xint*2/5-2))';
V=zeros(N-1,1);
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}
[[Image:3b3b.png|700px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler Modificado]]

Antes de comentar las dos gráficas anteriores, se debe insistir en que el '''orden de precisión''' del método de Euler es '''1''', por tanto, será menos preciso que el primero.

Fijándonos en las gráficas, observamos que la gráfica obtenida mediante Euler modificado realiza una mejor aproximación, como ya habíamos anticipado al comentar que éste método se basa en mejorar la aproximación del método de Euler sencillo. Por tanto, se asemeja mejor a la obtenida mediante el método del Trapecio que la primera aproximación de Euler.

==== Aproximación por Fourier con diferentes términos de series. ====
En este apartado se ofrece una aproximación alternativa a las anteriores. Se muestran '''cinco iteraciones''' distintas del '''método del Fourier''' que se compararan entre sí y con los métodos anteriores, Trapecio y Euler. Este método de aproximación depende del número de términos de serie (lo denominamos con la letra Q) con los que se realice el programa de Fourier.

 
Puesto que la realización de este método es la misma sea cual sea el número de serie elegido, se han expuesto únicamente dos casos de Q para una mayor claridad del programa.

{{matlab|codigo= %utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0

%1 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=1;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (1)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');

%3 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=3;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (2)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

 
[[Image:81tF2.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con un término de serie.]]
[[Image:82tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con tres términos de serie.]]

 

[[Image:83tF.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con cinco términos de serie.]]
[[Image:84tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con diez términos de serie.]]

 

[[Image:85tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con veinte términos de serie.]]

 

En este método podemos observar fijándonos en las gráficas que a mayor número de términos (mayor Q), mayor es la aproximación obtenida y más estable.

Realizando una comparación con los otros métodos, se puede observar, fijándonos en las gráficas y en los órdenes de precisión, que el método que mejor aproxima la ecuación del problema es el método del trapecio, seguido de Euler modificado y, por último, Euler, teniendo mayor orden el que mejor aproxima la función.

Gráficamente podemos confirmar este hecho, dándonos cuenta que las gráficas más similares son fourier con Q=20 y el método del trapecio.

== Energía del Cable. ==

La energía del cable que viene definida por la función:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El método utilizado en el desarrollo numérico de está expresión es el '''método de diferencias finitas'''
(Funciona calculando de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.).

'''FUNCIÓN:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)

n = length(x);
del=zeros(1,n);

if t==1

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));

for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end

elseif t==-1

for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end

i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

elseif t==0

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));

for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end

i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

end

v=del;

end
}}

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
U=(2-abs((x*2/5-2)))';
V=(0*x)';
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

El resultado habría de ser una gráfica que representase la evolución de la energía de la cuerda frente al transcurso del tiempo. No obstante, en nuestra resolución aparece una gráfica en blanco que ajudicamos o a un posible error en el código, o que podemos interpretar como que la energía tiende a infinito.

== Aplicaciones. ==

==== Sumersión en un medio viscoso. ====

Suponemos ahora la inmersión del cable en una medio viscoso. Este medio viscoso produce un amortiguamiento en el movimiento del cable, con lo que la anterior ecuación diferencial se convertiría en
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0
\end{equation}
, siendo '''<math> a </math>''' una constante de amortiguamiento propia del medio viscoso.
Puesto que la función '''<math> u(x,t) </math>''' se ve afectada ahora por el medio viscoso, y más directamente, por la constante '''<math> a </math>''' que actúa en su nombre, la energía del cable ,que se expresaba como una integral en función de '''<math> u(x,t) </math>''' también se va a ver afectada:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El obetivo del siguiente código será hallar una representación de la evolución de la energía en función del tiempo a raíz de la modificación de la función '''<math> u(x,t) </math>'''. Para ello asignaremos distintos valores a la constante '''<math> a </math>'''. Éstos van a ser:
'''<math> a=0 </math>''' (la energía para este valor resultará igual que la hallada en el apartado anterior)
'''<math> a=1 </math>'''
'''<math> a=4 </math>'''
'''<math> a=10 </math>'''
''<math> a=100 </math>'''

El procedimiento numérico volverá a seguir el método de '''diferencias finitas''':

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;
%Datos
dx=0.1;L=10;
dt=0.001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;
t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;

for k=1:5

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion5(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion5(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
legend('A=0','A=1','A=4','A=10','A=100');
plot(t,ENE(1,:),t,ENE(2,:),t,ENE(3,:),t,ENE(4,:),t,ENE(5,:));
}}

'''FUNCIONES:'''
DERIVA:

{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''ECUACIÓN 5:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion5( u,x,t )
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1

V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica buscada es:
[[Archivo:Graficadelaenergiaenunmedioviscoso.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía(ordenadas) del cable respecto del tiempo (Abcisas).]]
En la gráfica se aprecian cuatro curvas de distintos colores correspondientes a '''<math> a=0 </math>''','''<math> a=1 </math>''','''<math> a=4 </math>''','''<math> a=10 </math>''',''<math> a=100 </math>'''.

Como podemos apreciar el valor de la energía disminuye a medida que aumentamos el valor de "a". Esto es debido a que "a" define el coeficiente de amortiguamiento del líquido en el cual se encuentra la cuerda. Luego, dicha disminución de energía se produce por la disipación en el medio de gran parte de la energía inicial.

==== Sujeción a una estructura de vibración periódica. ====

En este caso supondremos que el extremo derecho que sujeta el cable está sometido a una vibración periódica de frecuencia <math> F_0 </math> [Herzios]. Al haber una vibración externa que afecta directamente al cable la expresión de su movimiento y, por consecuencia, de su energía, se va a ver modificada. Nosotros incluiremos esta modificación en la función <math> f(t) </math> de problema de valor inicial que venimos tratando. Esta función va a pasar a ser:
\begin{equation}
f(t)= sin(2 \pi F_0t)
\end{equation}

El objetivo será el de ver cómo afecta esta alteración en el desarrollo de la energía del cable frente al tiempo.
Para nuestro cálculo numérico especificaremos para las siguientes situaciones:
En primer lugar, para: <math> F_0= \frac{1}{L} + 0,01 </math>
Después,para: <math> F_0= \frac{1}{L} - 0,01 </math>

Y para finalizar, lo estudiaremos en un intervalo de tiempo de '''t=0''' hasta '''t=60''' : <math>t \in (0,60)</math> [segundos].

El código matemático para matlab / octave:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos

dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=60;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1
%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion6(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion6(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA

for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end
figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
imagesc(U)
}}

'''FUNCIONES:'''

DERIVA:
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}
'''ECUACIÓN 6:'''

function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )
{{matlab|codigo=

%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))+0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:6.1.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica para F_0=1/L +0,1]]

En esta gráfica observamos las fluctuaciones de la energía al imponer la condición de contorno de carácter sinusoidal. Dichas fluctuaciones se diferencian ya que los tonos más cálidos corresponden a los máximos y los fríos a los mínimos.

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))-0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:6.2.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En esta gráfica observamos un caso prácticamente similar al anterior y vemos que únicamente lo que varían son las posiciones de los máximos y mínimos de la energía en la cuerda.

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica resultante es la siguiente:
[[Archivo:6.3.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En este último ensayo se puede apreciar como la energía no presenta grandes variaciones, manteniéndose dichas fluctuaciones en valores próximos entre sí, estando la energía estabilizada y manteniéndose prácticamente constante.

==== Sujeción a un aparato que responde a una vibración externa. ====

La siguiente situación que vamos a representar a modelar a través de ecuaciones diferenciales va a ser la siguiente: supondremos que el cable de la anterior situación (que recibía en su extremo derecho una vibración periódica de <math> F_0 </math> [Herzios])envía una respuesta a la vibración que recibe. Esta situación la vamos a representar como un cambio en la condición de contorno; ésta va a pasar a ser: <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math>

El objetivo, de nuevo será representar la evolución de la energía respecto del tiempo y ver si este cambio en el problema se ve reflejado en su representación.
En el código numérico, no obstante, la situación de <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math> la vamos a aproximar por la siguiente expresión:
<math> u_x(L,t)-bu(L,t) \cong \frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h-u_N(t)} </math>

En la resolución del problema emplearemos de nuevo la condición inicial de sujetar el cable por el centro y elevarlo 2 m perpendicularmente:
<math> u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2| </math>

Y además obtendremos el resultado para los dos valores siguientes de <math>b</math> :
Para <math> b=2 </math> y <math> b=-2 </math>.

El código numérico de matlab/octave es:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos
dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion7(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK
for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;

%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)

D2t_U=Ecuacion7(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;

%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);

%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
plot(t,ENE(1,:))
}}

'''FUNCIONES:'''
'''function v = deriva(x,y,t)'''
{{matlab|codigo=
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:7.1.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración para b=2. ]]

La anterior gráfica muestra el comportamiento de la cuerda como respuesta a la vibración producida en uno de sus extremos así como el movimiento transversal del punto medio al comienzo. Podemos observar el movimiento transversal de cada punto de la cuerda a través de la expresión de la energía, así como que, a medida que transcurre el tiempo, ésta se va estabilizando. La forma de la función recuerda a una función sinusoidal debido a la forma de la condición de contorno impuesta. En este caso la fuerza aplicada en el apoyo del extremo derecho de la cuerda es en un sentido ascendente.

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end

for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La imagen resultante es:
[[Archivo:7.2.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración para b=-2. ]]

En esta última gráfica, se procede al estudio del caso anterior pero ésta vez la carga va aplicada en sentido descendente, como por ejemplo de si un peso se tratase. Apreciamos que la energía se comporta de forma análoga al caso anterior.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación de ondas (grupo 2B)

2014-05-19T21:54:44Z

Ignacio Díaz-Caneja:

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo 2-B| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]]|
Ignacio Díaz-Caneja Camblor

Alberto Fernández Pérez

Adela González Barbado

Lucia López Sánchez

Araceli Martín Candilejo

Diego Solano López
}}

== Modelización de los desplazamientos del Cable. ==
El problema que se tratará a continuación describe una ecuación de '''tipo hiperbólico''', una '''ecuación de ondas'''.
Consideramos un '''cable de 10 metros''' de longitud '''sujeto por sus extremos'''. Suponiendo que éste tiene una '''sección pequeña''' respecto a su longitud someteremos al cable a pequeñas vibraciones que estudiaremos con una modelización de la ecuación de ondas.
Se caracteriza al cable de una masa constante por unidad de volumen, es decir, será '''homogéneo'''. Éste, '''flexible''' a la tracción, únicamente ofrece resistencias en su dirección longitudinal, tangenciales, pero no a esfuerzos de flexión o cortes. Se supone, además, que es '''inextensible''' por lo que será lo suficientemente rígido longitudinalmente como para poder despreciar su extensibilidad.

 

Con esta modelización se estudiarán las '''pequeñas vibraciones''', desplazamientos transversales, a las que es sometido el cable. Para iniciar el movimiento del cable lo sujetaremos por el centro subiéndolo dos metros, lo que nos proporciona una primera condición inicial determinada por la función g(x), y soltándolo, con una velocidad inicial nula.

 

Obtenemos la ecuación <math>u_{tt}-u_{xx}=0</math> , de la cual se puede observar que tanto el '''módulo de la tensión''' como la '''densidad''' son '''constantes''' ya que el '''módulo de la elasticidad''' es constante, <math>c^2=1</math> . Al ser ésta primera ecuación homogénea deducimos que transversalmente no actúa ninguna fuerza densidad espacial y temporal. Se deduce del enunciado anterior que las condiciones de frontera son '''homogéneas''', <math>u(0,t)=0</math> y <math>u(10,t)=0</math> que nos indican que los extremos del cable no describen ningún tipo de movimiento en todo instante t al no estar sometidos a ningun tipo de fuerza. Finalmente, añadimos al sistema las condiciones iniciales, la primera de ellas, <math>u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2|</math>, define el '''movimiento descrito por la onda''' en el instante t=0 en cualquier punto del cable; y la segunda, <math>u_t(x,0)=0</math>, que la onda parte de una '''velocidad inicial nula'''.
[[Image:DV.png|300px|thumb|right|Deslizamiento vertical del cable. ]]

<math>

\begin{cases}

u_{tt}- u_{xx}=0 \ x∈[0,10] \ t>0\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)= 2- |\frac{2}{5}x -2|\\
u_t(x,0)=0
\end{cases}
</math>

En los siguientes apartados se realizaran aproximaciones del sistema expuesto con tres métodos distintos de los que más tarde se hará una comparativa. Para esto último nos ayudaremos del error por lo que necesitaremos la solución analítica.
Como el problema consta de condiciones de frontera homogéneas, aplicamos directamente el método de separación de variables para su resolución analítica.
 
==== Aproximación por el método del trapecio. ====
El método del trapecio se basa en aproximar una función integrando. Para ello utilizamos un número N de trapecios (en la imagen inferior hemos aproximado mediante 4 trapecios). Las integrales a resolver para poder poder aproximar una función por este método tendrán la distancia de sus límites de integración constantes para todas las integrales, a esta distancia entre los límites de integración lo llamamos paso. En el desarrollo de este método se supone que la función es continua en el intervalo en que se quiere aproximar.
 

[[Image:Trapecio.png|300px|thumb|center|Función Y(x), el área bajo la curva, se puede aproximar mediante n trapecios]]

 
{{matlab|codigo=
%u_tt-u_xx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all

%Datos del problema
L=10;
T=40;

%Discretización
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;

%Aprox. de u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);

%Posición inicial.
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);

%Aprox. de u_tt
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];

%Aproximación por el método del Trapecio
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

%Dibujo de la solución
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:klklk.jpg|700px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio.]]

Como el método del trapecio tiene '''orden de precisión 2''' sabemos que se trata de una buena aproximación, pero gráficamente también podemos observar que éste es bastante preciso.

==== Aproximación por el método de Euler. ====
Se exponen en este apartado dos tipos de aproximaciones de Euler.

Este método se basa en la posibilidad de aproximar una función original mediante rectas tangentes partiendo de un punto dado. Sabiendo que la recta tangente de una función en un punto es la derivada en dicho punto, este método consiste en calcular derivadas de la función en diferentes puntos pertenecientes a ella. Estos puntos serán tomados con la misma distancia a lo largo de la recta, a esta distancia la denominamos paso de discretización.
 

[[Image:Euler.png|300px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler]]

 

===== Euler Explícito. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
k2=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, -K.*dt];
WW=WW+(k1+k2)*WW.*(dt/2);
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:3a3a.png|700px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler Explícito]]

===== Euler Modificado. =====

Este método se basa en la misma idea que el anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre las pendientes, esto parece más razonable para la obtención de un valor más preciso.

{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
U=(2-abs(xint*2/5-2))';
V=zeros(N-1,1);
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}
[[Image:3b3b.png|700px|thumb|center|Aproximación de una función por el método de Euler Modificado]]

Antes de comentar las dos gráficas anteriores, se debe insistir en que el '''orden de precisión''' del método de Euler es '''1''', por tanto, será menos preciso que el primero.

Fijándonos en las gráficas, observamos que la gráfica obtenida mediante Euler modificado realiza una mejor aproximación, como ya habíamos anticipado al comentar que éste método se basa en mejorar la aproximación del método de Euler sencillo. Por tanto, se asemeja mejor a la obtenida mediante el método del Trapecio que la primera aproximación de Euler.

==== Aproximación por Fourier con diferentes términos de series. ====
En este apartado se ofrece una aproximación alternativa a las anteriores. Se muestran '''cinco iteraciones''' distintas del '''método del Fourier''' que se compararan entre sí y con los métodos anteriores, Trapecio y Euler. Este método de aproximación depende del número de términos de serie (lo denominamos con la letra Q) con los que se realice el programa de Fourier.

 
Puesto que la realización de este método es la misma sea cual sea el número de serie elegido, se han expuesto únicamente dos casos de Q para una mayor claridad del programa.

{{matlab|codigo= %utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0

%1 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=1;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (1)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');

%3 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=3;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (2)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

 
[[Image:81tF2.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con un término de serie.]]
[[Image:82tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con tres términos de serie.]]

 

[[Image:83tF.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con cinco términos de serie.]]
[[Image:84tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con diez términos de serie.]]

 

[[Image:85tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con veinte términos de serie.]]

 

En este método podemos observar fijándonos en las gráficas que a mayor número de términos (mayor Q), mayor es la aproximación obtenida y más estable.

Realizando una comparación con los otros métodos, se puede observar, fijándonos en las gráficas y en los órdenes de precisión, que el método que mejor aproxima la ecuación del problema es el método del trapecio, seguido de Euler modificado y, por último, Euler, teniendo mayor orden el que mejor aproxima la función.

Gráficamente podemos confirmar este hecho, dándonos cuenta que las gráficas más similares son fourier con Q=20 y el método del trapecio.

== Energía del Cable. ==

La energía del cable que viene definida por la función:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El método utilizado en el desarrollo numérico de está expresión es el '''método de diferencias finitas'''
(Funciona calculando de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.).

'''FUNCIÓN:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)

n = length(x);
del=zeros(1,n);

if t==1

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));

for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end

elseif t==-1

for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end

i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

elseif t==0

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));

for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end

i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

end

v=del;

end
}}

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
U=(2-abs((x*2/5-2)))';
V=(0*x)';
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

El resultado habría de ser una gráfica que representase la evolución de la energía de la cuerda frente al transcurso del tiempo. No obstante, en nuestra resolución aparece una gráfica en blanco que ajudicamos o a un posible error en el código, o que podemos interpretar como que la energía tiende a infinito.

== Aplicaciones. ==

==== Sumersión en un medio viscoso. ====

Suponemos ahora la inmersión del cable en una medio viscoso. Este medio viscoso produce un amortiguamiento en el movimiento del cable, con lo que la anterior ecuación diferencial se convertiría en
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0
\end{equation}
, siendo '''<math> a </math>''' una constante de amortiguamiento propia del medio viscoso.
Puesto que la función '''<math> u(x,t) </math>''' se ve afectada ahora por el medio viscoso, y más directamente, por la constante '''<math> a </math>''' que actúa en su nombre, la energía del cable ,que se expresaba como una integral en función de '''<math> u(x,t) </math>''' también se va a ver afectada:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El obetivo del siguiente código será hallar una representación de la evolución de la energía en función del tiempo a raíz de la modificación de la función '''<math> u(x,t) </math>'''. Para ello asignaremos distintos valores a la constante '''<math> a </math>'''. Éstos van a ser:
'''<math> a=0 </math>''' (la energía para este valor resultará igual que la hallada en el apartado anterior)
'''<math> a=1 </math>'''
'''<math> a=4 </math>'''
'''<math> a=10 </math>'''
''<math> a=100 </math>'''

El procedimiento numérico volverá a seguir el método de '''diferencias finitas''':

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;
%Datos
dx=0.1;L=10;
dt=0.001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;
t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;

for k=1:5

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion5(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion5(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
legend('A=0','A=1','A=4','A=10','A=100');
plot(t,ENE(1,:),t,ENE(2,:),t,ENE(3,:),t,ENE(4,:),t,ENE(5,:));
}}

'''FUNCIONES:'''
DERIVA:

{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''ECUACIÓN 5:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion5( u,x,t )
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1

V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica buscada es:
[[Archivo:Graficadelaenergiaenunmedioviscoso.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía(ordenadas) del cable respecto del tiempo (Abcisas).]]
En la gráfica se aprecian cuatro curvas de distintos colores correspondientes a '''<math> a=0 </math>''','''<math> a=1 </math>''','''<math> a=4 </math>''','''<math> a=10 </math>''',''<math> a=100 </math>'''.

Como podemos apreciar el valor de la energía disminuye a medida que aumentamos el valor de "a". Esto es debido a que "a" define el coeficiente de amortiguamiento del líquido en el cual se encuentra la cuerda. Luego, dicha disminución de energía se produce por la disipación en el medio de gran parte de la energía inicial.

==== Sujeción a una estructura de vibración periódica. ====

En este caso supondremos que el extremo derecho que sujeta el cable está sometido a una vibración periódica de frecuencia <math> F_0 </math> [Herzios]. Al haber una vibración externa que afecta directamente al cable la expresión de su movimiento y, por consecuencia, de su energía, se va a ver modificada. Nosotros incluiremos esta modificación en la función <math> f(t) </math> de problema de valor inicial que venimos tratando. Esta función va a pasar a ser:
\begin{equation}
f(t)= sin(2 \pi F_0t)
\end{equation}

El objetivo será el de ver cómo afecta esta alteración en el desarrollo de la energía del cable frente al tiempo.
Para nuestro cálculo numérico especificaremos para las siguientes situaciones:
En primer lugar, para: <math> F_0= \frac{1}{L} + 0,01 </math>
Después,para: <math> F_0= \frac{1}{L} - 0,01 </math>

Y para finalizar, lo estudiaremos en un intervalo de tiempo de '''t=0''' hasta '''t=60''' : <math>t \in (0,60)</math> [segundos].

El código matemático para matlab / octave:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos

dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=60;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1
%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion6(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion6(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA

for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end
figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
imagesc(U)
}}

'''FUNCIONES:'''

DERIVA:
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}
'''ECUACIÓN 6:'''

function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )
{{matlab|codigo=

%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))+0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:6.1.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica para F_0=1/L +0,1]]

En esta gráfica observamos las fluctuaciones de la energía al imponer la condición de contorno de carácter sinusoidal. Dichas fluctuaciones se diferencian ya que los tonos más cálidos corresponden a los máximos y los fríos a los mínimos.

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))-0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:6.2.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En esta gráfica observamos un caso prácticamente similar al anterior y vemos que únicamente lo que varían son las posiciones de los máximos y mínimos de la energía en la cuerda.

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica resultante es la siguiente:
[[Archivo:6.3.png|700px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En este último ensayo se puede apreciar como la energía no presenta grandes variaciones, manteniéndose dichas fluctuaciones en valores próximos entre sí, estando la energía estabilizada y manteniéndose prácticamente constante.

==== Sujeción a un aparato que responde a una vibración externa. ====

La siguiente situación que vamos a representar a modelar a través de ecuaciones diferenciales va a ser la siguiente: supondremos que el cable de la anterior situación (que recibía en su extremo derecho una vibración periódica de <math> F_0 </math> [Herzios])envía una respuesta a la vibración que recibe. Esta situación la vamos a representar como un cambio en la condición de contorno; ésta va a pasar a ser: <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math>

El objetivo, de nuevo será representar la evolución de la energía respecto del tiempo y ver si este cambio en el problema se ve reflejado en su representación.
En el código numérico, no obstante, la situación de <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math> la vamos a aproximar por la siguiente expresión:
<math> u_x(L,t)-bu(L,t) \cong \frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h-u_N(t)} </math>

En la resolución del problema emplearemos de nuevo la condición inicial de sujetar el cable por el centro y elevarlo 2 m perpendicularmente:
<math> u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2| </math>

Y además obtendremos el resultado para los dos valores siguientes de <math>b</math> :
Para <math> b=2 </math> y <math> b=-2 </math>.

El código numérico de matlab/octave es:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos
dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion7(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK
for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;

%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)

D2t_U=Ecuacion7(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;

%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);

%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
plot(t,ENE(1,:))
}}

'''FUNCIONES:'''
'''function v = deriva(x,y,t)'''
{{matlab|codigo=
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

[[Archivo:7.1.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración para b=2. ]]

La anterior gráfica muestra el comportamiento de la cuerda como respuesta a la vibración producida en uno de sus extremos así como el movimiento transversal del punto medio al comienzo. Podemos observar el movimiento transversal de cada punto de la cuerda a través de la expresión de la energía, así como que, a medida que transcurre el tiempo, ésta se va estabilizando. La forma de la función recuerda a una función sinusoidal debido a la forma de la condición de contorno impuesta. En este caso la fuerza aplicada en el apoyo del extremo derecho de la cuerda es en un sentido ascendente.

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end

for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La imagen resultante es:
[[Archivo:7.2.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración para b=-2. ]]

En esta última gráfica, se procede al estudio del caso anterior pero ésta vez la carga va aplicada en sentido descendente, como por ejemplo de si un peso se tratase. Apreciamos que la energía se comporta de forma análoga al caso anterior.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación de ondas (grupo 2B)

2014-05-19T10:49:19Z

Ignacio Díaz-Caneja:

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo 2-B| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]]|
Ignacio Díaz-Caneja Camblor

Alberto Fernández Pérez

Adela González Barbado

Lucia López Sánchez

Araceli Martín Candilejo

Diego Solano López
}}

== Deslizamiento Vertical del Cable. ==
El problema que se tratará a continuación describe una ecuación de '''tipo hiperbólico''', una '''ecuación de ondas'''.
Consideramos un '''cable de 10 metros''' de longitud '''sujeto por sus extremos'''. Suponiendo que éste tiene una '''sección pequeña''' respecto a su longitud someteremos al cable a pequeñas vibraciones que estudiaremos con una modelización de la ecuación de ondas.
Se caracteriza al cable de una masa constante por unidad de volumen, es decir, será '''homogéneo'''. Éste, '''flexible''' a la tracción, únicamente ofrece resistencias en su dirección longitudinal, tangenciales, pero no a esfuerzos de flexión o cortes. Se supone, además, que es '''inextensible''' por lo que será lo suficientemente rígido longitudinalmente como para poder despreciar su extensibilidad.

 

Con esta modelización se estudiarán las '''pequeñas vibraciones''' a las que es sometido el cable. Para iniciar el movimiento del cable lo sujetaremos por el centro subiéndolo dos metros, lo que nos proporciona una primera condición inicial determinada por la función g(x), y soltándolo con una velocidad nula.

 

Obtenemos la ecuación <math>u_{tt}-u_{xx}=0</math> , de la cual se puede observar que tanto el '''módulo de la tensión''' como la '''densidad''' son '''constantes''' ya que <math>c^2=1</math> . Se deduce del enunciado anterior que las condiciones de frontera son '''homogéneas''', <math>u(0,t)=0</math> y <math>u(10,t)=0</math> que nos indican que los extremos del cable no describen ningún tipo de movimiento en todo instante t. Finalmente, añadimos al sistema las condiciones iniciales, la primera de ellas, <math>u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2|</math>, define el '''movimiento descrito por la onda''' en el instante t=0 en cualquier punto del cable; y la segunda, <math>u_t(x,0)=0</math>, que la onda parte de una '''velocidad inicial nula'''.
[[Image:DV.png|300px|thumb|right|Deslizamiento vertical del cable. ]]

<math>

\begin{cases}

u_{tt}- u_{xx}=0 \ x∈[0,10] \ t>0\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)= 2- |\frac{2}{5}x -2|\\
u_t(x,0)=0
\end{cases}
</math>

En los siguientes apartados se realizaran aproximaciones del sistema expuesto con tres métodos distintos de los que más tarde se hará una comparativa. Para esto último nos ayudaremos del error por lo que necesitaremos la solución analítica.
Como el problema consta de condiciones de frontera homogéneas, aplicamos directamente el método de separación de variables para su resolución analítica.
 
==== Aproximación por el método del trapecio. ====
El primer método que usaremos será el del Trapecio que consiste en RELLENAR
{{matlab|codigo=
%u_tt-u_xx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all

%Datos del problema
L=10;
T=40;

%Discretización
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;

%Aprox. de u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);

%Posición inicial.
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);

%Aprox. de u_tt
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];

%Aproximación por el método del Trapecio
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

%Dibujo de la solución
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:klklk.jpg|700px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio.]]

==== Aproximación por el método de Euler. ====
Se exponen en este apartados dos tipos de aproximaciones de Euler.
===== Euler Explícito. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);}}
===== Euler Modificado. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);}}

==== Aproximación por Fourier con diferentes términos de series. ====
En este apartado se ofrece una aproximación alternativa a las anteriores. Se muestran '''cinco iteraciones''' distintas del '''método del Fourier''' que se compararan entre sí y con los métodos anteriores, Trapecio y Euler.
 
Puesto que la realización de este método es la misma sea cual sea el número de serie elegido, se han expuesto únicamente dos casos de Q para una mayor claridad del programa.
{{matlab|codigo= %utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0

%1 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=1;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (1)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');

%3 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=3;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (2)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

 
[[Image:81tF2.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con un término de serie.]]
[[Image:82tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con tres términos de serie.]]

 

[[Image:83tF.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con cinco términos de serie.]]
[[Image:84tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con diez términos de serie.]]

 

[[Image:85tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con veinte términos de serie.]]

 

== Energía del Cable. ==

La energía del cable que viene definida por la función:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El método utilizado en el desarrollo numérico de está expresión es el '''método de diferencias finitas'''
(Funciona calculando de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.).

'''FUNCIÓN:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)

n = length(x);
del=zeros(1,n);

if t==1

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));

for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end

elseif t==-1

for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end

i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

elseif t==0

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));

for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end

i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

end

v=del;

end
}}

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
U=(2-abs((x*2/5-2)))';
V=(0*x)';
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

El resultado habría de ser una gráfica que representase la evolución de la energía de la cuerda frente al transcurso del tiempo. No obstante, en nuestra resolución aparece una gráfica en blanco que ajudicamos o a un posible error en el código, o que podemos interpretar como que la energía tiende a infinito.

== Aplicaciones. ==

==== Sumersión en un medio viscoso. ====

Suponemos ahora la inmersión del cable en una medio viscoso. Este medio viscoso produce un amortiguamiento en el movimiento del cable, con lo que la anterior ecuación diferencial se convertiría en
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0
\end{equation}
, siendo '''<math> a </math>''' una constante de amortiguamiento propia del medio viscoso.
Puesto que la función '''<math> u(x,t) </math>''' se ve afectada ahora por el medio viscoso, y más directamente, por la constante '''<math> a </math>''' que actúa en su nombre, la energía del cable ,que se expresaba como una integral en función de '''<math> u(x,t) </math>''' también se va a ver afectada:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El obetivo del siguiente código será hallar una representación de la evolución de la energía en función del tiempo a raíz de la modificación de la función '''<math> u(x,t) </math>'''. Para ello asignaremos distintos valores a la constante '''<math> a </math>'''. Éstos van a ser:
'''<math> a=0 </math>''' (la energía para este valor resultará igual que la hallada en el apartado anterior)
'''<math> a=1 </math>'''
'''<math> a=4 </math>'''
'''<math> a=10 </math>'''
''<math> a=100 </math>'''

El procedimiento numérico volverá a seguir el método de '''diferencias finitas''':

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;
%Datos
dx=0.1;L=10;
dt=0.001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;
t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;

for k=1:5

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion5(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion5(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
legend('A=0','A=1','A=4','A=10','A=100');
plot(t,ENE(1,:),t,ENE(2,:),t,ENE(3,:),t,ENE(4,:),t,ENE(5,:));
}}

'''FUNCIONES:'''
DERIVA:

{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''ECUACIÓN 5:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion5( u,x,t )
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1

V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica buscada es:
[[Archivo:Graficadelaenergiaenunmedioviscoso.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía(ordenadas) del cable respecto del tiempo (Abcisas).]]
En la gráfica se aprecian cuatro curvas de distintos colores correspondientes a '''<math> a=0 </math>''','''<math> a=1 </math>''','''<math> a=4 </math>''','''<math> a=10 </math>''',''<math> a=100 </math>'''.

Como podemos apreciar el valor de la energía disminuye a medida que aumentamos el valor de "a". Esto es debido a que "a" define el coeficiente de amortiguamiento del líquido en el cual se encuentra la cuerda. Luego, dicha disminución de energía se produce por la disipación en el medio de gran parte de la energía inicial.

==== Sujeción a una estructura de vibración periódica. ====

En este caso supondremos que el extremo derecho que sujeta el cable está sometido a una vibración periódica de frecuencia <math> F_0 </math> [Herzios]. Al haber una vibración externa que afecta directamente al cable la expresión de su movimiento y, por consecuencia, de su energía, se va a ver modificada. Nosotros incluiremos esta modificación en la función <math> f(t) </math> de problema de valor inicial que venimos tratando. Esta función va a pasar a ser:
\begin{equation}
f(t)= sin(2 \pi F_0t)
\end{equation}

El objetivo será el de ver cómo afecta esta alteración en el desarrollo de la energía del cable frente al tiempo.
Para nuestro cálculo numérico especificaremos para las siguientes situaciones:
En primer lugar, para: <math> F_0= \frac{1}{L} + 0,01 </math>
Después,para: <math> F_0= \frac{1}{L} - 0,01 </math>

Y para finalizar, lo estudiaremos en un intervalo de tiempo de '''t=0''' hasta '''t=60''' : <math>t \in (0,60)</math> [segundos].

El código matemático para matlab / octave:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos

dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=60;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1
%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion6(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion6(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA

for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end
figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
imagesc(U)
}}

'''FUNCIONES:'''

DERIVA:
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}
'''ECUACIÓN 6:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )

%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))+0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))-0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica resultante es la siguiente:
[[Archivo:Graficaestructuraconvibracion.png|650px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En dicha gráfica, se puede observar que la forma de la función o la energía se ve alterada por la condición impuesta de tal manera que ésta adquiere una forma también sinusoidal, y que su estabilización dependería del tiempo transcurrido entre vibración y vibración.

==== Sujeción a un aparato que responde a una vibración externa. ====

La siguiente situación que vamos a representar a modelar a través de ecuaciones diferenciales va a ser la siguiente: supondremos que el cable de la anterior situación (que recibía en su extremo derecho una vibración periódica de <math> F_0 </math> [Herzios])envía una respuesta a la vibración que recibe. Esta situación la vamos a representar como un cambio en la condición de contorno; ésta va a pasar a ser: <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math>

El objetivo, de nuevo será representar la evolución de la energía respecto del tiempo y ver si este cambio en el problema se ve reflejado en su representación.
En el código numérico, no obstante, la situación de <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math> la vamos a aproximar por la siguiente expresión:
<math> u_x(L,t)-bu(L,t) \cong \frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h-u_N(t)} </math>

En la resolución del problema emplearemos de nuevo la condición inicial de sujetar el cable por el centro y elevarlo 2 m perpendicularmente:
<math> u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2| </math>

Y además obtendremos el resultado para los dos valores siguientes de <math>b</math> :
Para <math> b=2 </math> y <math> b=-2 </math>.

El código numérico de matlab/octave es:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos
dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion7(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK
for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;

%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)

D2t_U=Ecuacion7(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;

%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);

%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
plot(t,ENE(1,:))
}}

'''FUNCIONES:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end

for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La imagen resultante es:
[[Archivo:Energiadelcableenrespuestaavibracionexterna.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración. ]]

La anterior gráfica muestra el comportamiento de la cuerda como respuesta a la vibración producida en uno de sus extremos así como el movimiento transversal del punto medio al comienzo. Podemos observar el movimiento transversal de cada punto de la cuerda a través de la expresión de la energía, así como que, a medida que transcurre el tiempo, ésta se va estabilizando. La forma de la función recuerda a una función sinusoidal debido a la forma de la condición de contorno impuesta.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación de ondas (grupo 2B)

2014-05-19T00:15:36Z

Ignacio Díaz-Caneja:

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo 2-B| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]]|
Ignacio Díaz-Caneja Camblor

Alberto Fernández Pérez

Adela González Barbado

Lucia López Sánchez

Araceli Martín Candilejo

Diego Solano López
}}

== Deslizamiento Vertical del Cable. ==
El problema que se tratará a continuación describe una ecuación de '''tipo hiperbólico''', una '''ecuación de ondas'''.
Consideramos un '''cable de 10 metros''' de longitud '''sujeto por sus extremos'''. Suponiendo que éste tiene una '''sección pequeña''' respecto a su longitud someteremos al cable a pequeñas vibraciones que estudiaremos con una modelización de la ecuación de ondas.
Se caracteriza al cable de una masa constante por unidad de volumen, es decir, será '''homogéneo'''. Éste, '''flexible''' a la tracción, únicamente ofrece resistencias en su dirección longitudinal, tangenciales, pero no a esfuerzos de flexión o cortes. Se supone, además, que es '''inextensible''' por lo que será lo suficientemente rígido longitudinalmente como para poder despreciar su extensibilidad.

 

Con esta modelización se estudiarán las '''pequeñas vibraciones''' a las que es sometido el cable. Para iniciar el movimiento del cable lo sujetaremos por el centro subiéndolo dos metros, lo que nos proporciona una primera condición inicial determinada por la función g(x), y soltándolo con una velocidad nula.

 

Obtenemos la ecuación <math>u_{tt}-u_{xx}=0</math> , de la cual se puede observar que tanto el '''módulo de la tensión''' como la '''densidad''' son '''constantes''' ya que <math>c^2=1</math> . Se deduce del enunciado anterior que las condiciones de frontera son '''homogéneas''', <math>u(0,t)=0</math> y <math>u(10,t)=0</math> que nos indican que los extremos del cable no describen ningún tipo de movimiento en todo instante t. Finalmente, añadimos al sistema las condiciones iniciales, la primera de ellas, <math>u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2|</math>, define el '''movimiento descrito por la onda''' en el instante t=0 en cualquier punto del cable; y la segunda, <math>u_t(x,0)=0</math>, que la onda parte de una '''velocidad inicial nula'''.
[[Image:DV.png|300px|thumb|right|Deslizamiento vertical del cable. ]]

<math>

\begin{cases}

u_{tt}- u_{xx}=0 \ x∈[0,10] \ t>0\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)= 2- |\frac{2}{5}x -2|\\
u_t(x,0)=0
\end{cases}
</math>

En los siguientes apartados se realizaran aproximaciones del sistema expuesto con tres métodos distintos de los que más tarde se hará una comparativa. Para esto último nos ayudaremos del error por lo que necesitaremos la solución analítica.
Como el problema consta de condiciones de frontera homogéneas, aplicamos directamente el método de separación de variables para su resolución analítica.
 
==== Aproximación por el método del trapecio. ====
El primer método que usaremos será el del Trapecio que consiste en RELLENAR
{{matlab|codigo=
%u_tt-u_xx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all

%Datos del problema
L=10;
T=40;

%Discretización
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;

%Aprox. de u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);

%Posición inicial.
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);

%Aprox. de u_tt
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];

%Aproximación por el método del Trapecio
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

%Dibujo de la solución
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:klklk.jpg|700px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio.]]

==== Aproximación por el método de Euler. ====
Se exponen en este apartados dos tipos de aproximaciones de Euler.
===== Euler Explícito. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);}}
===== Euler Modificado. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);}}

==== Aproximación por Fourier con diferentes términos de series. ====
En este apartado se ofrece una aproximación alternativa a las anteriores. Se muestran '''cinco iteraciones''' distintas del '''método del Fourier''' que se compararan entre sí y con los métodos anteriores, Trapecio y Euler.
 
Puesto que la realización de este método es la misma sea cual sea el número de serie elegido, se han expuesto únicamente dos casos de Q para una mayor claridad del programa.
{{matlab|codigo= %utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0

%1 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=1;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (1)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');

%3 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=3;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (2)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

 
[[Image:81tF2.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con un término de serie.]]
[[Image:82tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con tres términos de serie.]]

 

[[Image:83tF.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con cinco términos de serie.]]
[[Image:84tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con diez términos de serie.]]

 

[[Image:85tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con veinte términos de serie.]]

 

== Energía del Cable. ==

La energía del cable que viene definida por la función:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El método utilizado en el desarrollo numérico de está expresión es el '''método de diferencias finitas'''
(Funciona calculando de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.).

'''FUNCIÓN:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)

n = length(x);
del=zeros(1,n);

if t==1

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));

for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end

elseif t==-1

for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end

i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

elseif t==0

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));

for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end

i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

end

v=del;

end
}}

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
U=(2-abs((x*2/5-2)))';
V=(0*x)';
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

El resultado habría de ser una gráfica que representase la evolución de la energía de la cuerda frente al transcurso del tiempo. No obstante, en nuestra resolución aparece una gráfica en blanco que ajudicamos o a un posible error en el código, o que podemos interpretar como que la energía tiende a infinito.

== Aplicaciones. ==

==== Sumersión en un medio viscoso. ====

Suponemos ahora la inmersión del cable en una medio viscoso. Este medio viscoso produce un amortiguamiento en el movimiento del cable, con lo que la anterior ecuación diferencial se convertiría en
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0
\end{equation}
, siendo '''<math> a </math>''' una constante de amortiguamiento propia del medio viscoso.
Puesto que la función '''<math> u(x,t) </math>''' se ve afectada ahora por el medio viscoso, y más directamente, por la constante '''<math> a </math>''' que actúa en su nombre, la energía del cable ,que se expresaba como una integral en función de '''<math> u(x,t) </math>''' también se va a ver afectada:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El obetivo del siguiente código será hallar una representación de la evolución de la energía en función del tiempo a raíz de la modificación de la función '''<math> u(x,t) </math>'''. Para ello asignaremos distintos valores a la constante '''<math> a </math>'''. Éstos van a ser:
'''<math> a=0 </math>''' (la energía para este valor resultará igual que la hallada en el apartado anterior)
'''<math> a=1 </math>'''
'''<math> a=4 </math>'''
'''<math> a=10 </math>'''
''<math> a=100 </math>'''

El procedimiento numérico volverá a seguir el método de '''diferencias finitas''':

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;
%Datos
dx=0.1;L=10;
dt=0.001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;
t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;

for k=1:5

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion5(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion5(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
legend('A=0','A=1','A=4','A=10','A=100');
plot(t,ENE(1,:),t,ENE(2,:),t,ENE(3,:),t,ENE(4,:),t,ENE(5,:));
}}

'''FUNCIONES:'''
DERIVA:

{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''ECUACIÓN 5:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion5( u,x,t )
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1

V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica buscada es:
[[Archivo:Graficadelaenergiaenunmedioviscoso.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía(ordenadas) del cable respecto del tiempo (Abcisas).]]
En la gráfica se aprecian cuatro curvas de distintos colores correspondientes a '''<math> a=0 </math>''','''<math> a=1 </math>''','''<math> a=4 </math>''','''<math> a=10 </math>''',''<math> a=100 </math>'''.

Como podemos apreciar el valor de la energía disminuye a medida que aumentamos el valor de "a". Esto es debido a que "a" define el coeficiente de amortiguamiento del líquido en el cual se encuentra la cuerda. Luego, dicha disminución de energía se produce por la disipación en el medio de gran parte de la energía inicial.

==== Sujeción a una estructura de vibración periódica. ====

En este caso supondremos que el extremo derecho que sujeta el cable está sometido a una vibración periódica de frecuencia <math> F_0 </math> [Herzios]. Al haber una vibración externa que afecta directamente al cable la expresión de su movimiento y, por consecuencia, de su energía, se va a ver modificada. Nosotros incluiremos esta modificación en la función <math> f(t) </math> de problema de valor inicial que venimos tratando. Esta función va a pasar a ser:
\begin{equation}
f(t)= sin(2 \pi F_0t)
\end{equation}

El objetivo será el de ver cómo afecta esta alteración en el desarrollo de la energía del cable frente al tiempo.
Para nuestro cálculo numérico especificaremos para las siguientes situaciones:
En primer lugar, para: <math> F_0= \frac{1}{L} + 0,01 </math>
Después,para: <math> F_0= \frac{1}{L} - 0,01 </math>

Y para finalizar, lo estudiaremos en un intervalo de tiempo de '''t=0''' hasta '''t=60''' : <math>t \in (0,60)</math> [segundos].

El código matemático para matlab / octave:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos

dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1
%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion6(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion6(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA

for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end
figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
imagesc(U)
}}

'''FUNCIONES:'''

DERIVA:
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}
'''ECUACIÓN 6:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )

%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))+0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))-0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica resultante es la siguiente:
[[Archivo:Graficaestructuraconvibracion.png|650px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En dicha gráfica, se puede observar que la forma de la función o la energía se ve alterada por la condición impuesta de tal manera que ésta adquiere una forma también sinusoidal, y que su estabilización dependería del tiempo transcurrido entre vibración y vibración.

==== Sujeción a un aparato que responde a una vibración externa. ====

La siguiente situación que vamos a representar a modelar a través de ecuaciones diferenciales va a ser la siguiente: supondremos que el cable de la anterior situación (que recibía en su extremo derecho una vibración periódica de <math> F_0 </math> [Herzios])envía una respuesta a la vibración que recibe. Esta situación la vamos a representar como un cambio en la condición de contorno; ésta va a pasar a ser: <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math>

El objetivo, de nuevo será representar la evolución de la energía respecto del tiempo y ver si este cambio en el problema se ve reflejado en su representación.
En el código numérico, no obstante, la situación de <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math> la vamos a aproximar por la siguiente expresión:
<math> u_x(L,t)-bu(L,t) \cong \frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h-u_N(t)} </math>

En la resolución del problema emplearemos de nuevo la condición inicial de sujetar el cable por el centro y elevarlo 2 m perpendicularmente:
<math> u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2| </math>

Y además obtendremos el resultado para los dos valores siguientes de <math>b</math> :
Para <math> b=2 </math> y <math> b=-2 </math>.

El código numérico de matlab/octave es:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos
dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion7(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK
for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;

%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)

D2t_U=Ecuacion7(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;

%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);

%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
plot(t,ENE(1,:))
}}

'''FUNCIONES:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end

for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La imagen resultante es:
[[Archivo:Energiadelcableenrespuestaavibracionexterna.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración. ]]

La anterior gráfica muestra el comportamiento de la cuerda como respuesta a la vibración producida en uno de sus extremos así como el movimiento transversal del punto medio al comienzo. Podemos observar el movimiento transversal de cada punto de la cuerda a través de la expresión de la energía, así como que, a medida que transcurre el tiempo, ésta se va estabilizando. La forma de la función recuerda a una función sinusoidal debido a la forma de la condición de contorno impuesta.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Ecuación de ondas (grupo 2B)

2014-05-19T00:14:16Z

Ignacio Díaz-Caneja:

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo 2-B| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]]|
Ignacio Díaz-Caneja Camblor

Alberto Fernández Pérez

Adela González Barbado

Lucia López Sánchez

Araceli Martín Candilejo

Diego Solano López
}}

== Deslizamiento Vertical del Cable. ==
El problema que se tratará a continuación describe una ecuación de '''tipo hiperbólico''', una '''ecuación de ondas'''.
Consideramos un '''cable de 10 metros''' de longitud '''sujeto por sus extremos'''. Suponiendo que éste tiene una '''sección pequeña''' respecto a su longitud someteremos al cable a pequeñas vibraciones que estudiaremos con una modelización de la ecuación de ondas.
Se caracteriza al cable de una masa constante por unidad de volumen, es decir, será '''homogéneo'''. Éste, '''flexible''' a la tracción, únicamente ofrece resistencias en su dirección longitudinal, tangenciales, pero no a esfuerzos de flexión o cortes. Se supone, además, que es '''inextensible''' por lo que será lo suficientemente rígido longitudinalmente como para poder despreciar su extensibilidad.

 

Con esta modelización se estudiarán las '''pequeñas vibraciones''' a las que es sometido el cable. Para iniciar el movimiento del cable lo sujetaremos por el centro subiéndolo dos metros, lo que nos proporciona una primera condición inicial determinada por la función g(x), y soltándolo con una velocidad nula.

 

Obtenemos la ecuación <math>u_{tt}-u_{xx}=0</math> , de la cual se puede observar que tanto el '''módulo de la tensión''' como la '''densidad''' son '''constantes''' ya que <math>c^2=1</math> . Se deduce del enunciado anterior que las condiciones de frontera son '''homogéneas''', <math>u(0,t)=0</math> y <math>u(10,t)=0</math> que nos indican que los extremos del cable no describen ningún tipo de movimiento en todo instante t. Finalmente, añadimos al sistema las condiciones iniciales, la primera de ellas, <math>u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2|</math>, define el '''movimiento descrito por la onda''' en el instante t=0 en cualquier punto del cable; y la segunda, <math>u_t(x,0)=0</math>, que la onda parte de una '''velocidad inicial nula'''.
[[Image:DV.png|300px|thumb|right|Deslizamiento vertical del cable. ]]

<math>

\begin{cases}

u_{tt}- u_{xx}=0 \ x∈[0,10] \ t>0\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)= 2- |\frac{2}{5}x -2|\\
u_t(x,0)=0
\end{cases}
</math>

En los siguientes apartados se realizaran aproximaciones del sistema expuesto con tres métodos distintos de los que más tarde se hará una comparativa. Para esto último nos ayudaremos del error por lo que necesitaremos la solución analítica.
Como el problema consta de condiciones de frontera homogéneas, aplicamos directamente el método de separación de variables para su resolución analítica.
 
==== Aproximación por el método del trapecio. ====
El primer método que usaremos será el del Trapecio que consiste en RELLENAR
{{matlab|codigo=
%u_tt-u_xx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all

%Datos del problema
L=10;
T=40;

%Discretización
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;

%Aprox. de u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);

%Posición inicial.
u0=(2-abs(xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);

%Aprox. de u_tt
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];

%Aproximación por el método del Trapecio
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

%Dibujo de la solución
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

[[Image:klklk.jpg|700px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio.]]

==== Aproximación por el método de Euler. ====
Se exponen en este apartados dos tipos de aproximaciones de Euler.
===== Euler Explícito. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);}}
===== Euler Modificado. =====
{{matlab|codigo=
%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);}}

==== Aproximación por Fourier con diferentes términos de series. ====
En este apartado se ofrece una aproximación alternativa a las anteriores. Se muestran '''cinco iteraciones''' distintas del '''método del Fourier''' que se compararan entre sí y con los métodos anteriores, Trapecio y Euler.
 
Puesto que la realización de este método es la misma sea cual sea el número de serie elegido, se han expuesto únicamente dos casos de Q para una mayor claridad del programa.
{{matlab|codigo= %utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0

%1 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=1;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (1)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');

%3 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=3;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
phi=sin(k/L*pi*x);
a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2)).*phi)/(trapz(x,phi.^2));
b=0;
T=a.*cos(k*pi*t/L);
sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (2)
surf(xx,tt,sol)
xlabel('Desplazamiento horizontal');
ylabel('Tiempo');
zlabel('Desplazamiento vertical');}}

 
[[Image:81tF2.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con un término de serie.]]
[[Image:82tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con tres términos de serie.]]

 

[[Image:83tF.jpg|525px|thumb|left|Aproximación por el método del Trapecio con cinco términos de serie.]]
[[Image:84tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con diez términos de serie.]]

 

[[Image:85tF.jpg|525px|thumb|center|Aproximación por el método del Trapecio con veinte términos de serie.]]

 

== Energía del Cable. ==

La energía del cable que viene definida por la función:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El método utilizado en el desarrollo numérico de está expresión es el '''método de diferencias finitas'''
(Funciona calculando de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.).

'''FUNCIÓN:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)

n = length(x);
del=zeros(1,n);

if t==1

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));

for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end

elseif t==-1

for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end

i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

elseif t==0

i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));

for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end

i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));

end

v=del;

end
}}

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
U=(2-abs((x*2/5-2)))';
V=(0*x)';
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
U=U+dt*V;
V=V-dt*K*U;
sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1);
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);
plot(dE,t)
}}

El resultado habría de ser una gráfica que representase la evolución de la energía de la cuerda frente al transcurso del tiempo. No obstante, en nuestra resolución aparece una gráfica en blanco que ajudicamos o a un posible error en el código, o que podemos interpretar como que la energía tiende a infinito.

== Aplicaciones. ==

==== Sumersión en un medio viscoso. ====

Suponemos ahora la inmersión del cable en una medio viscoso. Este medio viscoso produce un amortiguamiento en el movimiento del cable, con lo que la anterior ecuación diferencial se convertiría en
\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0
\end{equation}
, siendo '''<math> a </math>''' una constante de amortiguamiento propia del medio viscoso.
Puesto que la función '''<math> u(x,t) </math>''' se ve afectada ahora por el medio viscoso, y más directamente, por la constante '''<math> a </math>''' que actúa en su nombre, la energía del cable ,que se expresaba como una integral en función de '''<math> u(x,t) </math>''' también se va a ver afectada:
\begin{equation}
E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx
\end{equation}

El obetivo del siguiente código será hallar una representación de la evolución de la energía en función del tiempo a raíz de la modificación de la función '''<math> u(x,t) </math>'''. Para ello asignaremos distintos valores a la constante '''<math> a </math>'''. Éstos van a ser:
'''<math> a=0 </math>''' (la energía para este valor resultará igual que la hallada en el apartado anterior)
'''<math> a=1 </math>'''
'''<math> a=4 </math>'''
'''<math> a=10 </math>'''
''<math> a=100 </math>'''

El procedimiento numérico volverá a seguir el método de '''diferencias finitas''':

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;
%Datos
dx=0.1;L=10;
dt=0.001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;
t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;

for k=1:5

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion5(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion5(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
legend('A=0','A=1','A=4','A=10','A=100');
plot(t,ENE(1,:),t,ENE(2,:),t,ENE(3,:),t,ENE(4,:),t,ENE(5,:));
}}

'''FUNCIONES:'''
DERIVA:

{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''ECUACIÓN 5:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion5( u,x,t )
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1

V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica buscada es:
[[Archivo:Graficadelaenergiaenunmedioviscoso.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía(ordenadas) del cable respecto del tiempo (Abcisas).]]
En la gráfica se aprecian cuatro curvas de distintos colores correspondientes a '''<math> a=0 </math>''','''<math> a=1 </math>''','''<math> a=4 </math>''','''<math> a=10 </math>''',''<math> a=100 </math>'''.
Como podemos apreciar el valor de la energía disminuye a medida que aumentamos el valor de "a". Esto es debido a que "a" define el coeficiente de amortiguamiento del líquido en el cual se encuentra la cuerda. Luego, dicha disminución de energía se produce por la disipación en el medio de gran parte de la energía total.

==== Sujeción a una estructura de vibración periódica. ====

En este caso supondremos que el extremo derecho que sujeta el cable está sometido a una vibración periódica de frecuencia <math> F_0 </math> [Herzios]. Al haber una vibración externa que afecta directamente al cable la expresión de su movimiento y, por consecuencia, de su energía, se va a ver modificada. Nosotros incluiremos esta modificación en la función <math> f(t) </math> de problema de valor inicial que venimos tratando. Esta función va a pasar a ser:
\begin{equation}
f(t)= sin(2 \pi F_0t)
\end{equation}

El objetivo será el de ver cómo afecta esta alteración en el desarrollo de la energía del cable frente al tiempo.
Para nuestro cálculo numérico especificaremos para las siguientes situaciones:
En primer lugar, para: <math> F_0= \frac{1}{L} + 0,01 </math>
Después,para: <math> F_0= \frac{1}{L} - 0,01 </math>

Y para finalizar, lo estudiaremos en un intervalo de tiempo de '''t=0''' hasta '''t=60''' : <math>t \in (0,60)</math> [segundos].

El código matemático para matlab / octave:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos

dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1
%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion6(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK

for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;
%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
D2t_U=Ecuacion6(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;
%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);
%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA

for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end
figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
imagesc(U)
}}

'''FUNCIONES:'''

DERIVA:
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}
'''ECUACIÓN 6:'''
{{matlab|codigo=
function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )

%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))+0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n))-0.01;
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion6( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L

u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
u(n)=sin(2*pi*F0*t);
%u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La gráfica resultante es la siguiente:
[[Archivo:Graficaestructuraconvibracion.png|650px|thumb|centre|Gráfica en tres dimensiones de la energía de un cable cuyo extremo derecho está sometido a una vibración externa periódica.]]

En dicha gráfica, se puede observar que la forma de la función o la energía se ve alterada por la condición impuesta de tal manera que ésta adquiere una forma también sinusoidal, y que su estabilización dependería del tiempo transcurrido entre vibración y vibración.

==== Sujeción a un aparato que responde a una vibración externa. ====

La siguiente situación que vamos a representar a modelar a través de ecuaciones diferenciales va a ser la siguiente: supondremos que el cable de la anterior situación (que recibía en su extremo derecho una vibración periódica de <math> F_0 </math> [Herzios])envía una respuesta a la vibración que recibe. Esta situación la vamos a representar como un cambio en la condición de contorno; ésta va a pasar a ser: <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math>

El objetivo, de nuevo será representar la evolución de la energía respecto del tiempo y ver si este cambio en el problema se ve reflejado en su representación.
En el código numérico, no obstante, la situación de <math> u_x(L,t)=bu(L,t) </math> la vamos a aproximar por la siguiente expresión:
<math> u_x(L,t)-bu(L,t) \cong \frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h-u_N(t)} </math>

En la resolución del problema emplearemos de nuevo la condición inicial de sujetar el cable por el centro y elevarlo 2 m perpendicularmente:
<math> u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2| </math>

Y además obtendremos el resultado para los dos valores siguientes de <math>b</math> :
Para <math> b=2 </math> y <math> b=-2 </math>.

El código numérico de matlab/octave es:

'''PROGRAMA:'''
{{matlab|codigo=
clc;clear all;close all;

%Datos
dx=0.1;L=10;dt=0.0001;NT=40;
A=[0,1,4,10,100];
x=0:dx:L;t=0:dt:NT;
ENE=zeros(5,length(t));

%Condición de contorno: U(0,t)=U(L,t)=0;
for k=1

%Vector solución y derivada temporal de la solución
%t=0<>T(1) es donde se guardan las condiciones iniciales

U=zeros(length(t),length(x));
Dt_U=zeros(length(t),length(x));
Dx_U=zeros(length(t),length(x));

%Condición inicial: Estiramos 2 m del centro
%Modelizado como dos rectas antisimétricas que se cortan en x=5 y
%sujetas en x=0 y x=L.

U(1,:)=2*sin(x*pi/L);
Dt_U(1,:)=zeros(1,length(x))';
D2t_U=Ecuacion7(U(1,:),x,-1);

%Inicio del esquema numérico
%empieza en 2 ya que el 1 es la cond. inicial

%ESQUEMA NEWMARK
for i=2:length(t)
iter=[k,i]
Ua=U(i-1,:);
Dt_Ua=Dt_U(i-1,:);
D2t_Ua=D2t_U;

%Derivada segunda respecto del tiempo en el instante t, se obtiene de
%eq. diferencial u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)

D2t_U=Ecuacion7(U(i-1,:),x,t(i))-A(k)*Dt_Ua;

%Derivada primera
Dt_U(i,:)=Dt_Ua+0.5*dt*(D2t_Ua+D2t_U);

%Ecuacion
U(i,:) = Ua+Dt_Ua*dt+(1/6)*(D2t_Ua+D2t_U)*dt^2;
end

%ENERGIA
for i=1:length(t)
Dx_U(i,:)=deriva(x,U(i,:),0);
end
dE=zeros(length(t),1);
for i=1:length(x)
dE=dE+(Dt_U(:,i).^2+Dx_U(:,i).^2)*dx;
end
ENE(k,:)=dE;
end

figure(1)
hold on
grid
aa=find(x==L/4);
ab=find(x==3*L/4);
plot(t,ENE(1,:))
}}

'''FUNCIONES:'''
{{matlab|codigo=
function v = deriva(x,y,t)
n = length(x);
del=zeros(1,n);
if t==1
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));
for i=2:n
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
elseif t==-1
for i=1:n-1
del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
end
i=n;
del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
elseif t==0
i=1;
del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
for i=2:n-1
del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
end
i=n;
del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
end
v=del;
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;
if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end
for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

'''function [ V ] = Ecuacion7( u,x,t )'''
{{matlab|codigo=
%se guarda aquí la ecuación diferencial del tipo u_tt=f(x,u,u_x,u_xx)
%INCLUIDAS LAS CC AQUÍ!
%PARA u_tt=u_xx
%CC: u(0,t)=u(L,t)=0;

Ax=x(2)-x(1);
n=length(u);
V=zeros(1,n);
F0=(1/x(n));
b=-2;

%Las condiciones de contorno vienen en x(1)=0 y x(Nx)=L
u(1)=0;

if(t==-1)
u(n)=0;
else
%u(n)=0;
%u(n)=sin(2*pi*F0*t);
u(n)=(1/(b*Ax-1))*u(n-1);
end

for i=2:n-1
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end

i=1;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i+2)-2*u(i+1));
i=n;
V(i)=(1/Ax^2)*(u(i)-2*u(i-1)+u(i-2));
end
}}

La imagen resultante es:
[[Archivo:Energiadelcableenrespuestaavibracionexterna.png|700px|thumb|centre|Gráfica de la energía (ordenadas) de un cable frente al tiempo (abcisas) que recibe una vibración en su extremo derecho y que responde a dicha vibración. ]]

La anterior gráfica muestra el comportamiento de la cuerda como respuesta a la vibración producida en uno de sus extremos así como el movimiento transversal del punto medio al comienzo. Podemos observar el movimiento transversal de cada punto de la cuerda a través de la expresión de la energía, así como que, a medida que transcurre el tiempo, ésta se va estabilizando. La forma de la función recuerda a una función sinusoidal debido a la forma de la condición de contorno impuesta.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Circuitos RL (grupo B)

2014-03-01T17:45:02Z

Ignacio Díaz-Caneja:

{{ TrabajoED | Circuitos RL. Grupo 2-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Diego Solano López,Lucia López Sánchez,Adela González Barbado,Araceli Martín Candilejo,Ignacio Díaz Caneja Camblor,Alberto Fernández Pérez }}

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>

 
Las leyes de Kirchhoff establecen el comportamiento de los circuitos:
# '''Ley de corriente:''' en cada nudo la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.
# '''Ley de tensiones:''' en cada ciclo cerrado, la suma de las diferencias de potencial eléctrico es nula.
 

== Ley de Kirchhoff de voltaje ==
==== Ecuación diferencial-Resolución y representación analítica.====
Basándonos en la Ley de Kirchhoff de voltaje sobre el circuito que observamos en la imagen, podemos trabajar con la siguiente ecuación diferencial.

<math> i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 </math> [[Image:cicuito1.jpg|300px|thumb|right|Circuito RL simple ]]

Al suponer que en el instante t=0 el circuito está abierto, podemos establecer para el problema de Cauchy el valor inicial '''<math> i_0(t)=0 </math>'''. Considerando que la alimentación posee un voltaje constante '''V(t)=20V, L=0.2 y R=5Ω''', llegamos al problema:

<math>\left\{\begin{matrix}\ i'(t)+{25}i(t)-{100}=0 \\i(0)=0\end{matrix}\right.</math>

La resolución de éste mediante (...) nos da:
<math> i(t)=4+4e^{-25t} </math>
Podemos ver en la gráfica de la función que la evolución de la intensidad, una rápida subida en los primeros instantes que se ralentiza hasta llegar a ser prácticamente constante.
[[Image:Funcion.jpg|500px|thumb|center|Gráfica de la intensidad en un circuito RL simple ]]

{{matlab|codigo=
fplot('4-4*exp(-25*t)',[0,0.5,0,5]);
xlabel('Tiempo')
ylabel('Intensidad(t)')
}}

==== Método de Euler. ====
{{matlab|codigo=
%Definimos las condiciones iniciales
clear all
t0=0;
tN=1;
%Establecemos un paso h=0.01
h=0.01;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
%Resolvemos la ecuacion
ii=0;
i(1)=ii;
for n=1:N;
ii=ii+h*(100-25*ii);
i(n+1)=ii;
end
figure(1)
plot(t,i,'-g','linewidth',2);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad(t)');
axis([-0.1,1,0,5])
%Calculo error
r=4-4*exp(-25*t);
error=abs(r-i);
figure(2)
plot(t,error,'-r','linewidth',2)
xlabel('Tiempo');
ylabel('Error');
axis([-0.1,1,-0.05,0.25])
}}
Un paso de discretización de 0'01 proporciona un error muy pequeño, lo que aporta una aproximación de la función muy similar a la real, como podemos observar en la primera figura. Analizando el error que nos ofrece dicha aproximación, vemos en la segunda imagen que éste se anula al llegar a t=0'3 y coincidir la 'recta' aproximada de la estabilización con la real, y que su valor no supera el 0'2, por lo que podemos afirmar analíticamente la exactitud de la aproximación.
[[Image:0.01.jpg|500px|thumb|left|Resultado de la intensidad del circuito RL simple por el método de Euler para h=0'01]] [[Image:error0.01.jpg|500px|thumb|center|Gráfica del error cometido en el cálculo de la intensidad por el método de Euler para h=0'01 ]]

 
{{matlab|codigo= %Resolucion por Euler
%Definimos las condiciones iniciales
clear all
t0=0;
tN=1;
%Probamos con un paso de discretización mayor, h=0.05
h=0.05;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
%Resolvemos la ecuacion
ii=0;
i(1)=ii;
for n=1:N;
ii=ii+h*(100-25*ii);
i(n+1)=ii;
end
figure(1)
plot(t,i,'-g','linewidth',2);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad(t)');
axis([-0.1,1,0,5.1])
%Calculo error
r=4-4*exp(-25*t);
error=abs(r-i);
figure(2)
plot(t,error,'-r','linewidth',2)
axis([-0.1,1,-0.05,2.25])
xlabel('Tiempo');
ylabel('Error');
}}

Al aumentar el paso de discretización a 0'05 vemos como la aproximación de la curva se convertido en una combinación de rectas que asemejan la evolución de la intensidad pues se sigue manteniendo una rápida subida inicial. A pesar de ello, el error ha aumentado su valor en un 1000% en el periodo transitorio, pero vuelve a anularse en el permanente ya que a partir del punto de estabilización los valores aproximados coincide con los reales.

[[Image:0.05.jpg|500px|thumb|left|Resultado de la intensidad del circuito RL simple por el método de Euler para h=0'05 ]] [[Image:error0.05.jpg|500px|thumb|center| Gráfica del error cometido en el cálculo de la intensidad por el método de Euler para h=0'05]]

 
{{matlab|codigo=
%Comparamos las gráficas con diferentes pasos y la función real
clear all
t0=0;
tN=1;
h1=0.05;
t1=t0:h1:tN;
N1=(tN-t0)/h1;
h2=0.01;
t2=t0:h2:tN;
N2=(tN-t0)/h2;
h3=0.075;
t3=t0:h3:tN;
N3=(tN-t0)/h3;
ii=0;
i(1)=ii;
for n=1:N1;
ii=ii+h1*(100-25*ii);
i(n+1)=ii;
end
yy=0;
y(1)=yy;
for m=1:N2;
yy=yy+h2*(100-25*yy);
y(m+1)=yy;
end
jj=0;
j(1)=jj;
for m=1:N3;
jj=jj+h3*(100-25*jj);
j(m+1)=jj;
end
hold on
fplot('4-4*exp(-25*t2)',[0,1,0,5],'r');
plot(t1,i,'-b','linewidth',1);
plot(t2,y,'-y','linewidth',1);
plot(t3,j,'-g','linewidth',1);
legend('Función real','h=0.05', 'h=0.01', 'h=0.075');
title('Comparativa');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad(t)');
axis([-0.1,1,-0.05,8])
hold off
}}
Al ensayar con diferentes pasos de discretización vemos como la aproximación de la gráfica se va degenerando, hasta el punto en el que si se sobrepasa 0'05, la volatilidad de las oscilaciones llega a ser tal que la intensidad nunca llega a estabilizarse y el error nunca se anula pues los valores son muy lejanos a los reales. Si se mantiene en el intervalo [0'02,0'05] se elimina la forma exponencial de la función (aparecen en su lugar fluctuaciones rectilíneas) pero se sigue reflejando la evolución de la intensidad hasta que se vuelve constante. Con un paso de 0'01, se consigue una gráfica exponencial con valores ligeramente superiores a los reales, por tanto podemos afirmar cuanto más pequeño sea el paso, más exacta será la aproximación.

==== Método del Trapecio. ====

== Leyes de Kirchhoff ==

[[Archivo:Circuito 2 completo.jpg|300px|thumb|left| ]]

Según las leyes de Kirchhoff, el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al circuito 2 es el siguiente:

<math>\left\{\begin{matrix}\ [1] E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_2\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_2(t) + R_2\cdot i_2(t)\\ [2] E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_1\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_3(t) + R_3\cdot i_3(t)\\ [3] i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)\end{matrix}\right.</math>

'''[1]'''Correspondiente al recorrido exterior del circuito. 
'''[2]'''Correspondiente a la malla izquierda, (malla 1). 
'''[3]'''Correspondiente al nudo de la parte superior del circuito(Ley de corrientes de Kirchhoff).

Sustituyendo la tercera ecuación en las otras dos, se obtiene el sistema en términos de i2(t) e i3(t) matricialmente::<math>\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{R_1+R_2}{L_2}&\frac{R_1}{L_2} \\ \frac{R_1}{L_1}&\frac{R_1+R_3}{L_1}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{E}{L_2} \\ \frac{E}{L_1} \end{pmatrix}</math> 
A partir de las condiciones iniciales i2(0)=i3(0)=0 se puede interpretar que la corriente en el circuito es nula en el momento en el cual se conecta el generador. 

==== Cálculo de las intensidades de un circuito con varias resistencias y bobinas a partir del Método de Euler y del Trapecio. ====
Ya se ha visto que la expresión de las intensidades i2 e i3 de este circuito RL vienen dadas por dos ecuaciones diferenciales que conforman un sistema. Este sistema de ecuaciones diferenciales se puede resolver numéricamente a partir del método de Euler y del trapecio, los cuales se basan en la aproximación de las áreas de esa ecuación diferencial al valor real de la función en cada momento.

Partiendo de unos datos iniciales iguales a:

'''<math> R_1=R_2=6Ω </math>''' , '''<math> R_3=3Ω </math>''' , '''<math> L_1=0,3Hz </math>''' , '''<math> L_2=0,11Hz </math>''' y '''<math> E(t)=20 V </math>'''

:<math>\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{6+6}{0,11}&\frac{6}{0,11} \\ \frac{6}{0,3}&\frac{6+3}{0,3}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{20}{0,11} \\ \frac{20}{0,3} \end{pmatrix}</math> 
Resolvemos las ecuaciones diferenciales:

* ''' MÉTODO DE EULER: '''
'''OCTAVE'''
{{matlab|codigo=
DATOS:

clc;clear all;
%t0=tiempo inicial
t0=0;
%tN=tiempo máximo a evaluar
tN=0.04;
%soluciones en y0 para las variables i2 e i3
y0=0;
%N=intervalos en los que se dividen
N=25;
%h=salto de intervalo en intervalo
h=(tN-t0)/N;
%i1,i2,i3=vectores solución desde t0 a tN de h en h
i1=t0:h:tN;

i2=t0:h:tN;

i3=t0:h:tN;

%y=vector de ceros y que va a almacenar las soluciones.Tendrá N+1 términos porque el primero es el cero y el ultimo el N
%la intensidad dos es y(:,1),es decir, la fila 1.
%la intensidad tres es y(:,2),es decir, la fila 2.
%la intensidad uno es y(:,3),es decir, la fila 3.
y=zeros(N+1,3);
y(1,1)=y0;
y(1,2)=y0;
y(1,3)=y0;
%AHORA SE EMPIEZA A RESOLVER POR EULER EL SISTEMA.
%y(n+1)=y(n)+h*f(t(n),y(n))
%f(t,i2)=((E/L2)-R1*(i2+i3)+R2*i2)/L2
%f(t,i3)=((E/L1)-R1*(i2+i3)+R3*i3)/L1
for n=1:N
y(n+1,1)=y(n,1)+h*((20/0.11)-(6*(y(n,1)+y(n,2))+6*y(n,1))/0.11);
y(n+1,2)=y(n,2)+h*((20/0.3)-(6*(y(n,1)+y(n,2))+3*y(n,2))/0.3);
y(n+1,3)=y(n+1,1)+y(n+1,2);
end
hold on
plot(i1,y(:,3),'+')
plot(i2,y(:,1),'r+')
plot(i3,y(:,2),'g+')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad(t)');
legend('i1', 'i2', 'i3');
grid on
}}
* ''' MÉTODO DEL TRAPECIO: '''
'''OCTAVE'''
{{matlab|codigo=
DATOS:
clc;clear all;
%tiempo inicial
t0=0;
%tiempo máximo a evaluar
tN=0.04;
%soluciones en y0 para las variables i2 e i3
y0=0;
%intervalos en los que se dividen
N=25;
%salto de intervalo en intervalo
h=(tN-t0)/N;
%vectores solución desde t0 a tN de h en h
i1=t0:h:tN;
i2=t0:h:tN;
i3=t0:h:tN;
%vector de ceros y que va a almacenar las soluciones
%tendra N+1 términos porque el primero es el cero y el ultimo el N
%la intensidad dos es y(:,1)
%la intensidad tres es y(:,2)
%la intensidad uno es y(:,3)
y=zeros(N+1,3);
y(1,1)=y0;
y(1,2)=y0;
y(1,3)=y0;
PARA RESOLVER POR EL MÉTODO DEL TRAPECIO:
%y(n+1)=y(n)+(h/2)*(f(t(n),y(n)+f(t(n+1),y(n+1))
%f(t,i2)=((E/L2)-R1*(i2+i3)+R2*i2)/L2
%f(t,i3)=((E/L1)-R1*(i2+i3)+R3*i3)/L1
for n=1:N
y(n+1,1)=y(n,1)+(h/2)*(((20/0.11)-(6*(y(n,1)+y(n,2))+6*y(n,1))/0.11)+((20/0.11)-(6*(y(n+1,1)+y(n+1,2))+6*y(n+1,1))/0.11));
y(n+1,2)=y(n,2)+(h/2)*(((20/0.3)-(6*(y(n,1)+y(n,2))+3*y(n,2))/0.3)+((20/0.3)-(6*(y(n+1,1)+y(n+1,2))+3*y(n+1,2))/0.3));
y(n+1,3)=y(n+1,1)+y(n+1,2);
end
plot(i1,y(:,3))
plot(i2,y(:,1),'r')
plot(i3,y(:,2),'g')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad(t)');
hold off
}}
 
[[Archivo:Grafica.MétodoEuleryTrapeciojuntosfinal.png|800px|thumb|left|Gráfica del resultado del Método de Euler y Trapecio en el cálculo de las intensidades.]]
 

'''En el resultado de la gráfica, lo obtenido con el método de Euler se representa con los símbolos "+", mientras que la línea continua corresponde al Método del Trapecio. Como se puede apreciar, ambos métodos dan resultados similares y muy próximos. En la interpretación de los resultados, diríamos que se trata de corrientes muy estables.'''
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Circuitos RL (grupo B)

2014-02-28T16:12:37Z

Ignacio Díaz-Caneja:

Circuitos RL (grupo B)

2014-02-28T16:11:40Z

Ignacio Díaz-Caneja:

Circuitos RL (grupo B)

2014-02-28T16:08:48Z

Ignacio Díaz-Caneja: