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Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T22:47:47Z

Hugo Sacristan: /* Referencias */

{{ TrabajoSIG | Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista. | Jorge Granadino Aranda Javier Martinez Hidalgo Hugo Sacristán de Agustín David Alejandro Tellechea Morales | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

Este proyecto aborda el diseño y estudio de viabilidad de la construcción de un nuevo eje de movilidad, el Corredor Ciclista Rivas-Madrid, cuyo objetivo es establecer una conexión segura y eficiente entre el municipio de Rivas-Vaciamadrid, con los diferentes núcleos urbanos del sureste de Madrid y principalmente con la capital.
Para lograr una conexión optima, se han analizado cuatro alternativas de trazado principales, que buscan unir Rivas con los distritos de Vicálvaro, San Blas, El Cañaveral y Alameda de Osuna.
El diseño de las diferentes alternativas se basa en la combinación de infraestructuras existentes y nuevas, gracias a la utilización de vías mixtas, tramos de carril bici existentes y la propuesta de nuevos tramos de carril bici.

== Introducción ==
El vertiginoso crecimiento demográfico de la ciudad de Madrid ha impulsado la necesidad de un desarrollo urbano más sostenible, buscando alternativas que reduzcan la dependencia del vehículo privado, mitiguen la contaminación y promuevan estilos de vida más activos y saludables.
Hoy, los accesos a la capital se encuentran permanentemente congestionados, un problema que afecta a municipios clave como Rivas-Vaciamadrid, donde la dependencia del vehículo privado genera una gran ineficiencia de los desplazamientos de media distancia y una alta contaminación.
Actualmente, la conexión ciclista entre Rivas-Vaciamadrid es discontinua e insegura, lo que desincentiva el uso diario de la bicicleta.
Ante esta situación, el presente proyecto propone una solución integral, el Estudio y diseño del Corredor Ciclista Rivas-Madrid. El trabajo se centra en la evaluación de 4 alternativas de trazado, utilizando una metodología que combina estratégicamente vías mixtas, carriles exclusivos segregados y nuevos tramos de construcción. Finalmente, el objetivo es seleccionar la ruta optima que además de ser segura y eficiente, contribuya a mitigar la congestión a los principales accesos de Madrid.

== Metodología ==

===Herramientas de Análisis y Fuentes de Datos===
Para la definición y evaluación de alternativas de trazado con origen en Rivas-Vaciamadrid, se emplearon Sistemas de Información Geográfica como es el caso de QGIS, utilizando como base cartográfica la capa Google Satellite Hybrid para una visualización precisa y representativa del entorno.
Asimismo, se integró la cartografía oficial de la infraestructura ciclista existente, obtenida a través del portal de datos abiertos del Ayuntamiento de Madrid.
Por otro lado, se han usado datos del Centro de Descargas del CNIG como los Modelos Digitales de Terreno de paso de malla 25 metros (MDT25); y a su vez, también se han utilizado dentro de QGIS datos de apoyo provistos por la herramienta de Open Street Maps, que han permitido con mayor certeza la obtención de las vías ciclistas fuera del Ayuntamiento de Madrid. Por último, para la realización de los cálculos de población se han usado aproximaciones en función de los datos de habitantes de los núcleos urbanos y las áreas que éstos ocupan.

===Criterios de Selección de Rutas===
La determinación de las diferentes alternativas de trazado se realizó teniendo en cuento diversos criterios, principalmente enfocados a la eficiencia y la seguridad. Se priorizaron rutas que ofrecían pendientes longitudinales suaves y una maximización de la población captada en el área de influencia. A su vez, se descartaron tramos con intersecciones peligrosas o de alta de densidad de tráfico. A parte, se llevaron a cabo trazados que beneficiasen al mayor número de núcleos posibles para optimizar la conexión al anillo ciclista.

===Solución Técnica y Adaptación de la Vía===
Se ha priorizado que nuestros trayectos sean paralelos a las carreteras, para en caso de necesitarlo ayudarse de la carretera haciendo un uso mixto de esta. Es por eso que se pueden diferenciar los siguientes diseños constructivos:

* Vías mixtas: Se estimó la adaptación de dichas carreteras convencionales mediante la adecuación de arcenes y la reducción del límite de velocidad. Estas medidas se refuerzan con la instalación de cojines berlineses para la reducción de la velocidad en zonas críticas, además de una completa señalización vertical y horizontal que advierta sobre la posible presencia de ciclistas.

* Tramos exclusivos para ciclistas: En las zonas en las que la segregación era necesaria, se diseño un carril bici protegido mediante bordillo, separando físicamente el flujo ciclista del trazado motorizado.

== Resultados ==

===Selección de los trazados===
En primer lugar; una vez elegido el punto de partida, se procede a realizar los trazados de los carriles bici que mejor se adapten a los criterios, en nuestro caso se ha llegado a la conclusión de que lo mejor sería hacer tres recorridos diferentes:

* Alternativa 1: Rivas-Vicálvaro, es un trayecto directo desde Rivas hacia el punto más cercano del anillo ciclista pasando por Vicálvaro, donde ya hay alguna vía mixta de la que aprovecharse.

* Alternativa 2: Rivas-Estadio Metropolitano, este trayecto iniciará igual que el anterior pero no entrará en Vicálvaro sino que se desviará hacia el norte y en el corte con la M-201 tomará el camino hacia el oeste para acabar en la incorporación al anillo del Estadio Metropolitano.

* Alternativa 3: Rivas-Alameda de Osuna, es el trayecto con mayor recorrido, seguirá el mismo recorrido que el anterior hasta el cruce con la M-201 que en este caso seguirá hacia el norte, finalizando el carril en Alameda de Osuna.

* Conexión Cañaveral: este trayecto será una conexión que complementará a los dos últimos caminos, facilitando el trafico desde el Cañaveral; otro núcleo sin una conexión al anillo, pasando por Coslada y a su vez enlazándose con los anteriores trayectos en el punto de separación de los mismos.

{| style="width: 100%; background: none; border: none;"
|-
| align="center" | [[Archivo:Trazados.jpg|600px]]
|}

===Zonas de Influencia y Usos del suelo===
Con el fin de estudiar la demanda potencial de los carriles con precisión, se han llevado a cabo un estudio tanto poblacional como de usos del suelo:

* Zonas de Influencia: servirán para calcular la población a la que afectan estos carriles, se considera un buffer de diámetro 2,5km que a su vez será intersecado con los núcleos poblacionales. A continuación, se llevará a cabo el cálculo de las poblaciones proporcionales usando como base el área original de cada núcleo y su respectiva población, que permitirá usando una función de proporción calcular los datos de la población afectada.

* Usos del suelo: se utilizará para conocer el terreno por el que discurrirán los trayectos y esto ayudará a comprender mejor la dificultad de construir los carriles bici.
<gallery mode="packed" heights="200px">
Archivo:Influencia1.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 1.
Archivo:Influencia2.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 2.
Archivo:Influencia3.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 3.
Archivo:InfluenciaCanaveral.jpg|Área de Influencia de la Conexión Cañaveral.
</gallery>

===Análisis de accesibilidad===
Mientras que la zona de influencia mide la distancia física, las isócronas miden la accesibilidad temporal real. Utilizando el complemento OpenRouteService, se han calculado los polígonos de tiempo de viaje de 5, 10 y 15 minutos desde los puntos de acceso al carril.

* Efecto Barrera: El mapa de isócronas evidencia como las infraestructuras ferroviarias y las autovías actúan como barreras impermeables, reduciendo el área de captación efectiva tanto de la alternativa 2 como de la alternativa 3.
* Cobertura Efectiva: La alternativa de la conexión del Cañaveral ofrece la 'mancha' más homogénea, permitiendo que usuarios situados a grandes distancias accedan al carril en menos de 15 minutos gracias al entramado urbano favorable.
<gallery mode="packed" heights="200px">
Archivo:Isocronas1.jpg|Isócronas Alternativa 1.
Archivo:Isocronas2.jpg|Isócronas Alternativa 2.
Archivo:Isocronas3.jpg|Isócronas Alternativa 3.
Archivo:IsocronasCanaveral.jpg|Isócronas Conexión Cañaveral.
</gallery>

===Intermodalidad y Transporte Público===
{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 1: Intermodalidad
! Estación !! Ciudad Lineal !! Coslada Central !! Estadio Metropolitano !! Puerta de Arganda !! Vicálvaro !! San Fernando
|-
| style="text-align:left;" | '''Distancia''' (m)
| 3.320 m
| 283 m
| 275 m
| 220 m
| 508 m
| 3355 m
|-
|}

===Zonas de Ocio===

===Intersecciones===
El análisis de intersecciones constituye un aspecto clave para evaluar la seguridad y la viabilidad técnica de cada una de las alternativas del corredor ciclista. A lo largo de los distintos trayectos se han identificado y clasificado los puntos donde la infraestructura ciclista entra en contacto con otras vías, distinguiendo entre intersecciones de riesgo medio —vinculadas principalmente a calles urbanas— e intersecciones de riesgo alto, asociadas a carreteras convencionales y enlaces de gran capacidad.

Con el objetivo de representar esta información de manera homogénea para todas las alternativas, se generaron mapas temáticos en QGIS en los que se simbolizaron:

*'''Intersecciones de riesgo medio'''
Representadas mediante puntos azules, corresponden a cruces con calles urbanas de baja y media intensidad de tráfico. En estos puntos el ciclista comparte espacio con vehículos en entornos relativamente controlados, aunque requieren medidas de pacificación del tráfico y señalización.

*'''Intersecciones de riesgo alto'''
Representadas mediante rombos rojos, incluyen cruces con carreteras, pasos sobre autovías o accesos a enlaces complejos. Estos puntos presentan una mayor exposición al tráfico motorizado rápido y requieren soluciones de segregación o rediseño geométrico para garantizar la seguridad.

Los resultados del conteo para cada trayecto se resumen en la siguiente tabla:
{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 2: Intersecciones identificadas por trayecto
! Trayecto !! Intersecciones de riesgo medio !! Intersecciones de riesgo alto
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 1 (Rivas–Vicálvaro)'''
| 22
| 4
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 2 (Rivas–Estadio Metropolitano)'''
| 16
| 10
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 3 (Rivas–Alameda de Osuna)'''
| 15
| 2
|-
| style="text-align:left;" |'''Conexión Cañaveral'''
| 16
| 1
|}

Estos valores proceden directamente de los mapas temáticos elaborados en QGIS, donde cada intersección ha sido revisada manualmente y categorizada en función del tipo de vía y del flujo de tráfico observable.

<gallery mode="packed" heights="200px">
Archivo:Intersecciones 1.jpg|Intersecciones Trayecto 1.
Archivo:Intersecciones 2.jpg|Intersecciones Trayecto 2.
Archivo:Intersecciones 3.jpg|Intersecciones Trayecto 3.
Archivo:Intersecciones4.png|Intersecciones Trayecto Cañaveral.
</gallery>

'''Interpretación de los resultados'''

* '''Trayecto 1''' presenta un número relativamente alto de intersecciones urbanas, aunque con una carga moderada de tráfico, lo que facilita su adaptación mediante actuaciones para reducir la velocidad del tráfico y señalización.

* '''Trayecto 2''' concentra el mayor número de intersecciones de riesgo alto (10), especialmente en los accesos a la M-40 y M-203, lo que incrementa notablemente su complejidad constructiva y reduce su viabilidad.

* '''Trayecto 3 y la Conexión Cañaveral''' muestran un equilibrio favorable, con pocos cruces de alta peligrosidad y una proporción mayor de intersecciones urbanas.

En términos de seguridad, las alternativas con menor número de intersecciones de riesgo alto resultan más adecuadas para un corredor interurbano destinado a fomentar la movilidad ciclista cotidiana.

Este análisis refuerza la evaluación global de las alternativas y contribuye a determinar cuáles ofrecen mejores condiciones de seguridad para su implementación dentro del corredor ciclista Rivas-Madrid.

===Síntesis de Resultados===
Como conclusión al análisis espacial realizado, se presenta una matriz de evaluación que integra las variables físicas, funcionales y ambientales. Esta matriz permite visualizar las diferentes características de las alternativas, y finalmente servirá para llegar a una conclusión sobre el trazado más óptimo mediante la comparación de los distintos trayectos.

{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 3: Comparativa técnica de alternativas
! Criterio de Análisis !! Alternativa 1 (Rivas-Vicálvaro) !! Alternativa 2 (Rivas-Estadio Metropolitano) !! Alternativa 3 (Rivas-Alameda de Osuna)
|-
| style="text-align:left;" | '''Longitud Total''' (km)
| style="background:#e6ffe6;" | '''8,543 km''' ''(Más corta)''
| 11,53 km
| style="background:#ffe6e6;" | 12,316 km ''(Más larga)''
|-
| style="text-align:left;" | '''Población Servida''' (hab)
| 315.332 hab
| 352.670 hab
| style="background:#e6ffe6;" | '''411.502 hab''' ''(Máximo impacto)''
|-
| style="text-align:left;" | '''Pendiente Media''' (%)
| 1,109 %
| 0,732 %
| style="background:#e6ffe6;" | '''0,477 %'''
|-
| style="text-align:left;" | '''Accesibilidad''' ''(Área isocrona 15 min)''
| Media
| Alta
| style="background:#e6ffe6;" | '''Muy Alta'''
|-
| style="text-align:left;" | '''Intermodalidad''' ''(Nº Estaciones Metro/Cercanías)''
| style="background:#e6ffe6;" | '''4 estaciones'''
| 3 estaciones
| 2 estaciones
|-
| style="text-align:left;" | '''Coste''' ''(Precio total en millones de €; el coste por metro será 359,21€/m)''
| style="background:#e6ffe6;" | '''3,068M€'''
| 4,142M€
| 4,424M€
|-
| style="text-align:left;" | '''Impacto Ambiental''' ''(Ahorro CO₂ potencial, considerando unos 500 usuarios diarios)''
| 1452 kg/día
| 1960 kg/día
| style="background:#e6ffe6;" | '''2094 kg/día'''
|}
El cálculo del ahorro potencial de emisiones se rige por la siguiente formula, considerando un desplazamiento de ida y vuelta:

<math>Ahorro_{diario} = (L \times 2) \times F_E \times N_{usuarios}</math>

Donde:
* <math>L</math>: Longitud del trazado (km).
* <math>F_E</math>: Factor de emisión del MITECO (0,17 kg CO2/km).
* <math>N_{usuarios}</math>: Estimación de demanda diaria (500 usuarios).

====Discusión de Resultados====

El análisis comparativo arroja tres perfiles de proyecto diferenciados:

* Alternativa 1 (La Eficiente): Es la opción más económica y rápida de ejecutar debido a su menor longitud y menor número de intersecciones complejas. Sin embargo, su trazado periférico en Vicálvaro limita su capacidad para captar nuevos usuarios, funcionando más como una vía de paso rápida que como una alternativa distintiva.

* Alternativa 2 (La Intermedia): Presenta un equilibrio entre coste y servicio. Su principal fortaleza es la conexión directa con el Estadio Cívitas Metropolitano, un gran generador de movilidad de ocio. No obstante, la dificultad de las intersecciones que presenta esta alternativa hacen que sea una alternativa imposible de llevar a cabo.

* Alternativa 3 (La Vertebradora): A pesar de presentar la mayor longitud y complejidad técnica (mayores costes de construcción), es indiscutiblemente la opción con mayor rentabilidad social. Su carácter vertebrador reside en su capacidad para unir los diferentes nodos, conectando en una misma infraestructura áreas residenciales, grandes centros de empleo y nodos de transporte masivo.
** Demografía: Al ser la alternativa de mayor longitud, permite que la zona de influencia de la misma sea también la más grande lo que implica una mayor población servida.
** Funcionalidad: Aunque su intermodalidad directa (500m) no es la más característica, esto lo suple permitiendo la unión con otras líneas de Metro (Línea 5) que de otra forma resultaría difícil de conectar.
** Sinergia: No solo cumple con el objetivo de unirse al Anillo Verde ciclista, sino que también permite la conexión con grandes centros comerciales (Plenilunio) y polígonos industriales, así como también facilita el acceso a la línea 5 del Metro.

== Conclusiones ==

== Referencias ==
* Ayuntamiento de Madrid. (2025). Bici. Infraestructura ciclista. Portal de datos abiertos del Ayuntamiento de Madrid. https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

* Instituto Geográfico Nacional. (2025). Centro de Descargas del CNIG. https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

* Ayuntamiento de Rivas-Vaciamadrid. (2020). Infraestructura ciclista. Rivas Ciudad. https://www.rivasciudad.es/servicio/transporte-y-movilidad/2020/03/13/infraestructura-ciclista/862600127132/

* Ayuntamiento de Madrid. (2008). Costes y programación (Cap. 8.1.2.1). En Plan Director de Movilidad Ciclista de Madrid. https://www.madrid.es/UnidadesDescentralizadas/UrbanismoyVivienda/Urbanismo/PlanDirectorMovilidad/Costes/Ficheros/8-1-2-1-Costes.pdf

* Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico. (s.f.). Registro de huella de carbono, compensación y proyectos de absorción de dióxido de carbono. https://www.miteco.gob.es/es/cambio-climatico/temas/registro-huella.html

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T22:32:42Z

Hugo Sacristan: /* Referencias */

{{ TrabajoSIG | Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista. | Jorge Granadino Aranda Javier Martinez Hidalgo Hugo Sacristán de Agustín David Alejandro Tellechea Morales | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

Este proyecto aborda el diseño y estudio de viabilidad de la construcción de un nuevo eje de movilidad, el Corredor Ciclista Rivas-Madrid, cuyo objetivo es establecer una conexión segura y eficiente entre el municipio de Rivas-Vaciamadrid, con los diferentes núcleos urbanos del sureste de Madrid y principalmente con la capital.
Para lograr una conexión optima, se han analizado cuatro alternativas de trazado principales, que buscan unir Rivas con los distritos de Vicálvaro, San Blas, El Cañaveral y Alameda de Osuna.
El diseño de las diferentes alternativas se basa en la combinación de infraestructuras existentes y nuevas, gracias a la utilización de vías mixtas, tramos de carril bici existentes y la propuesta de nuevos tramos de carril bici.

== Introducción ==
El vertiginoso crecimiento demográfico de la ciudad de Madrid ha impulsado la necesidad de un desarrollo urbano más sostenible, buscando alternativas que reduzcan la dependencia del vehículo privado, mitiguen la contaminación y promuevan estilos de vida más activos y saludables.
Hoy, los accesos a la capital se encuentran permanentemente congestionados, un problema que afecta a municipios clave como Rivas-Vaciamadrid, donde la dependencia del vehículo privado genera una gran ineficiencia de los desplazamientos de media distancia y una alta contaminación.
Actualmente, la conexión ciclista entre Rivas-Vaciamadrid es discontinua e insegura, lo que desincentiva el uso diario de la bicicleta.
Ante esta situación, el presente proyecto propone una solución integral, el Estudio y diseño del Corredor Ciclista Rivas-Madrid. El trabajo se centra en la evaluación de 4 alternativas de trazado, utilizando una metodología que combina estratégicamente vías mixtas, carriles exclusivos segregados y nuevos tramos de construcción. Finalmente, el objetivo es seleccionar la ruta optima que además de ser segura y eficiente, contribuya a mitigar la congestión a los principales accesos de Madrid.

== Metodología ==

===Herramientas de Análisis y Fuentes de Datos===
Para la definición y evaluación de alternativas de trazado con origen en Rivas-Vaciamadrid, se emplearon Sistemas de Información Geográfica como es el caso de QGIS, utilizando como base cartográfica la capa Google Satellite Hybrid para una visualización precisa y representativa del entorno.
Asimismo, se integró la cartografía oficial de la infraestructura ciclista existente, obtenida a través del portal de datos abiertos del Ayuntamiento de Madrid.
Por otro lado, se han usado datos del Centro de Descargas del CNIG como los Modelos Digitales de Terreno de paso de malla 25 metros (MDT25); y a su vez, también se han utilizado dentro de QGIS datos de apoyo provistos por la herramienta de Open Street Maps, que han permitido con mayor certeza la obtención de las vías ciclistas fuera del Ayuntamiento de Madrid. Por último, para la realización de los cálculos de población se han usado aproximaciones en función de los datos de habitantes de los núcleos urbanos y las áreas que éstos ocupan.

===Criterios de Selección de Rutas===
La determinación de las diferentes alternativas de trazado se realizó teniendo en cuento diversos criterios, principalmente enfocados a la eficiencia y la seguridad. Se priorizaron rutas que ofrecían pendientes longitudinales suaves y una maximización de la población captada en el área de influencia. A su vez, se descartaron tramos con intersecciones peligrosas o de alta de densidad de tráfico. A parte, se llevaron a cabo trazados que beneficiasen al mayor número de núcleos posibles para optimizar la conexión al anillo ciclista.

===Solución Técnica y Adaptación de la Vía===
Se ha priorizado que nuestros trayectos sean paralelos a las carreteras, para en caso de necesitarlo ayudarse de la carretera haciendo un uso mixto de esta. Es por eso que se pueden diferenciar los siguientes diseños constructivos:

* Vías mixtas: Se estimó la adaptación de dichas carreteras convencionales mediante la adecuación de arcenes y la reducción del límite de velocidad. Estas medidas se refuerzan con la instalación de cojines berlineses para la reducción de la velocidad en zonas críticas, además de una completa señalización vertical y horizontal que advierta sobre la posible presencia de ciclistas.

* Tramos exclusivos para ciclistas: En las zonas en las que la segregación era necesaria, se diseño un carril bici protegido mediante bordillo, separando físicamente el flujo ciclista del trazado motorizado.

== Resultados ==

===Selección de los trazados===
En primer lugar; una vez elegido el punto de partida, se procede a realizar los trazados de los carriles bici que mejor se adapten a los criterios, en nuestro caso se ha llegado a la conclusión de que lo mejor sería hacer tres recorridos diferentes:

* Alternativa 1: Rivas-Vicálvaro, es un trayecto directo desde Rivas hacia el punto más cercano del anillo ciclista pasando por Vicálvaro, donde ya hay alguna vía mixta de la que aprovecharse.

* Alternativa 2: Rivas-Estadio Metropolitano, este trayecto iniciará igual que el anterior pero no entrará en Vicálvaro sino que se desviará hacia el norte y en el corte con la M-201 tomará el camino hacia el oeste para acabar en la incorporación al anillo del Estadio Metropolitano.

* Alternativa 3: Rivas-Alameda de Osuna, es el trayecto con mayor recorrido, seguirá el mismo recorrido que el anterior hasta el cruce con la M-201 que en este caso seguirá hacia el norte, finalizando el carril en Alameda de Osuna.

* Conexión Cañaveral: este trayecto será una conexión que complementará a los dos últimos caminos, facilitando el trafico desde el Cañaveral; otro núcleo sin una conexión al anillo, pasando por Coslada y a su vez enlazándose con los anteriores trayectos en el punto de separación de los mismos.

{| style="width: 100%; background: none; border: none;"
|-
| align="center" | [[Archivo:Trazados.jpg|600px]]
|}

===Zonas de Influencia y Usos del suelo===
Con el fin de estudiar la demanda potencial de los carriles con precisión, se han llevado a cabo un estudio tanto poblacional como de usos del suelo:

* Zonas de Influencia: servirán para calcular la población a la que afectan estos carriles, se considera un buffer de diámetro 2,5km que a su vez será intersecado con los núcleos poblacionales. A continuación, se llevará a cabo el cálculo de las poblaciones proporcionales usando como base el área original de cada núcleo y su respectiva población, que permitirá usando una función de proporción calcular los datos de la población afectada.

* Usos del suelo: se utilizará para conocer el terreno por el que discurrirán los trayectos y esto ayudará a comprender mejor la dificultad de construir los carriles bici.
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Archivo:Influencia1.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 1.
Archivo:Influencia2.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 2.
Archivo:Influencia3.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 3.
Archivo:InfluenciaCanaveral.jpg|Área de Influencia de la Conexión Cañaveral.
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===Análisis de accesibilidad===
Mientras que la zona de influencia mide la distancia física, las isócronas miden la accesibilidad temporal real. Utilizando el complemento OpenRouteService, se han calculado los polígonos de tiempo de viaje de 5, 10 y 15 minutos desde los puntos de acceso al carril.

* Efecto Barrera: El mapa de isócronas evidencia como las infraestructuras ferroviarias y las autovías actúan como barreras impermeables, reduciendo el área de captación efectiva tanto de la alternativa 2 como de la alternativa 3.
* Cobertura Efectiva: La alternativa de la conexión del Cañaveral ofrece la 'mancha' más homogénea, permitiendo que usuarios situados a grandes distancias accedan al carril en menos de 15 minutos gracias al entramado urbano favorable.
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Archivo:Isocronas1.jpg|Isócronas Alternativa 1.
Archivo:Isocronas2.jpg|Isócronas Alternativa 2.
Archivo:Isocronas3.jpg|Isócronas Alternativa 3.
Archivo:IsocronasCanaveral.jpg|Isócronas Conexión Cañaveral.
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===Intermodalidad y Transporte Público===
{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 1: Intermodalidad
! Estación !! Ciudad Lineal !! Coslada Central !! Estadio Metropolitano !! Puerta de Arganda !! Vicálvaro !! San Fernando
|-
| style="text-align:left;" | '''Distancia''' (m)
| 3.320 m
| 283 m
| 275 m
| 220 m
| 508 m
| 3355 m
|-
|}

===Zonas de Ocio===

===Intersecciones===
El análisis de intersecciones constituye un aspecto clave para evaluar la seguridad y la viabilidad técnica de cada una de las alternativas del corredor ciclista. A lo largo de los distintos trayectos se han identificado y clasificado los puntos donde la infraestructura ciclista entra en contacto con otras vías, distinguiendo entre intersecciones de riesgo medio —vinculadas principalmente a calles urbanas— e intersecciones de riesgo alto, asociadas a carreteras convencionales y enlaces de gran capacidad.

Con el objetivo de representar esta información de manera homogénea para todas las alternativas, se generaron mapas temáticos en QGIS en los que se simbolizaron:

*'''Intersecciones de riesgo medio'''
Representadas mediante puntos azules, corresponden a cruces con calles urbanas de baja y media intensidad de tráfico. En estos puntos el ciclista comparte espacio con vehículos en entornos relativamente controlados, aunque requieren medidas de pacificación del tráfico y señalización.

*'''Intersecciones de riesgo alto'''
Representadas mediante rombos rojos, incluyen cruces con carreteras, pasos sobre autovías o accesos a enlaces complejos. Estos puntos presentan una mayor exposición al tráfico motorizado rápido y requieren soluciones de segregación o rediseño geométrico para garantizar la seguridad.

Los resultados del conteo para cada trayecto se resumen en la siguiente tabla:
{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 2: Intersecciones identificadas por trayecto
! Trayecto !! Intersecciones de riesgo medio !! Intersecciones de riesgo alto
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 1 (Rivas–Vicálvaro)'''
| 22
| 4
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 2 (Rivas–Estadio Metropolitano)'''
| 16
| 10
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 3 (Rivas–Alameda de Osuna)'''
| 15
| 2
|-
| style="text-align:left;" |'''Conexión Cañaveral'''
| 16
| 1
|}

Estos valores proceden directamente de los mapas temáticos elaborados en QGIS, donde cada intersección ha sido revisada manualmente y categorizada en función del tipo de vía y del flujo de tráfico observable.

<gallery mode="packed" heights="200px">
Archivo:Intersecciones 1.jpg|Intersecciones Trayecto 1.
Archivo:Intersecciones 2.jpg|Intersecciones Trayecto 2.
Archivo:Intersecciones 3.jpg|Intersecciones Trayecto 3.
Archivo:Intersecciones4.png|Intersecciones Trayecto Cañaveral.
</gallery>

'''Interpretación de los resultados'''

* '''Trayecto 1''' presenta un número relativamente alto de intersecciones urbanas, aunque con una carga moderada de tráfico, lo que facilita su adaptación mediante actuaciones para reducir la velocidad del tráfico y señalización.

* '''Trayecto 2''' concentra el mayor número de intersecciones de riesgo alto (10), especialmente en los accesos a la M-40 y M-203, lo que incrementa notablemente su complejidad constructiva y reduce su viabilidad.

* '''Trayecto 3 y la Conexión Cañaveral''' muestran un equilibrio favorable, con pocos cruces de alta peligrosidad y una proporción mayor de intersecciones urbanas.

En términos de seguridad, las alternativas con menor número de intersecciones de riesgo alto resultan más adecuadas para un corredor interurbano destinado a fomentar la movilidad ciclista cotidiana.

Este análisis refuerza la evaluación global de las alternativas y contribuye a determinar cuáles ofrecen mejores condiciones de seguridad para su implementación dentro del corredor ciclista Rivas-Madrid.

===Síntesis de Resultados===
Como conclusión al análisis espacial realizado, se presenta una matriz de evaluación que integra las variables físicas, funcionales y ambientales. Esta matriz permite visualizar las diferentes características de las alternativas, y finalmente servirá para llegar a una conclusión sobre el trazado más óptimo mediante la comparación de los distintos trayectos.

{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 3: Comparativa técnica de alternativas
! Criterio de Análisis !! Alternativa 1 (Rivas-Vicálvaro) !! Alternativa 2 (Rivas-Estadio Metropolitano) !! Alternativa 3 (Rivas-Alameda de Osuna)
|-
| style="text-align:left;" | '''Longitud Total''' (km)
| style="background:#e6ffe6;" | '''8,543 km''' ''(Más corta)''
| 11,53 km
| style="background:#ffe6e6;" | 12,316 km ''(Más larga)''
|-
| style="text-align:left;" | '''Población Servida''' (hab)
| 315.332 hab
| 352.670 hab
| style="background:#e6ffe6;" | '''411.502 hab''' ''(Máximo impacto)''
|-
| style="text-align:left;" | '''Pendiente Media''' (%)
| 1,109 %
| 0,732 %
| style="background:#e6ffe6;" | '''0,477 %'''
|-
| style="text-align:left;" | '''Accesibilidad''' ''(Área isocrona 15 min)''
| Media
| Alta
| style="background:#e6ffe6;" | '''Muy Alta'''
|-
| style="text-align:left;" | '''Intermodalidad''' ''(Nº Estaciones Metro/Cercanías)''
| style="background:#e6ffe6;" | '''4 estaciones'''
| 3 estaciones
| 2 estaciones
|-
| style="text-align:left;" | '''Coste''' ''(Precio total en millones de €; el coste por metro será 359,21€/m)''
| style="background:#e6ffe6;" | '''3,068M€'''
| 4,142M€
| 4,424M€
|-
| style="text-align:left;" | '''Impacto Ambiental''' ''(Ahorro CO₂ potencial, considerando unos 500 usuarios diarios)''
| 1452 kg/día
| 1960 kg/día
| style="background:#e6ffe6;" | '''2094 kg/día'''
|}
El cálculo del ahorro potencial de emisiones se rige por la siguiente formula, considerando un desplazamiento de ida y vuelta:

<math>Ahorro_{diario} = (L \times 2) \times F_E \times N_{usuarios}</math>

Donde:
* <math>L</math>: Longitud del trazado (km).
* <math>F_E</math>: Factor de emisión del MITECO (0,17 kg CO2/km).
* <math>N_{usuarios}</math>: Estimación de demanda diaria (500 usuarios).

====Discusión de Resultados====

El análisis comparativo arroja tres perfiles de proyecto diferenciados:

* Alternativa 1 (La Eficiente): Es la opción más económica y rápida de ejecutar debido a su menor longitud y menor número de intersecciones complejas. Sin embargo, su trazado periférico en Vicálvaro limita su capacidad para captar nuevos usuarios, funcionando más como una vía de paso rápida que como una alternativa distintiva.

* Alternativa 2 (La Intermedia): Presenta un equilibrio entre coste y servicio. Su principal fortaleza es la conexión directa con el Estadio Cívitas Metropolitano, un gran generador de movilidad de ocio. No obstante, la dificultad de las intersecciones que presenta esta alternativa hacen que sea una alternativa imposible de llevar a cabo.

* Alternativa 3 (La Vertebradora): A pesar de presentar la mayor longitud y complejidad técnica (mayores costes de construcción), es indiscutiblemente la opción con mayor rentabilidad social. Su carácter vertebrador reside en su capacidad para unir los diferentes nodos, conectando en una misma infraestructura áreas residenciales, grandes centros de empleo y nodos de transporte masivo.
** Demografía: Al ser la alternativa de mayor longitud, permite que la zona de influencia de la misma sea también la más grande lo que implica una mayor población servida.
** Funcionalidad: Aunque su intermodalidad directa (500m) no es la más característica, esto lo suple permitiendo la unión con otras líneas de Metro (Línea 5) que de otra forma resultaría difícil de conectar.
** Sinergia: No solo cumple con el objetivo de unirse al Anillo Verde ciclista, sino que también permite la conexión con grandes centros comerciales (Plenilunio) y polígonos industriales, así como también facilita el acceso a la línea 5 del Metro.

== Conclusiones ==

== Referencias ==
- Infraestructura ciclista del Ayuntamiento de Madrid. https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

- Centro de descargas IGN. https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

- Geoportal de Rivas-Vaciamadrid. https://www.rivasciudad.es/geoportal/

- Costes. https://www.madrid.es/UnidadesDescentralizadas/UrbanismoyVivienda/Urbanismo/PlanDirectorMovilidad/Costes/Ficheros/8-1-2-1-Costes.pdf

- Emisiones de C02. https://www.miteco.gob.es/es/cambio-climatico/temas/registro-huella.html

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-11-29T14:21:43Z

Hugo Sacristan: /* Metodología */

{{ TrabajoSIG | Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista. | Javier Martinez Hidalgo Jorge Granadino Aranda David Alejandro Tellechea Morales Hugo Sacristán de Agustín | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

Este proyecto aborda el diseño y estudio de viabilidad de la construcción de un nuevo eje de movilidad, el Corredor Ciclista Rivas-Madrid, cuyo objetivo es establecer una conexión segura y eficiente entre el municipio de Rivas-Vaciamadrid, con los diferentes núcleos urbanos del sureste de Madrid y principalmente con la capital.
Para lograr una conexión optima, se han analizado cuatro alternativas de trazado principales, que buscan unir Rivas con los distritos de Vicálvaro, San Blas, El Cañaveral y Alameda de Osuna.
El diseño de las diferentes alternativas se basa en la combinación de infraestructuras existentes y nuevas, gracias a la utilización de vías mixtas, tramos de carril bici existentes y la propuesta de nuevos tramos de carril bici.

== Introducción ==
El vertiginoso crecimiento demográfico de la ciudad de Madrid ha impulsado la necesidad de un desarrollo urbano más sostenible, buscando alternativas que reduzcan la dependencia del vehículo privado, mitiguen la contaminación y promuevan estilos de vida más activos y saludables.
Hoy, los accesos a la capital se encuentran permanentemente congestionados, un problema que afecta a municipios clave como Rivas-Vaciamadrid, donde la dependencia del vehículo privado genera una gran ineficiencia de los desplazamientos de media distancia y una alta contaminación.
Actualmente, la conexión ciclista entre Rivas-Vaciamadrid es discontinua e insegura, lo que desincentiva el uso diario de la bicicleta.
Ante esta situación, el presente proyecto propone una solución integral, el Estudio y diseño del Corredor Ciclista Rivas-Madrid. El trabajo se centra en la evaluación de 4 alternativas de trazado, utilizando una metodología que combina estratégicamente vías mixtas, carriles exclusivos segregados y nuevos tramos de construcción. Finalmente, el objetivo es seleccionar la ruta optima que además de ser segura y eficiente, contribuya a mitigar la congestión a los principales accesos de Madrid.

== Metodología ==

===Herramientas de Análisis y Fuentes de Datos===
Para la definición y evaluación de alternativas de trazado con origen en Rivas-Vaciamadrid, se emplearon Sistemas de Información Geográfica como es el caso de QGIS, utilizando como base cartográfica la capa Google Satellite Hybrid para una visualización precisa y representativa del entorno.
Asimismo, se integró la cartografía oficial de la infraestructura ciclista existente, obtenida a través del portal de datos abiertos del Ayuntamiento de Madrid.

===Criterios de Selección de Rutas===
La determinación de las diferentes alternativas de trazado se realizó teniendo en cuento diversos criterios, principalmente enfocados a la eficiencia y la seguridad. Se priorizaron rutas que ofrecían pendientes longitudinales suaves y una maximización de la población captada en el área de influencia. A su vez, se descartaron tramos con intersecciones peligrosas o de alta de densidad de tráfico.

===Solución Técnica y Adpatación de la Via===
El diseño constructivo se adpata a la tipología de la carretera mediante:
- Vías mixtas: Se estimó la adaptación de dichas carreteras convencionales mediante la adecuación de arcenes y la reducción del límite de velocidad. Estas medidas se refuerzan con la instalación de cojines berlineses para la reducción de la velocidad en zonas críticas, además de una completa señalización vertical y horizontal que advierta sobre la posible presencia de ciclistas.
- Tramos exclusivos para ciclistas: En las zonas en las que la segregación era necesaria, se diseño un carril bici protegido mediante bordillo, separando físicamente el flujo ciclista del trazado motorizado.

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Referencias ==

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-11-26T15:04:12Z

Hugo Sacristan:

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-11-26T14:32:55Z

Hugo Sacristan:

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-11-19T15:09:23Z

Hugo Sacristan:

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-11-19T15:02:09Z

Hugo Sacristan:

{{ Trabajo sobre SIG | Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista. | Javier Martinez Hidalgo Jorge Granadino Aranda David Alejandro Tellechea Morales Hugo Sacristán de Agustín | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

== Introducción ==

== Metodología ==

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Referencias ==

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-11-19T14:44:54Z

Hugo Sacristan: Página creada con «{{ TrabajoSIG | Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista. | Javier Martinez Hidalgo Jorge Granadino Aranda Da...»

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T16:48:31Z

Hugo Sacristan:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

Tal y como podemos observar en los cálculos, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijado ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, calcular el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo
largo del tiempo en el intervalo <math>t ∈ [0, 10]</math>. Dibujar la función que a cada t le asocia dicho desplazamiento.

Sustituyendo el punto P en el vector <math>\vec{u}</math> obtenemos lo siguiente:
<math>\vec{u}(P)=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>.

Para hallar el módulo del desplazamiento transversal hacemos estas operaciones:
<math>\vec{u}·\vec{i}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}t)</math>, siendo este un desplazamiento horizontal.
<math>\vec{u}·\vec{j}=0</math>, tal y como podíamos esperar por tratarse de una onda longitudinal, no habiendo desplazamiento vertical.
[[Archivo:Apartado12grupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 9: Representación de la función desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
t=0:h:10;
f=@(t) (1/3)*sin((pi/3)-((pi/3).*t));
desplazamiento=f(t);
plot(t,desplazamiento)
title ('Representación de la función desplazamiento')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T16:46:44Z

Hugo Sacristan: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

Tal y como podemos observar en los cálculos, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijado ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, calcular el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo
largo del tiempo en el intervalo <math>t ∈ [0, 10]</math>. Dibujar la función que a cada t le asocia dicho desplazamiento.

Sustituyendo el punto P en el vector <math>\vec{u}</math> obtenemos lo siguiente:
<math>\vec{u}(P)=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>.

Para hallar el módulo del desplazamiento transversal hacemos estas operaciones:
<math>\vec{u}·\vec{i}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}t)</math>, siendo este un desplazamiento horizontal.
<math>\vec{u}·\vec{j}=0</math>, tal y como podíamos esperar por tratarse de una onda longitudinal, no habiendo desplazamiento vertical.
[[Archivo:Apartado12grupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 9: Representación de la función desplazamiento.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
t=0:h:10;
f=@(t) (1/3)*sin((pi/3)-((pi/3).*t));
desplazamiento=f(t);
plot(t,desplazamiento)
title ('Representación de la función desplazamiento')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Apartado12grupo40.jpg

2023-12-12T16:45:25Z

Hugo Sacristan:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T16:39:54Z

Hugo Sacristan: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

Tal y como podemos observar en los cálculos, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijado ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, calcular el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo
largo del tiempo en el intervalo <math>t ∈ [0, 10]</math>. Dibujar la función que a cada t le asocia dicho desplazamiento.

Sustituyendo el punto P en el vector <math>\vec{u}</math> obtenemos lo siguiente:
<math>\vec{u}(P)=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>.

Para hallar el módulo del desplazamiento transversal hacemos estas operaciones:
<math>\vec{u}·\vec{i}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}t)</math>, siendo este un desplazamiento horizontal.
<math>\vec{u}·\vec{j}=0</math>, tal y como podíamos esperar por tratarse de una onda longitudinal, no habiendo desplazamiento vertical.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T16:37:20Z

Hugo Sacristan: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

Tal y como podemos observar en los cálculos, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijado ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, calcular el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo
largo del tiempo en el intervalo <math>t ∈ [0, 10]</math>. Dibujar la función que a cada t le asocia dicho desplazamiento.

Sustituyendo el punto P en el vector <math>\vec{u}</math> obtenemos lo siguiente:
<math>\vec{u}(P)=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>.

Para hallar el módulo del desplazamiento transversal hacemos estas operaciones:
<math>\vec{u}·\vec{i}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}t)</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T16:36:48Z

Hugo Sacristan: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

Tal y como podemos observar en los cálculos, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijado ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, calcular el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo
largo del tiempo en el intervalo <math>t ∈ [0, 10]</math>. Dibujar la función que a cada t le asocia dicho desplazamiento.

Sustituyendo el punto P en el vector <math>\vec{u}</math> obtenemos lo siguiente:
<math>\vec{u}(P)=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>.

Para hallar el módulo del desplazamiento transversal hacemos estas operaciones:
<math>\vec{u}·\vec{i}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}t)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T16:00:55Z

Hugo Sacristan: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

Tal y como podemos observar en los cálculos, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijado ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, calcular el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo
largo del tiempo en el intervalo <math>t ∈ [0, 10]</math>. Dibujar la función que a cada t le asocia dicho desplazamiento.

<math>\vec{u}(P)=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:58:46Z

Hugo Sacristan: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

Tal y como podemos observar en los cálculos, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijado ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, calcular el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo
largo del tiempo en el intervalo <math>t ∈ [0, 10]</math>. Dibujar la función que a cada t le asocia dicho desplazamiento.

<math>\vec{u}(P)=\frac{1}{3}·sen()

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:52:04Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

Tal y como podemos observar en los cálculos, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:37:34Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:34:02Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:33:08Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:32:19Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Una vez hecho esto podemos aplicar la ecuación de la elasticidad lineal:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos y despejando la velocidad obtendremos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}.

Si la onda longitudinal fuera <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}, repetiríamos el mismo proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:22:59Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:22:25Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}) </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:15:56Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:12:28Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math>

<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:11:21Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>

<center><math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3} - \pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T15:10:01Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>

<center><math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T14:59:39Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Para hallar el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, deberemos redefinir los siguientes parametros:
<math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T14:50:37Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

Sustituyendo obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T14:46:13Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>;
siendo <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{i}, k=1, \vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j}.</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T14:39:36Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}·sin(\pi k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T14:38:19Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}</math>:
<center><math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T14:37:43Z

Hugo Sacristan: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Para este apartado tendremos que utilizar el siguiente vector <math> \vec{u}{/math}:
<center><math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-12T14:24:04Z

Hugo Sacristan:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}
==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:23:34Z

Hugo Sacristan: /* Cálculo y representación del rotacional de u. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:23:14Z

Hugo Sacristan: /* Cálculo y representación del rotacional de u. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k})</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:22:51Z

Hugo Sacristan: /* Cálculo y representación del rotacional de u. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo: <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}</math>

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:21:45Z

Hugo Sacristan: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo:

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9</math> e <math> y=12. </math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:20:47Z

Hugo Sacristan: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo:

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9 e y=12.</math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:20:32Z

Hugo Sacristan: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo:

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, <math>y=0, y=3, y=6, y=9 e y=12.</math>
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:19:57Z

Hugo Sacristan: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo:

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, y=0, y=3, y=6, y=9 e y=12.
[[Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:19:19Z

Hugo Sacristan: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo:

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Tal y como podemos obsvervar en la gráfica y con la ayuda de MATLAB encontramos los puntos en los que se alcanza la máximo tensión de Von Mises, siendo estos puntos los siguientes, y=0, y=3, y=6, y=9 e y=12.
[[Archivo:[[Archivo:Apartado10graficaa.png|600px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]|600px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función de Von mises. t1,t2,t3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2)^(1/2)','t1','t2','t3');
[f,c]=size(Mx);
%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
sigmas=eig(deformaciones);
t1=sigmas(1,1);
t2=sigmas(2,1);
t3=sigmas(3,1);
Mvon(i,j)=VonMises(t1,t2,t3);
end
end
%Representación gráfica
surf(Mx,My,Mvon)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
shading interp
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Tensiondevonmisesgrupo40.jpg

2023-12-11T19:14:42Z

Hugo Sacristan:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:11:18Z

Hugo Sacristan:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Erick Morales Pruna<br/r> Hugo Sacristán de Agustín<br/r> Jaime Villalba Guerrero<br/r> Ángel Matín Cruz}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

== Introducción. ==

==Representación de la placa rectangular plana.==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0;12]</math> y como paso de muestreo <math>h = 2/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:Figura_1_40.jpg|480px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa.]]
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo h para las variables x e y.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
% Mallado con las matrices Mx e My.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
% Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5]);
% Escribimos el titulo del gráfico y los nombres de los ejes.
title('Mallado de la placa');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view(2), visualizamos el mallado en 2 dimensiones.
view(2);
}}

==Representación de las curvas de temperatura.==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

Primeramente calcularemos el gradiente de la temperatura con la siguiente formula:
<center><math>∇T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

Tal y como podemos observar en la dirección de las flechas de la figura 2 estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente de un vector nos indica la dirección de máximo crecimiento en cada punto del vector.

Para hallar cual es la máxima temperatura utilizaremos el comando <math>max(max(T))</math>, dicha temperatura se alcanzará en dos puntos, en el (x=1,y=12) y en el (x=-1,y=12) tal y como podemos obsrvar en la gráfica.

[[Archivo:Representación curvas de nivel de la temperatura.jpg|480px|thumb|right|Figura 2: Representación curvas de nivel de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,0,12]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,T);
subplot(1,2,2);
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
hold on
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula : <center><math>\vec{Q}=-k*∇T,</math></center> donde k es la constante de conductividad térmice de la placa que supondremos k=1. Calcular <math>\vec{Q}</math> y dibujarlo como campo vectorial.

Finalmente obtenemos que <math>\vec{Q}</math> es igual a:
<center><math> \vec{Q} = -\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}-\frac{2y+8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>.

[[Archivo:Energía calorífica.jpg|520px|thumb|right|Figura 3: Energía calorífica.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
% Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura
T =log(1+(Mx.^2))+log(1+(My-4).^2);
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-1,1,5,12]);
% Gradiente de T
fx=(2.*Mx)./(1+(Mx.^2));
fy=((2.*My)-8)./(1+(My-4).^2);
qx=-1.*fx;
qy=-1.*fy;
% Título
title('Energía calorífica');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,qx,qy)
contour(Mx,My,T,20);
colorbar
}}

==Representación del campo de vectores en t=0.==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0.

[[Archivo:Campo de desplazamientosgrupo40.jpg|520px|thumb|right|Figura 4: Campo de desplazamientos.]]
{{matlab|codigo=
h = 2/10;
x =-1:h:1;
y = 0:h:12;
%Creación del mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamiento
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My) ;
uy=0.*My ;
figure
%dibujo del mallado
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(Mx,My,ux,uy,'k')
axis([-2,2,-2,15])
view(2)
title('Campo de desplazamientos')
hold off
}}

==Representación del desplazamiento del sólido.==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec{u}</math> (en t = 0).
Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

[[Archivo:Representación del sólido antes y después del desplazamiento.jpg|1000px|thumb|right|Figura 5: Sólido antes y despues del desplazamiento.]]

{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((1/3).*sin((pi/3).*My))+Mx;
ry=(0.*My)+My;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Antes del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,-0,13])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis([-1.5,1.5,0,13])
view(2);
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
}}

==Estudio analítico de la divergencia==
Dibujar <math>∇·\vec{u}</math> en <math>t=0</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primeramente realizamos la divergencia aplicando la siguiente fórmula:

<center><math>∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(u_1)+\frac{∂}{∂y}(u_2)=0.</math></center>.

Sin embargo, como el vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3})\vec{i}</math>, la divergencia es 0.

La razón por la cual la divergencia es 0 se debe a que el campo <math>\vec{u}</math> es senoidal.

==Cálculo y representación del rotacional de u.==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido en <math>t = 0</math> y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

<center><math>∇×\vec u(x,y,z) = \begin{vmatrix} \vec{e_i} & \vec{e_j} & \vec{e_k} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \frac{1}{3}·sen(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})\vec{e_k}</math></center>

Una vez hallado el rotacional, hallamos el módulo:

Tal y como podemos observar en la gráfica el valor del rotacional oscila a lo largo de la gráfica, alcanzo el valor más alto del rotacional en dos puntos:
<br/r><br/r>
- <math>P_1(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=3,z=0.35).</math>
<br/r><br/r>
- <math>P_2(x,y,z) = (-1\leq</math>x<math>\leq1,y=9,z=0.35).</math>
[[Archivo:Modulo del rotacional2.jpg|600px|thumb|right|Figura 6: Módulo del rotacional.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Módulo del rotacional
rot = (-pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica del rotacional
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(3);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('z');
}}

==Tensor de deformaciones.==
Definamos <math>ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula:<center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math>, <math>µ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}· σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ · \vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}· σ · \vec{k}</math> (dibujar las que no son nulas).

Primeramente calcularemos <math>ϵ(\vec{u})</math> = <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{18}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Después sabiendo que <math>∇ · \vec{u}=0</math>, λ=1 y µ=1, aplicamos la siguiente fórmula para hallar el tensor de tensiones, obteniendo lo siguiente:
<center><math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
Una vez hallado el tensor de tensores hallaremos las tensiones normales en las direcciones que marca el eje <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, obteniendo:

<math>\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 </math>.

Debido a que en todas las direcciones tienen un valor nulo, no es posible su representación.

==Tensiones tangenciales.==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
<math>t = 0</math>. Dibujar sólo las que no son nulas.

<math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 \\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0\\ \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}) \\0 \end{pmatrix}|</math>

Finalmente la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> es <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3})</math>.

En la siguiente figura podemos obstervar la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i}</math>.
[[Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg|550px|thumb|right|Figura 7: Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(pi/9).*cos((pi/3).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1.5,1.5,-1.5,13.5]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T19:08:54Z

Hugo Sacristan: /* Tensiones tangenciales. */

Archivo:Tensionestangencialesgrupo40.jpg

2023-12-11T19:06:05Z

Hugo Sacristan:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T18:59:37Z

Hugo Sacristan: /* Tensiones tangenciales. */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T18:59:09Z

Hugo Sacristan: /* Tensiones tangenciales. */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T18:58:42Z

Hugo Sacristan: /* Tensiones tangenciales. */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 40)

2023-12-11T18:56:05Z

Hugo Sacristan: /* Tensiones tangenciales. */