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Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:51:02Z

Guillermo: /* REACCIÓN 1 */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN Nº1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]

====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:49:25Z

Guillermo: /* Método del Trapecio */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]

====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:48:44Z

Guillermo: /* Método del Trapecio */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]

====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+
sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:47:05Z

Guillermo:

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]

====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:44:58Z

Guillermo: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg||derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|sinmarco|derecha|Método del Trapecio]]

====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg||derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg||derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg||derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg||derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg||derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg||derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
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% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:42:41Z

Guillermo: /* Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg||derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg||derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg||derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg||derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg||derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg||derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg||derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg||derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:41:10Z

Guillermo: /* Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4 */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg||derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg||derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg||derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg||derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg||derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:40:45Z

Guillermo: /* Resolución numérica del PVI */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg||derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg||derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg||derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:40:26Z

Guillermo: /* Método del Trapecio */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg||derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg||derecha|Método de RK4]]

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:39:59Z

Guillermo:

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg||derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
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% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:36:18Z

Guillermo: /* Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Grafica apartado 6.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.01]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:34:17Z

Guillermo: /* Método de Heun */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:graficapartado6.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

[[Archivo:graficapartado7.jpg|marco|derecha|Método de Heun]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:33:35Z

Guillermo: /* Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:graficapartado6.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler con h=0.001]]
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:32:35Z

Guillermo: /* Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:graficapartado6.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
[[Archivo:graficapartado6b.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:31:53Z

Guillermo: /* Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:graficapartado6.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
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legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
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K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
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% grafico
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plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
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hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:30:27Z

Guillermo: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

[[Archivo:Graficapartado6.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:29:28Z

Guillermo: /* Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4 */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado4b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:28:29Z

Guillermo: /* Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4 */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:28:03Z

Guillermo: /* Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4 */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===
[[Archivo:Graficapartado4|marco|derecha|Método de Euler]]
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:26:49Z

Guillermo: /* Método de Runge-Kutta */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

[[Archivo:Graficapartado3b.jpg|marco|derecha|Método de RK4]]
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===

{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:25:40Z

Guillermo:

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado3.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===

{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:24:22Z

Guillermo: /* Método del Trapecio */

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
[[Archivo:Graficapartado2b.jpg|marco|derecha|Método del Trapecio]]
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}

====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===

{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:23:21Z

Guillermo:

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|marco|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===

{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:21:20Z

Guillermo:

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===
[[Archivo:Graficapartado2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler]]
====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===

{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Archivo:Graficapartado7.jpg

2015-03-06T16:19:59Z

Guillermo:

Archivo:Graficapartado6b.jpg

2015-03-06T16:19:38Z

Guillermo:

Archivo:Grafica apartado 6.jpg

2015-03-06T16:19:13Z

Guillermo:

Archivo:Graficapartado4b.jpg

2015-03-06T16:17:47Z

Guillermo:

Archivo:Graficapartado4.jpg

2015-03-06T16:17:11Z

Guillermo:

Archivo:Graficapartado3b.jpg

2015-03-06T16:15:08Z

Guillermo:

Archivo:Graficapartado3.jpg

2015-03-06T16:14:38Z

Guillermo:

Archivo:Graficapartado2.jpg

2015-03-06T16:13:13Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T16:06:10Z

Guillermo:

{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Daniel Diez Sanz, Jorge Fernández Mendoza, Guillermo Mella Martínez }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
En el presente informe se plantea un estudio de las concentraciones de los productos y

reactivos de una reacción química, basándose en la Ley de Acción de masas y el Principio de

conservación de la materia, basados en que la materia ni se crea ni se destruye, y por tanto se

deberá mantener constante entre los productos y los reactivos, así como que la velocidad de la

reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Para ello se usarán los métodos numéricos de Euler, Trapecio, Runge-Kutta y Heun en el

programa informático Matlab y se mostrarán las soluciones a través de gráficos en una misma

imagen que permitan comparar las evoluciones de las concentraciones de los elementos en el

tiempo.

A continuación se muestra el enunciado del ejercicio a realizar.

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos

que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos

reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción

bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C.

A + B → C.

==REACCIÓN 1==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero

suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este

proceso como una reacción bimolecular.

A + B →k1 2B

En primer lugar se establece x(t) e y(t) como las concentraciones de los reactivos que aparecen

en la ecuación de arriba. Para deducir la ecuación en función de una única variable y(t), se

parte de la ley de conservación de la masa, que establece que la suma de concentraciones es

siempre constante.

x(t)+y(t)=cte=c

Asimismo se conoce la ley de conservación de masas que nos proporciona la velocidad de

reacción k1 para las concentraciones de los reactivos.

y’(t)=k1*x(t)*y)t)

Sustituyendo la variable x(t) de la primera ecuación en la segunda obtenemos la ecuación

diferencial deseada:

y′(t)=k1∗(c−y(t))∗y(t)

Si a la misma, se le añade que y(0)=y0, se dispondría de un PVI en función de las

concentraciones iniciales y la velocidad de reacción que se irán introduciendo en los

sucesivos apartados.

===Resolución numérica del PVI===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Euler
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
====Método del Trapecio====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% Trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
====Método de Runge-Kutta====
{{matlab|codigo=
% dy=k1*(c-y)*y x0=1 y0=0.01 k1=1 h=0.1 [0,10] c=1.01

% Datos del problema
k=1;
c=1.01;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;

% RK4
for i=1:N
K1=k*(c-y(i))*y(i);
K2=k*(c-y(i)+0.5*K1*h)*(y(i)+0.5*K1*h);
K3=k*(c-y(i)+0.5*K2*h)*(y(i)+0.5*K2*h);
K4=k*(c-y(i)+K3*h)*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
x=1.01-y;

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
===Resolver en forma de sistema por medio de Euler y RK4===

{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% Euler

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(k*y(i)*x(i));
x(i+1)=x(i)+(-h)*(k*y(i)*x(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
{{matlab|codigo=
% dy=k*x*y dx=-k*x*y

% Datos del problema
k=1;
t0=0;
tN=10;
y0=0.01;
x0=1;
h=0.1; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos
y=zeros(1,length(t)); % matriz de 1 por N+1
y(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;

% RK4
for i=1:N
K1_y=k*x(i)*y(i);
K1_x=-k*x(i)*y(i);
K2_y=k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K2_x=-k*(x(i)+h/2*K1_x)*(y(i)+h/2*K1_y);
K3_y=k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K3_x=-k*(x(i)+h/2*K2_x)*(y(i)+h/2*K2_y);
K4_y=k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
K4_x=-k*(x(i)+h*K3_x)*(y(i)+h*K3_y);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(i+1)=x(i)+h/6*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end

% resultados
[y',x',t']
% grafico
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Concentracion y','Concentracion x','location','best')
}}
==REACCIÓN Nº2==

===Interpretación del problema y deducción de las ecuaciones diferenciales con valor inicial===

En esta segunda parte del trabajo, se estudia la ecuación consecutiva de Lotka (1920)

A + X →k1 2X

X + Y →k2 2Y

Y →k3 B

Donde A, X, Y, B son sustancias distintas. Observamos que las dos primeras reacciones son

autocatalíticas. La reacción consume A para producir B mientras que X e Y dominan la

velocidad y mezcla en los estados intermedios. Siguiendo la estrategia de los apartados 1 y 2

deducir las siguientes ecuaciones diferenciales para las concentraciones interpretando

adecuadamente los términos:

X’(t) = k1Ax − k2xy,

y’(t)= k2xy − k3y

B’(t) = k3y

A’ + x’ + y’ + B’ = 0

En los sucesivos apartados se proporcionará un valor inicial x(0), y(0), A(0), B(0) que permitirá

resolver de manera completa las ecuaciones propuestas arriba.

===Resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales con valor inicial===

====Método de Euler====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.001; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Euler
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h.*(k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i));
y(i+1)=y(i)+h.*(k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*x(i).*A(i));
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
====Método de Heun====
{{matlab|codigo=
% dx=k1*A*x-k2*x*y dy=k2*x*y-k3*y dB=k3*y dA+dx+dy+dB=0 ==> dA=-k1*A*x

% Datos del problema
t0=0;
tN=200;
A0=5;
x0=5*(10^-4);
y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01; % tamaño de paso
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; % número de intervalos

y=zeros(1,length(t)); % matrices de 1 por N+1
x=zeros(1,length(t));
A=zeros(1,length(t));
B=zeros(1,length(t));
y(1)=y0;
A(1)=A0;
B(1)=B0;
x(1)=x0;

% Heun
for i=1:N
K1_x=k1.*A(i).*x(i)-k2.*x(i).*y(i);
K1_y=k2.*x(i).*y(i)-k3.*y(i);
K1_B=k3.*y(i);
K1_A=-k1.*x(i).*A(i);
K2_x=k1.*(A(i)+K1_A.*h).*(x(i)+K1_x.*h)-k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h);
K2_y=k2.*(x(i)+K1_x.*h).*(y(i)+K1_y.*h)-k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_B=k3.*(y(i)+K1_y.*h);
K2_A=-k1.*(x(i)+K1_x.*h).*(A(i)+K1_A.*h);

x(i+1)=x(i)+0.5*h.*(K1_x+K2_x);
y(i+1)=y(i)+0.5*h.*(K1_y+K2_y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1_B+K2_B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1_A+K2_A);
end

% grafico
hold on
plot(t,x)
plot(t,y,'r')
plot(t,B,'g')
plot(t,A,'c')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:58:11Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:57:31Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:45:01Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:40:56Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:32:46Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:32:13Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:31:30Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:30:19Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:29:15Z

Guillermo: /* Introducción */

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:27:02Z

Guillermo:

Reacciones con Autocatálisis Grupo A17

2015-03-06T15:25:29Z

Guillermo: Página creada con «{{ TrabajoED | Reacciones con Autocatálisis. Grupo A17 | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2014-15 | Daniel D...»

Estudio de emplazamiento de una central termosolar en Región de Murcia

2014-12-02T17:54:55Z

Guillermo:

{{ TrabajoSIG | Estudio de emplazamiento de una central termosolar en Región de Murcia | María del Campo Lozano, Guillermo Mella Martínez, Nibaldo Donoso Alarcón | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}
Mediante este trabajo se ha estudiado el emplazamiento idóneo para una estación termosolar en la región de Murcia con el objetivo de aprovechar el enorme potencial de la zona en este campo.
El procedimiento elegido para decidir la mejor zona para su construcción ha sido la de considerar diversos parámetros e ir gracias a estos eliminando zonas que no nos interesen, acotando así cada vez más las posibilidades.
Mediante cada uno de estos parámetros, se ha realizado un mapa con dos zonas claramente diferenciadas: las zonas aptas para la construcción, y las zonas no aptas.
En primer lugar, y ante la dificultad para encontrar un mapa de radiación media de la zona, se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para obtener los datos que nos interesan en las estaciones de la zona. Con estos datos se ha realizado un mapa de radiación media interpolando entre los valores.
El siguiente parámetro que ha condicionado la localización ha sido la pendiente, mapa del cual se han eliminado las pendientes demasiado pronunciadas.
Se han tenido en cuenta también las zonas protegidas, eliminado directamente de las posibilidades todas las zonas protegidas y sus inmediaciones.
Se han eliminado también los núcleos urbanos y sus inmediaciones con el objetivo de afectar a las poblaciones cercanas lo menos posible.
Por último, y con el objetivo de que la instalación sea lo más accesible posible, y que el coste de las líneas eléctricas sea lo menor posible, se ha estudiado la situación de las líneas eléctricas y de las centrales eléctricas existentes con el propósito de aprovechar una existente.

== Introducción ==
En el mundo moderno la necesidad de electricidad cada vez es mayor, y por razones medioambientales y políticas se exige que cada vez la energía sea más limpia y más sostenible.
Con el objetivo de paliar esta necesidad hemos decidido estudiar cual sería la forma de decidir el emplazamiento idóneo para una instalación que provea este tipo de energía.
La energía que se ha elegido ha sido la solar, ya que es una energía fiable independientemente del momento histórico en el que se estudie, y dado que debido a la destrucción de determinadas capas de la atmósfera la radiación que impacta en la corteza terrestre cada vez es mayor.
El lugar elegido para el estudio ha sido la región de Murcia, que tiene un enorme potencial para este tipo de instalaciones, ya que tiene zonas de poca pendiente y relativamente amplias con un número de horas de sol y radiación solar difícilmente localizable en otros puntos de la península.

== Metodología y Resultados ==
Para la resolución del problema se ha utilizado el programa QGIS versión 2.0.1 Dufour.
En primer lugar y gracias a la página www.imida.es se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para todas las estaciones de la Región de Murcia.
En este informe se han obtenido los datos mensuales de todas las estaciones de los últimos 5 años, y para poder trabajar con datos más cómodos se ha realizado la media aritmética de cada una de las estaciones.
A continuación se ha buscado en la página web de Imida las coordenadas UTM de estas estaciones para poder referenciarlas en un mapa de la zona.
Con estos datos se ha creado un archivo de texto con el cual se ha creado una capa en QGIS en la cual se ha realizado una interpolación lineal para poder estimar el valor en los puntos intermedios. Esta capa tiene el nombre “Mapa_radiacion_media”.
En este mapa, se han asignado los siguientes parámetros:
Puntos con radiación media > 200 W/m^2 tienen el valor 1
Puntos con radiación media < 200 W/m^2 tienen valor 0
A este mapa se le ha denominado “Radiacion (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 1.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de radiación media]]
A continuación y en el mapa MDT25 de la zona, se ha obtenido un mapa de pendientes, y se ha repetido el procedimiento de asignarles estos valores a los puntos.
Puntos con pendiente > 10 tienen valor 0
Puntos con pendiente < 10 tienen valor 1
Esta capas han sido denominadas “Pendientes” y “Pendientes (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 2.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de pendientes]]
Se han homogeneizado los resultados de este mapa mediante la herramienta “Filtrado” para eliminar puntos aislados o agrupaciones de puntos muy pequeñas que no son suficientemente grandes para albergar la construcción que se plantea.

A continuación se han multiplicado mediante la calculadora raster ambas capas para obtener un primer tanteo de la situación. Esta capa es “Primer_tanteo”.
[[Archivo:SIG Mella 3.jpg|miniaturadeimagen|izquierda|Primer Tanteo]]
[[Archivo:SIG Mella 5.jpg|miniaturadeimagen|izquierda|Primer Tanteo y Espacios Protegidos]]

Seguidamente, de la página web del Ministerio de Agricultura hemos descargado un mapa raster con todas las zonas protegidas de España, y gracias a la herramienta “Filtro Avanzado” de QGIS hemos aislado la zona que nos interesa para el estudio y hemos realizado un buffer para tener en cuenta la afección que podría tener sobre estas áreas la construcción de esta instalación demasiado cerca. A continuación se ha rasterizado esta capa.
Estas capas reciben el nombre “ENP_PenBal2013” y “buffer_protegidos”.
De nuevo se han asignado los valores 0 y 1 de la siguiente forma:

Puntos pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 0
Puntos no pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 1

Esta capa se denomina “raster_protegidos (0-1)”.
[[Archivo:SIG Mella 8.jpg|miniaturadeimagen|izquierda|Areas Finales a considerar]]

Se vuelve a multiplicar esta capa por la del primer tanteo y obtenemos un segundo tanteo con el nombre “Segundo_tanteo”.
Como ya está bastante perfilada el área apta, se ha procedido a estudiar parámetros que nos ayuden a concretar más.
Se han descargado de la web del CNIG mapas con las líneas eléctricas y las centrales eléctricas.
Dado que las líneas eléctricas se muestran en un mapa vectorial, se ha utilizado la herramienta “Split” de Grass para considerar cada línea por separado, y se ha realizado un buffer de cada línea para tener en cuenta solo las zonas cercanas.

Se han rasterizado y unido con la herramienta “Merge” de Grass para poder multiplicar este mapa por el segundo tanteo. Por último, se han vuelto a pasar a vectorial. Esta capa lleva el nombre “buffer-lineas-electricas”.

Finalmente, con el mapa de centrales eléctricas se ha estudiado la posible ampliación de una central ya existente. Este mapa se llama “centrales_electricas”.
Para la ubicación definitiva se ha optado por situarla adyacente a una central ya existente, comprobando mediante las ortofotos que no hay edificaciones cercanas afectadas, quedando como único problema pendiente la expropiación de temas de cultivo en esa zona.
A la capa con la ubicación final con un área aproximada de 100 hectareas se la ha denominado “ubicación_final”

== Conclusiones ==
Para el emplazamiento de la central se ha buscado un lugar con una radiación media elevada que será la que otorgue la potencia necesaria. Se ha impuesto que la pendiente no sea elevada en la zona, que esté alejada de zonas protegidas y de núcleos urbanos para reducir en lo máximo posible el impacto sobre el medioambiente y sobre los habitantes de la zona.
Finalmente se ha buscado abaratar lo más posible las conexiones eléctricas situando la instalación lo más cerca posible de las líneas eléctricas y a ser posible de una central ya existente.
Como posibles sugerencias para las entidades responsables de proporcionar información al público general, se advierte de la gran escasez de información en lo que a mapas de radiación se refiere.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_14/15]]

Estudio de emplazamiento de una central termosolar en Región de Murcia

2014-12-02T17:42:55Z

Guillermo:

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}
Mediante este trabajo se ha estudiado el emplazamiento idóneo para una estación termosolar en la región de Murcia con el objetivo de aprovechar el enorme potencial de la zona en este campo.
El procedimiento elegido para decidir la mejor zona para su construcción ha sido la de considerar diversos parámetros e ir gracias a estos eliminando zonas que no nos interesen, acotando así cada vez más las posibilidades.
Mediante cada uno de estos parámetros, se ha realizado un mapa con dos zonas claramente diferenciadas: las zonas aptas para la construcción, y las zonas no aptas.
En primer lugar, y ante la dificultad para encontrar un mapa de radiación media de la zona, se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para obtener los datos que nos interesan en las estaciones de la zona. Con estos datos se ha realizado un mapa de radiación media interpolando entre los valores.
El siguiente parámetro que ha condicionado la localización ha sido la pendiente, mapa del cual se han eliminado las pendientes demasiado pronunciadas.
Se han tenido en cuenta también las zonas protegidas, eliminado directamente de las posibilidades todas las zonas protegidas y sus inmediaciones.
Se han eliminado también los núcleos urbanos y sus inmediaciones con el objetivo de afectar a las poblaciones cercanas lo menos posible.
Por último, y con el objetivo de que la instalación sea lo más accesible posible, y que el coste de las líneas eléctricas sea lo menor posible, se ha estudiado la situación de las líneas eléctricas y de las centrales eléctricas existentes con el propósito de aprovechar una existente.

== Introducción ==
En el mundo moderno la necesidad de electricidad cada vez es mayor, y por razones medioambientales y políticas se exige que cada vez la energía sea más limpia y más sostenible.
Con el objetivo de paliar esta necesidad hemos decidido estudiar cual sería la forma de decidir el emplazamiento idóneo para una instalación que provea este tipo de energía.
La energía que se ha elegido ha sido la solar, ya que es una energía fiable independientemente del momento histórico en el que se estudie, y dado que debido a la destrucción de determinadas capas de la atmósfera la radiación que impacta en la corteza terrestre cada vez es mayor.
El lugar elegido para el estudio ha sido la región de Murcia, que tiene un enorme potencial para este tipo de instalaciones, ya que tiene zonas de poca pendiente y relativamente amplias con un número de horas de sol y radiación solar difícilmente localizable en otros puntos de la península.

== Metodología y Resultados ==
Para la resolución del problema se ha utilizado el programa QGIS versión 2.0.1 Dufour.
En primer lugar y gracias a la página www.imida.es se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para todas las estaciones de la Región de Murcia.
En este informe se han obtenido los datos mensuales de todas las estaciones de los últimos 5 años, y para poder trabajar con datos más cómodos se ha realizado la media aritmética de cada una de las estaciones.
A continuación se ha buscado en la página web de Imida las coordenadas UTM de estas estaciones para poder referenciarlas en un mapa de la zona.
Con estos datos se ha creado un archivo de texto con el cual se ha creado una capa en QGIS en la cual se ha realizado una interpolación lineal para poder estimar el valor en los puntos intermedios. Esta capa tiene el nombre “Mapa_radiacion_media”.
En este mapa, se han asignado los siguientes parámetros:
Puntos con radiación media > 200 W/m^2 tienen el valor 1
Puntos con radiación media < 200 W/m^2 tienen valor 0
A este mapa se le ha denominado “Radiacion (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 1.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de radiación media]]
A continuación y en el mapa MDT25 de la zona, se ha obtenido un mapa de pendientes, y se ha repetido el procedimiento de asignarles estos valores a los puntos.
Puntos con pendiente > 10 tienen valor 0
Puntos con pendiente < 10 tienen valor 1
Esta capas han sido denominadas “Pendientes” y “Pendientes (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 2.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de pendientes]]
Se han homogeneizado los resultados de este mapa mediante la herramienta “Filtrado” para eliminar puntos aislados o agrupaciones de puntos muy pequeñas que no son suficientemente grandes para albergar la construcción que se plantea.

A continuación se han multiplicado mediante la calculadora raster ambas capas para obtener un primer tanteo de la situación. Esta capa es “Primer_tanteo”.

Seguidamente, de la página web del Ministerio de Agricultura hemos descargado un mapa raster con todas las zonas protegidas de España, y gracias a la herramienta “Filtro Avanzado” de QGIS hemos aislado la zona que nos interesa para el estudio y hemos realizado un buffer para tener en cuenta la afección que podría tener sobre estas áreas la construcción de esta instalación demasiado cerca. A continuación se ha rasterizado esta capa.
Estas capas reciben el nombre “ENP_PenBal2013” y “buffer_protegidos”.
De nuevo se han asignado los valores 0 y 1 de la siguiente forma:

Puntos pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 0
Puntos no pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 1

Esta capa se denomina “raster_protegidos (0-1)”.

Se vuelve a multiplicar esta capa por la del primer tanteo y obtenemos un segundo tanteo con el nombre “Segundo_tanteo”.
Como ya está bastante perfilada el área apta, se ha procedido a estudiar parámetros que nos ayuden a concretar más.
Se han descargado de la web del CNIG mapas con las líneas eléctricas y las centrales eléctricas.
Dado que las líneas eléctricas se muestran en un mapa vectorial, se ha utilizado la herramienta “Split” de Grass para considerar cada línea por separado, y se ha realizado un buffer de cada línea para tener en cuenta solo las zonas cercanas.

Se han rasterizado y unido con la herramienta “Merge” de Grass para poder multiplicar este mapa por el segundo tanteo. Por último, se han vuelto a pasar a vectorial. Esta capa lleva el nombre “buffer-lineas-electricas”.

Finalmente, con el mapa de centrales eléctricas se ha estudiado la posible ampliación de una central ya existente. Este mapa se llama “centrales_electricas”.
Para la ubicación definitiva se ha optado por situarla adyacente a una central ya existente, comprobando mediante las ortofotos que no hay edificaciones cercanas afectadas, quedando como único problema pendiente la expropiación de temas de cultivo en esa zona.
A la capa con la ubicación final con un área aproximada de 100 hectareas se la ha denominado “ubicación_final”

== Conclusiones ==
Para el emplazamiento de la central se ha buscado un lugar con una radiación media elevada que será la que otorgue la potencia necesaria. Se ha impuesto que la pendiente no sea elevada en la zona, que esté alejada de zonas protegidas y de núcleos urbanos para reducir en lo máximo posible el impacto sobre el medioambiente y sobre los habitantes de la zona.
Finalmente se ha buscado abaratar lo más posible las conexiones eléctricas situando la instalación lo más cerca posible de las líneas eléctricas y a ser posible de una central ya existente.
Como posibles sugerencias para las entidades responsables de proporcionar información al público general, se advierte de la gran escasez de información en lo que a mapas de radiación se refiere.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_14/15]]

Estudio de emplazamiento de una central termosolar en Región de Murcia

2014-11-30T21:05:21Z

Guillermo:

Mediante este trabajo se ha estudiado el emplazamiento idóneo para una estación termosolar en la región de Murcia con el objetivo de aprovechar el enorme potencial de la zona en este campo.
El procedimiento elegido para decidir la mejor zona para su construcción ha sido la de considerar diversos parámetros e ir gracias a estos eliminando zonas que no nos interesen, acotando así cada vez más las posibilidades.
Mediante cada uno de estos parámetros, se ha realizado un mapa con dos zonas claramente diferenciadas: las zonas aptas para la construcción, y las zonas no aptas.
En primer lugar, y ante la dificultad para encontrar un mapa de radiación media de la zona, se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para obtener los datos que nos interesan en las estaciones de la zona. Con estos datos se ha realizado un mapa de radiación media interpolando entre los valores.
El siguiente parámetro que ha condicionado la localización ha sido la pendiente, mapa del cual se han eliminado las pendientes demasiado pronunciadas.
Se han tenido en cuenta también las zonas protegidas, eliminado directamente de las posibilidades todas las zonas protegidas y sus inmediaciones.
Se han eliminado también los núcleos urbanos y sus inmediaciones con el objetivo de afectar a las poblaciones cercanas lo menos posible.
Por último, y con el objetivo de que la instalación sea lo más accesible posible, y que el coste de las líneas eléctricas sea lo menor posible, se ha estudiado la situación de las líneas eléctricas y de las centrales eléctricas existentes con el propósito de aprovechar una existente.

== Introducción ==
En el mundo moderno la necesidad de electricidad cada vez es mayor, y por razones medioambientales y políticas se exige que cada vez la energía sea más limpia y más sostenible.
Con el objetivo de paliar esta necesidad hemos decidido estudiar cual sería la forma de decidir el emplazamiento idóneo para una instalación que provea este tipo de energía.
La energía que se ha elegido ha sido la solar, ya que es una energía fiable independientemente del momento histórico en el que se estudie, y dado que debido a la destrucción de determinadas capas de la atmósfera la radiación que impacta en la corteza terrestre cada vez es mayor.
El lugar elegido para el estudio ha sido la región de Murcia, que tiene un enorme potencial para este tipo de instalaciones, ya que tiene zonas de poca pendiente y relativamente amplias con un número de horas de sol y radiación solar difícilmente localizable en otros puntos de la península.

== Metodología y Resultados ==
Para la resolución del problema se ha utilizado el programa QGIS versión 2.0.1 Dufour.
En primer lugar y gracias a la página www.imida.es se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para todas las estaciones de la Región de Murcia.
En este informe se han obtenido los datos mensuales de todas las estaciones de los últimos 5 años, y para poder trabajar con datos más cómodos se ha realizado la media aritmética de cada una de las estaciones.
A continuación se ha buscado en la página web de Imida las coordenadas UTM de estas estaciones para poder referenciarlas en un mapa de la zona.
Con estos datos se ha creado un archivo de texto con el cual se ha creado una capa en QGIS en la cual se ha realizado una interpolación lineal para poder estimar el valor en los puntos intermedios. Esta capa tiene el nombre “Mapa_radiacion_media”.
En este mapa, se han asignado los siguientes parámetros:
Puntos con radiación media > 200 W/m^2 tienen el valor 1
Puntos con radiación media < 200 W/m^2 tienen valor 0
A este mapa se le ha denominado “Radiacion (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 1.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de radiación media]]
A continuación y en el mapa MDT25 de la zona, se ha obtenido un mapa de pendientes, y se ha repetido el procedimiento de asignarles estos valores a los puntos.
Puntos con pendiente > 10 tienen valor 0
Puntos con pendiente < 10 tienen valor 1
Esta capas han sido denominadas “Pendientes” y “Pendientes (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 2.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de pendientes]]
Se han homogeneizado los resultados de este mapa mediante la herramienta “Filtrado” para eliminar puntos aislados o agrupaciones de puntos muy pequeñas que no son suficientemente grandes para albergar la construcción que se plantea.

A continuación se han multiplicado mediante la calculadora raster ambas capas para obtener un primer tanteo de la situación. Esta capa es “Primer_tanteo”.

Seguidamente, de la página web del Ministerio de Agricultura hemos descargado un mapa raster con todas las zonas protegidas de España, y gracias a la herramienta “Filtro Avanzado” de QGIS hemos aislado la zona que nos interesa para el estudio y hemos realizado un buffer para tener en cuenta la afección que podría tener sobre estas áreas la construcción de esta instalación demasiado cerca. A continuación se ha rasterizado esta capa.
Estas capas reciben el nombre “ENP_PenBal2013” y “buffer_protegidos”.
De nuevo se han asignado los valores 0 y 1 de la siguiente forma:

Puntos pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 0
Puntos no pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 1

Esta capa se denomina “raster_protegidos (0-1)”.

Se vuelve a multiplicar esta capa por la del primer tanteo y obtenemos un segundo tanteo con el nombre “Segundo_tanteo”.
Como ya está bastante perfilada el área apta, se ha procedido a estudiar parámetros que nos ayuden a concretar más.
Se han descargado de la web del CNIG mapas con las líneas eléctricas y las centrales eléctricas.
Dado que las líneas eléctricas se muestran en un mapa vectorial, se ha utilizado la herramienta “Split” de Grass para considerar cada línea por separado, y se ha realizado un buffer de cada línea para tener en cuenta solo las zonas cercanas.

Se han rasterizado y unido con la herramienta “Merge” de Grass para poder multiplicar este mapa por el segundo tanteo. Por último, se han vuelto a pasar a vectorial. Esta capa lleva el nombre “buffer-lineas-electricas”.

Finalmente, con el mapa de centrales eléctricas se ha estudiado la posible ampliación de una central ya existente. Este mapa se llama “centrales_electricas”.
Para la ubicación definitiva se ha optado por situarla adyacente a una central ya existente, comprobando mediante las ortofotos que no hay edificaciones cercanas afectadas, quedando como único problema pendiente la expropiación de temas de cultivo en esa zona.
A la capa con la ubicación final con un área aproximada de 100 hectareas se la ha denominado “ubicación_final”

== Conclusiones ==
Para el emplazamiento de la central se ha buscado un lugar con una radiación media elevada que será la que otorgue la potencia necesaria. Se ha impuesto que la pendiente no sea elevada en la zona, que esté alejada de zonas protegidas y de núcleos urbanos para reducir en lo máximo posible el impacto sobre el medioambiente y sobre los habitantes de la zona.
Finalmente se ha buscado abaratar lo más posible las conexiones eléctricas situando la instalación lo más cerca posible de las líneas eléctricas y a ser posible de una central ya existente.
Como posibles sugerencias para las entidades responsables de proporcionar información al público general, se advierte de la gran escasez de información en lo que a mapas de radiación se refiere.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_14/15]]

Estudio de emplazamiento de una central termosolar en Región de Murcia

2014-11-30T21:04:31Z

Guillermo:

Mediante este trabajo se ha estudiado el emplazamiento idóneo para una estación termosolar en la región de Murcia con el objetivo de aprovechar el enorme potencial de la zona en este campo.
El procedimiento elegido para decidir la mejor zona para su construcción ha sido la de considerar diversos parámetros e ir gracias a estos eliminando zonas que no nos interesen, acotando así cada vez más las posibilidades.
Mediante cada uno de estos parámetros, se ha realizado un mapa con dos zonas claramente diferenciadas: las zonas aptas para la construcción, y las zonas no aptas.
En primer lugar, y ante la dificultad para encontrar un mapa de radiación media de la zona, se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para obtener los datos que nos interesan en las estaciones de la zona. Con estos datos se ha realizado un mapa de radiación media interpolando entre los valores.
El siguiente parámetro que ha condicionado la localización ha sido la pendiente, mapa del cual se han eliminado las pendientes demasiado pronunciadas.
Se han tenido en cuenta también las zonas protegidas, eliminado directamente de las posibilidades todas las zonas protegidas y sus inmediaciones.
Se han eliminado también los núcleos urbanos y sus inmediaciones con el objetivo de afectar a las poblaciones cercanas lo menos posible.
Por último, y con el objetivo de que la instalación sea lo más accesible posible, y que el coste de las líneas eléctricas sea lo menor posible, se ha estudiado la situación de las líneas eléctricas y de las centrales eléctricas existentes con el propósito de aprovechar una existente.

== Introducción ==
En el mundo moderno la necesidad de electricidad cada vez es mayor, y por razones medioambientales y políticas se exige que cada vez la energía sea más limpia y más sostenible.
Con el objetivo de paliar esta necesidad hemos decidido estudiar cual sería la forma de decidir el emplazamiento idóneo para una instalación que provea este tipo de energía.
La energía que se ha elegido ha sido la solar, ya que es una energía fiable independientemente del momento histórico en el que se estudie, y dado que debido a la destrucción de determinadas capas de la atmósfera la radiación que impacta en la corteza terrestre cada vez es mayor.
El lugar elegido para el estudio ha sido la región de Murcia, que tiene un enorme potencial para este tipo de instalaciones, ya que tiene zonas de poca pendiente y relativamente amplias con un número de horas de sol y radiación solar difícilmente localizable en otros puntos de la península.

== Metodología y Resultados ==
Para la resolución del problema se ha utilizado el programa QGIS versión 2.0.1 Dufour.
En primer lugar y gracias a la página www.imida.es se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para todas las estaciones de la Región de Murcia.
En este informe se han obtenido los datos mensuales de todas las estaciones de los últimos 5 años, y para poder trabajar con datos más cómodos se ha realizado la media aritmética de cada una de las estaciones.
A continuación se ha buscado en la página web de Imida las coordenadas UTM de estas estaciones para poder referenciarlas en un mapa de la zona.
Con estos datos se ha creado un archivo de texto con el cual se ha creado una capa en QGIS en la cual se ha realizado una interpolación lineal para poder estimar el valor en los puntos intermedios. Esta capa tiene el nombre “Mapa_radiacion_media”.
En este mapa, se han asignado los siguientes parámetros:
Puntos con radiación media > 200 W/m^2 tienen el valor 1
Puntos con radiación media < 200 W/m^2 tienen valor 0
A este mapa se le ha denominado “Radiacion (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 1.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de radiación media]]
A continuación y en el mapa MDT25 de la zona, se ha obtenido un mapa de pendientes, y se ha repetido el procedimiento de asignarles estos valores a los puntos.
Puntos con pendiente > 10 tienen valor 0
Puntos con pendiente < 10 tienen valor 1
Esta capas han sido denominadas “Pendientes” y “Pendientes (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 2.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de pendientes]]
Se han homogeneizado los resultados de este mapa mediante la herramienta “Filtrado” para eliminar puntos aislados o agrupaciones de puntos muy pequeñas que no son suficientemente grandes para albergar la construcción que se plantea.
A continuación se han multiplicado mediante la calculadora raster ambas capas para obtener un primer tanteo de la situación. Esta capa es “Primer_tanteo”.
Seguidamente, de la página web del Ministerio de Agricultura hemos descargado un mapa raster con todas las zonas protegidas de España, y gracias a la herramienta “Filtro Avanzado” de QGIS hemos aislado la zona que nos interesa para el estudio y hemos realizado un buffer para tener en cuenta la afección que podría tener sobre estas áreas la construcción de esta instalación demasiado cerca. A continuación se ha rasterizado esta capa.
Estas capas reciben el nombre “ENP_PenBal2013” y “buffer_protegidos”.
De nuevo se han asignado los valores 0 y 1 de la siguiente forma:
Puntos pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 0
Puntos no pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 1
Esta capa se denomina “raster_protegidos (0-1)”.
Se vuelve a multiplicar esta capa por la del primer tanteo y obtenemos un segundo tanteo con el nombre “Segundo_tanteo”.
Como ya está bastante perfilada el área apta, se ha procedido a estudiar parámetros que nos ayuden a concretar más.
Se han descargado de la web del CNIG mapas con las líneas eléctricas y las centrales eléctricas.
Dado que las líneas eléctricas se muestran en un mapa vectorial, se ha utilizado la herramienta “Split” de Grass para considerar cada línea por separado, y se ha realizado un buffer de cada línea para tener en cuenta solo las zonas cercanas.
Se han rasterizado y unido con la herramienta “Merge” de Grass para poder multiplicar este mapa por el segundo tanteo. Por último, se han vuelto a pasar a vectorial. Esta capa lleva el nombre “buffer-lineas-electricas”.
Finalmente, con el mapa de centrales eléctricas se ha estudiado la posible ampliación de una central ya existente. Este mapa se llama “centrales_electricas”.
Para la ubicación definitiva se ha optado por situarla adyacente a una central ya existente, comprobando mediante las ortofotos que no hay edificaciones cercanas afectadas, quedando como único problema pendiente la expropiación de temas de cultivo en esa zona.
A la capa con la ubicación final con un área aproximada de 100 hectareas se la ha denominado “ubicación_final”

== Conclusiones ==
Para el emplazamiento de la central se ha buscado un lugar con una radiación media elevada que será la que otorgue la potencia necesaria. Se ha impuesto que la pendiente no sea elevada en la zona, que esté alejada de zonas protegidas y de núcleos urbanos para reducir en lo máximo posible el impacto sobre el medioambiente y sobre los habitantes de la zona.
Finalmente se ha buscado abaratar lo más posible las conexiones eléctricas situando la instalación lo más cerca posible de las líneas eléctricas y a ser posible de una central ya existente.
Como posibles sugerencias para las entidades responsables de proporcionar información al público general, se advierte de la gran escasez de información en lo que a mapas de radiación se refiere.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_14/15]]

Estudio de emplazamiento de una central termosolar en Región de Murcia

2014-11-30T21:03:23Z

Guillermo:

Mediante este trabajo se ha estudiado el emplazamiento idóneo para una estación termosolar en la región de Murcia con el objetivo de aprovechar el enorme potencial de la zona en este campo.
El procedimiento elegido para decidir la mejor zona para su construcción ha sido la de considerar diversos parámetros e ir gracias a estos eliminando zonas que no nos interesen, acotando así cada vez más las posibilidades.
Mediante cada uno de estos parámetros, se ha realizado un mapa con dos zonas claramente diferenciadas: las zonas aptas para la construcción, y las zonas no aptas.
En primer lugar, y ante la dificultad para encontrar un mapa de radiación media de la zona, se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para obtener los datos que nos interesan en las estaciones de la zona. Con estos datos se ha realizado un mapa de radiación media interpolando entre los valores.
El siguiente parámetro que ha condicionado la localización ha sido la pendiente, mapa del cual se han eliminado las pendientes demasiado pronunciadas.
Se han tenido en cuenta también las zonas protegidas, eliminado directamente de las posibilidades todas las zonas protegidas y sus inmediaciones.
Se han eliminado también los núcleos urbanos y sus inmediaciones con el objetivo de afectar a las poblaciones cercanas lo menos posible.
Por último, y con el objetivo de que la instalación sea lo más accesible posible, y que el coste de las líneas eléctricas sea lo menor posible, se ha estudiado la situación de las líneas eléctricas y de las centrales eléctricas existentes con el propósito de aprovechar una existente.

== Introducción ==
En el mundo moderno la necesidad de electricidad cada vez es mayor, y por razones medioambientales y políticas se exige que cada vez la energía sea más limpia y más sostenible.
Con el objetivo de paliar esta necesidad hemos decidido estudiar cual sería la forma de decidir el emplazamiento idóneo para una instalación que provea este tipo de energía.
La energía que se ha elegido ha sido la solar, ya que es una energía fiable independientemente del momento histórico en el que se estudie, y dado que debido a la destrucción de determinadas capas de la atmósfera la radiación que impacta en la corteza terrestre cada vez es mayor.
El lugar elegido para el estudio ha sido la región de Murcia, que tiene un enorme potencial para este tipo de instalaciones, ya que tiene zonas de poca pendiente y relativamente amplias con un número de horas de sol y radiación solar difícilmente localizable en otros puntos de la península.

== Metodología y Resultados ==
Para la resolución del problema se ha utilizado el programa QGIS versión 2.0.1 Dufour.
En primer lugar y gracias a la página www.imida.es se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para todas las estaciones de la Región de Murcia.
En este informe se han obtenido los datos mensuales de todas las estaciones de los últimos 5 años, y para poder trabajar con datos más cómodos se ha realizado la media aritmética de cada una de las estaciones.
A continuación se ha buscado en la página web de Imida las coordenadas UTM de estas estaciones para poder referenciarlas en un mapa de la zona.
Con estos datos se ha creado un archivo de texto con el cual se ha creado una capa en QGIS en la cual se ha realizado una interpolación lineal para poder estimar el valor en los puntos intermedios. Esta capa tiene el nombre “Mapa_radiacion_media”.
En este mapa, se han asignado los siguientes parámetros:
Puntos con radiación media > 200 W/m^2 tienen el valor 1
Puntos con radiación media < 200 W/m^2 tienen valor 0
A este mapa se le ha denominado “Radiacion (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 1.jpg|miniaturadeimagen|Mapa de radiación media]]
A continuación y en el mapa MDT25 de la zona, se ha obtenido un mapa de pendientes, y se ha repetido el procedimiento de asignarles estos valores a los puntos.
Puntos con pendiente > 10 tienen valor 0
Puntos con pendiente < 10 tienen valor 1
Esta capas han sido denominadas “Pendientes” y “Pendientes (0-1)”
Se han homogeneizado los resultados de este mapa mediante la herramienta “Filtrado” para eliminar puntos aislados o agrupaciones de puntos muy pequeñas que no son suficientemente grandes para albergar la construcción que se plantea.
A continuación se han multiplicado mediante la calculadora raster ambas capas para obtener un primer tanteo de la situación. Esta capa es “Primer_tanteo”.
Seguidamente, de la página web del Ministerio de Agricultura hemos descargado un mapa raster con todas las zonas protegidas de España, y gracias a la herramienta “Filtro Avanzado” de QGIS hemos aislado la zona que nos interesa para el estudio y hemos realizado un buffer para tener en cuenta la afección que podría tener sobre estas áreas la construcción de esta instalación demasiado cerca. A continuación se ha rasterizado esta capa.
Estas capas reciben el nombre “ENP_PenBal2013” y “buffer_protegidos”.
De nuevo se han asignado los valores 0 y 1 de la siguiente forma:
Puntos pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 0
Puntos no pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 1
Esta capa se denomina “raster_protegidos (0-1)”.
Se vuelve a multiplicar esta capa por la del primer tanteo y obtenemos un segundo tanteo con el nombre “Segundo_tanteo”.
Como ya está bastante perfilada el área apta, se ha procedido a estudiar parámetros que nos ayuden a concretar más.
Se han descargado de la web del CNIG mapas con las líneas eléctricas y las centrales eléctricas.
Dado que las líneas eléctricas se muestran en un mapa vectorial, se ha utilizado la herramienta “Split” de Grass para considerar cada línea por separado, y se ha realizado un buffer de cada línea para tener en cuenta solo las zonas cercanas.
Se han rasterizado y unido con la herramienta “Merge” de Grass para poder multiplicar este mapa por el segundo tanteo. Por último, se han vuelto a pasar a vectorial. Esta capa lleva el nombre “buffer-lineas-electricas”.
Finalmente, con el mapa de centrales eléctricas se ha estudiado la posible ampliación de una central ya existente. Este mapa se llama “centrales_electricas”.
Para la ubicación definitiva se ha optado por situarla adyacente a una central ya existente, comprobando mediante las ortofotos que no hay edificaciones cercanas afectadas, quedando como único problema pendiente la expropiación de temas de cultivo en esa zona.
A la capa con la ubicación final con un área aproximada de 100 hectareas se la ha denominado “ubicación_final”

== Conclusiones ==
Para el emplazamiento de la central se ha buscado un lugar con una radiación media elevada que será la que otorgue la potencia necesaria. Se ha impuesto que la pendiente no sea elevada en la zona, que esté alejada de zonas protegidas y de núcleos urbanos para reducir en lo máximo posible el impacto sobre el medioambiente y sobre los habitantes de la zona.
Finalmente se ha buscado abaratar lo más posible las conexiones eléctricas situando la instalación lo más cerca posible de las líneas eléctricas y a ser posible de una central ya existente.
Como posibles sugerencias para las entidades responsables de proporcionar información al público general, se advierte de la gran escasez de información en lo que a mapas de radiación se refiere.

== Anejos ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
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Estudio de emplazamiento de una central termosolar en Región de Murcia

2014-11-30T21:02:19Z

Guillermo:

Mediante este trabajo se ha estudiado el emplazamiento idóneo para una estación termosolar en la región de Murcia con el objetivo de aprovechar el enorme potencial de la zona en este campo.
El procedimiento elegido para decidir la mejor zona para su construcción ha sido la de considerar diversos parámetros e ir gracias a estos eliminando zonas que no nos interesen, acotando así cada vez más las posibilidades.
Mediante cada uno de estos parámetros, se ha realizado un mapa con dos zonas claramente diferenciadas: las zonas aptas para la construcción, y las zonas no aptas.
En primer lugar, y ante la dificultad para encontrar un mapa de radiación media de la zona, se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para obtener los datos que nos interesan en las estaciones de la zona. Con estos datos se ha realizado un mapa de radiación media interpolando entre los valores.
El siguiente parámetro que ha condicionado la localización ha sido la pendiente, mapa del cual se han eliminado las pendientes demasiado pronunciadas.
Se han tenido en cuenta también las zonas protegidas, eliminado directamente de las posibilidades todas las zonas protegidas y sus inmediaciones.
Se han eliminado también los núcleos urbanos y sus inmediaciones con el objetivo de afectar a las poblaciones cercanas lo menos posible.
Por último, y con el objetivo de que la instalación sea lo más accesible posible, y que el coste de las líneas eléctricas sea lo menor posible, se ha estudiado la situación de las líneas eléctricas y de las centrales eléctricas existentes con el propósito de aprovechar una existente.

== Introducción ==
En el mundo moderno la necesidad de electricidad cada vez es mayor, y por razones medioambientales y políticas se exige que cada vez la energía sea más limpia y más sostenible.
Con el objetivo de paliar esta necesidad hemos decidido estudiar cual sería la forma de decidir el emplazamiento idóneo para una instalación que provea este tipo de energía.
La energía que se ha elegido ha sido la solar, ya que es una energía fiable independientemente del momento histórico en el que se estudie, y dado que debido a la destrucción de determinadas capas de la atmósfera la radiación que impacta en la corteza terrestre cada vez es mayor.
El lugar elegido para el estudio ha sido la región de Murcia, que tiene un enorme potencial para este tipo de instalaciones, ya que tiene zonas de poca pendiente y relativamente amplias con un número de horas de sol y radiación solar difícilmente localizable en otros puntos de la península.

== Metodología y Resultados ==
Para la resolución del problema se ha utilizado el programa QGIS versión 2.0.1 Dufour.
En primer lugar y gracias a la página www.imida.es se ha realizado un informe agrometeorológico personalizado para todas las estaciones de la Región de Murcia.
En este informe se han obtenido los datos mensuales de todas las estaciones de los últimos 5 años, y para poder trabajar con datos más cómodos se ha realizado la media aritmética de cada una de las estaciones.
A continuación se ha buscado en la página web de Imida las coordenadas UTM de estas estaciones para poder referenciarlas en un mapa de la zona.
Con estos datos se ha creado un archivo de texto con el cual se ha creado una capa en QGIS en la cual se ha realizado una interpolación lineal para poder estimar el valor en los puntos intermedios. Esta capa tiene el nombre “Mapa_radiacion_media”.
En este mapa, se han asignado los siguientes parámetros:
Puntos con radiación media > 200 W/m^2 tienen el valor 1
Puntos con radiación media < 200 W/m^2 tienen valor 0
A este mapa se le ha denominado “Radiacion (0-1)”
[[Archivo:SIG Mella 1.jpg|miniaturadeimagen]]
A continuación y en el mapa MDT25 de la zona, se ha obtenido un mapa de pendientes, y se ha repetido el procedimiento de asignarles estos valores a los puntos.
Puntos con pendiente > 10 tienen valor 0
Puntos con pendiente < 10 tienen valor 1
Esta capas han sido denominadas “Pendientes” y “Pendientes (0-1)”
Se han homogeneizado los resultados de este mapa mediante la herramienta “Filtrado” para eliminar puntos aislados o agrupaciones de puntos muy pequeñas que no son suficientemente grandes para albergar la construcción que se plantea.
A continuación se han multiplicado mediante la calculadora raster ambas capas para obtener un primer tanteo de la situación. Esta capa es “Primer_tanteo”.
Seguidamente, de la página web del Ministerio de Agricultura hemos descargado un mapa raster con todas las zonas protegidas de España, y gracias a la herramienta “Filtro Avanzado” de QGIS hemos aislado la zona que nos interesa para el estudio y hemos realizado un buffer para tener en cuenta la afección que podría tener sobre estas áreas la construcción de esta instalación demasiado cerca. A continuación se ha rasterizado esta capa.
Estas capas reciben el nombre “ENP_PenBal2013” y “buffer_protegidos”.
De nuevo se han asignado los valores 0 y 1 de la siguiente forma:
Puntos pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 0
Puntos no pertenecientes a espacios naturales o al buffer tienen el valor 1
Esta capa se denomina “raster_protegidos (0-1)”.
Se vuelve a multiplicar esta capa por la del primer tanteo y obtenemos un segundo tanteo con el nombre “Segundo_tanteo”.
Como ya está bastante perfilada el área apta, se ha procedido a estudiar parámetros que nos ayuden a concretar más.
Se han descargado de la web del CNIG mapas con las líneas eléctricas y las centrales eléctricas.
Dado que las líneas eléctricas se muestran en un mapa vectorial, se ha utilizado la herramienta “Split” de Grass para considerar cada línea por separado, y se ha realizado un buffer de cada línea para tener en cuenta solo las zonas cercanas.
Se han rasterizado y unido con la herramienta “Merge” de Grass para poder multiplicar este mapa por el segundo tanteo. Por último, se han vuelto a pasar a vectorial. Esta capa lleva el nombre “buffer-lineas-electricas”.
Finalmente, con el mapa de centrales eléctricas se ha estudiado la posible ampliación de una central ya existente. Este mapa se llama “centrales_electricas”.
Para la ubicación definitiva se ha optado por situarla adyacente a una central ya existente, comprobando mediante las ortofotos que no hay edificaciones cercanas afectadas, quedando como único problema pendiente la expropiación de temas de cultivo en esa zona.
A la capa con la ubicación final con un área aproximada de 100 hectareas se la ha denominado “ubicación_final”

== Conclusiones ==
Para el emplazamiento de la central se ha buscado un lugar con una radiación media elevada que será la que otorgue la potencia necesaria. Se ha impuesto que la pendiente no sea elevada en la zona, que esté alejada de zonas protegidas y de núcleos urbanos para reducir en lo máximo posible el impacto sobre el medioambiente y sobre los habitantes de la zona.
Finalmente se ha buscado abaratar lo más posible las conexiones eléctricas situando la instalación lo más cerca posible de las líneas eléctricas y a ser posible de una central ya existente.
Como posibles sugerencias para las entidades responsables de proporcionar información al público general, se advierte de la gran escasez de información en lo que a mapas de radiación se refiere.

== Anejos ==

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