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Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-12-06T19:31:15Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que nos piden.

A continuación, insertamos el enlace del póster resumen: https://www.overleaf.com/read/msqvhwxybnbf#420834
==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

Con el siguiente código ejecutado en Matlab, obtenemos el mallado de trabajo:

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

Efectivamente, observamos la región ocupada por el fluido, rodeando el obstáculo.

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (rho = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

La gráfica nos indica cómo se organiza y se redistribuye el flujo alrededor del obstáculo. Vemos como el fluido se bifurca al aproximarse al cilindro y vuelve a reorganizarse aguas abajo. Se produce una perturbación clara del campo de potencial en el entorno inmediato del obstáculo. Cuanto mas juntas están las líneas se tiene mas intensidad de flujo por lo que tiene mayor velocidad. También observamos que existe simetría superior-inferior lo que confirma un régimen estable, sin pérdidas ni efectos viscosos en el modelo.

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ, estando éste definido como:

<center><math>\vec u=\nabla\varphi=\frac{∂φ}{∂\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{∂φ}{∂\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

El campo de velocidades será:

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Y como queríamos demostrar, observamos que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas del fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>). Conocido nuestro campo de velocidades <math>\vec{u}</math> previamente calculado:

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar, gracias al siguiente código implementado en Matlab:

[[Archivo:Lineasdecorriente26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos y tangentes en cada punto, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
Los puntos de la frontera S son aquellos donde la velocidad es mayor y menor.

Nuestras componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>, así que particularizamos en <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

El módulo de la velocidad en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

La velocidad es máxima cuando: <math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1</math>, es decir, cuando
<math>\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

La velocidad es mínima cuando:<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0</math>, es decir, cuando
<math>\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad del fluido se reduce a cero. Procederemos a hallar estos puntos con la siguiente igualdad: <math>|\vec u|=0</math>

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Obtenemos que

<center><math>
\sin\theta = 0</math>, que ocurre cuando
<math>\theta = 0,\ \pi.
</math></center>
Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==. Presión del fluido==

Partimos de la ecuación de Bernoulli dada en el enunciado la cual es:

<center><math>\frac { 1 }{ 2 } d { \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }+ { p } =cte</math> </center>

Para que esta expresión pueda aplicarse, el fluido debe ser incompresible, no viscoso y fluir en régimen estacionario (la velocidad en un punto determinado no varía con el tiempo). Se supondrá que el fluido cumple estas condiciones. 
Suponiendo que el fluido efectivamente cumple la ecuación de Bernouilli, que posee una densidad constante de d=2 y tomando como cte=15, se calculará la presión del fluido. 

Por lo tanto:
<center><math>p=15-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }</math></center>

Calculamos el módulo de nuestro campo de velocidades:

<center><math>{ \left| \vec { u } \right| }=\sqrt{cos^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}-\frac{2}{\rho^2})+sen^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}+\frac{2}{\rho^2})}</math></center>

Por lo tanto, la presión que define la presión del fluido es:
<center><math>p=15-[cos^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}-\frac{2}{\rho^2})+sen^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}+\frac{2}{\rho^2})]</math></center>

A continuación, ejecutamos el siguiente código para una hacer una representación de la presión del fluido y poder calcular los puntos de máxima y mínima presión.

[[Archivo:apartado62G26.png|395px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(1,5,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[rho,th]=meshgrid(u,v);
Mx=rho.*cos(th);
My=rho.*sin(th);
Mz=zeros(size(Mx));

f=15-((cos(th).^2).*(1+(1./rho.^4)-(1./rho.^2))+((sin(th).^2).*(1+(1./(rho.^4))+((2)./(rho.^2)))));

hold on
surf(Mx,My,f); colorbar
axis([-5,5,-5,5]);
view(2);
hold off
Pmax=max(max(f))
Pmin=min(min(f))

}}

Obtenemos que los puntos de presión máxima y mínima para cte=15 son 14.25 y 11.0031.
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas donde se consideran las velocidades mínimas son los puntos <math>\theta = 0,\ \pi.
</math>. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión donde las velocidades máximas son <math>\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math> .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==. Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.
<center>
<gallery widths="250px" heights="250px">
Archivo:Lineasdecorriente26.png|Lineas de Corriente
Archivo:apartado62G26.png|Presión de Fluido
Archivo:Campovelocidades26.png|Campo de velocidades </gallery>
</center>

=== . Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== . Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La velocidad del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

A partir de esta relación, y analizando la variación de la velocidad que se da en el apartado 5, la velocidad cambia de la siguiente manera al rodear el obstáculo (en la superficie <math>\rho=1</math>):

Puntos de Remanso (<math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>):
En estos puntos (el frontal y el trasero del obstáculo), la velocidad del fluido es nula (<math>|\vec{u}|=0</math>).
Estos se conocen como puntos de remanso.

Aceleración (De <math>\theta = 0</math> a <math>\theta = \pi/2</math>):
Al desplazarse desde el punto frontal (\theta=0) hacia la parte superior (<math>\theta=\pi/2</math>), el fluido se acelera (su velocidad aumenta).

Puntos de Mayor Velocidad (<math>\theta = \pi/2</math> y <math>\theta = 3\pi/2</math>):
En la parte superior e inferior del obstáculo, la velocidad es máxima (<math>|\vec{u}| = 2\sin(\theta)</math>, que es máximo cuando <math>\sin\theta=1</math>).

Desaceleración (De <math>\theta = \pi/2</math> a <math>\theta = \pi</math>):
Al pasar de la parte superior (<math>\theta=\pi/2</math>) hacia la parte trasera (<math>\theta=\pi</math>), el fluido se frena (su velocidad disminuye).

=== . Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
=cte
</math></center>
Y teniendo en cuenta la presión calculada en el apartado 6:
<center><math>p=15-[cos^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}-\frac{2}{\rho^2})+sen^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}+\frac{2}{\rho^2})]</math></center>

Puntos de Remanso (<math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>):
Como la velocidad es mínima (cero), la presión es máxima.

Aceleración (De <math>\theta = 0</math> a <math>\theta = \pi/2</math>):
Consecuentemente, la presión sobre la superficie disminuye.

Puntos de Mayor Velocidad (<math>\theta = \pi/2</math> y <math>\theta = 3\pi/2</math>):
Como la velocidad es máxima, la presión es mínima.

Desaceleración (De <math>\theta = \pi/2</math> a <math>\theta = \pi</math>):
Como la velocidad disminuye, la presión sobre la superficie aumenta hasta alcanzar su valor máximo de nuevo en el punto de remanso trasero (<math>\theta=\pi</math>).

En resumen, la presión disminuye desde el frente hasta los lados del obstáculo, y luego aumenta desde los lados hasta la parte trasera.

==. Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== . Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== . Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Aplicamos el teorema de Kutta-Joukowski, este nos dice que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a esta circulación, y sabiendo que es nula, concluimos que el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo.

El cálculo del flujo ideal alrededor del cilindro demuestra que la circulación es nula (Γ=0) debido a la perfecta simetría del campo de velocidades, lo que, según el teorema de Kutta-Joukowski, implica necesariamente una ausencia de fuerza de sustentación (L=0).
Este resultado teórico, conocido como la Paradoja de D'Alembert, contradice la realidad física donde los objetos experimentan fuerzas debido a la viscosidad del fluido, evidenciando así que el modelo ideal es insuficiente por sí mismo y requiere la introducción artificial de un vórtice para romper la simetría y generar la sustentación observada en la práctica. Esto es precisamente lo que tratamos en el Apartado 9, donde añadiremos un término de vórtice a la función potencial para corregir el modelo.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

[[Archivo:Campovel926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelamp926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro (zona excluida)
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 150; % puntos radiales
Nth = 300; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[TH, RHO] = meshgrid(theta, rho); % ojo: orden (theta, rho) para facilidad

% Recalcula X,Y (mismo tamaño que RHO,TH)
X = RHO.*cos(TH);
Y = RHO.*sin(TH);

% Potencial
phi = (RHO + 1./RHO).*cos(TH) + TH./(4*pi);

% Gradiente en polares
ur = (1 - 1./RHO.^2).*cos(TH); % dphi/dr
dphi_dtheta = - (RHO + 1./RHO).*sin(TH) + 1./(4*pi); % dphi/dtheta
ut = dphi_dtheta ./ RHO; % (1/r)*dphi/dtheta

% Transformación a componentes cartesianas
Ux = ur.*cos(TH) - ut.*sin(TH);
Uy = ur.*sin(TH) + ut.*cos(TH);

step = 7; % menor step → más flechas

Xq = X(1:step:end, 1:step:end);
Yq = Y(1:step:end, 1:step:end);
Uxq = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uyq = Uy(1:step:end, 1:step:end);

% Graficar
figure('Position',[100 100 800 700]);
contour(X, Y, phi, 30, 'LineWidth', 1); hold on;
axis equal; xlim([-R2 R2]); ylim([-R2 R2]);
quiver(Xq, Yq, Uxq, Uyq, 2, 'AutoScale','on');
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1); % borde del cilindro
title('Curvas de nivel y campo','Interpreter','latex');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===. Nuevas líneas de corriente===
Primero calcularemos el nuevo campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a nuestro nuevo <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v= \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta & -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} & 0 \end{vmatrix} = -\left[-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right]\vec e_\rho + \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta. </math></center>

Comprobamos que <math>\vec v</math> es irrotacional:

<center><math> \nabla\times \vec v= \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \rho \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_\rho & \rho v_\theta & 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left((1-\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right)\vec e_z - \frac{\partial}{\partial \rho} \left( -\left(1+\tfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta+\tfrac{1}{4\pi\rho} \right)\vec e_z \right] =0\vec e_z = \vec 0. </math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones:
<math> \nabla \psi = \vec v. </math>

Primera ecuación
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial \rho} = v_\rho = \int \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\, d\rho = \sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) -\frac{1}{4\pi}\ln\rho + f(\theta). </math></center>

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \rho v_\theta = \int (\rho - \tfrac{1}{\rho})\cos\theta\, d\theta = (\rho - \tfrac{1}{\rho})\sin\theta + g(\rho). </math></center>

Igualando expresiones:

<center><math> \psi(\rho,\theta) = \left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln\rho. </math></center>

[[Archivo:apartado94g26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]
{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

Gamma = 1/2; % porque theta/(4*pi) = (Gamma/(2*pi))*theta

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

v_r = -u_th;
v_th = u_r;

% === TransformaciÃ³n a cartesianas ===
v_x = v_r.*cos(th) - v_th.*sin(th);
v_y = v_r.*sin(th) + v_th.*cos(th);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);

step = 12;
Mx_q = Mx(1:step:end,1:step:end);
My_q = My(1:step:end,1:step:end);
vx_q = v_x(1:step:end,1:step:end);
vy_q = v_y(1:step:end,1:step:end);

quiver(Mx_q, My_q, vx_q, vy_q, 'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('LÃneas de corriente con circulaciÃ³n');

hold off;

}}

==. Bibliografía ==
- Apuntes proporcionados por la Escuela.
- Real Academia de Ingeniería.
- HyperPhysics.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-12-03T10:57:17Z

Guillermo rodriguez: /* Circulación del campo */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

Con el siguiente código ejecutado en Matlab, obtenemos el mallado de trabajo:

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

Efectivamente, observamos la región ocupada por el fluido, rodeando el obstáculo.

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (rho = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

La gráfica nos indica cómo se organiza y se redistribuye el flujo alrededor del obstáculo. Vemos como el fluido se bifurca al aproximarse al cilindro y vuelve a reorganizarse aguas abajo. Se produce una perturbación clara del campo de potencial en el entorno inmediato del obstáculo. Cuanto mas juntas están las líneas se tiene mas intensidad de flujo por lo que tiene mayor velocidad. También observamos que existe simetría superior-inferior lo que confirma un régimen estable, sin pérdidas ni efectos viscosos en el modelo.

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ, estando éste definido como:

<center><math>\vec u=\nabla\varphi=\frac{∂φ}{∂\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{∂φ}{∂\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

El campo de velocidades será:

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Y como queríamos demostrar, observamos que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas del fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>). Conocido nuestro campo de velocidades <math>\vec{u}</math> previamente calculado:

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar, gracias al siguiente código implementado en Matlab:

[[Archivo:Lineasdecorriente26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos y tangentes en cada punto, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
Los puntos de la frontera S son aquellos donde la velocidad es mayor y menor.

Nuestras componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>, así que particularizamos en <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

El módulo de la velocidad en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

La velocidad es máxima cuando: <math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1</math>, es decir, cuando
<math>\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

La velocidad es mínima cuando:<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0</math>, es decir, cuando
<math>\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad del fluido se reduce a cero. Procederemos a hallar estos puntos con la siguiente igualdad: <math>|\vec u|=0</math>

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Obtenemos que

<center><math>
\sin\theta = 0</math>, que ocurre cuando
<math>\theta = 0,\ \pi.
</math></center>
Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

Partimos de la ecuación de Bernoulli dada en el enunciado la cual es:

<center><math>\frac { 1 }{ 2 } d { \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }+ { p } =cte</math> </center>

Para que esta expresión pueda aplicarse, el fluido debe ser incompresible, no viscoso y fluir en régimen estacionario (la velocidad en un punto determinado no varía con el tiempo). Se supondrá que el fluido cumple estas condiciones. 
Suponiendo que el fluido efectivamente cumple la ecuación de Bernouilli, que posee una densidad constante de d=2 y tomando como cte=15, se calculará la presión del fluido. 

Por lo tanto:
<center><math>p=15-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }</math></center>

Calculamos el módulo de nuestro campo de velocidades:

<center><math>{ \left| \vec { u } \right| }=\sqrt{cos^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}-\frac{2}{\rho^2})+sen^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}+\frac{2}{\rho^2})}</math></center>

Por lo tanto, la presión que define la presión del fluido es:
<center><math>p=15-[cos^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}-\frac{2}{\rho^2})+sen^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}+\frac{2}{\rho^2})]</math></center>

A continuación, ejecutamos el siguiente código para una hacer una representación de la presión del fluido y poder calcular los puntos de máxima y mínima presión.

[[Archivo:apartado62G26.png|395px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(1,5,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[rho,th]=meshgrid(u,v);
Mx=rho.*cos(th);
My=rho.*sin(th);
Mz=zeros(size(Mx));

f=15-((cos(th).^2).*(1+(1./rho.^4)-(1./rho.^2))+((sin(th).^2).*(1+(1./(rho.^4))+((2)./(rho.^2)))));

hold on
surf(Mx,My,f); colorbar
axis([-5,5,-5,5]);
view(2);
hold off
Pmax=max(max(f))
Pmin=min(min(f))

}}

Obtenemos que los puntos de presión máxima y mínima para cte=15 son 14.25 y 11.0031.
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas donde se consideran las velocidades mínimas son los puntos <math>\theta = 0,\ \pi.
</math>. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión donde las velocidades máximas son <math>\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math> .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La velocidad del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

A partir de esta relación, y analizando la variación de la velocidad que se da en el apartado 5, la velocidad cambia de la siguiente manera al rodear el obstáculo (en la superficie <math>\rho=1</math>):

Puntos de Remanso (<math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>):
En estos puntos (el frontal y el trasero del obstáculo), la velocidad del fluido es nula (<math>|\vec{u}|=0</math>).
Estos se conocen como puntos de remanso.

Aceleración (De <math>\theta = 0</math> a <math>\theta = \pi/2</math>):
Al desplazarse desde el punto frontal (\theta=0) hacia la parte superior (<math>\theta=\pi/2</math>), el fluido se acelera (su velocidad aumenta).

Puntos de Mayor Velocidad (<math>\theta = \pi/2</math> y <math>\theta = 3\pi/2</math>):
En la parte superior e inferior del obstáculo, la velocidad es máxima (<math>|\vec{u}| = 2\sin(\theta)</math>, que es máximo cuando <math>\sin\theta=1</math>).

Desaceleración (De <math>\theta = \pi/2</math> a <math>\theta = \pi</math>):
Al pasar de la parte superior (<math>\theta=\pi/2</math>) hacia la parte trasera (<math>\theta=\pi</math>), el fluido se frena (su velocidad disminuye).

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
=cte
</math></center>
Y teniendo en cuenta la gráfica del apartado 6:

Puntos de Remanso (<math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>):
Como la velocidad es mínima (cero), la presión es máxima.

Aceleración (De <math>\theta = 0</math> a <math>\theta = \pi/2</math>):
Consecuentemente, la presión sobre la superficie disminuye.

Puntos de Mayor Velocidad (<math>\theta = \pi/2</math> y <math>\theta = 3\pi/2</math>):
Como la velocidad es máxima, la presión es mínima.

Desaceleración (De <math>\theta = \pi/2</math> a <math>\theta = \pi</math>):
Como la velocidad disminuye, la presión sobre la superficie aumenta hasta alcanzar su valor máximo de nuevo en el punto de remanso trasero (<math>\theta=\pi</math>).

En resumen, la presión disminuye desde el frente hasta los lados del obstáculo, y luego aumenta desde los lados hasta la parte trasera.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

El cálculo del flujo ideal alrededor del cilindro demuestra que la circulación es nula (Γ=0) debido a la perfecta simetría del campo de velocidades, lo que, según el teorema de Kutta-Joukowski, implica necesariamente una ausencia de fuerza de sustentación (L=0).
Este resultado teórico, conocido como la Paradoja de D'Alembert, contradice la realidad física donde los objetos experimentan fuerzas debido a la viscosidad del fluido, evidenciando así que el modelo ideal es insuficiente por sí mismo y requiere la introducción artificial de un vórtice para romper la simetría y generar la sustentación observada en la práctica. Esto es precisamente lo que tratamos en el Apartado 9, donde añadiremos un término de vórtice a la función potencial para corregir el modelo.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

[[Archivo:Campovel926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelamp926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro (zona excluida)
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 150; % puntos radiales
Nth = 300; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[TH, RHO] = meshgrid(theta, rho); % ojo: orden (theta, rho) para facilidad

% Recalcula X,Y (mismo tamaño que RHO,TH)
X = RHO.*cos(TH);
Y = RHO.*sin(TH);

% Potencial
phi = (RHO + 1./RHO).*cos(TH) + TH./(4*pi);

% Gradiente en polares
ur = (1 - 1./RHO.^2).*cos(TH); % dphi/dr
dphi_dtheta = - (RHO + 1./RHO).*sin(TH) + 1./(4*pi); % dphi/dtheta
ut = dphi_dtheta ./ RHO; % (1/r)*dphi/dtheta

% Transformación a componentes cartesianas
Ux = ur.*cos(TH) - ut.*sin(TH);
Uy = ur.*sin(TH) + ut.*cos(TH);

step = 7; % menor step → más flechas

Xq = X(1:step:end, 1:step:end);
Yq = Y(1:step:end, 1:step:end);
Uxq = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uyq = Uy(1:step:end, 1:step:end);

% Graficar
figure('Position',[100 100 800 700]);
contour(X, Y, phi, 30, 'LineWidth', 1); hold on;
axis equal; xlim([-R2 R2]); ylim([-R2 R2]);
quiver(Xq, Yq, Uxq, Uyq, 2, 'AutoScale','on');
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1); % borde del cilindro
title('Curvas de nivel y campo','Interpreter','latex');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===. Nuevas líneas de corriente===
Primero calcularemos el nuevo campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a nuestro nuevo <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v= \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta & -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} & 0 \end{vmatrix} = -\left[-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right]\vec e_\rho + \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta. </math></center>

Comprobamos que <math>\vec v</math> es irrotacional:

<center><math> \nabla\times \vec v= \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \rho \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_\rho & \rho v_\theta & 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left((1-\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right)\vec e_z - \frac{\partial}{\partial \rho} \left( -\left(1+\tfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta+\tfrac{1}{4\pi\rho} \right)\vec e_z \right] =0\vec e_z = \vec 0. </math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones:
<math> \nabla \psi = \vec v. </math>

Primera ecuación
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial \rho} = v_\rho = \int \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\, d\rho = \sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) -\frac{1}{4\pi}\ln\rho + f(\theta). </math></center>

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \rho v_\theta = \int (\rho - \tfrac{1}{\rho})\cos\theta\, d\theta = (\rho - \tfrac{1}{\rho})\sin\theta + g(\rho). </math></center>

Igualando expresiones:

<center><math> \psi(\rho,\theta) = \left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln\rho. </math></center>

[[Archivo:apartado94g26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]
{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

Gamma = 1/2; % porque theta/(4*pi) = (Gamma/(2*pi))*theta

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

v_r = -u_th;
v_th = u_r;

% === TransformaciÃ³n a cartesianas ===
v_x = v_r.*cos(th) - v_th.*sin(th);
v_y = v_r.*sin(th) + v_th.*cos(th);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);

step = 12;
Mx_q = Mx(1:step:end,1:step:end);
My_q = My(1:step:end,1:step:end);
vx_q = v_x(1:step:end,1:step:end);
vy_q = v_y(1:step:end,1:step:end);

quiver(Mx_q, My_q, vx_q, vy_q, 'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('LÃneas de corriente con circulaciÃ³n');

hold off;

}}

==. Póster==
A continuación, insertamos acceso al póster resumen del trabajo:
[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-12-03T10:39:20Z

Guillermo rodriguez: /* Presión del fluido */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

Con el siguiente código ejecutado en Matlab, obtenemos el mallado de trabajo:

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

Efectivamente, observamos la región ocupada por el fluido, rodeando el obstáculo.

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (rho = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

La gráfica nos indica cómo se organiza y se redistribuye el flujo alrededor del obstáculo. Vemos como el fluido se bifurca al aproximarse al cilindro y vuelve a reorganizarse aguas abajo. Se produce una perturbación clara del campo de potencial en el entorno inmediato del obstáculo. Cuanto mas juntas están las lineas se tiene mas intensidad de flujo por lo que tiene mayor velocidad. También observamos que existe simetría superior-inferior lo que confirma un régimen estable, sin pérdidas ni efectos viscosos en el modelo.

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ, estando éste definido como:

<center><math>\vec u=\nabla\varphi=\frac{∂φ}{∂\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{∂φ}{∂\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

El campo de velocidades será:

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Y como queríamos demostrar, observamos que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas del fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>). Conocido nuestro campo de velocidades <math>\vec{u}</math> previamente calculado:

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar, gracias al siguiente código implementado en Matlab:

[[Archivo:Lineasdecorriente26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos y tangentes en cada punto, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
Los puntos de la frontera S son aquellos donde la velocidad es mayor y menor.

Nuestras componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>, así que particularizamos en <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

El módulo de la velocidad en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

La velocidad es máxima cuando: <math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1</math>, es decir, cuando
<math>\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

La velocidad es mínima cuando:<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0</math>, es decir, cuando
<math>\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad del fluido se reduce a cero. Procederemos a hallar estos puntos con la siguiente igualdad: <math>|\vec u|=0</math>

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Obtenemos que

<center><math>
\sin\theta = 0</math>, que ocurre cuando
<math>\theta = 0,\ \pi.
</math></center>
Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

Partimos de la ecuación de Bernoulli dada en el enunciado la cual es:

<center><math>\frac { 1 }{ 2 } d { \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }+ { p } =cte</math> </center>

Para que esta expresión pueda aplicarse, el fluido debe ser incompresible, no viscoso y fluir en régimen estacionario (la velocidad en un punto determinado no varía con el tiempo). Se supondrá que el fluido cumple estas condiciones. 
Suponiendo que el fluido efectivamente cumple la ecuación de Bernouilli, que posee una densidad constante de d=2 y tomando como cte=15, se calculará la presión del fluido. 

Por lo tanto:
<center><math>p=15-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }</math></center>

Calculamos el módulo de nuestro campo de velocidades:

<center><math>{ \left| \vec { u } \right| }=\sqrt{cos^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}-\frac{2}{\rho^2})+sen^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}+\frac{2}{\rho^2})}</math></center>

Por lo tanto, la presión que define la presión del fluido es:
<center><math>p=15-[cos^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}-\frac{2}{\rho^2})+sen^2(\theta)(1+\frac{1}{\rho^4}+\frac{2}{\rho^2})]</math></center>

A continuación, ejecutamos el siguiente código para una hacer una representación de la presión del fluido y poder calcular los puntos de máxima y mínima presión.

[[Archivo:apartado62G26.png|395px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(1,5,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[rho,th]=meshgrid(u,v);
Mx=rho.*cos(th);
My=rho.*sin(th);
Mz=zeros(size(Mx));

f=15-((cos(th).^2).*(1+(1./rho.^4)-(1./rho.^2))+((sin(th).^2).*(1+(1./(rho.^4))+((2)./(rho.^2)))));

hold on
surf(Mx,My,f); colorbar
axis([-5,5,-5,5]);
view(2);
hold off
Pmax=max(max(f))
Pmin=min(min(f))

}}

Obtenemos que los puntos de presión máxima y mínima para cte=15 son 14.25 y 11.0031.
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas donde se consideran las velocidades mínimas son los puntos <math>\theta = 0,\ \pi.
</math>. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión donde las velocidades máximas son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La velocidad del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:
A partir de esta relación, y analizando la variación de la velocidad que se da en el punto 7.2, la presión cambia de la siguiente manera al rodear el obstáculo (en la superficie \rho=1):
Puntos de Remanso (\theta = 0 y \theta = \pi):
En estos puntos (el frontal y el trasero del obstáculo), la velocidad del fluido es nula (|\vec{u}|=0).
Como la velocidad es mínima (cero), la presión es máxima. Estos se conocen como puntos de remanso.
Aceleración (De \theta = 0 a \theta = \pi/2):
Al desplazarse desde el punto frontal (\theta=0) hacia la parte superior (\theta=\pi/2), el fluido se acelera (su velocidad aumenta).
Consecuentemente, la presión sobre la superficie disminuye.
Puntos de Mayor Velocidad (\theta = \pi/2 y \theta = 3\pi/2):
En la parte superior e inferior del obstáculo, la velocidad es máxima (|\vec{u}| = 2\sin(\theta), que es máximo cuando \sin\theta=1).
Como la velocidad es máxima, la presión es mínima.
Desaceleración (De \theta = \pi/2 a \theta = \pi):
Al pasar de la parte superior (\theta=\pi/2) hacia la parte trasera (\theta=\pi), el fluido se frena (su velocidad disminuye).
Consecuentemente, la presión sobre la superficie aumenta hasta alcanzar su valor máximo de nuevo en el punto de remanso trasero (\theta=\pi).
En resumen, la presión disminuye desde el frente hasta los lados del obstáculo, y luego aumenta desde los lados hasta la parte trasera.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
=cte
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

[[Archivo:Campovel926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelamp926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro (zona excluida)
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 150; % puntos radiales
Nth = 300; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[TH, RHO] = meshgrid(theta, rho); % ojo: orden (theta, rho) para facilidad

% Recalcula X,Y (mismo tamaño que RHO,TH)
X = RHO.*cos(TH);
Y = RHO.*sin(TH);

% Potencial
phi = (RHO + 1./RHO).*cos(TH) + TH./(4*pi);

% Gradiente en polares
ur = (1 - 1./RHO.^2).*cos(TH); % dphi/dr
dphi_dtheta = - (RHO + 1./RHO).*sin(TH) + 1./(4*pi); % dphi/dtheta
ut = dphi_dtheta ./ RHO; % (1/r)*dphi/dtheta

% Transformación a componentes cartesianas
Ux = ur.*cos(TH) - ut.*sin(TH);
Uy = ur.*sin(TH) + ut.*cos(TH);

step = 7; % menor step → más flechas

Xq = X(1:step:end, 1:step:end);
Yq = Y(1:step:end, 1:step:end);
Uxq = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uyq = Uy(1:step:end, 1:step:end);

% Graficar
figure('Position',[100 100 800 700]);
contour(X, Y, phi, 30, 'LineWidth', 1); hold on;
axis equal; xlim([-R2 R2]); ylim([-R2 R2]);
quiver(Xq, Yq, Uxq, Uyq, 2, 'AutoScale','on');
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1); % borde del cilindro
title('Curvas de nivel y campo','Interpreter','latex');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===. Nuevas líneas de corriente===
Primero calcularemos el nuevo campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a nuestro nuevo <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v= \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta & -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} & 0 \end{vmatrix} = -\left[-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right]\vec e_\rho + \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta. </math></center>

Comprobamos que <math>\vec v</math> es irrotacional:

<center><math> \nabla\times \vec v= \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \rho \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_\rho & \rho v_\theta & 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left((1-\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right)\vec e_z - \frac{\partial}{\partial \rho} \left( -\left(1+\tfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta+\tfrac{1}{4\pi\rho} \right)\vec e_z \right] =0\vec e_z = \vec 0. </math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones:
<math> \nabla \psi = \vec v. </math>

Primera ecuación
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial \rho} = v_\rho = \int \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\, d\rho = \sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) -\frac{1}{4\pi}\ln\rho + f(\theta). </math></center>

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \rho v_\theta = \int (\rho - \tfrac{1}{\rho})\cos\theta\, d\theta = (\rho - \tfrac{1}{\rho})\sin\theta + g(\rho). </math></center>

Igualando expresiones:

<center><math> \psi(\rho,\theta) = \left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln\rho. </math></center>

[[Archivo:apartado94g26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]
{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

Gamma = 1/2; % porque theta/(4*pi) = (Gamma/(2*pi))*theta

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

v_r = -u_th;
v_th = u_r;

% === TransformaciÃ³n a cartesianas ===
v_x = v_r.*cos(th) - v_th.*sin(th);
v_y = v_r.*sin(th) + v_th.*cos(th);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);

step = 12;
Mx_q = Mx(1:step:end,1:step:end);
My_q = My(1:step:end,1:step:end);
vx_q = v_x(1:step:end,1:step:end);
vy_q = v_y(1:step:end,1:step:end);

quiver(Mx_q, My_q, vx_q, vy_q, 'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('LÃneas de corriente con circulaciÃ³n');

hold off;

}}

==. Póster==
A continuación, insertamos acceso al póster resumen del trabajo:
[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Archivo:Apartado62G26.png

2025-12-03T10:37:53Z

Guillermo rodriguez:

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-12-03T09:37:07Z

Guillermo rodriguez: /* . Representación de la Función potencial */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

Con el siguiente código ejecutado en Matlab, obtenemos el mallado de trabajo:

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

Efectivamente, observamos la región ocupada por el fluido, rodeando el obstáculo.

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (rho = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

La gráfica nos indica cómo se organiza y se redistribuye el flujo alrededor del obstáculo. Vemos como el fluido se bifurca al aproximarse al cilindro y vuelve a reorganizarse aguas abajo. Se produce una perturbación clara del campo de potencial en el entorno inmediato del obstáculo. Cuanto mas juntas están las lineas se tiene mas intensidad de flujo por lo que tiene mayor velocidad. También observamos que existe simetría superior-inferior lo que confirma un régimen estable, sin pérdidas ni efectos viscosos en el modelo.

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ, estando éste definido como:

<center><math>\vec u=\nabla\varphi=\frac{∂φ}{∂\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{∂φ}{∂\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

El campo de velocidades será:

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Y como queríamos demostrar, observamos que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas del fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>). Conocido nuestro campo de velocidades <math>\vec{u}</math> previamente calculado:

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar, gracias al siguiente código implementado en Matlab:

[[Archivo:Lineasdecorriente26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos y tangentes en cada punto, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
Los puntos de la frontera S son aquellos donde la velocidad es mayor y menor.

Nuestras componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>, así que particularizamos en <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

El módulo de la velocidad en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

La velocidad es máxima cuando: <math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1</math>, es decir, cuando
<math>\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

La velocidad es mínima cuando:<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0</math>, es decir, cuando
<math>\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad del fluido se reduce a cero. Procederemos a hallar estos puntos con la siguiente igualdad: <math>|\vec u|=0</math>

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Obtenemos que

<center><math>
\sin\theta = 0</math>, que ocurre cuando
<math>\theta = 0,\ \pi.
</math></center>
Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta
</math></center>

La velocidad viene dada por:

<center><math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2
</math></center>

Sustituyendo:

<center><math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta
\end{aligned}
</math></center>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math></center>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<center><math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<center><math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math></center>

Por tanto, el campo de presiones es:

<center><math>
{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
.⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math></center>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TH)./RHO.^2 - 1./(2*RHO.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;

}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===. Nuevas líneas de corriente===
Primero calcularemos el nuevo campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a nuestro nuevo <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v= \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta & -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} & 0 \end{vmatrix} = -\left[-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right]\vec e_\rho + \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta. </math></center>

Comprobamos que <math>\vec v</math> es irrotacional:

<center><math> \nabla\times \vec v= \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \rho \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_\rho & \rho v_\theta & 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left((1-\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right)\vec e_z - \frac{\partial}{\partial \rho} \left( -\left(1+\tfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta+\tfrac{1}{4\pi\rho} \right)\vec e_z \right] =0\vec e_z = \vec 0. </math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones:
<math> \nabla \psi = \vec v. </math>

Primera ecuación
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial \rho} = v_\rho = \int \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\, d\rho = \sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) -\frac{1}{4\pi}\ln\rho + f(\theta). </math></center>

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \rho v_\theta = \int (\rho - \tfrac{1}{\rho})\cos\theta\, d\theta = (\rho - \tfrac{1}{\rho})\sin\theta + g(\rho). </math></center>

Igualando expresiones:

<center><math> \psi(\rho,\theta) = \left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln\rho. </math></center>

[[Archivo:apartado94g26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]
{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

Gamma = 1/2; % porque theta/(4*pi) = (Gamma/(2*pi))*theta

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

v_r = -u_th;
v_th = u_r;

% === TransformaciÃ³n a cartesianas ===
v_x = v_r.*cos(th) - v_th.*sin(th);
v_y = v_r.*sin(th) + v_th.*cos(th);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);

step = 12;
Mx_q = Mx(1:step:end,1:step:end);
My_q = My(1:step:end,1:step:end);
vx_q = v_x(1:step:end,1:step:end);
vy_q = v_y(1:step:end,1:step:end);

quiver(Mx_q, My_q, vx_q, vy_q, 'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('LÃneas de corriente con circulaciÃ³n');

hold off;

}}

==. Póster==
A continuación, insertamos acceso al póster resumen del trabajo:
[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T12:02:17Z

Guillermo rodriguez: /* . Nuevas líneas de corriente */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (rho = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

La rapidez en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math></center>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Esto ocurre cuando:

<center><math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta
</math></center>

La rapidez viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2
</math></center>

Sustituyendo:

<center><math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta
\end{aligned}
</math></center>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math></center>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<center><math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<center><math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math></center>

Por tanto, el campo de presiones es:

<center><math>
{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
.⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math></center>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===. Nuevas líneas de corriente===
Primero calcularemos el nuevo campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a nuestro nuevo <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v= \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta & -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} & 0 \end{vmatrix} = -\left[-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right]\vec e_\rho + \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta. </math></center>

Comprobamos que <math>\vec v</math> es irrotacional:

<center><math> \nabla\times \vec v= \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \rho \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_\rho & \rho v_\theta & 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left((1-\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right)\vec e_z - \frac{\partial}{\partial \rho} \left( -\left(1+\tfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta+\tfrac{1}{4\pi\rho} \right)\vec e_z \right] =0\vec e_z = \vec 0. </math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones:
<math> \nabla \psi = \vec v. </math>

Primera ecuación
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial \rho} = v_\rho = \int \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\, d\rho = \sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) -\frac{1}{4\pi}\ln\rho + f(\theta). </math></center>

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \rho v_\theta = \int (\rho - \tfrac{1}{\rho})\cos\theta\, d\theta = (\rho - \tfrac{1}{\rho})\sin\theta + g(\rho). </math></center>

Igualando expresiones:

<center><math> \psi(\rho,\theta) = \left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln\rho. </math></center>

[[Archivo:apartado94g26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]
{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

Gamma = 1/2; % porque theta/(4*pi) = (Gamma/(2*pi))*theta

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

v_r = -u_th;
v_th = u_r;

% === TransformaciÃ³n a cartesianas ===
v_x = v_r.*cos(th) - v_th.*sin(th);
v_y = v_r.*sin(th) + v_th.*cos(th);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);

step = 12;
Mx_q = Mx(1:step:end,1:step:end);
My_q = My(1:step:end,1:step:end);
vx_q = v_x(1:step:end,1:step:end);
vy_q = v_y(1:step:end,1:step:end);

quiver(Mx_q, My_q, vx_q, vy_q, 'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('LÃneas de corriente con circulaciÃ³n');

hold off;

}}

==. Póster==
A continuación, insertamos acceso al póster resumen del trabajo:
[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T12:00:36Z

Guillermo rodriguez: /* . Nuevas líneas de corriente */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (rho = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

La rapidez en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math></center>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Esto ocurre cuando:

<center><math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta
</math></center>

La rapidez viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2
</math></center>

Sustituyendo:

<center><math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta
\end{aligned}
</math></center>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math></center>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<center><math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<center><math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math></center>

Por tanto, el campo de presiones es:

<center><math>
{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
.⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math></center>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===. Nuevas líneas de corriente===
Primero calcularemos el nuevo campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a nuestro nuevo <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v= \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta & -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} & 0 \end{vmatrix} = -\left[-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right]\vec e_\rho + \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta. </math></center>

Comprobamos que <math>\vec v</math> es irrotacional:

<center><math> \nabla\times \vec v= \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \rho \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_\rho & \rho v_\theta & 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left((1-\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right)\vec e_z - \frac{\partial}{\partial \rho} \left( -\left(1+\tfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta+\tfrac{1}{4\pi\rho} \right)\vec e_z \right] =0\vec e_z = \vec 0. </math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones:
<math> \nabla \psi = \vec v. </math>

Primera ecuación
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial \rho} = v_\rho = \int \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\, d\rho = \sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) -\frac{1}{4\pi}\ln\rho + f(\theta). </math></center>

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \rho v_\theta = \int (\rho - \tfrac{1}{\rho})\cos\theta\, d\theta = (\rho - \tfrac{1}{\rho})\sin\theta + g(\rho). </math></center>

Igualando expresiones:

<center><math> \psi(\rho,\theta) = \left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln\rho. </math></center>

[[Archivo:apartado94G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]
{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

Gamma = 1/2; % porque theta/(4*pi) = (Gamma/(2*pi))*theta

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

v_r = -u_th;
v_th = u_r;

% === TransformaciÃ³n a cartesianas ===
v_x = v_r.*cos(th) - v_th.*sin(th);
v_y = v_r.*sin(th) + v_th.*cos(th);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);

step = 12;
Mx_q = Mx(1:step:end,1:step:end);
My_q = My(1:step:end,1:step:end);
vx_q = v_x(1:step:end,1:step:end);
vy_q = v_y(1:step:end,1:step:end);

quiver(Mx_q, My_q, vx_q, vy_q, 'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('LÃneas de corriente con circulaciÃ³n');

hold off;

}}

==. Póster==
A continuación, insertamos acceso al póster resumen del trabajo:
[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Archivo:Apartado94g26.png

2025-11-28T11:59:23Z

Guillermo rodriguez:

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T11:57:19Z

Guillermo rodriguez: /* . Nuevas líneas de corriente */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (rho = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

La rapidez en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math></center>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Esto ocurre cuando:

<center><math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta
</math></center>

La rapidez viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2
</math></center>

Sustituyendo:

<center><math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta
\end{aligned}
</math></center>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math></center>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<center><math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<center><math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math></center>

Por tanto, el campo de presiones es:

<center><math>
{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
.⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math></center>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===. Nuevas líneas de corriente===
Primero calcularemos el nuevo campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a nuestro nuevo <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v= \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta & -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} & 0 \end{vmatrix} = -\left[-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right]\vec e_\rho + \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta. </math></center>

Comprobamos que <math>\vec v</math> es irrotacional:

<center><math> \nabla\times \vec v= \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \rho \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_\rho & \rho v_\theta & 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left((1-\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right)\vec e_z - \frac{\partial}{\partial \rho} \left( -\left(1+\tfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta+\tfrac{1}{4\pi\rho} \right)\vec e_z \right] =0\vec e_z = \vec 0. </math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones:
<math> \nabla \psi = \vec v. </math>

Primera ecuación
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial \rho} = v_\rho = \int \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\, d\rho = \sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) -\frac{1}{4\pi}\ln\rho + f(\theta). </math></center>

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \rho v_\theta = \int (\rho - \tfrac{1}{\rho})\cos\theta\, d\theta = (\rho - \tfrac{1}{\rho})\sin\theta + g(\rho). </math></center>

Igualando expresiones:

<center><math> \psi(\rho,\theta) = \left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln\rho. </math></center>

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

Gamma = 1/2; % porque theta/(4*pi) = (Gamma/(2*pi))*theta

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

v_r = -u_th;
v_th = u_r;

% === TransformaciÃ³n a cartesianas ===
v_x = v_r.*cos(th) - v_th.*sin(th);
v_y = v_r.*sin(th) + v_th.*cos(th);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);

step = 12;
Mx_q = Mx(1:step:end,1:step:end);
My_q = My(1:step:end,1:step:end);
vx_q = v_x(1:step:end,1:step:end);
vy_q = v_y(1:step:end,1:step:end);

quiver(Mx_q, My_q, vx_q, vy_q, 'k');

axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('LÃneas de corriente con circulaciÃ³n');

hold off;

}}

==Póster==

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T11:45:41Z

Guillermo rodriguez: /* Lineas de corriente */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (rho = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

La rapidez en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math></center>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Esto ocurre cuando:

<center><math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta
</math></center>

La rapidez viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2
</math></center>

Sustituyendo:

<center><math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta
\end{aligned}
</math></center>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math></center>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<center><math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<center><math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math></center>

Por tanto, el campo de presiones es:

<center><math>
{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
.⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math></center>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===. Nuevas líneas de corriente===
Primero calcularemos el nuevo campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a nuestro nuevo <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<math>
\vec{u} = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos \theta \ \vec{e}_\rho + \left[-\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin \theta + \frac{1}{4\pi\rho}\right] \vec{e}_\theta
</math>

Primero calcularemos el campo v⃗ , que en cada punto es ortogonal a u⃗ , (v⃗ = k⃗ ×u⃗ , donde k⃗ =e⃗ z).

<center><math>\vec v= \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta & -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} & 0 \end{vmatrix} = -\left[-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right]\vec e_\rho + \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta. </math></center>

Comprobamos que <math>\vec v</math> es irrotacional:

<center><math> \nabla\times \vec v= \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec e_\rho & \rho \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_\rho & \rho v_\theta & 0 \end{vmatrix}= \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left((1-\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right)\vec e_z - \frac{\partial}{\partial \rho} \left( -\left(1+\tfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta+\tfrac{1}{4\pi\rho} \right)\vec e_z \right] =0\vec e_z = \vec 0. </math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones:
<math> \nabla \psi = \vec v. </math>

Primera ecuación
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial \rho} = v_\rho = \int \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\, d\rho = \sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) -\frac{1}{4\pi}\ln\rho + f(\theta). </math></center>

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \rho v_\theta = \int (\rho - \tfrac{1}{\rho})\cos\theta\, d\theta = (\rho - \tfrac{1}{\rho})\sin\theta + g(\rho). </math></center>

Igualando expresiones:

<center><math> \psi(\rho,\theta) = \left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln\rho. </math></center>

==Póster==

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T11:02:39Z

Guillermo rodriguez: /* . Nueva función potencial */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

La rapidez en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math></center>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Esto ocurre cuando:

<center><math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta
</math></center>

La rapidez viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2
</math></center>

Sustituyendo:

<center><math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta
\end{aligned}
</math></center>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math></center>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<center><math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<center><math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math></center>

Por tanto, el campo de presiones es:

<center><math>
{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
.⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math></center>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<center><math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math></center>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<center><math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math></center>

Comprobamos el rotacional nulo:

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

===Lineas de corriente===

==Póster==

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:57:26Z

Guillermo rodriguez: /* Interpretación física */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

La rapidez en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math></center>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Coordenadas:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Esto ocurre cuando:

<center><math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

La rapidez viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math></center>

Sustituyendo:

<center><math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math></center>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math></center>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobamos el rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

==Póster==

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:53:31Z

Guillermo rodriguez: /* Relación con la fuerza sobre el cilindro */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<center><math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math></center>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

La rapidez en la frontera es:

<center><math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math></center>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math></center>

Coordenadas sobre el cilindro:<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<center><math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Coordenadas:<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<center><math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math></center>

Esto ocurre cuando:

<center><math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math></center>

Por tanto, los puntos de remanso son:<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro no aparece fuerza neta sobre él.

Este resultado es una manifestación de la paradoja de D’Alembert en un flujo potencial ideal y sin viscosidad la fuerza sobre un obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobamos el rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

==Póster==

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:51:49Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobamos el rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

==Póster==

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:51:12Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math></center>

y entonces Bernoulli da

<center><math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math></center>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<center><math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<center><math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobamos el rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

==Link poster==

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:50:23Z

Guillermo rodriguez: /* Relación con la fuerza sobre el cilindro */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

De ello se obtendrá la siguiente igualdad, que representa el potencial escalar, y se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

A continuación, se representa el campo y el potencial escalar.

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

Gracias a esta representación observamos que el potencial escalar y campo de velocidades son paralelos, concluyendo que son efectivamente líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>.

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math>

y entonces Bernoulli da

<math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<center><math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math></center>

donde la función corriente es

<center><math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math></center>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<center><math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math></center>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<center><math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math></center>

Por tanto:

* La velocidad es máxima en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad se anula en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<center><math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math></center>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es máxima.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es mínima.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<center><math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math></center>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<center><math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math></center>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<center><math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math></center>

Por tanto, la circulación es:

<center><math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math></center>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<center><math>
\Gamma = 0.
</math></center>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

Lo relacionamos directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<center><math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math></center>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<center><math>
F = 0.
</math></center>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==. Nueva función potencial==
===. Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Ahora supondremos que la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

A continuación repetiremos el mismo proceso anterior. Primero representaremos la función potencial.

[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)+ theta/4*pi

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH) + TH./(4*pi);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta) + theta./(4.*pi);
Z=f(RHO,TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

Observamos como nuestro campo es ortogonal a las curvas de nivel.

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

A continuación, comprobaremos que el rotacional y la divergencia sean nulos:

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Conociendo el campo de velocidades calculado anteriormente:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobamos el rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Obtenemos un rotacional nulo, por lo que el flujo sigue siendo irrotacional y las partículas de fluido no giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae), de modo que se trata de un flujo incompresible.

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:27:26Z

Guillermo rodriguez: /* Código de la presión de fluido */

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math>

y entonces Bernoulli da

<math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|Presión de fluido]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math>

donde la función corriente es

<math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math>

Por tanto:

* La velocidad **es máxima** en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad **se anula** en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es **máxima**.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es **mínima**.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math>

Por tanto, la circulación es:

<math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<math>
\Gamma = 0.
</math>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

En aerodinámica potencial, el esfuerzo o fuerza lateral que ejerce el fluido sobre un cuerpo se relaciona
directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<math>
F = 0.
</math>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==apartado 9==
===.Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Repetimos el apartado 2 con el nuevo potencial:
<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>
[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Las componentes de velocidad:

<math>
u_{\rho} = \frac{\partial\varphi}{\partial\rho}
= \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta,
</math>

<math>
u_{\theta} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}
= \frac{1}{\rho}\left(-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right)
= -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}.
</math>

El campo de velocidades es:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobación Rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Esta vez, nuestro rotacional no es nulo, por lo que el flujo no es irrotacional y las partículas de fluido giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta]
</math>

Al igual, obtenemos una divergencia no nula, es decir, significa que el volumen del fluido varía

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:25:36Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math>

y entonces Bernoulli da

<math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|texto alternativo]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math>

donde la función corriente es

<math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math>

Por tanto:

* La velocidad **es máxima** en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad **se anula** en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es **máxima**.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es **mínima**.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math>

Por tanto, la circulación es:

<math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<math>
\Gamma = 0.
</math>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

En aerodinámica potencial, el esfuerzo o fuerza lateral que ejerce el fluido sobre un cuerpo se relaciona
directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<math>
F = 0.
</math>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==apartado 9==
===.Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Repetimos el apartado 2 con el nuevo potencial:
<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>
[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Las componentes de velocidad:

<math>
u_{\rho} = \frac{\partial\varphi}{\partial\rho}
= \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta,
</math>

<math>
u_{\theta} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}
= \frac{1}{\rho}\left(-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right)
= -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}.
</math>

El campo de velocidades es:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobación Rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Esta vez, nuestro rotacional no es nulo, por lo que el flujo no es irrotacional y las partículas de fluido giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta]
</math>

Al igual, obtenemos una divergencia no nula, es decir, significa que el volumen del fluido varía

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:22:51Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED |Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math>

y entonces Bernoulli da

<math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|texto alternativo]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math>

donde la función corriente es

<math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math>

Por tanto:

* La velocidad **es máxima** en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad **se anula** en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es **máxima**.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es **mínima**.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math>

Por tanto, la circulación es:

<math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<math>
\Gamma = 0.
</math>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

En aerodinámica potencial, el esfuerzo o fuerza lateral que ejerce el fluido sobre un cuerpo se relaciona
directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<math>
F = 0.
</math>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==apartado 9==
===.Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Repetimos el apartado 2 con el nuevo potencial:
<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>
[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Las componentes de velocidad:

<math>
u_{\rho} = \frac{\partial\varphi}{\partial\rho}
= \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta,
</math>

<math>
u_{\theta} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}
= \frac{1}{\rho}\left(-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right)
= -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}.
</math>

El campo de velocidades es:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobación Rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Esta vez, nuestro rotacional no es nulo, por lo que el flujo no es irrotacional y las partículas de fluido giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta]
</math>

Al igual, obtenemos una divergencia no nula, es decir, significa que el volumen del fluido varía

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:22:08Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math>

y entonces Bernoulli da

<math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|texto alternativo]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math>

donde la función corriente es

<math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math>

Por tanto:

* La velocidad **es máxima** en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad **se anula** en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es **máxima**.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es **mínima**.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math>

Por tanto, la circulación es:

<math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<math>
\Gamma = 0.
</math>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

En aerodinámica potencial, el esfuerzo o fuerza lateral que ejerce el fluido sobre un cuerpo se relaciona
directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<math>
F = 0.
</math>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==apartado 9==
===.Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Repetimos el apartado 2 con el nuevo potencial:
<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>
[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Las componentes de velocidad:

<math>
u_{\rho} = \frac{\partial\varphi}{\partial\rho}
= \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta,
</math>

<math>
u_{\theta} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}
= \frac{1}{\rho}\left(-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right)
= -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}.
</math>

El campo de velocidades es:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobación Rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Esta vez, nuestro rotacional no es nulo, por lo que el flujo no es irrotacional y las partículas de fluido giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta]
</math>

Al igual, obtenemos una divergencia no nula, es decir, significa que el volumen del fluido varía

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:20:17Z

Guillermo rodriguez: /* . Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

[[Archivo:apartado44G26.png|400px|thumb|left|Lineas de corriente ]]

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math>

y entonces Bernoulli da

<math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|texto alternativo]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math>

donde la función corriente es

<math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math>

Por tanto:

* La velocidad **es máxima** en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad **se anula** en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es **máxima**.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es **mínima**.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math>

Por tanto, la circulación es:

<math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<math>
\Gamma = 0.
</math>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

En aerodinámica potencial, el esfuerzo o fuerza lateral que ejerce el fluido sobre un cuerpo se relaciona
directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<math>
F = 0.
</math>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==apartado 9==
===.Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Repetimos el apartado 2 con el nuevo potencial:
<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>
[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Las componentes de velocidad:

<math>
u_{\rho} = \frac{\partial\varphi}{\partial\rho}
= \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta,
</math>

<math>
u_{\theta} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}
= \frac{1}{\rho}\left(-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right)
= -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}.
</math>

El campo de velocidades es:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobación Rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Esta vez, nuestro rotacional no es nulo, por lo que el flujo no es irrotacional y las partículas de fluido giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta]
</math>

Al igual, obtenemos una divergencia no nula, es decir, significa que el volumen del fluido varía

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Apartado44G26.png

2025-11-28T10:18:48Z

Guillermo rodriguez:

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T10:17:20Z

Guillermo rodriguez: /* . Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

{{matlab|codigo=

u = linspace(1,5,250);
v = linspace(0,2*pi,250);
[rho,th] = meshgrid(u,v);

Mx = rho.*cos(th);
My = rho.*sin(th);

% CirculaciÃ³n
Gamma = 1/2;

psi = (rho - 1./rho).*sin(th) - (Gamma/(2*pi))*log(rho);

% Velocidades en polares
u_r = (1 - 1./rho.^2).*cos(th);
u_th = -(1 + 1./rho.^2).*sin(th) + Gamma./(2*pi*rho);

% Velocidades en cartesianas
Ux = u_r.*cos(th) - u_th.*sin(th);
Uy = u_r.*sin(th) + u_th.*cos(th);

% quitar flechas
step = 12;

Mx_q = Mx(1:step:end, 1:step:end);
My_q = My(1:step:end, 1:step:end);
Ux_q = Ux(1:step:end, 1:step:end);
Uy_q = Uy(1:step:end, 1:step:end);

figure;
hold on;

contour(Mx, My, psi, 80);
quiver(Mx_q, My_q, Ux_q, Uy_q, 'k');
axis equal;
xlabel

}}

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math>

y entonces Bernoulli da

<math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|texto alternativo]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

En este apartado analizamos la trayectoria que seguiría una partícula del fluido y cómo cambian la
velocidad y la presión al rodear el obstáculo.

=== Trayectorias y líneas de corriente ===

En un flujo estacionario e incompresible, las trayectorias de las partículas coinciden con las líneas de corriente.
Por tanto, una partícula del fluido seguirá exactamente las curvas que verifican:

<math>
\psi(\rho,\theta) = \text{cte},
</math>

donde la función corriente es

<math>
\psi(\rho,\theta)
= \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta.
</math>

Estas líneas describen las trayectorias del fluido alrededor del cilindro y muestran cómo la partícula se desvía
en torno al obstáculo siguiendo la geometría del flujo potencial.

=== Variación de la velocidad al rodear el cilindro ===

La rapidez del fluido viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert
= \sqrt{
\left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \cos^2\theta
+
\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)^2 \sin^2\theta
}.
</math>

En la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>) se simplifica a

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert = 2\lvert\sin\theta\rvert.
</math>

Por tanto:

* La velocidad **es máxima** en <math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>.
* La velocidad **se anula** en los puntos de remanso: <math>\theta = 0, \pi</math>.

La partícula acelera al desplazarse hacia la parte superior e inferior del cilindro y se frena al
pasar por los puntos frontales y traseros del obstáculo.

=== Variación de la presión ===

Según Bernoulli,

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f\lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye cuando la velocidad aumenta. Aplicando esto sobre la superficie del cilindro:

* En los puntos de remanso (<math>\theta = 0, \pi</math>) la presión es **máxima**.
* En los puntos de mayor velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>) la presión es **mínima**.

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math>

Por tanto, la circulación es:

<math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<math>
\Gamma = 0.
</math>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

En aerodinámica potencial, el esfuerzo o fuerza lateral que ejerce el fluido sobre un cuerpo se relaciona
directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<math>
F = 0.
</math>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==apartado 9==
===.Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Repetimos el apartado 2 con el nuevo potencial:
<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>
[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Las componentes de velocidad:

<math>
u_{\rho} = \frac{\partial\varphi}{\partial\rho}
= \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta,
</math>

<math>
u_{\theta} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}
= \frac{1}{\rho}\left(-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right)
= -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}.
</math>

El campo de velocidades es:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobación Rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Esta vez, nuestro rotacional no es nulo, por lo que el flujo no es irrotacional y las partículas de fluido giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta]
</math>

Al igual, obtenemos una divergencia no nula, es decir, significa que el volumen del fluido varía

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T09:57:19Z

Guillermo rodriguez: /* Circulación del campo */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Gonzalo Gallego Fulgencio
*Andrea García Carrasco
*Aarón García Martín
*Miryam Sánchez-Ferragut Samalea
*Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.
[[Archivo:Curvasnivel26.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (2)
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(r,theta) = (r + 1/r) * cos(theta)

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Función potencial phi(r,theta) = (r + 1/r) cos(theta)

phi = (RHO + 1./RHO) .* cos(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
u_th = -(1 + 1./RHO.^2) .* sin(TH);

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades26.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl26.png |400px|miniaturadeimagen| Campo de velocidades ampliado]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

%Definimos función potencial y la aplicamos a Z
f=@(rho,theta)(rho+(1./rho)).*cos(theta);
Z=f(RHO,TH);

%Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Gx=(1-(1./RHO.^2)).*cos(TH).^2+(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).^2;
Gy=(1-(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH)-(1+(1./RHO.^2)).*sin(TH).*cos(TH);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

==. Comprobación rotacional y divergencia nulos==
A partir del campo de velocidades calculado en el apartado anterior, calculamos su rotacional y su divergencia para conocer las características del fluido.
<center><math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math></center>
===. Comprobación del rotacional nulo===

Conociendo la fórmula del rotacional calculamos:
<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho u_\theta & {0} \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0

</math></center>

Obtenemos un rotacional nulo, es decir, se trata de un fluido irrotacional, por lo tanto, podemos deducir que las partículas de fluido no giran.

===. Comprobación de la divergencia nula===

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))]</math></center>

<center><math>
\nabla\cdot\vec{u}
=
\frac{1}{\rho}
\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}
\Bigl( \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \; \rho\,\vec{e}_{\rho} \Bigr)
\;-\;
\frac{\partial}{\partial\theta}
\Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr)
\right]=\frac{1}{\rho}
\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
-
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
\right]
=0
</math></center>

Obtenemos una divergencia nula, es decir, significa que el fluido mantiene su volumen constante (ni se expande ni se contrae).

==. Líneas de corriente==

Primero calcularemos el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, (<math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}\times\vec{u}</math>, donde <math>\vec{k}</math>=<math>\vec {e}_{z}</math>).

<center><math>\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v</math></center>

Comprobamos que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:
<center><math>\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}</math></center>

A continuación calculamos <math>\psi</math>, para ello resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\cdot\psi=\vec v</math>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)\,d\rho=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sen(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})</math></center>

<center><math>\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)</math></center>

==. Puntos de la frontera S==
En la frontera del cilindro se tiene <math>\rho = 1</math>.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

Sustituyendo <math>\rho = 1</math>:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

La rapidez en la frontera es:

<math>
\left\lvert \vec u(1,\theta)\right\rvert
= \sqrt{u_\rho^2 + u_\theta^2}
= 2\lvert \sin\theta\rvert.
</math>

===. Velocidad máxima ===

La velocidad es máxima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 1 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.
</math>

Coordenadas sobre el cilindro:

<math>
(0,1), \qquad (0,-1).
</math>

===. Velocidad mínima ===

La rapidez es mínima cuando:

<math>
\lvert \sin\theta\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Coordenadas:

<math>
(1,0), \qquad (-1,0).
</math>

===. Puntos de remanso ===

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad es nula:

<math>
u_\rho = 0, \qquad u_\theta = 0.
</math>

Esto ocurre cuando:

<math>
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad
\theta = 0,\ \pi.
</math>

Por tanto, los puntos de remanso son:

<math>
(1,0) \quad\text{y}\quad (-1,0).
</math>

==Presión del fluido==

En este apartado se calcula el campo de presiones del flujo usando la ecuación de Bernoulli.

Las componentes del campo de velocidades son:

<math>
u_\rho = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta, \qquad
u_\theta = -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta.
</math>

La rapidez viene dada por

<math>
\lvert\vec u\rvert^2 = u_\rho^2 + u_\theta^2.
</math>

Sustituyendo:

<math>
\begin{aligned}
\lvert\vec u\rvert^2
&= \left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\cos^2\theta
+ \left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\sin^2\theta \\
&= 1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta.
\end{aligned}
</math>

La ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible e irrotacional es

<math>
p + \frac{1}{2}\rho_f \lvert\vec u\rvert^2
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f U_\infty^2,
</math>

donde <math>U_\infty = 1</math>. Por tanto,

<math>
p(\rho,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left(1 - \lvert\vec u\rvert^2\right).
</math>

Sustituyendo la expresión de la velocidad:

<math>
\begin{aligned}
p(\rho,\theta)
&= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f\left[
1 - \left(1 + \frac{1}{\rho^4} - \frac{2}{\rho^2}\cos 2\theta\right)
\right] \\
&= p_\infty + \rho_f\left(
\frac{\cos 2\theta}{\rho^2} - \frac{1}{2\rho^4}
\right).
\end{aligned}
</math>

Por tanto, el campo de presiones es:

<math>
\boxed{
p(\rho,\theta)
= p_\infty
+ \rho_f\left(\frac{\cos 2\theta}{\rho^2}
•⁠ ⁠\frac{1}{2\rho^4}\right)
}
</math>

=== Presión sobre la superficie del cilindro (ρ = 1) ===

En <math>\rho = 1</math> la rapidez es

<math>
\lvert\vec u(1,\theta)\rvert^2 = 4\sin^2\theta,
</math>

y entonces Bernoulli da

<math>
p(1,\theta)
= p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f(1 - 4\sin^2\theta)
= p_\infty - \frac{1}{2}\rho_f + \rho_f \cos 2\theta.
</math>

=== Puntos de máxima y mínima presión ===

En los puntos de remanso (<math>\theta = 0,\pi</math>), donde la velocidad es nula:

<math>
p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho_f.
</math>

En los puntos de máxima velocidad (<math>\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}</math>):

<math>
p = p_\infty - \frac{3}{2}\rho_f.
</math>

La presión disminuye donde aumenta la velocidad, en concordancia con la ecuación de Bernoulli.

===Código de la presión de fluido===

[[Archivo:apartado6G26.png|400px|thumb|left|texto alternativo]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

function presion_apartado6()

p_inf = 0;
rho_f = 1;

R1 = 1;
R2 = 5;
Nr = 180;
Nth = 360;

r = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RR, TT] = meshgrid(r, theta);

P = p_inf + rho_f*( cos(2*TT)./RR.^2 - 1./(2*RR.^4) );

% Pasar a coordenadas cartesianas para dibujar
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

th = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = cos(th);
yc = sin(th);

figure;
contourf(X, Y, P, 40, "LineColor", "none");
hold on;
plot(xc, yc, 'k', 'LineWidth', 2);
colorbar;
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de presiones p(r,\theta) del Apartado 6');
hold off;
end
}}

En la imagen vemos el campo de presiones alrededor del cilindro de radio 1 cuando el flujo pasa a velocidad uniforme u=1
Las zonas amarillas representan las presiones mas altas que se consideran los puntos theta=0 y theta=pi. Los consideramos puntos de remanso, lugar donde la velocidad cae a cero y la presión sube al máximo .
Las zonas azul y verde representan la zona de menor presión que son theta=pi/2 y theta=3pi/2 .El fluido en este caso acelera para bordear el cilindro luego llega a velocidad máxima y presión mínima.

==Partícula del fluido==

==Circulación del campo==

En este apartado comprobamos que la circulación del campo de velocidades alrededor de una circunferencia
de radio 1 es nula en el caso sin circulación añadida. Asimismo, se explica la relación entre este hecho,
la fuerza ejercida por el fluido y la paradoja de D’Alembert.

=== Circulación del campo de velocidades ===

La circulación alrededor de una curva cerrada <math>C</math> se define como:

<math>
\Gamma = \oint_C \vec u \cdot d\vec s.
</math>

Tomamos como curva de referencia la circunferencia de radio 1: <math>\rho = 1</math>.
El campo de velocidades sobre el cilindro es:

<math>
u_\rho(1,\theta) = 0, \qquad
u_\theta(1,\theta) = -2\sin\theta.
</math>

Sobre la circunferencia, el elemento de arco es

<math>
d\vec s = \hat{e}\theta \, \rho \, d\theta = \hat{e}\theta \, d\theta.
</math>

Por tanto, la circulación es:

<math>
\Gamma = \int_0^{2\pi} u_\theta(1,\theta)\, d\theta
= \int_0^{2\pi} -2\sin\theta \, d\theta.
</math>

Como la integral de <math>\sin\theta</math> en un período completo es cero, obtenemos:

<math>
\Gamma = 0.
</math>

=== Relación con la fuerza sobre el cilindro ===

En aerodinámica potencial, el esfuerzo o fuerza lateral que ejerce el fluido sobre un cuerpo se relaciona
directamente con la circulación mediante el teorema de Kutta–Joukowski:

<math>
F = -\rho_f U_\infty \Gamma.
</math>

Como en este caso <math>\Gamma = 0</math>, la fuerza resultante es:

<math>
F = 0.
</math>

Es decir, a pesar de que el fluido se desvía alrededor del cilindro, *no aparece fuerza neta sobre él*.

Este resultado es una manifestación de la *paradoja de D’Alembert*:
en un flujo potencial ideal, sin viscosidad y sin separación de la capa límite, la fuerza sobre un
obstáculo fijo es exactamente cero, lo cual contradice la experiencia real.

=== Interpretación física ===

•⁠ ⁠En el modelo idealizado de fluido potencial no viscoso, el flujo se ajusta perfectamente a la superficie del cilindro.
•⁠ ⁠No hay formación de estela ni separación de flujo.
•⁠ ⁠Las presiones alrededor del cilindro se distribuyen de manera simétrica.
•⁠ ⁠Esta simetría implica que las fuerzas horizontales se cancelan exactamente.

Sin embargo, en la realidad:

•⁠ ⁠La viscosidad provoca la separación de la capa límite.
•⁠ ⁠Aparece una estela turbulenta detrás del cilindro.
•⁠ ⁠La presión en la parte posterior es menor que en la delantera.
•⁠ ⁠Esto genera una fuerza de arrastre real, que el modelo potencial no es capaz de predecir.

Por ello, este fenómeno se denomina la *paradoja de D’Alembert*, ya que muestra las limitaciones del modelo de
flujo potencial para describir fuerzas sobre cuerpos sumergidos.

==apartado 9==
===.Nueva representación del Potencial y del campo de velocidades===
Repetimos el apartado 2 con el nuevo potencial:
<center><math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>
[[Archivo:Curvasnivel926.png|400px|miniaturadeimagen| Función Potencial 2]]
{{matlab|codigo=
% Función potencial y campo de velocidades para
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho) * cos(theta) + theta/4*pi

clear; clc; close all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 40; % puntos radiales
Nth = 120; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Campo de velocidades u = grad(phi)
% En polares: u_rho = dphi/drho, u_th = (1/rho) dphi/dth

u_rho = (1 - 1./RHO.^2) .* cos(TH);
% dphi/dtheta
dphi_dtheta = -(RHO + 1./RHO) .* sin(TH) + 1/(4*pi);

% u_theta = (1/r)*dphi/dtheta
u_th = (1./RHO) .* dphi_dtheta;

% Pasamos a componentes cartesianas:
u_x = u_rho .* cos(TH) - u_th .* sin(TH);
u_y = u_rho .* sin(TH) + u_th .* cos(TH);

% Puntos del contorno del obstáculo (r = 1)
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);

%Dibujamos las curvas de nivel del potencial
figure;
contour(X, Y, phi, 30); % 30 niveles de phi
hold on;
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % cilindro
axis equal;
xlim([-4 4]); ylim([-4 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Curvas de nivel de la función potencial \phi');
hold off;
}}
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, <math>\vec{u}</math>
=∇φ.

<center><math>
\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\mathbf e_{\rho}+\frac{1}{\rho}\left[-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right]\mathbf e_{\theta}
</math></center>

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido.

El campo <math> \vec u </math> lo hemos pasado manualmente a coordenadas cartesianas con la matriz de cambio de base para añadirlo directamente a nuestro código de Matlab. Dándonos como resultado:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k)=\left[\cos^{2}\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)-\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf i+\left[\sin\theta\cos\theta\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)+\cos^{2}\theta+\frac{\cos\theta}{4\pi\rho}\right]\mathbf j </math></center>

[[Archivo:Campovelocidades926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
[[Archivo:Campovelocidadesampl926.png|400px|miniaturadeimagen| Campo de Velocidades resultante]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;clear all;

% Parámetros del dominio
R1 = 1; % radio del cilindro
R2 = 5; % radio exterior
Nr = 10; % puntos radiales
Nth = 70; % puntos angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);
[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

% Coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);

% Dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,Z,15);
hold on

%Definimos las componentes X e Y del gradiente en coordenadas cartesianas
Gx=(cos(TH).^2).*(1 - 1./RHO.^2) - sin(TH).*cos(TH) + sin(TH)./(4*pi.*RHO);
Gy=sin(TH).*cos(TH).*(1 - 1./RHO.^2) + cos(TH).^2 + cos(TH)./(4*pi.*RHO);

%Dibujamos el campo de velocidades
quiver(X,Y,Gx,Gy);

% Representamos nuestro obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar;
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

===. Comprobación rotacional y divergencia nulos===

<math>
\varphi(\rho,\theta)
=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}.
</math>

Las componentes de velocidad:

<math>
u_{\rho} = \frac{\partial\varphi}{\partial\rho}
= \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta,
</math>

<math>
u_{\theta} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}
= \frac{1}{\rho}\left(-\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi}\right)
= -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}.
</math>

El campo de velocidades es:

<math>
\vec{u}
= u_{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+u_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}
=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\vec{e}_{\rho}
-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}
+\frac{1}{4\pi\rho}\,\vec{e}_{\theta}.
</math>

Comprobación Rotacional nulo:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & 0
\end{vmatrix},
</math>

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta
&
-\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta+\dfrac{1}{4\pi}
&
0
\end{vmatrix}
=
-\left(1-\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{z}
+
\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}

</math>

Esta vez, nuestro rotacional no es nulo, por lo que el flujo no es irrotacional y las partículas de fluido giran localmente.

Comprobamos la divergencia nula:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho u_{\rho}\bigr)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}
+\frac{\partial u_{z}}{\partial z},
\qquad u_{z}=0.
</math>

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta\,\rho\right)
+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}\right)
+\frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]
=\frac{1}{\rho}\left[
\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta]
</math>

Al igual, obtenemos una divergencia no nula, es decir, significa que el volumen del fluido varía

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T09:44:06Z

Guillermo rodriguez: /* Código de la presión de fluido */

Archivo:Apartado6G26.png

2025-11-28T09:43:27Z

Guillermo rodriguez:

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T09:40:09Z

Guillermo rodriguez: /* Presión del fluido */

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T09:37:13Z

Guillermo rodriguez: /* Presión del fluido */

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T09:32:52Z

Guillermo rodriguez: /* Presión del fluido */

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-28T09:13:05Z

Guillermo rodriguez: /* Presión del fluido */

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T11:43:05Z

Guillermo rodriguez: /* apartado 9 */

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T11:10:15Z

Guillermo rodriguez: /* Puntos de la frontera S */

Archivo:Apartado4G26.png

2025-11-26T11:00:43Z

Guillermo rodriguez:

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T10:54:50Z

Guillermo rodriguez: /* . Líneas de corriente de campo */

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T10:41:18Z

Guillermo rodriguez: /* . Comprobación de la divergencia nula */

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T10:35:38Z

Guillermo rodriguez: /* . Comprobación rot y div nula */

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T10:28:39Z

Guillermo rodriguez:

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T10:27:35Z

Guillermo rodriguez: /* . Comprobación rot y div nula */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Gonzalo Gallego Fulgencio Andrea García Carrasco Aarón García Martín Miryam Sánchez-Ferragut Samalea Guillermo Rodríguez Navadijos }}
Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==. Representación del mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==. Función potencial y campo de velocidades del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math>
===. Representación de la Función potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular. Representaremos gráficamente la función potencial en el dominio exterior al círculo unidad para visualizar cómo varía en el plano y cómo organiza la estructura del flujo alrededor del cilindro.

===. Representación del campo de velocidades===
A partir de la función potencial, la velocidad del fluido se determina mediante su gradiente, 𝑢⃗
=∇φ.
<math> \nabla \varphi=\vec u= \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z = \left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - [\left ( 1+\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\sin(\theta)]\vec e_\theta </math> 

Aquí representaremos el campo de velocidades resultante y analizaremos la dirección y magnitud del movimiento de las partículas del fluido, donde podremos observar que la velocidad es ortogonal a las curvas de nivel de
φ.

==. Comprobación rot y div nula==

<math>
\vec{u}=
\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho
-
\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta
</math>

Rotacional:

<math>
\nabla\times\vec{u}
=\frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
\left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta &
-\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta &
0
\end{vmatrix}
=-(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
\;+\;
(1 - 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}
= 0
</math>

Rotacional nulo → Flujo irrotacional

Divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec{u}
=\frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\rho\right)
-
\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)
\right]
=-(1 - 1/rho^2) sin(theta) e_z + (1 - 1/rho^2) sin(theta) e_z = 0
</math>

Divergencia nula → Fluido incompresible

==. Líneas de corriente de campo==

==Puntos de la frontera S==

==Presión del fluido==

==Partícula del fluido==

==Circulación del campo==

==apartado 9==

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Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T10:02:56Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Gonzalo Gallego Fulgencio Andrea García Carrasco Aaron García Martin Miryam Sanchez-Ferragut Samalea Guillermo Rodriguez Navadijos }}

Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==Dibujar mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==Velocidad de las partículas del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math>
===.-Representación de la Función Potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular.

===.-Representación del campo de velocidades===
Representaremos el campo de velocidades derivado de la función potencial, 𝑢
⃗
=∇φ.
A partir de estas gráficas podremos visualizar la estructura del flujo y comprobar, mediante un zoom local, que el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de
𝜑
φ, una propiedad característica de los flujos potenciales.

==Comprobación rot y div nula==

==Líneas de corriente de campo==

==Puntos de la frontera S==

==Presión del fluido==

==Partícula del fluido==

==Circulación del campo==

==apartado 9==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-26T10:01:54Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Gonzalo Gallego Fulgencio Andrea García Carrasco Aaron García Martin Miryam Sanchez-Ferragut Samalea Guillermo Rodriguez Navadijos }}

Vamos a estudiar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular, trabajando en el plano y utilizando coordenadas cilíndricas (polares) para describir el campo de velocidades y las condiciones en la superficie del cilindro. Este enfoque permite formular de manera directa las ecuaciones del flujo potencial y analizar cómo la presencia del obstáculo modifica la distribución de velocidades y presiones. A partir de este planteamiento se desarrollarán las cuestiones que se piden a continuación.

==Dibujar mallado==
En este primer apartado representaremos la región ocupada por el fluido, que corresponde al exterior del círculo unidad. Para ello construiremos un mallado en coordenadas polares que cubra el anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. Este mallado permitirá visualizar los puntos interiores de la zona de estudio y establecer la geometría sobre la que se formulará posteriormente el problema del flujo. Para completar la representación, dibujaremos también los ejes cartesianos en el dominio
[
−
4
,
4
]
×
[
−
4
,
4
]
[−4,4]×[−4,4], lo que facilitará interpretar la posición del obstáculo circular y la extensión del fluido respecto al sistema de referencia.

[[Archivo:apartado1G26.png|400px|miniaturadeimagen| Mallado que representa los puntos interiores de la región ocupada por un
fluido]]

{{matlab|codigo=
% Trabajo P - Apartado (1)
% Mallado del anillo 1 <= r <= 5 en coordenadas polares

clear; clc; close all;

R1 = 1; % radio interior (obstáculo)
R2 = 5; % radio exterior del fluido
Nr = 25; % número de divisiones radiales
Nth = 80; % número de divisiones angulares

rho = linspace(R1, R2, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Nth);

[RHO, TH] = meshgrid(rho, theta);

X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
Z = 0.*RHO;
figure; hold on;

% Líneas radiales (theta = constante)
for i = 1:Nth
plot(X(i,:), Y(i,:), 'g');
end

% Circunferencias (r = constante)
for j = 1:Nr
plot(X(:,j), Y(:,j), 'g');
end

% Obstáculo circular (r = 1) representado solo con contorno
th_circ = linspace(0, 2*pi, 400);
x_circ = R1 * cos(th_circ);
y_circ = R1 * sin(th_circ);
plot(x_circ, y_circ, 'k', 'LineWidth', 2); % obstáculo circular

axis equal;
xlim([-4 4]);
ylim([-4 4]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado en el anillo 1 \leq r \leq 5 (flujo alrededor de un cilindro)');
grid off;
hold off;
}}

==Velocidad de las partículas del fluido==
En este apartado analizaremos la velocidad de las partículas dada por el gradiente de la siguiente función potencial:

<math> \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math>
===.-Representación de la Función Potencial===

Primero representaremos la función potencial que describe el flujo asociado al movimiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular.

===.-Representación del campo de velocidades===
Representaremos el campo de velocidades derivado de la función potencial, 𝑢
⃗
=
∇
𝜑
u
=∇φ,
A partir de estas gráficas podremos visualizar la estructura del flujo y comprobar, mediante un zoom local, que el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de
𝜑
φ, una propiedad característica de los flujos potenciales.

==Comprobación rot y div nula==

==Líneas de corriente de campo==

==Puntos de la frontera S==

==Presión del fluido==

==Partícula del fluido==

==Circulación del campo==

==apartado 9==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Apartado1G26.png

2025-11-26T09:54:44Z

Guillermo rodriguez:

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-25T16:15:45Z

Guillermo rodriguez:

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-25T16:15:15Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 26-P | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Gonzalo Gallego Fulgencio Andrea García Carrasco Aaron García Martin Miryam Sanchez-Ferragut Samalea Guillermo Rodriguez Navadijos }}

==Introducción==

==Dibujar mallado==

==Velocidad particular fluido==

==Comprobación rot y div nula==

==Lineas de corriente de campo==

==Puntos de la frontera S==

==Presión del fluido==

==Particula del fluido==

==Circulación del campo==

==apartado 9==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-24T18:26:46Z

Guillermo rodriguez:

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 26-P | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Gonzalo Gallego Fulgencio Andrea García Carrasco Aaron García Martin Miryam Sanchez-Ferragut Samalea Guillermo Rodriguez Navadijos }}

==Introducción==

==Dibujar mallado==

==Velocidad particular fluido==

==Comprobación rot y div nula==

==Dibujar las lineas de corriente de campo==

==Puntos de la frontera S==

==Presión del fluido==

==Particula del fluido==

==Circulación del campo==

==apartado 9==

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Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 26)

2025-11-24T18:19:59Z

Guillermo rodriguez: Página creada con «{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 26-P | Teoría de Campos|2025-26 | Gonzalo Gallego...»

Usuario:Guillermo rodriguez

2025-11-24T18:09:35Z

Guillermo rodriguez: Página blanqueada

Usuario:Guillermo rodriguez

2025-11-24T18:08:44Z

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Flujo de Poiseuille Grupo 30

2024-12-04T16:54:16Z

Guillermo rodriguez: /* Caudal */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 30-O | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Ivan Ortega Perez Natalia Esteban Tezanos Ana España Franco Abdallah Attar Altarazi Guillermo Rodriguez Navadijos }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==
La ley de Poiseuille, también conocida como ley de Hagen-Poiseuille, describe el flujo laminar estacionario de un líquido incompresible. En este caso, analizaremos el flujo de un líquido incompresible a través de una tubería cilíndrica con un radio de 3, lo que implica una sección transversal circular constante. Este flujo depende del gradiente de presión y del radio de la tubería.

Para desarrollar este análisis, hemos utilizado el software Matlab, que nos ha permitido representar gráficamente los resultados, como secciones transversales y gradientes, de manera visual. Esto facilita al lector una mejor comprensión de la Ley de Poiseuille, ayudándole a interpretar y entender sus implicaciones de forma clara y didáctica.

== Dibujar un mallado 2D de la sección longitudinal ==

Se trata de graficar la sección longitudinal de la tubería en coordenadas <math> x_{1} = 0 </math>, <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,4 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2; %Creamos Vectores
y=0:0.2:10;
[XX,YY]=meshgrid(x,y); %Creamos Malla
mesh(XX,YY,0*XX); %Representamos la sección
axis([0,4,0,10]); %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Malla de la Sección Longitudinal');
}}

== Resolver la ecuación diferencial para f(ρ) ==

===Ecuación de Navier-Stokes===

La velocidad de las partículas de nuestro fluido viene dada por el campo <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math>, y la presión por <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)/4 </math>, donde <math> p_{1} </math> es la presión en los puntos <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en los puntos <math> z=5 </math>.

Ambas magnitudes, <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math>, cumplen la ecuación estacionaria de Navier-Stokes, independiente del tiempo, donde <math> \mu </math> es el coeficiente de viscosidad de fluido: <center> <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math></center> Comprobamos que <math>f\left ( \rho \right ) </math> satisface la siguiente ecuación diferencial, despreciendo la parte convectiva, que corresponde con el primer término. <center> <math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}. </math></center> Resolvemos multiplicando por <math> \rho </math> e integrando 2 veces:
:1) Multiplicamos por <math> \rho </math>

:<math> \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \rho\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} </math>

:2) Integramos

:<math> \int \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right ) d\rho = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu}\int\rho d\rho </math>

::<math> \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho^{2}}{2} </math>

:::<math>\frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } =\frac{p_{2}-p_{1}}{2\mu}\cdot \rho</math>

:3)Integramos por segunda vez

:<math> \int \left ( \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right ) d\rho = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{2\mu}\int\rho d\rho </math>
::<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{2\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{2} + c \right ) </math>
Para darle valor a la constante, usamos el dato de que en <math> \rho = 3 </math> la velocidad es cero, por tanto, como la velocidad es <math> f\left ( \rho \right )\vec{e_{z}}, </math> entonces <math> f\left ( 3 \right ) </math> debe ser cero.
La <math> f\left ( \rho \right ) </math> nos queda: <math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right ) </math>

===Verificación de la condición de incompresibilidad===
Dado que el agua es un líquido incompresible, su volumen debe permanecer constante, lo que implica que su densidad no varía. Para garantizar esta propiedad, se verifica que la divergencia del campo de velocidades sea cero. Esto se debe a que, en un fluido, la divergencia del campo de velocidades en un punto refleja la variación de la densidad del fluido en ese punto. <center><math> \triangledown \cdot \vec{u}=0 </math> </center> <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math>

:<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho} \left ( \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \cdot u_{\rho } \right )+\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( u_{\theta } \right ) + \frac{\partial }{\partial z}\left (\rho \cdot u_{z}\right)\right) </math>

::<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho}\left ( \frac{\partial }{\partial z}\left(\rho \cdot f\left(\rho\right)\right)\right)</math>

:::<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \frac{(p_2 - p_1)}{4\mu} \rho \left( \rho^2 - 9 \right) \right] = 0.</math> (para cualquier valor de <math>\rho</math>).

==Campo de velocidades y campo de presiones==

Vamos a dar como dato: p1=1, p2=6 y μ=1

=== Campo de velocidades===
Anteriormente hemos obtenido la función de velocidad.
Vamos a sustituir los valores dados:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta,z)=(\frac{P2-P1}{4\mu} (\rho^2-9))\vec{e_z}</math></center>

Como podemos observar, a medida que nos acercamos al borde de la tubería, entra menos velocidad mientras que en el centro, hay un mayor flujo de concentración de velocidades.

{{matlab|codigo=% Crear la malla 2D
[X, Z] = meshgrid(x, z);

% Calcular el campo de velocidades
p1 = 1; % Presión inicial
p2 = 6; % Presión final
mu = 1; % Viscosidad dinámica

ux = ((p2 - p1) / (4 * mu)) .* (X.^2 - 9); % Componente en ρ (x)
uz = 0 .* Z; % Componente en z (constante)

% Corregir los valores de ux donde X^2 > 9 para evitar valores inválidos
ux(X.^2 > 9) = 0;

% Representación del campo de velocidades
figure;
hold on;
quiver(X, Z, ux, uz, 'b'); % Campo de velocidades con flechas
axis([0, 4, 0, 10]); % Ajustar los límites del gráfico
xlabel('\rho'); % Etiqueta del eje ρ
ylabel('z'); % Etiqueta del eje z
title('Campo de velocidades');
grid on;
hold off;
view(2);}}

===Campo de presiones===

La expresión del campo de presiones viene dada como:
<center><math>p(x,y,z)=p_1+\frac{(p_2-p_1)}{4}(z-1)</math></center>

Como podemos comprobar, la presión no aumenta con el radio, sino con el parámetro "z".
{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
p1 = 2; % Presión inicial
p2 = 6; % Presión final

% Intervalo de altura 'z'
z = 0:0.1:5; % Altura en el eje z

% Cálculo del campo de presiones
f = p1 + ((p2 - p1) / 4) .* (z - 1); % Campo de presiones

% Graficar el campo de presiones
figure;
plot(z, f, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Gráfica con línea roja
grid on; % Activar cuadrícula
xlabel('Altura (z)'); % Etiqueta del eje z
ylabel('Presión (p)'); % Etiqueta del eje p
title('Campo de Presiones'); % Título de la gráfica
xlim([0, 5]); % Limitar el eje z para claridad}}

== Líneas de corriente ==

Para dibujar las líneas de corriente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>, debemos tener en cuenta que estas son tangenes a <math>\overrightarrow{u}</math> en cada apunto.

Procedemos a calcular <math>\overrightarrow{v}</math> que es ortogonal a <math>\overrightarrow{u}</math> ya que se comprueba que:
<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\times \overrightarrow{u}</math>.

Como hemos hallado anteriormente, la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> es nula. Consequentemente, el rotacional del campo <math>\overrightarrow{v}</math> es nulo también.

La función de corriente o potencial escalar viene definido como: <math>\psi </math>,(<math>\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}</math>)

<center><math>\overrightarrow{v}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} & \overrightarrow{e_{\theta }}&\overrightarrow{e_{z}} \\
0&1 &0 \\
0&0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }}

\overrightarrow{v}=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )\cdot\overrightarrow{e_{\rho }}

Sustituyendo <math>f\left ( \rho \right )</math>:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )\cdot\overrightarrow{e_{\rho }}</math>.</center>

<center><math>\bigtriangledown \psi=\frac{d\psi }{d\rho }\overrightarrow{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{d\psi }{d\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{d\psi }{dz}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{v}</math>.</center>

Obtenemos la relación:<center><math>\psi=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )</math>.</center>

Integrando el gradiente del potencial escalar: <center><math>\psi=\frac{d\psi }{d\rho }=\psi=\frac{p2-p1}{12\mu }\rho ^{3} +9\frac{p1-p2}{4\mu }\rho </math>.</center>

El resultado de la función potencial quedará: <center><math>\psi=\frac{5}{12 }\rho ^{3} +\frac{-45}{4}\rho </math>.</center>

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = linspace(0, 5, 100); % Valores de rho (radio)
theta = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de theta (ángulo)
[R, T] = meshgrid(rho, theta); % Crear la malla en coordenadas polares
% Función de corriente
psi = (5/12)*R.^3 - (45/4)*R;
% Conversión a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(T);
Y = R .* sin(T);
% Gráfico de líneas de corriente
contour(X, Y, psi, 20, 'LineWidth', 1.5); % Dibujar las líneas de nivel (líneas de corriente)
colorbar; % Barra de color para las líneas de corriente
title('Líneas de corriente');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal; % Mantener proporción
grid on;}}

== velocidad máxima del fluido y su gráfica de comportamiento .==
Para encontrar los puntos donde la velocidad del fluido es maxima, derivamos respecto de ρ:
<center>''<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= \left(\frac{5}{4}\rho^{2}-{9}\right)\vec{e_{z}}</math> </center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=\left(\frac{5}{4}\rho\right)\vec{e_{z}} </math> </center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 </math></center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 </math></center>

Si <math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial ρ}=0 </math> entonces ρ=0, que corresponde al eje del tubo.Es decir, la velocidad maxima en el eje del tubo.

La siguiente gráfica es la comportamiento de la velocidad,la cual nos muestra el comportamiento en ρ=0, en la que se obseva que cuanto mas nos acerquemos alos bordes de la tuberia la velocidad disminuye, entonces deducimos que la velocidad máxima es en el eje
[[Archivo:Movelocidad.jpg|280px|miniaturadeimagen|right|''Comportamiento módulo de máxima velocidad'']]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
f=((5/4)*(x.^2))-9;
plot(x,f);
title('Comportamiento del módulo del campo de velocidades');
xlabel('Radio de la sección');
ylabel('Variación de la velocidad');
axis([0,2,0,5])
}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial nos enseña la tendencia que tiene este campo vectorial a girar en torno a un punto.
Para llevar a cabo el rotacional del campo <math>\overrightarrow{u}</math> utilizaremos la fórmula:
<center> <big> <math>\nabla\times\vec u=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e_\rho} & \rho\vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}</math></big></center>

Con el campo vectorial que sacamos del apartado 3 el rotacional nos quedaría:
<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left(\rho,\theta,z\right)=
\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\rho \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho}& \frac{d}{d\theta} &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 & \left(\frac{5}{4}\rho^{2}-{9}\right)\vec{e_{z}}
\end{vmatrix}=\left(\frac{-5}{2}\rho\right)\vec{e_{\theta}} </math>

El rotacional nos queda: <math>\triangledown\times\vec{u}\left(\rho,\theta,z\right)=\frac{-5\rho}{2}</math>

Para poder ver la gráfica vamos a utilizar Matlab para visualizarlo gráficamente:<math>|\triangledown\times\vec{u}|\left(\rho,\theta,z\right)=\frac{5\rho}{2}</math>
[[Archivo:Rotacionalcampo3.png|300px|miniaturadeimagen|right|''Rotacional del Campo'']]
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[x,y]=meshgrid(x,y);
rot=abs((5./2).*x);
surf(x,y,rot)
colorbar
view(2)
axis([0,3,0,10])
title('Rotacional del campo');
hold off
}}

En el gráfico los puntos con menor tendencia a rotar se van a encontrar con unos colores fríos (azul) y los puntos con mayor rotación con colores más cálidos (naranja/amarillo). Como se puede observar en el gráfico los colores cálidos se encuentran en las paredes.

==Temperatura del Fluido==

La Temperatura del fluido viene dada por <math> T(ρ,θ,z)=e^{(1+ρ)}2-(z-2)^2. </math>

El campo de temperaturas las curvas de nivel los podemos observar en la siguiente gráfica realizada en Matlab.

En la que observamos gracias a los tonos más cálidos que la temperatura es máxima en el ρ=2 y z=2.

{{matlab|codigo=
rho=0:0.01:2;
z=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(rho,z);
figure (1)
p=(exp(1+X).*2) - (Y-2).^2;
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

{[[Archivo:CampoTemperaturas.png|400px|miniaturadeimagen|izquierda]][[Archivo:curvasniveltrabajocampos.png|400px|miniaturadeimagen|derecha]]}.

==Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura lo calcularíamos mediante la siguiente fórmula:

<center><math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math></center>

Pero ya que nos lo piden gráficamente lo obtenemos mediante Matlab, y observamos que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, gracias al siguiente código.

[[Archivo:gradiene.png|450px|miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.1:2;
z=0:0.1:10;
[X,Y]=meshgrid(rho,z);
figure(1)
T=(exp(1+X).*2) - (Y-2).^2;
[TRHO,TZ]=gradient(T);
hold on
quiver(X,Y,TRHO,TZ)
contour(X,Y,T,'k')
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente de Temperatura y Curvas de nivel')
shading flat
grid on
hold off
}}

==Caudal==

El caudal es la cantidad de un fluido que atraviesa la tubería, rio, canal ,…, en un determinado tiempo. Para ello debemos tener en cuenta el flujo de volumen por unidad de tiempo.

Para poder calcular el caudal que llevara la tubería, se estudia el volumen de fluido que pasa a través de la tubería. La integral de la superficie es la siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{e_{v}}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right) \overrightarrow{e_{z}}</math></center>,

Sustituimos los siguientes valores:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=6 \ {,} \ μ=1</math></center>

<math>Q\left(m/s\right)=\int_{S}^{}\overrightarrow{u}\overrightarrow{n}dS=\int_{S}^{}\left (\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right)\cdot \rho \overrightarrow{e_{z}}\cdot \overrightarrow{e_{z}}
dS=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{3}\left (\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right)\cdot \rho d_{\rho }d_{\theta }=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{3} (\rho^{2}-9 ) \cdot \rho =(-81/2)\cdot \prod_{}^{} =-127,23\left ( m/s \right )</math>.

El caudal nos a salido negativo, lo cual significa que interpolando el caudal va en sentido contrario, esto depende de nuestra normal y de nuestro signo de la resultante.

Según los datos del problema, p1=2 en z=1 y p2=6 en z=5, esto significa que la presión es mayor en z=5 y menor en z=1. El fluido siempre se mueve de mayor presión a menor presión. En este caso, el flujo se dirige desde z=5 hacia z=1 es decir, en el sentido contrario al eje z.
Por lo tanto, la componente de velocidad será negativa por lo cual va en sentido contrario .

Flujo de Poiseuille Grupo 30

2024-12-04T16:49:50Z

Guillermo rodriguez: /* Caudal */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 30-O | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Ivan Ortega Perez Natalia Esteban Tezanos Ana España Franco Abdallah Attar Altarazi Guillermo Rodriguez Navadijos }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==
La ley de Poiseuille, también conocida como ley de Hagen-Poiseuille, describe el flujo laminar estacionario de un líquido incompresible. En este caso, analizaremos el flujo de un líquido incompresible a través de una tubería cilíndrica con un radio de 3, lo que implica una sección transversal circular constante. Este flujo depende del gradiente de presión y del radio de la tubería.

Para desarrollar este análisis, hemos utilizado el software Matlab, que nos ha permitido representar gráficamente los resultados, como secciones transversales y gradientes, de manera visual. Esto facilita al lector una mejor comprensión de la Ley de Poiseuille, ayudándole a interpretar y entender sus implicaciones de forma clara y didáctica.

== Dibujar un mallado 2D de la sección longitudinal ==

Se trata de graficar la sección longitudinal de la tubería en coordenadas <math> x_{1} = 0 </math>, <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,4 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2; %Creamos Vectores
y=0:0.2:10;
[XX,YY]=meshgrid(x,y); %Creamos Malla
mesh(XX,YY,0*XX); %Representamos la sección
axis([0,4,0,10]); %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Malla de la Sección Longitudinal');
}}

== Resolver la ecuación diferencial para f(ρ) ==

===Ecuación de Navier-Stokes===

La velocidad de las partículas de nuestro fluido viene dada por el campo <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math>, y la presión por <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)/4 </math>, donde <math> p_{1} </math> es la presión en los puntos <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en los puntos <math> z=5 </math>.

Ambas magnitudes, <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math>, cumplen la ecuación estacionaria de Navier-Stokes, independiente del tiempo, donde <math> \mu </math> es el coeficiente de viscosidad de fluido: <center> <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math></center> Comprobamos que <math>f\left ( \rho \right ) </math> satisface la siguiente ecuación diferencial, despreciendo la parte convectiva, que corresponde con el primer término. <center> <math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}. </math></center> Resolvemos multiplicando por <math> \rho </math> e integrando 2 veces:
:1) Multiplicamos por <math> \rho </math>

:<math> \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \rho\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} </math>

:2) Integramos

:<math> \int \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right ) d\rho = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu}\int\rho d\rho </math>

::<math> \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho^{2}}{2} </math>

:::<math>\frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } =\frac{p_{2}-p_{1}}{2\mu}\cdot \rho</math>

:3)Integramos por segunda vez

:<math> \int \left ( \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right ) d\rho = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{2\mu}\int\rho d\rho </math>
::<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{2\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{2} + c \right ) </math>
Para darle valor a la constante, usamos el dato de que en <math> \rho = 3 </math> la velocidad es cero, por tanto, como la velocidad es <math> f\left ( \rho \right )\vec{e_{z}}, </math> entonces <math> f\left ( 3 \right ) </math> debe ser cero.
La <math> f\left ( \rho \right ) </math> nos queda: <math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right ) </math>

===Verificación de la condición de incompresibilidad===
Dado que el agua es un líquido incompresible, su volumen debe permanecer constante, lo que implica que su densidad no varía. Para garantizar esta propiedad, se verifica que la divergencia del campo de velocidades sea cero. Esto se debe a que, en un fluido, la divergencia del campo de velocidades en un punto refleja la variación de la densidad del fluido en ese punto. <center><math> \triangledown \cdot \vec{u}=0 </math> </center> <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math>

:<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho} \left ( \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \cdot u_{\rho } \right )+\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( u_{\theta } \right ) + \frac{\partial }{\partial z}\left (\rho \cdot u_{z}\right)\right) </math>

::<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho}\left ( \frac{\partial }{\partial z}\left(\rho \cdot f\left(\rho\right)\right)\right)</math>

:::<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \frac{(p_2 - p_1)}{4\mu} \rho \left( \rho^2 - 9 \right) \right] = 0.</math> (para cualquier valor de <math>\rho</math>).

==Campo de velocidades y campo de presiones==

Vamos a dar como dato: p1=1, p2=6 y μ=1

=== Campo de velocidades===
Anteriormente hemos obtenido la función de velocidad.
Vamos a sustituir los valores dados:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta,z)=(\frac{P2-P1}{4\mu} (\rho^2-9))\vec{e_z}</math></center>

Como podemos observar, a medida que nos acercamos al borde de la tubería, entra menos velocidad mientras que en el centro, hay un mayor flujo de concentración de velocidades.

{{matlab|codigo=% Crear la malla 2D
[X, Z] = meshgrid(x, z);

% Calcular el campo de velocidades
p1 = 1; % Presión inicial
p2 = 6; % Presión final
mu = 1; % Viscosidad dinámica

ux = ((p2 - p1) / (4 * mu)) .* (X.^2 - 9); % Componente en ρ (x)
uz = 0 .* Z; % Componente en z (constante)

% Corregir los valores de ux donde X^2 > 9 para evitar valores inválidos
ux(X.^2 > 9) = 0;

% Representación del campo de velocidades
figure;
hold on;
quiver(X, Z, ux, uz, 'b'); % Campo de velocidades con flechas
axis([0, 4, 0, 10]); % Ajustar los límites del gráfico
xlabel('\rho'); % Etiqueta del eje ρ
ylabel('z'); % Etiqueta del eje z
title('Campo de velocidades');
grid on;
hold off;
view(2);}}

===Campo de presiones===

La expresión del campo de presiones viene dada como:
<center><math>p(x,y,z)=p_1+\frac{(p_2-p_1)}{4}(z-1)</math></center>

Como podemos comprobar, la presión no aumenta con el radio, sino con el parámetro "z".
{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
p1 = 2; % Presión inicial
p2 = 6; % Presión final

% Intervalo de altura 'z'
z = 0:0.1:5; % Altura en el eje z

% Cálculo del campo de presiones
f = p1 + ((p2 - p1) / 4) .* (z - 1); % Campo de presiones

% Graficar el campo de presiones
figure;
plot(z, f, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Gráfica con línea roja
grid on; % Activar cuadrícula
xlabel('Altura (z)'); % Etiqueta del eje z
ylabel('Presión (p)'); % Etiqueta del eje p
title('Campo de Presiones'); % Título de la gráfica
xlim([0, 5]); % Limitar el eje z para claridad}}

== Líneas de corriente ==

Para dibujar las líneas de corriente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>, debemos tener en cuenta que estas son tangenes a <math>\overrightarrow{u}</math> en cada apunto.

Procedemos a calcular <math>\overrightarrow{v}</math> que es ortogonal a <math>\overrightarrow{u}</math> ya que se comprueba que:
<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\times \overrightarrow{u}</math>.

Como hemos hallado anteriormente, la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> es nula. Consequentemente, el rotacional del campo <math>\overrightarrow{v}</math> es nulo también.

La función de corriente o potencial escalar viene definido como: <math>\psi </math>,(<math>\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}</math>)

<center><math>\overrightarrow{v}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} & \overrightarrow{e_{\theta }}&\overrightarrow{e_{z}} \\
0&1 &0 \\
0&0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }}

\overrightarrow{v}=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )\cdot\overrightarrow{e_{\rho }}

Sustituyendo <math>f\left ( \rho \right )</math>:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )\cdot\overrightarrow{e_{\rho }}</math>.</center>

<center><math>\bigtriangledown \psi=\frac{d\psi }{d\rho }\overrightarrow{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{d\psi }{d\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{d\psi }{dz}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{v}</math>.</center>

Obtenemos la relación:<center><math>\psi=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )</math>.</center>

Integrando el gradiente del potencial escalar: <center><math>\psi=\frac{d\psi }{d\rho }=\psi=\frac{p2-p1}{12\mu }\rho ^{3} +9\frac{p1-p2}{4\mu }\rho </math>.</center>

El resultado de la función potencial quedará: <center><math>\psi=\frac{5}{12 }\rho ^{3} +\frac{-45}{4}\rho </math>.</center>

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = linspace(0, 5, 100); % Valores de rho (radio)
theta = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de theta (ángulo)
[R, T] = meshgrid(rho, theta); % Crear la malla en coordenadas polares
% Función de corriente
psi = (5/12)*R.^3 - (45/4)*R;
% Conversión a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(T);
Y = R .* sin(T);
% Gráfico de líneas de corriente
contour(X, Y, psi, 20, 'LineWidth', 1.5); % Dibujar las líneas de nivel (líneas de corriente)
colorbar; % Barra de color para las líneas de corriente
title('Líneas de corriente');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal; % Mantener proporción
grid on;}}

== velocidad máxima del fluido y su gráfica de comportamiento .==
Para encontrar los puntos donde la velocidad del fluido es maxima, derivamos respecto de ρ:
<center>''<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= \left(\frac{5}{4}\rho^{2}-{9}\right)\vec{e_{z}}</math> </center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=\left(\frac{5}{4}\rho\right)\vec{e_{z}} </math> </center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 </math></center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 </math></center>

Si <math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial ρ}=0 </math> entonces ρ=0, que corresponde al eje del tubo.Es decir, la velocidad maxima en el eje del tubo.

La siguiente gráfica es la comportamiento de la velocidad,la cual nos muestra el comportamiento en ρ=0, en la que se obseva que cuanto mas nos acerquemos alos bordes de la tuberia la velocidad disminuye, entonces deducimos que la velocidad máxima es en el eje
[[Archivo:Movelocidad.jpg|280px|miniaturadeimagen|right|''Comportamiento módulo de máxima velocidad'']]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
f=((5/4)*(x.^2))-9;
plot(x,f);
title('Comportamiento del módulo del campo de velocidades');
xlabel('Radio de la sección');
ylabel('Variación de la velocidad');
axis([0,2,0,5])
}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial nos enseña la tendencia que tiene este campo vectorial a girar en torno a un punto.
Para llevar a cabo el rotacional del campo <math>\overrightarrow{u}</math> utilizaremos la fórmula:
<center> <big> <math>\nabla\times\vec u=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e_\rho} & \rho\vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}</math></big></center>

Con el campo vectorial que sacamos del apartado 3 el rotacional nos quedaría:
<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left(\rho,\theta,z\right)=
\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\rho \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho}& \frac{d}{d\theta} &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 & \left(\frac{5}{4}\rho^{2}-{9}\right)\vec{e_{z}}
\end{vmatrix}=\left(\frac{-5}{2}\rho\right)\vec{e_{\theta}} </math>

El rotacional nos queda: <math>\triangledown\times\vec{u}\left(\rho,\theta,z\right)=\frac{-5\rho}{2}</math>

Para poder ver la gráfica vamos a utilizar Matlab para visualizarlo gráficamente:<math>|\triangledown\times\vec{u}|\left(\rho,\theta,z\right)=\frac{5\rho}{2}</math>
[[Archivo:Rotacionalcampo3.png|300px|miniaturadeimagen|right|''Rotacional del Campo'']]
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[x,y]=meshgrid(x,y);
rot=abs((5./2).*x);
surf(x,y,rot)
colorbar
view(2)
axis([0,3,0,10])
title('Rotacional del campo');
hold off
}}

En el gráfico los puntos con menor tendencia a rotar se van a encontrar con unos colores fríos (azul) y los puntos con mayor rotación con colores más cálidos (naranja/amarillo). Como se puede observar en el gráfico los colores cálidos se encuentran en las paredes.

==Temperatura del Fluido==

La Temperatura del fluido viene dada por <math> T(ρ,θ,z)=e^{(1+ρ)}2-(z-2)^2. </math>

El campo de temperaturas las curvas de nivel los podemos observar en la siguiente gráfica realizada en Matlab.

En la que observamos gracias a los tonos más cálidos que la temperatura es máxima en el ρ=2 y z=2.

{{matlab|codigo=
rho=0:0.01:2;
z=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(rho,z);
figure (1)
p=(exp(1+X).*2) - (Y-2).^2;
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

{[[Archivo:CampoTemperaturas.png|400px|miniaturadeimagen|izquierda]][[Archivo:curvasniveltrabajocampos.png|400px|miniaturadeimagen|derecha]]}.

==Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura lo calcularíamos mediante la siguiente fórmula:

<center><math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math></center>

Pero ya que nos lo piden gráficamente lo obtenemos mediante Matlab, y observamos que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, gracias al siguiente código.

[[Archivo:gradiene.png|450px|miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.1:2;
z=0:0.1:10;
[X,Y]=meshgrid(rho,z);
figure(1)
T=(exp(1+X).*2) - (Y-2).^2;
[TRHO,TZ]=gradient(T);
hold on
quiver(X,Y,TRHO,TZ)
contour(X,Y,T,'k')
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente de Temperatura y Curvas de nivel')
shading flat
grid on
hold off
}}

==Caudal==

El caudal es la cantidad de un fluido que atraviesa la tubería, rio, canal ,…, en un determinado tiempo. Para ello debemos tener en cuenta el flujo de volumen por unidad de tiempo.

Para poder calcular el caudal que llevara la tubería, se estudia el volumen de fluido que pasa a través de la tubería. La integral de la superficie es la siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{e_{v}}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right) \overrightarrow{e_{z}}</math></center>,

Sustituimos los siguientes valores:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=6 \ {,} \ μ=1</math></center>

<math>Q\left(m/s\right)=\int_{S}^{}\overrightarrow{u}\overrightarrow{n}dS=\int_{S}^{}\left (\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right)\cdot \rho \overrightarrow{e_{z}}\cdot \overrightarrow{e_{z}}
dS=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{3}\left (\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right)\cdot \rho d_{\rho }d_{\theta }=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{3} (\rho^{2}-9 ) \cdot \rho =(-81/2)\cdot \prod_{}^{} =-127,23\left ( m/s \right )</math>.

El caudal nos a salido negativo, lo cual significa que interpolando el caudal va en sentido contrario, esto depende de nuestra normal y de nuestro signo de la resultante.
Según los datos del problema, p1=2 en z=1 y p2=6 en z=5, esto significa que la presión es mayor en z=5 y menor en z=1. El fluido siempre se mueve de mayor presión a menor presión. En este caso, el flujo se dirige desde z=5 hacia z=1 es decir, en el sentido contrario al eje z.
Por lo tanto, la componente de velocidad será negativa por lo cual va en sentido contrario .

Flujo de Poiseuille Grupo 30

2024-12-04T16:27:10Z

Guillermo rodriguez: /* Caudal */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 30-O | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Ivan Ortega Perez Natalia Esteban Tezanos Ana España Franco Abdallah Attar Altarazi Guillermo Rodriguez Navadijos }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==
La ley de Poiseuille, también conocida como ley de Hagen-Poiseuille, describe el flujo laminar estacionario de un líquido incompresible. En este caso, analizaremos el flujo de un líquido incompresible a través de una tubería cilíndrica con un radio de 3, lo que implica una sección transversal circular constante. Este flujo depende del gradiente de presión y del radio de la tubería.

Para desarrollar este análisis, hemos utilizado el software Matlab, que nos ha permitido representar gráficamente los resultados, como secciones transversales y gradientes, de manera visual. Esto facilita al lector una mejor comprensión de la Ley de Poiseuille, ayudándole a interpretar y entender sus implicaciones de forma clara y didáctica.

== Dibujar un mallado 2D de la sección longitudinal ==

Se trata de graficar la sección longitudinal de la tubería en coordenadas <math> x_{1} = 0 </math>, <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,4 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2; %Creamos Vectores
y=0:0.2:10;
[XX,YY]=meshgrid(x,y); %Creamos Malla
mesh(XX,YY,0*XX); %Representamos la sección
axis([0,4,0,10]); %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Malla de la Sección Longitudinal');
}}

== Resolver la ecuación diferencial para f(ρ) ==

===Ecuación de Navier-Stokes===

La velocidad de las partículas de nuestro fluido viene dada por el campo <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math>, y la presión por <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)/4 </math>, donde <math> p_{1} </math> es la presión en los puntos <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en los puntos <math> z=5 </math>.

Ambas magnitudes, <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math>, cumplen la ecuación estacionaria de Navier-Stokes, independiente del tiempo, donde <math> \mu </math> es el coeficiente de viscosidad de fluido: <center> <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math></center> Comprobamos que <math>f\left ( \rho \right ) </math> satisface la siguiente ecuación diferencial, despreciendo la parte convectiva, que corresponde con el primer término. <center> <math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}. </math></center> Resolvemos multiplicando por <math> \rho </math> e integrando 2 veces:
:1) Multiplicamos por <math> \rho </math>

:<math> \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \rho\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} </math>

:2) Integramos

:<math> \int \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right ) d\rho = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu}\int\rho d\rho </math>

::<math> \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho^{2}}{2} </math>

:::<math>\frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } =\frac{p_{2}-p_{1}}{2\mu}\cdot \rho</math>

:3)Integramos por segunda vez

:<math> \int \left ( \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right ) d\rho = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{2\mu}\int\rho d\rho </math>
::<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{2\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{2} + c \right ) </math>
Para darle valor a la constante, usamos el dato de que en <math> \rho = 3 </math> la velocidad es cero, por tanto, como la velocidad es <math> f\left ( \rho \right )\vec{e_{z}}, </math> entonces <math> f\left ( 3 \right ) </math> debe ser cero.
La <math> f\left ( \rho \right ) </math> nos queda: <math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right ) </math>

===Verificación de la condición de incompresibilidad===
Dado que el agua es un líquido incompresible, su volumen debe permanecer constante, lo que implica que su densidad no varía. Para garantizar esta propiedad, se verifica que la divergencia del campo de velocidades sea cero. Esto se debe a que, en un fluido, la divergencia del campo de velocidades en un punto refleja la variación de la densidad del fluido en ese punto. <center><math> \triangledown \cdot \vec{u}=0 </math> </center> <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math>

:<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho} \left ( \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \cdot u_{\rho } \right )+\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( u_{\theta } \right ) + \frac{\partial }{\partial z}\left (\rho \cdot u_{z}\right)\right) </math>

::<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho}\left ( \frac{\partial }{\partial z}\left(\rho \cdot f\left(\rho\right)\right)\right)</math>

:::<math>\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \frac{(p_2 - p_1)}{4\mu} \rho \left( \rho^2 - 9 \right) \right] = 0.</math> (para cualquier valor de <math>\rho</math>).

==Campo de velocidades y campo de presiones==

Vamos a dar como dato: p1=1, p2=6 y μ=1

=== Campo de velocidades===
Anteriormente hemos obtenido la función de velocidad.
Vamos a sustituir los valores dados:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta,z)=(\frac{P2-P1}{4\mu} (\rho^2-9))\vec{e_z}</math></center>

Como podemos observar, a medida que nos acercamos al borde de la tubería, entra menos velocidad mientras que en el centro, hay un mayor flujo de concentración de velocidades.

{{matlab|codigo=% Crear la malla 2D
[X, Z] = meshgrid(x, z);

% Calcular el campo de velocidades
p1 = 1; % Presión inicial
p2 = 6; % Presión final
mu = 1; % Viscosidad dinámica

ux = ((p2 - p1) / (4 * mu)) .* (X.^2 - 9); % Componente en ρ (x)
uz = 0 .* Z; % Componente en z (constante)

% Corregir los valores de ux donde X^2 > 9 para evitar valores inválidos
ux(X.^2 > 9) = 0;

% Representación del campo de velocidades
figure;
hold on;
quiver(X, Z, ux, uz, 'b'); % Campo de velocidades con flechas
axis([0, 4, 0, 10]); % Ajustar los límites del gráfico
xlabel('\rho'); % Etiqueta del eje ρ
ylabel('z'); % Etiqueta del eje z
title('Campo de velocidades');
grid on;
hold off;
view(2);}}

===Campo de presiones===

La expresión del campo de presiones viene dada como:
<center><math>p(x,y,z)=p_1+\frac{(p_2-p_1)}{4}(z-1)</math></center>

Como podemos comprobar, la presión no aumenta con el radio, sino con el parámetro "z".
{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
p1 = 2; % Presión inicial
p2 = 6; % Presión final

% Intervalo de altura 'z'
z = 0:0.1:5; % Altura en el eje z

% Cálculo del campo de presiones
f = p1 + ((p2 - p1) / 4) .* (z - 1); % Campo de presiones

% Graficar el campo de presiones
figure;
plot(z, f, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Gráfica con línea roja
grid on; % Activar cuadrícula
xlabel('Altura (z)'); % Etiqueta del eje z
ylabel('Presión (p)'); % Etiqueta del eje p
title('Campo de Presiones'); % Título de la gráfica
xlim([0, 5]); % Limitar el eje z para claridad}}

== Líneas de corriente ==

Para dibujar las líneas de corriente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>, debemos tener en cuenta que estas son tangenes a <math>\overrightarrow{u}</math> en cada apunto.

Procedemos a calcular <math>\overrightarrow{v}</math> que es ortogonal a <math>\overrightarrow{u}</math> ya que se comprueba que:
<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\times \overrightarrow{u}</math>.

Como hemos hallado anteriormente, la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> es nula. Consequentemente, el rotacional del campo <math>\overrightarrow{v}</math> es nulo también.

La función de corriente o potencial escalar viene definido como: <math>\psi </math>,(<math>\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}</math>)

<center><math>\overrightarrow{v}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} & \overrightarrow{e_{\theta }}&\overrightarrow{e_{z}} \\
0&1 &0 \\
0&0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }}

\overrightarrow{v}=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )\cdot\overrightarrow{e_{\rho }}

Sustituyendo <math>f\left ( \rho \right )</math>:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )\cdot\overrightarrow{e_{\rho }}</math>.</center>

<center><math>\bigtriangledown \psi=\frac{d\psi }{d\rho }\overrightarrow{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{d\psi }{d\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{d\psi }{dz}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{v}</math>.</center>

Obtenemos la relación:<center><math>\psi=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right )</math>.</center>

Integrando el gradiente del potencial escalar: <center><math>\psi=\frac{d\psi }{d\rho }=\psi=\frac{p2-p1}{12\mu }\rho ^{3} +9\frac{p1-p2}{4\mu }\rho </math>.</center>

El resultado de la función potencial quedará: <center><math>\psi=\frac{5}{12 }\rho ^{3} +\frac{-45}{4}\rho </math>.</center>

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = linspace(0, 5, 100); % Valores de rho (radio)
theta = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de theta (ángulo)
[R, T] = meshgrid(rho, theta); % Crear la malla en coordenadas polares
% Función de corriente
psi = (5/12)*R.^3 - (45/4)*R;
% Conversión a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(T);
Y = R .* sin(T);
% Gráfico de líneas de corriente
contour(X, Y, psi, 20, 'LineWidth', 1.5); % Dibujar las líneas de nivel (líneas de corriente)
colorbar; % Barra de color para las líneas de corriente
title('Líneas de corriente');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal; % Mantener proporción
grid on;}}

== velocidad máxima del fluido y su gráfica de comportamiento .==
Para encontrar los puntos donde la velocidad del fluido es maxima, derivamos respecto de ρ:
<center>''<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= \left(\frac{5}{4}\rho^{2}-{9}\right)\vec{e_{z}}</math> </center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=\left(\frac{5}{4}\rho\right)\vec{e_{z}} </math> </center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 </math></center>

<center><math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 </math></center>

Si <math> \frac{\partial \vec{u} }{\partial ρ}=0 </math> entonces ρ=0, que corresponde al eje del tubo.Es decir, la velocidad maxima en el eje del tubo.

La siguiente gráfica es la comportamiento de la velocidad,la cual nos muestra el comportamiento en ρ=0, en la que se obseva que cuanto mas nos acerquemos alos bordes de la tuberia la velocidad disminuye, entonces deducimos que la velocidad máxima es en el eje
[[Archivo:Modvelocidad.jpg|300px|miniaturadeimagen|right|''Comportamiento módulo de máxima velocidad'']]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.1:2;
f=((5/4)*(rho.^2))-9;
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo del campo de velocidades');
xlabel('Radio de la sección');
ylabel('Variación de la velocidad');
axis([0,2,0,3.5])
}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial nos enseña la tendencia que tiene este campo vectorial a girar en torno a un punto.
Para llevar a cabo el rotacional del campo <math>\overrightarrow{u}</math> utilizaremos la fórmula:
<center> <big> <math>\nabla\times\vec u=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e_\rho} & \rho\vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}</math></big></center>

Con el campo vectorial que sacamos del apartado 3 el rotacional nos quedaría:
<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left(\rho,\theta,z\right)=
\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\rho \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho}& \frac{d}{d\theta} &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 & \left(\frac{5}{4}\rho^{2}-{9}\right)\vec{e_{z}}
\end{vmatrix}=\left(\frac{-5}{2}\rho\right)\vec{e_{\theta}} </math>

El rotacional nos queda: <math>\triangledown\times\vec{u}\left(\rho,\theta,z\right)=\frac{-5\rho}{2}</math>

Para poder ver la gráfica vamos a utilizar Matlab para visualizarlo gráficamente:
[[Archivo:Rotacionalcampo3.png|300px|miniaturadeimagen|right|''Rotacional del Campo'']]
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[x,y]=meshgrid(x,y);
rot=abs((5./2).*x);
surf(x,y,rot)
colorbar
view(2)
axis([0,3,0,10])
title('Rotacional del campo');
hold off
}}

En el gráfico los puntos con menor tendencia a rotar se van a encontrar con unos colores fríos (azul) y los puntos con mayor rotación con colores más cálidos (naranja/amarillo). Como se puede observar en el gráfico los colores cálidos se encuentran en las paredes.

==Temperatura del Fluido==

La Temperatura del fluido viene dada por <math> T(ρ,θ,z)=e^{(1+ρ)}2-(z-2)^2. </math>

El campo de temperaturas las curvas de nivel los podemos observar en la siguiente gráfica realizada en Matlab.

En la que observamos gracias a los tonos más cálidos que la temperatura es máxima en el ρ=2 y z=2.

{{matlab|codigo=
rho=0:0.01:2;
z=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(rho,z);
figure (1)
p=(exp(1+X).*2) - (Y-2).^2;
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

{[[Archivo:CampoTemperaturas.png|400px|miniaturadeimagen|izquierda]][[Archivo:curvasniveltrabajocampos.png|400px|miniaturadeimagen|derecha]]}.

==Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura lo calcularíamos mediante la siguiente fórmula:

<center><math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math></center>

Pero ya que nos lo piden gráficamente lo obtenemos mediante Matlab, y observamos que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, gracias al siguiente código.

[[Archivo:gradiene.png|450px|miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.1:2;
z=0:0.1:10;
[X,Y]=meshgrid(rho,z);
figure(1)
T=(exp(1+X).*2) - (Y-2).^2;
[TRHO,TZ]=gradient(T);
hold on
quiver(X,Y,TRHO,TZ)
contour(X,Y,T,'k')
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente de Temperatura y Curvas de nivel')
shading flat
grid on
hold off
}}

==Caudal==

El caudal es la cantidad de un fluido que atraviesa la tubería, rio, canal ,…, en un determinado tiempo. Para ello debemos tener en cuenta el flujo de volumen por unidad de tiempo.

Para poder calcular el caudal que llevara la tubería, se estudia el volumen de fluido que pasa a través de la tubería. La integral de la superficie es la siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{e_{v}}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta,z)=\left(\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right) \overrightarrow{e_{z}}</math></center>,

Sustituimos los siguientes valores:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=6 \ {,} \ μ=1</math></center>

<math>Q\left(m/s\right)=\int_{S}^{}\overrightarrow{u}\overrightarrow{n}dS=\int_{S}^{}\left (\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right)\cdot \rho \overrightarrow{e_{z}}\cdot \overrightarrow{e_{z}}
dS=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{3}\left (\frac{p2-p1}{4\mu}\right) \left(\frac{\rho^2}{1} -9\right)\cdot \rho d_{\rho }d_{\theta }=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{3} (\rho^{2}-9 ) \cdot \rho =(-81/2)\cdot \prod_{}^{} =-127,23\left ( m/s \right )</math>.

El caudal nos a salido negativo, lo cual significa que interpolando el caudal va en sentido contrario, esto depende de nuestra normal y de nuestro signo de la resultante con lo que llegamos a la conclusión de que va en sentido contrario.