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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-12T10:36:19Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar la superficie

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Siendo <math> \nabla \cdot \vec u = 0 </math> y calculando el gradiente de <math>\vec u</math> como:: <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math> Podemos calcular el tensor de deformaciones como 1-contravariante 1-covariante::
<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes tendríamos:: <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, siendo <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:: <math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> serían:: <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> serían:: <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====

Por un lado, vamos a analizar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi\rho cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones son máximas cuando $\rho$ =2 y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$.

Por otro lado, analizamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.

En Matlab podemos dibujar estas tensiones mediante el siguiente código:
[[Archivo:Fig333def.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((pi.*uu.*cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-12T10:34:04Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar la superficie

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Siendo <math> \nabla \cdot \vec u = 0 </math> y calculando el gradiente de <math>\vec u</math> como:: <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math> Podemos calcular el tensor de deformaciones como 1-contravariante 1-covariante::
<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes tendríamos:: <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, siendo <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:: <math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> serían:: <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> serían:: <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====

Por un lado, vamos a analizar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi\rho cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones son máximas cuando $\rho$ =2 y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$.

Por otro lado, analizamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.

En Matlab podemos dibujar estas tensiones mediante el siguiente código:
[[Archivo:Fig333def.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((pi.*uu.*cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-12T10:31:03Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar la superficie

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Siendo <math> \nabla \cdot \vec u = 0 </math> y calculando el gradiente de <math>\vec u</math> como:: <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math> Podemos calcular el tensor de deformaciones como 1-contravariante 1-covariante::
<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes tendríamos:: <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, siendo <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:: <math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> serían:: <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> serían:: <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====

Por un lado, vamos a analizar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi\rho cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$.

Por otro lado, analizamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.

En Matlab podemos dibujar estas tensiones mediante el siguiente código:
[[Archivo:Fig333def.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((pi.*uu.*cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Fig333def.jpg

2013-12-12T10:30:11Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-12T10:29:06Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar la superficie

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Siendo <math> \nabla \cdot \vec u = 0 </math> y calculando el gradiente de <math>\vec u</math> como:: <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math> Podemos calcular el tensor de deformaciones como 1-contravariante 1-covariante::
<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes tendríamos:: <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, siendo <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:: <math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> serían:: <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> serían:: <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====

Por un lado, vamos a analizar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi\rho cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$.

Por otro lado, analizamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.

En Matlab podemos dibujar estas tensiones mediante el siguiente código:
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((pi.*uu.*cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-12T08:41:33Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Comportamientos ante un foco calorífico */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar la superficie

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Siendo <math> \nabla \cdot \vec u = 0 </math> y calculando el gradiente de <math>\vec u</math> como:: <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math> Podemos calcular el tensor de deformaciones como 1-contravariante 1-covariante::
<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes tendríamos:: <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, siendo <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:: <math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> serían:: <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> serían:: <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====

Por un lado, vamos a analizar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$.

Por otro lado, analizamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.

En Matlab podemos dibujar estas tensiones mediante el siguiente código:
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:38:13Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Siendo <math> \nabla \cdot \vec u = 0 </math> y calculando el gradiente de <math>\vec u</math> como:: <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math> Podemos calcular el tensor de deformaciones como 1-contravariante 1-covariante::
<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes tendríamos:: <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, siendo <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:: <math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> serían:: <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> serían:: <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====

Por un lado, vamos a analizar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$.

Por otro lado, analizamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.

En Matlab podemos dibujar estas tensiones mediante el siguiente código:
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:35:49Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Siendo <math> \nabla \cdot \vec u = 0 </math> y calculando el gradiente de <math>\vec u</math> como:: <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math> Podemos calcular el tensor de deformaciones como 1-contravariante 1-covariante::
<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes tendríamos:: <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, siendo <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:: <math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> serían:: <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> serían:: <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====

Por un lado, vamos a analizar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>::
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$.

Por otro lado, analizamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>::

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:26:09Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Siendo <math> \nabla \cdot \vec u = 0 </math> y calculando el gradiente de <math>\vec u</math> como:: <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math> Podemos calcular el tensor de deformaciones como 1-contravariante 1-covariante::
<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes tendríamos:: <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Sustituyendo ahora los valores en la fórmula del tensor de tensiones,y tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, siendo <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> los conocidos como coeficientes de Lamé, obtenemos:: <math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> serían:: <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

Las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> serían:: <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

A continuación se muestra el código Matlab empleado para dibujar estas tensiones normales en ambas direcciones:

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:09:00Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula::
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:08:12Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio de la divergencia */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas::

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:07:38Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Campo de desplazamiento */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por::
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:07:19Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Variación de la temperatura */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial::

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:06:57Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Espacio de trabajo */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por::
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:06:18Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo::

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:05:59Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto::

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T21:04:26Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T20:56:55Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Matemáticamente, los puntos en los que hay un mayor rotacional son aquellos en los que <math>\cos(\pi\theta/2)=\pm 1 </math> y <math>\rho=1</math>. Gráficamente, estas zonas con un mayor valor del rotacional vienen representadas con un color rojizo.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

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view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T20:42:49Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Variación de la temperatura */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

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}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo. Podemos por tanto decir que el gradiente es menor cuanto más se aproxima al origen de coordenadas.

Gráficamente observamos que <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T20:32:58Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Comportamientos ante un foco calorífico */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio (valor de <math>\rho</math>) , es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos. En este caso el foco calorífico no varía en función de <math>\theta</math>.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T15:37:30Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0 </math>

<math>(\epsilon^i_{.j})=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\cos(\pi\theta/2)}{120\rho}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>
En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

Como podemos observar, en este caso, las tensiones no dependen de $\rho$ y son máximas cuando $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$ que son los puntos donde hay una menor deformación al aplicarle el campo vectorial $\vec u$.

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>

En este otro caso, las tensiones son máximas cuando $\rho=1$ y $\cos(\pi\theta/2)=\pm1$, por tanto observamos que coinciden con los puntos en los cuales es máximo el rotacional.
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T15:16:44Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Comportamientos ante un foco calorífico */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
[[Archivo:Figbar.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math>\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u\delta_{ij}+2\mu \epsilon_{ij}</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Figbar.jpg

2013-12-10T15:14:36Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: Campo de temperaturas sobre la placa (3D).

Campo de temperaturas sobre la placa (3D).

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T15:11:23Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math>\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u\delta_{ij}+2\mu \epsilon_{ij}</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>
[[Archivo:Fig123hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Fig123hoy.jpg

2013-12-10T15:10:42Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g⃗ ρ (izquierda) y respecto al plano ortogonal a g⃗ θ/ρ (derecha)

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T15:09:18Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math>\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u\delta_{ij}+2\mu \epsilon_{ij}</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=abs((cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=abs((pi*(cos(pi*vv./2)))./(60*uu.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T14:24:59Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math>\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u\delta_{ij}+2\mu \epsilon_{ij}</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60 \rho^2}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T14:20:13Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math>\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u\delta_{ij}+2\mu \epsilon_{ij}</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{ cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T14:03:42Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math>\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u\delta_{ij}+2\mu \epsilon_{ij}</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Figdehoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Figdehoy.jpg

2013-12-10T14:02:26Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: Tensiones normales en diversas direcciones.

Tensiones normales en diversas direcciones.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T14:00:43Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math>\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u\delta_{ij}+2\mu \epsilon_{ij}</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2} </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=sin(pi.*vv/2)./(15.*uu.^2); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T13:49:28Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
Calculamos el gradiente de <math>\vec u</math>, <math>\nabla\vec u=u^i_{.j}\vec g_i \otimes \vec g^j</math> donde <math>u^i_{.j}= \vec g^i \nabla\vec u \vec g_j=\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}u^k.</math>

<math>\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u\delta_{ij}+2\mu \epsilon_{ij}</math>

<math> Siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

En coordenadas 2-covariantes <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\epsilon_{ij})=G(\epsilon^i_{.j})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{30\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{120\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{120}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{30}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>(\sigma_{ij})=2(\epsilon_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sin(\pi\theta/2)}{15\rho^2}& \frac{\pi \cos(\pi\theta/2)}{60\rho}&0\\\frac{\pi\rho\cos(\pi\theta/2)}{60}& \frac{\sin(\pi\theta/2)}{15}&0\\0&0&0\end{array}\right)</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T12:55:44Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fignn.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Fignn.jpg

2013-12-10T12:54:58Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).

Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T12:51:29Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Fignueva.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Fignueva.jpg

2013-12-10T12:50:23Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).

Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T12:47:15Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

f=abs(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional

surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional

hold on

view(2)

h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

view(2)

hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T12:04:47Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio de la divergencia */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==
La '''divergencia''' es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. En este caso vamos a estudiarla tomando como volumen el de nuestra placa. En este caso, al considerar el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}</math>, la divergencia la obtenemos con la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T11:53:28Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

Una vez calculado el rotacional, obtenemos su módulo:

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T11:48:30Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

En la corona circular de estudio donde los desplazamientos vienen representados por el vector <math>\vec u</math>, el '''rotacional''' simboliza el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> perpendicular a la placa debido al desplazamiento:

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T11:42:39Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math> \nabla\times\vec u =
\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}= -\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{z}
</math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T11:37:31Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio de la divergencia */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho} </math>

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}. </math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T11:20:23Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}. </math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T08:43:37Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\rho y respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}. </math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60} </math>

<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|= \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60}</math>
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T08:38:38Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}. </math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij} </math>

<math> siendo: \nabla \cdot \vec u = 0
</math>

<math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>

<math>\nabla \vec u = \begin{pmatrix} \frac{-sen(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T08:27:02Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}. </math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij}, siendo: \nabla \cdot \vec u = 0

</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T08:26:19Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}. </math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij}, siendo: \nabla \cdot \vec u = 0

</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho =\frac{-sen(\pi \theta/2)}{15\rho^2} </math>

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = 0 </math>

[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T08:20:42Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del tensor de tensiones */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}. </math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
<math>
\sigma_{ij}=1 \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2×1 ×× \epsilon_{ij}, siendo: \nabla \cdot \vec u = 0

</math>
[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T08:10:18Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})\vec g_{z}. </math>

<math>|\nabla × \vec u| =\frac{\pi \cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 15-C)

2013-12-10T07:59:01Z

IAGO RODRIGUEZ ROMERO: /* Estudio del rotacional */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==

Vamos a realizar el estudio de una placa plana con forma de corona circular centrada en el origen y de radio interior 1 y radio exterior 2, al verse sometida a diversos campos.
Para empezar, representamos el mallado sobre el que vamos a trabajar. La visualización de la misma nos sirve para situar la placa en nuestro espacio de trabajo.

== Espacio de trabajo ==
En nuestro caso vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Queda reflejado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig1buena.jpg|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalos de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
}}

Tras la visualización deseamos estudiar cómo nuestra placa se va a comportar frente a un foco calorífico.

== Comportamientos ante un foco calorífico ==
Nuestro foco calorífico se sitúa en el origen de coordenadas, siguiendo la expresión <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>.
Representado en Matlab con el siguiente código:
[[Archivo:Fig2lunes.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2π]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

colorbar

view(2)

}}

Como observamos en la ilustración la temperatura desciende a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Por lo tanto la placa tiene mayor temperatura cuánto menor es su radio, es decir cuanto más cerca del foco nos encontramos.

=== Variación de la temperatura ===
Derivando la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>, obtenemos una expresión del gradiente de la temperatura que en coordenadas cartesianas nos da como resultado el siguiente campo vectorial:

<math>\nabla T = (\frac{-x}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{x^2+y^2+0.1\sqrt{x^2+y^2}})</math>

[[Archivo:Fig4ord.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente del campo de temperaturas sobre la placa.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho [1,2]

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las líneas de nivel

hold on

fx=-xx./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada parcial respecto de X

fy=-yy./((xx.^2+yy.^2)+0.1.*sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

view(2)

colorbar
}}

Si observamos la imagen obtenida con Matlab, podemos ver que las curvas de nivel de la temperatura parten del foco calorífico formando circunferencias concéntricas sin respetar una equidistancia determinada, ya que la función logarítmica no es lineal. Por tanto, estas líneas tienen mayor temperatura cuanto más próximas a él se localicen.

Por otro lado podemos observar que las flechas que representan el gradiente son radiales y que apuntan hacia el origen de coordenadas, debido a que el signo obtenido en las derivadas parciales es negativo.

== Campo de desplazamiento ==

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo <math>t_0</math> dado vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
El código de Matlab para dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido es el que mostramos a continuación:
[[Archivo:Fig4final.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo de desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));
n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));
quiver(xx,yy,m,n); % Dibujo de la función
view
}}
=== Aplicación del desplazamiento ===

El desplazamiento que realiza la placa consiste en una serie de movimientos transversales en distintas direcciones. Como podemos ver en la siguiente imagen, obtenida con el código Matlab, el desplazamiento es prácticamente inapreciable.

[[Archivo:Fig4hoy.jpg|marco|derecha|Desplazamiento de la placa producido por un campo vectorial. Estado inicial y final.]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1)
h=0.1; % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)

h=0.1 % Intervalo de separación

u=1:h:2; % Intervalo de rho

v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta

figure(1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

figure(1)

m=((sin((pi.*vv)./2).*cos(vv))./(30*uu));

n=((sin((pi.*vv)./2).*sin(vv))./(30*uu));

mesh(m+xx,n+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-3,3,-3,3])

axis equal

view
}}

== Estudio de la divergencia ==

<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} ({\rho} \frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho})= 0\ </math>

En el estudio de la divergencia nos damos cuenta de que todos los puntos tienen la misma, ya que sobre nuestra placa es cero. Esto se debe a que la placa se ve sometida a desplazamientos transversales (como hemos visto en el apartado anterior) sin deformación de volumen, por lo que no habría un cambio del mismo.

== Estudio del rotacional ==

<math>\nabla × \vec u =\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\theta} (\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}) </math>
[[Archivo:Figrot.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo Rotacional aplicado a una placa circular (2D).]]
[[Archivo:Fig33hoy.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Campo rotacional aplicado a una placa circular (3D).]]
{{matlab|codigo=
% Para obtener el rotacional en 2D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
contour(uu,vv,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
% Para obtener el rotacional en 3D
u=-2:0.1:2; % Intervalo de x
v=-2:0.1:2; % Intervalo de y
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de x e y
figure(1)
f=(pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu.^2); % Campo del rotacional
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,f) % Líneas de nivel del rotacional
hold on
view(2)
h=0.1; % Intervalo de separación
u=1:h:2; % Intervalo de rho
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de theta
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matriz de rho y theta
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-3,3,-3,3]) % Región del dibujo
view(2)
hold off
}}

Los puntos externos a la placa y cercanos al origen, tienen un rotacional mayor que los del interior de la placa.
Como se puede observar en la imagen adjunta, se produce una simetría alrededor del eje X ya que, visualmente, se traduce como un giro en torno a este eje.

== Estudio del tensor de tensiones ==
[[Archivo:Fig7hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones normales en diversas direcciones.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo de separación

u=[1:0.1:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho and theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=((-sin(pi*vv./2))./(15*(xx.^2+yy.^2))); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región seleccionada

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub rho')

view(2)

subplot(1,2,2)

f=0*xx; % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región del dibujo

axis equal

colorbar

title('Tensión normal en dirección g sub theta')

view(2)
}}
=== Tensiones tangenciales ===
==== Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
[[Archivo:Fig71hoy.jpg|marco|derecha|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> (izquierda) y respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> (derecha)]]
{{matlab|codigo=
h=(0.1); % Intervalo de separación

u=[1:h:2]; % Intervalo de rho [1,2]

v=[0:h:2*pi+h]; % Intervalo de theta [0,2*pi]

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

figure(1)

subplot(1,2,1)

xx=uu.*cos(vv); % Parametrización

yy=uu.*sin(vv);

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)

subplot(1,2,2)

f=(pi*(cos(pi*vv./2)))./(60); % Campo escalar

surf(xx,yy,f) % Dibujar el mallado

axis([-2,2,-2,2]) % Región para dibujar

axis equal

colorbar

view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]