MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T19:14:24Z

H.lperez: /* Masa total(Apartado 13) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T19:10:51Z

H.lperez: /* Masa total(Apartado 13) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T19:09:04Z

H.lperez: /* Masa total(Apartado 13) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T19:03:51Z

H.lperez: /* Masa total(Apartado 13) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T19:02:56Z

H.lperez: /* Masa total(Apartado 13) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Valores de x
y = 0:h:10; % Valores de y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T19:02:15Z

H.lperez: /* (Apartado 13) */

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T19:00:10Z

H.lperez: /* Tensión de Von Mises (Apartado 11) */

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:59:22Z

H.lperez: /* Campo de fuerzas \vec{F} que actúa sobre la placa(Apartado 12) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==(Apartado 13)==

Archivo:Foto12.2.jpg

2024-12-08T18:57:21Z

H.lperez:

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:56:07Z

H.lperez: /* Campo de fuerzas \vec{F} que actúa sobre la placa(Apartado 12) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:50:55Z

H.lperez: /* Campo de fuerzas \vec{F} que actúa sobre la placa(Apartado 12) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:48:17Z

H.lperez: /* Campo de fuerzas \vec{F} que actúa sobre la placa(Apartado 12) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

\[
\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma,
\]

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

\[
\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon,
\]

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:43:46Z

H.lperez: /* Campo de fuerzas \vec{F} que actúa sobre la placa(Apartado 12) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|500px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:39:29Z

H.lperez: /* Campo de fuerzas F⃗ que actúa sobre la placa(Apartado 12) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|500px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==

==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:38:41Z

H.lperez: /* (Apartado 12) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|500px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas F⃗ que actúa sobre la placa(Apartado 12)==

==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:37:40Z

H.lperez: /* (Apartado 11) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|500px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==(Apartado 12)==
==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:36:23Z

H.lperez: /* (Apartado 11) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|500px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

==(Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==(Apartado 12)==
==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:34:13Z

H.lperez: /* (Apartado 11) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|500px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

==(Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

>>

==(Apartado 12)==
==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:33:28Z

H.lperez: /* (Apartado 11) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|500px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

==(Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|500px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

>>

==(Apartado 12)==
==(Apartado 13)==

Archivo:Foto11.2.jpg

2024-12-08T18:28:06Z

H.lperez:

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:19:25Z

H.lperez: /* (Apartado 11) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

==(Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.
- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

>>

==(Apartado 12)==
==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T18:14:50Z

H.lperez: /* (Apartado 11) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%CuURVAS DE NIVEL
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)
[[Archivo:CurvasTemp.jpg|400px|thumb|right|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura T]]

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==(Apartado 4)==
==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} \0 & \0 & 0\\ 0 & \0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>(Apartado 10)==

==(Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

>>

==(Apartado 12)==
==(Apartado 13)==

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-08T17:29:38Z

H.lperez: /* (Apartado 11) */