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Análisis sobre la viabilidad de la ampliación del ancho de vía internacional en el Corredor Mediterráneo a través de las líneas actuales

2017-05-26T09:46:03Z

Grupo14:

{{ TrabajoSIG | Análisis sobre la viabilidad de la ampliación del ancho de vía internacional en el Corredor Mediterráneo a través de las líneas actuales | Joaquín Sánchez Molina (396) Leoni Koch (698) Javier Ruiz de Galarreta López (1566)| [[:Categoría:SIGAIC_16/17|Curso 16/17]] }}

El Corredor Ferroviario Mediterráneo discurre actualmente desde la frontera francesa hasta Murcia, ampliándose en el futuro hasta Algeciras. Debido al ancho de vía español, diferente al ancho internacional instalado mayoritariamente en Europa, los trenes no pueden circular de manera directa entre Europa y España. En diciembre de 2012, el Ministerio de Fomento propuso un plan para extender ese ancho europeo hacia el sur, hasta Algeciras, aunque dos años después lo desestimó.

Nuestro trabajo consistirá en cuantificar el aumento de demanda de esa extensión del ancho europeo entre la frontera y Algeciras, buscando cuellos de botella y puntos de congestión como consecuencia de los nuevos tráficos captados, para cuantificar la necesidad o no de ampliaciones de capacidad de la red. Hemos utilizado datos del Ministerio de Fomento y ADIF, plasmándolos más tarde en SIG, incluyendo a su vez la población y el PIB de cada provincia, para ver de manera más gráfica la distribución de tráficos en el área. El año horizonte para el que hemos calculado estos tráficos es el 2025, pero este modelo debe irse actualizando en función de la demanda real de transporte que exista en el Corredor.

Palabras clave: ancho europeo, Corredor Mediterráneo, tren de mercancías, exportaciones, importaciones.

== Introducción ==

Como es sabido por todo aquel interesado en el ámbito ferroviario, en España, el ancho de vía es diferente al ancho de vía de Francia, Alemania y el resto de países de Europa Central y Occidental, a excepción de Portugal e Irlanda. Esto ha constituido desde el siglo XIX una enorme oportunidad perdida para revertir la situación de aislamiento geográfico que siempre ha tenido España por su condición periférica en Europa. Con la llegada de la Alta Velocidad el 1992 con la línea Madrid-Sevilla, se decidió la utilización del ancho europeo o internacional para ir comenzando un progresivo cambio de ancho de la red. Desde esa fecha, todas las líneas de alta velocidad (LAV) se han construido en ancho internacional, generando problemas de “frontera ferroviaria” a la hora de la conexión con la red convencional, en ancho ibérico.

Esto ha supuesto tradicionalmente una imposibilidad de la circulación de trenes entre España y Francia, o al menos, obliga a un trasbordo en la frontera, con las molestias para las personas y los sobrecostes y retrasos para las mercancías. Una vez la red de alta velocidad llegó hasta la frontera francesa con la LAV Barcelona-Frontera Francesa, inaugurada en enero de 2013, el problema de esa “frontera ferroviaria” se ha mitigado, pero sólo hasta Barcelona. Siendo casi todas las LAV exclusivas para tráfico de viajeros (excepto la Barcelona-Frontera Francesa, que está diseñada para viajeros y mercancías), los exiguos tráficos de mercancías han quedado consagrados a las líneas convencionales, en ancho ibérico. Esto constituye un problema importante, ya que, aunque algunos trenes de pasajeros pueden cambiar de ancho automáticamente entre LAV y red convencional, los vagones de mercancías no disponen de esa tecnología por falta de interés económico.

Es por esto que, en el año 2012, el Ministerio de Fomento lanza un ambicioso plan para la extensión del ancho internacional/europeo por el Corredor Mediterráneo, desde Barcelona hasta Murcia. Gran parte de esta adaptación se centra en convertir las vías de ancho convencional en vías de ancho mixto (convencional y europeo), mediante la inclusión de un tercer carril. Sin embargo, en 2014, decidió dar carpetazo al asunto, volviendo a una solución mixta sin continuidad del ancho internacional. El objetivo de este trabajo es analizar el plan de 2012 de Fomento, y ver si con un ancho UIC continuo hasta Algeciras por la fachada mediterránea, sería suficiente con la instalación de ancho UIC en la red actual, o si, por el contrario, sería necesario un desdoblamiento para absorber la demanda.

[[Archivo:Mapa provincias.jpg|750px|miniaturadeimagen|centro|Provincias por las que discurre el Corredor Mediterráneo y que son objeto de estudio en este trabajo]]

== Metodología ==
Para la realización de este trabajo se ha empleado el mapa MTN200, obtenido del Centro de Descargas del Instituto Geográfico Nacional, que representa la totalidad de España. A continuación se ha digitalizado cada provincia, creando archivos vectoriales, agrupándolas más tarde para simplificar la representación en 4 zonas:

*Zona I: Gerona, Barcelona y Tarragona.
*Zona II: Castellón y Valencia.
*Zona III: Alicante, Murcia y Almería.
*Zona IV: Granada, Málaga y Cádiz.

[[Archivo:Mapa zonas.jpg|750px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 2 Zonas de agrupación de las provincias objeto de estudio.]]

Posteriormente, hemos digitalizado la línea ferroviaria por la que circularían los tráficos captados por la extensión del ancho internacional, asignándoles tres colores en función del grado de saturación (verde si no están saturados, amarillo si están próximos a la saturación y rojos si están saturados). Además, en cada zona hemos incluido varios atributos, como la población, el PIB y la proporción de las exportaciones respecto al PIB, para posteriormente clasificar las zonas y las provincias en función de estos factores mediante escalas cromáticas.

Se han tomado los datos de tráfico del Estudio del Corredor Ferroviario Mediterráneo, de INECO para el Ministerio de Fomento y ADIF de marzo de 2011. De este estudio se han extraído los tráficos de mercancías, tanto por carretera como por ferrocarril, que circulan entre Europa y las diferentes zonas en las que hemos dividido el Corredor Mediterráneo, pero obviando los tráficos internos del mismo, ya que nos interesan los tráficos con Europa, por ser la implantación del ancho europeo el motivo de nuestro trabajo. Sumado a todo esto, vamos a suponer que, con esta ampliación del ancho europeo, siendo el ferrocarril el modo de transporte terrestre más barato por unidad de carga transportada en las distancias largas, se podrían captar el 80% de los tráficos actuales por carretera que realizan este recorrido hacia Francia.
Por último, hemos introducido el número de trenes actual en cada red que compartirían, sumando los trenes resultantes de los tráficos captados. De esta manera, podremos saber de una manera bastante ajustada a la realidad si la ampliación del ancho europeo hacia el sur por el Corredor Mediterráneo, puede utilizar las vías actuales o habría que construir una nueva plataforma expresamente para ello.

== Resultados ==
Como hemos explicado antes, nuestro trabajo se basa en saber si la red actual sería capaz de absorber el aumento de tráficos que supondría la extensión del ancho europeo por el Corredor Mediterráneo. Por ello, vamos a identificar los tramos más congestionados a día de hoy, para entonces, en ellos, valorar si el aumento de trenes de mercancías es soportable o no, medido en trenes/hora. Asumimos que los trenes de mercancías deberán circular en los horarios de menor demanda, por lo que no tendremos en cuenta las horas punta para estudiar nuestro caso. Tomando las circulaciones actuales de la web de Renfe, así como las de mercancías en otros sitios web, hemos calculado el número de circulaciones diarias que soporta cada recorrido, con extremo en cada capital de provincia (excepto Motril en el caso de Granada y Algeciras en lugar de Cádiz). En la siguiente tabla, hemos indicado las circulaciones que se estiman para el año 2025, que es el año horizonte en el calcula que la extensión del ancho europeo debe de estar funcionando en su totalidad.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Tramo
! Circulaciones/día
|-
|Frontera-Gerona||30
|-
|Gerona-Barcelona||62
|-
|Barcelona-Tarragona||168
|-
|Tarragona-Castellón||80
|-
|Castellón-Valencia||199
|-
|Valencia-Alicante||63*
|-
|Alicante-Murcia||92*
|-
|Murcia-Almería||66**
|-
|Almería-Granada||75**
|-
|Granada-Málaga||52**
|-
|Málaga-Cádiz||89**
|-
|colspan=2|''Tabla 1. Circulaciones/día en cada tramo del Corredor Mediterráneo en el horizonte 2025.''
|-
|colspan=2|''Nota: *Vía única; ** Sin línea existente, previsión en base a líneas con características semejantes.
''
|-
|}

Sabemos que la extensión hacia el sur del ancho europeo hará que se incrementen las circulaciones, y para saber si la red actual puede soportarlo, tenemos que ver cuál es el tramo más saturado considerando también esas nuevas circulaciones. Sin embargo el incremento en esas circulaciones variará en función de la situación del mismo: no serán igual en la frontera francesa que en el tramo Murcia-Alicante.

Ahora calculemos los trenes adicionales fruto del aumento de tráficos por la extensión del ancho europeo contando todos los tráficos, es decir, a la altura de la frontera francesa. Tenemos el tráfico de mercancías en el Corredor Mediterráneo con origen/destino Europa. Se trata en total de 25,49 millones de toneladas, de las que 23,29 se mueven por carretera y 2,2 lo hacen por ferrocarril. Tomando un peso medio por tren de 1000 t, nos da que, a día de hoy, tenemos 2.200 trenes de mercancías al año entre España y Europa. Con una captación del 70%, tendríamos que el ferrocarril pasaría a mover 23,29*0,7 + 2,2 = 18,503 millones de toneladas, lo que se traduce en 18.503 trenes al año. Suponiendo además que se distribuyen de manera uniforme a lo largo del año, tenemos que suponen un total de 51 trenes diarios. Estos cálculos los hemos tomado con los valores reales de 2007, sin embargo, para extrapolarlos al año horizonte 2025, debemos multiplicar esos valores por un 1,4, que es un valor que aproxima el aumento de la demanda de transporte para ese año. Por ello, tenemos que considerar 20.043*1,4=25.905 trenes anuales, lo que nos da 71 trenes diarios.

Vamos a repetir este cálculo para cada uno de los tramos, siempre tomando en cuenta que cada vez ese incremento en las mercancías captadas y por lo tanto en nuevos tráficos generados es menor. Los resultados son los siguientes:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Tramo
! Δ circulaciones/día
|-
|Frontera-Gerona||71
|-
|Gerona-Barcelona||68
|-
|Barcelona-Tarragona||46
|-
|Tarragona-Castellón||37
|-
|Castellón-Valencia||30
|-
|Valencia-Alicante||19
|-
|Alicante-Murcia||14
|-
|Murcia-Almería||9
|-
|Almería-Granada||6
|-
|Granada-Málaga||3
|-
|Málaga-Cádiz||2
|-
|colspan=2|''Tabla 2. Incremento de las circulaciones en cada tramo, fruto de la captación de nuevos tráficos.''
|-
|}

Sumando estos valores a los anteriores, tenemos que las circulaciones/día en total son:

{|class="wikitable" style="text-align:center;"
! Tramo
! Circulaciones/día totales
|-
|Frontera-Gerona|| bgcolor="LawnGreen" colspan=1 | 101
|-
|Gerona-Barcelona||bgcolor="LawnGreen" colspan=1 |130
|-
|Barcelona-Tarragona||bgcolor="Yellow" colspan=1 |214
|-
|Tarragona-Castellón||bgcolor="LawnGreen" colspan=1 |117
|-
|Castellón-Valencia||bgcolor="Yellow" colspan=1 |229
|-
|Valencia-Alicante||bgcolor="Tomato" colspan=1 |82*
|-
|Alicante-Murcia||bgcolor="Tomato" colspan=1 |106*
|-
|Murcia-Almería||bgcolor="LawnGreen" colspan=1 |75**
|-
|Almería-Granada||bgcolor="LawnGreen" colspan=1 |81**
|-
|Granada-Málaga||bgcolor="LawnGreen" colspan=1 |55**
|-
|Málaga-Cádiz||bgcolor="LawnGreen" colspan=1 |91**
|-
|colspan=2|''Tabla 3. Resultados de circulaciones totales.''
|-
|colspan=2|''Nota 1: *Vía única; ** Sin línea existente, previsión en base a líneas con características semejantes.''
|-
|colspan=2|''Nota 2: En verde, tramos no saturados. En amarillo, tramos cercanos a la saturación. En rojo, tramos saturados.''
|-
|}

Tomando valores propios de explotación ferroviaria, sabemos que las líneas de vía doble empiezan a tener problemas de capacidad a partir de las 200 circulaciones diarias, llegando a la saturación con valores de 280-300 circulaciones/día, por lo que vemos que en los tramos Barcelona-Tarragona y Castellón-Valencia tendríamos falta de capacidad, sobre todo en horas punta, pero sin llegar a la saturación. En el caso del tramo Alicante-Murcia, las 106 circulaciones/día sí que colapsarían nuestra línea, al ser de vía única, cuyo límite de saturación está entre las 70 y 80 circulaciones diarias. Esto también ocurriría en el tramo Valencia-Alicante.

[[Archivo:Mapa linea fc.jpg|750px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 3 Tramos de saturación de la línea férrea del Corredor Mediterráneo en 2025.]]

== Conclusiones ==
Observando los resultados de los cálculos realizados en base al crecimiento de las circulaciones en las líneas que nos ocupan, vemos que hay dos tramos en los que sería necesaria la ampliación de capacidad (preferentemente vía segregación de plataformas y anchos) para absorber la capacidad: Valencia-Alicante y Alicante-Murcia. Luego, tenemos otros dos tramos en los que, sin llegar a la saturación, convendría ir planificando un desdoble, separando los tráficos según anchos. Estamos hablando del Barcelona-Tarragona y el Castellón-Valencia.

== Anejos ==

Se añaden a continuación algunos mapas que reflejan variables fundamentales de la realidad socioeconómica de la zona de estudio.

[[Archivo:Poblaci n mapa.jpg|750px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 4 Población de las provincias de estudio.]]

[[Archivo:PIB por Poblacion_mapa.jpg|750px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 5 Producto Interior Bruto Per Cápita de las provincias bajo estudio.]]

[[Archivo:Exp por PIB mapa.jpg|750px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 6 Porcentaje del valor de las exportaciones sobre el total del PIB.]]

== Referencias ==

http://www.camins.cat/emailings/Cursos/Curs_ferroviari_2014/ponencies_web/9.5.14/Explotacion_infra_ferroviaria_Cantero_9.5.14.pdf

http://www.fomento.es/NR/rdonlyres/1C7244AD-1CB8-46A5-8B3F-D515D2BBBF85/100282/20110314_ESTCORRMEDITERRANEObajo.pdf

http://www.lavozlibre.com/noticias/ampliar/861280/el-ave-entre-girona-y-figueres-transporta-12-millones-de-viajeros-en-su-primer-ano

http://www.ferropedia.es/wiki/Tr%C3%A1ficos_Corredor_Mediterr%C3%A1neo_(pasajeros)

http://www.fomento.gob.es/NR/rdonlyres/109F0858-A15E-4F8C-B1D7-77C7F37FA9D8/114420/121218_Presentacion_proyecto_implantacion_UIC_Corr.pdf

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_16/17]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-05T10:50:17Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
% Apartado 5
h=1/20; % Paso de muestreo
uu=1/3:h:1; % Intervalo [1,2]
vv=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi]
[u,v]=meshgrid(uu,vv); % Matrices. TAMAÑO 41 14
x=u.*v; % Parametrización X
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
w=[((-u.^2).*v)./sqrt(u.^2+v.^2),(u.*(v.^2))./sqrt(u.^2+v.^2)];
wx=w(:,1:14); % Componente i del campo de desplazamientos
wy=w(:,15:28); % Componente j del campo de desplazamientos
% Dibujo
subplot(1,3,2)
quiver(x,y,wx,wy)
title('Campo de deformaciones')
axis([-1.2,1.2,-1,1])
% Apartado 6
fx=x+wx;
fy=y+wy;
% Dibujo
subplot(1,3,3)
surf(fx,fy,0*fx)
title('Placa deformada')
view(2)
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*fx)
title('Placa original')
view(2)
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Campodesplazz.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el mallado original de la placa, el campo de vectores de desplazamiento, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 7
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
div=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 3D')
}}

[[Archivo:Divergenciaas.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 8
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
rot=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 3D')
}}

[[Archivo:Rotaota.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]
Vemos que los puntos que sufren una mayor rotación son los situados más a la izquierda de la placa, siendo los de menos rotación los de más a la derecha.

== Tensiones normales==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

[[Archivo:Tensorgradiente11.jpg|800px|thumb|centre|Tensor gradiente]]

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

[[Archivo:Elnombredeverdad.jpg|800px|thumb|centre|Parte simétrica del tensor gradiente]]

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Para este cálculo, se precisa tomar el valor de la divergencia obtenido anteriormente.

[[Archivo:Tensionsigma.jpg|800px|thumb|centre|Tensor de tensiones]]

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

{{matlab|codigo=
% Apartado 9
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
rota=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
dive=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
Tu=(-u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
Tv=(-3*u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
% Dibujo
figure(1)
quiver(x,y,Tu*0,Tv)
title('Tensión en la dirección de u')
figure(2)
quiver(x,y,Tu,Tv*0)
title('Tensión en la dirección de v')
figure(3)
surf(x,y,rota)
title('Módulo de la rotación')
figure(4)
surf(x,y,dive)
title('Módulo de la divergencia')
}}

[[Archivo:Moduladiverver.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la divergencia]]
[[Archivo:Modularotata.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la rotación]]
[[Archivo:Tensionenuu.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de u]]
[[Archivo:Tensionenvv.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de v]]

Podemos observar, como es obvio, que donde mayor es la tensión en u, mayor es la divergencia en esos puntos. A la vez, donde mayor es la tensión en v, mayor es la rotación

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
% Apartado 10
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[(-x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-3*x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;0,0,(-x.^3-2.*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2)))];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
title('Tensión de Von Mises')
max(max(lambdatotal))
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Ludwigvonmises.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''0,5''' y se alcanza en el '''punto de la placa pertenecientes a la ordenada 0,5 y abscisa nula '''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-05T03:52:15Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
% Apartado 5
h=1/20; % Paso de muestreo
uu=1/3:h:1; % Intervalo [1,2]
vv=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi]
[u,v]=meshgrid(uu,vv); % Matrices. TAMAÑO 41 14
x=u.*v; % Parametrización X
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
w=[((-u.^2).*v)./sqrt(u.^2+v.^2),(u.*(v.^2))./sqrt(u.^2+v.^2)];
wx=w(:,1:14); % Componente i del campo de desplazamientos
wy=w(:,15:28); % Componente j del campo de desplazamientos
% Dibujo
subplot(1,3,2)
quiver(x,y,wx,wy)
title('Campo de deformaciones')
axis([-1.2,1.2,-1,1])
% Apartado 6
fx=x+wx;
fy=y+wy;
% Dibujo
subplot(1,3,3)
surf(fx,fy,0*fx)
title('Placa deformada')
view(2)
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*fx)
title('Placa original')
view(2)
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Campodesplazz.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el mallado original de la placa, el campo de vectores de desplazamiento, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 7
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
div=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 3D')
}}

[[Archivo:Divergenciaas.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 8
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
rot=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 3D')
}}

[[Archivo:Rotaota.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]
Vemos que los puntos que sufren una mayor rotación son los situados más a la izquierda de la placa, siendo los de menos rotación los de más a la derecha.

== Tensiones normales==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

[[Archivo:Tensorgradiente11.jpg|800px|thumb|centre|Tensor gradiente]]

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

[[Archivo:Elnombredeverdad.jpg|800px|thumb|centre|Parte simétrica del tensor gradiente]]

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Para este cálculo, se precisa tomar el valor de la divergencia obtenido anteriormente.

[[Archivo:Tensionsigma.jpg|800px|thumb|centre|Tensor de tensiones]]

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

{{matlab|codigo=
% Apartado 9
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
rota=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
dive=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
Tu=(-u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
Tv=(-3*u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
% Dibujo
figure(1)
quiver(x,y,Tu*0,Tv)
title('Tensión en la dirección de u')
figure(2)
quiver(x,y,Tu,Tv*0)
title('Tensión en la dirección de v')
figure(3)
surf(x,y,rota)
title('Módulo de la rotación')
figure(4)
surf(x,y,dive)
title('Módulo de la divergencia')
}}

[[Archivo:Moduladiverver.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la divergencia]]
[[Archivo:Modularotata.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la rotación]]
[[Archivo:Tensionenuu.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de u]]
[[Archivo:Tensionenvv.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de v]]

Podemos observar, como es obvio, que donde mayor es la tensión en u, mayor es la divergencia en esos puntos. A la vez, donde mayor es la tensión en v, mayor es la rotación

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
% Apartado 10
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[(-x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-3*x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;0,0,(-x.^3-2.*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2)))];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
title('Tensión de Von Mises')
max(max(lambdatotal))
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Ludwigvonmises.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''0,5''' y se alcanza en el '''punto de la placa pertenecientes a la ordenada 0,5 y abscisa nula '''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-05T03:47:37Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
% Apartado 5
h=1/20; % Paso de muestreo
uu=1/3:h:1; % Intervalo [1,2]
vv=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi]
[u,v]=meshgrid(uu,vv); % Matrices. TAMAÑO 41 14
x=u.*v; % Parametrización X
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
w=[((-u.^2).*v)./sqrt(u.^2+v.^2),(u.*(v.^2))./sqrt(u.^2+v.^2)];
wx=w(:,1:14); % Componente i del campo de desplazamientos
wy=w(:,15:28); % Componente j del campo de desplazamientos
% Dibujo
subplot(1,3,2)
quiver(x,y,wx,wy)
title('Campo de deformaciones')
axis([-1.2,1.2,-1,1])
% Apartado 6
fx=x+wx;
fy=y+wy;
% Dibujo
subplot(1,3,3)
surf(fx,fy,0*fx)
title('Placa deformada')
view(2)
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*fx)
title('Placa original')
view(2)
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Campodesplazz.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el mallado original de la placa, el campo de vectores de desplazamiento, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 7
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
div=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 3D')
}}

[[Archivo:Divergenciaas.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 8
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
rot=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 3D')
}}

[[Archivo:Rotaota.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]
Vemos que los puntos que sufren una mayor rotación son los situados más a la izquierda de la placa, siendo los de menos rotación los de más a la derecha.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

[[Archivo:Tensorgradiente11.jpg|800px|thumb|centre|Tensor gradiente]]

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

[[Archivo:Elnombredeverdad.jpg|800px|thumb|centre|Tensor gradiente]]

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Para este cálculo, se precisa tomar el valor de la divergencia obtenido anteriormente.

[[Archivo:Tensionsigma.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

{{matlab|codigo=
% Apartado 9
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
rota=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
dive=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
Tu=(-u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
Tv=(-3*u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
% Dibujo
figure(1)
quiver(x,y,Tu*0,Tv)
title('Tensión en la dirección de u')
figure(2)
quiver(x,y,Tu,Tv*0)
title('Tensión en la dirección de v')
figure(3)
surf(x,y,rota)
title('Módulo de la rotación')
figure(4)
surf(x,y,dive)
title('Módulo de la divergencia')
}}

[[Archivo:Moduladiverver.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la divergencia]]
[[Archivo:Modularotata.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la rotación]]
[[Archivo:Tensionenuu.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de u]]
[[Archivo:Tensionenvv.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de v]]

Podemos observar, como es obvio, que donde mayor es la tensión en u, mayor es la divergencia en esos puntos. A la vez, donde mayor es la tensión en v, mayor es la rotación

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
% Apartado 10
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[(-x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-3*x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;0,0,(-x.^3-2.*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2)))];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
title('Tensión de Von Mises')
max(max(lambdatotal))
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Ludwigvonmises.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''0,5''' y se alcanza en el '''punto de la placa pertenecientes a la ordenada 0,5 y abscisa nula '''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-05T03:39:55Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
% Apartado 5
h=1/20; % Paso de muestreo
uu=1/3:h:1; % Intervalo [1,2]
vv=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi]
[u,v]=meshgrid(uu,vv); % Matrices. TAMAÑO 41 14
x=u.*v; % Parametrización X
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
w=[((-u.^2).*v)./sqrt(u.^2+v.^2),(u.*(v.^2))./sqrt(u.^2+v.^2)];
wx=w(:,1:14); % Componente i del campo de desplazamientos
wy=w(:,15:28); % Componente j del campo de desplazamientos
% Dibujo
subplot(1,3,2)
quiver(x,y,wx,wy)
title('Campo de deformaciones')
axis([-1.2,1.2,-1,1])
% Apartado 6
fx=x+wx;
fy=y+wy;
% Dibujo
subplot(1,3,3)
surf(fx,fy,0*fx)
title('Placa deformada')
view(2)
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*fx)
title('Placa original')
view(2)
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Campodesplazz.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el mallado original de la placa, el campo de vectores de desplazamiento, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 7
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
div=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 3D')
}}

[[Archivo:Divergenciaas.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 8
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
rot=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 3D')
}}

[[Archivo:Rotaota.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]
Vemos que los puntos que sufren una mayor rotación son los situados más a la izquierda de la placa, siendo los de menos rotación los de más a la derecha.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

[[Archivo:Tensorgradiente11.jpg|800px|thumb|centre|Tensor gradiente]]

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

[[Archivo:Elnombredeverdad.jpg|800px|thumb|centre|Tensor gradiente]]

[[Archivo:Rotaota.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

[[Archivo:Tensionsigma.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

{{matlab|codigo=
% Apartado 9
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
rota=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
dive=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
Tu=(-u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
Tv=(-3*u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
% Dibujo
figure(1)
quiver(x,y,Tu*0,Tv)
title('Tensión en la dirección de u')
figure(2)
quiver(x,y,Tu,Tv*0)
title('Tensión en la dirección de v')
figure(3)
surf(x,y,rota)
title('Módulo de la rotación')
figure(4)
surf(x,y,dive)
title('Módulo de la divergencia')
}}

[[Archivo:Moduladiverver.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la divergencia]]
[[Archivo:Modularotata.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la rotación]]
[[Archivo:Tensionenuu.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de u]]
[[Archivo:Tensionenvv.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de v]]

Podemos observar, como es obvio, que donde mayor es la tensión en u, mayor es la divergencia en esos puntos. A la vez, donde mayor es la tensión en v, mayor es la rotación

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
% Apartado 10
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[(-x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-3*x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;0,0,(-x.^3-2.*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2)))];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
title('Tensión de Von Mises')
max(max(lambdatotal))
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Ludwigvonmises.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''0,5''' y se alcanza en el '''punto de la placa pertenecientes a la ordenada 0,5 y abscisa nula '''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Tensionsigma.jpg

2015-12-05T03:39:20Z

Grupo14:

Archivo:Elnombredeverdad.jpg

2015-12-05T03:35:08Z

Grupo14:

Archivo:Tensorgradiente11.jpg

2015-12-05T03:32:11Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-05T03:10:07Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
% Apartado 5
h=1/20; % Paso de muestreo
uu=1/3:h:1; % Intervalo [1,2]
vv=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi]
[u,v]=meshgrid(uu,vv); % Matrices. TAMAÑO 41 14
x=u.*v; % Parametrización X
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
w=[((-u.^2).*v)./sqrt(u.^2+v.^2),(u.*(v.^2))./sqrt(u.^2+v.^2)];
wx=w(:,1:14); % Componente i del campo de desplazamientos
wy=w(:,15:28); % Componente j del campo de desplazamientos
% Dibujo
subplot(1,3,2)
quiver(x,y,wx,wy)
title('Campo de deformaciones')
axis([-1.2,1.2,-1,1])
% Apartado 6
fx=x+wx;
fy=y+wy;
% Dibujo
subplot(1,3,3)
surf(fx,fy,0*fx)
title('Placa deformada')
view(2)
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*fx)
title('Placa original')
view(2)
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Campodesplazz.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el mallado original de la placa, el campo de vectores de desplazamiento, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 7
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
div=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 3D')
}}

[[Archivo:Divergenciaas.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 8
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
rot=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 3D')
}}

[[Archivo:Rotaota.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]
Vemos que los puntos que sufren una mayor rotación son los situados más a la izquierda de la placa, siendo los de menos rotación los de más a la derecha.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

{{matlab|codigo=
% Apartado 9
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
rota=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
dive=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
Tu=(-u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
Tv=(-3*u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
% Dibujo
figure(1)
quiver(x,y,Tu*0,Tv)
title('Tensión en la dirección de u')
figure(2)
quiver(x,y,Tu,Tv*0)
title('Tensión en la dirección de v')
figure(3)
surf(x,y,rota)
title('Módulo de la rotación')
figure(4)
surf(x,y,dive)
title('Módulo de la divergencia')
}}

[[Archivo:Moduladiverver.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la divergencia]]
[[Archivo:Modularotata.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la rotación]]
[[Archivo:Tensionenuu.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de u]]
[[Archivo:Tensionenvv.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de v]]

Podemos observar, como es obvio, que donde mayor es la tensión en u, mayor es la divergencia en esos puntos. A la vez, donde mayor es la tensión en v, mayor es la rotación

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
% Apartado 10
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[(-x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-3*x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;0,0,(-x.^3-2.*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2)))];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
title('Tensión de Von Mises')
max(max(lambdatotal))
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Ludwigvonmises.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''0,5''' y se alcanza en el '''punto de la placa pertenecientes a la ordenada 0,5 y abscisa nula '''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-05T02:38:44Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
% Apartado 5
h=1/20; % Paso de muestreo
uu=1/3:h:1; % Intervalo [1,2]
vv=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi]
[u,v]=meshgrid(uu,vv); % Matrices. TAMAÑO 41 14
x=u.*v; % Parametrización X
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
w=[((-u.^2).*v)./sqrt(u.^2+v.^2),(u.*(v.^2))./sqrt(u.^2+v.^2)];
wx=w(:,1:14); % Componente i del campo de desplazamientos
wy=w(:,15:28); % Componente j del campo de desplazamientos
% Dibujo
subplot(1,3,2)
quiver(x,y,wx,wy)
title('Campo de deformaciones')
axis([-1.2,1.2,-1,1])
% Apartado 6
fx=x+wx;
fy=y+wy;
% Dibujo
subplot(1,3,3)
surf(fx,fy,0*fx)
title('Placa deformada')
view(2)
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*fx)
title('Placa original')
view(2)
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Campodesplazz.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 7
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
div=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 3D')
}}

[[Archivo:Divergenciaas.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 8
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
rot=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 3D')
}}

[[Archivo:Rotaota.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la rotación]]
Vemos que los puntos que sufren una mayor rotación son los situados más a la izquierda de la placa, siendo los de menos rotación los de más a la derecha.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

{{matlab|codigo=
% Apartado 9
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
rota=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
dive=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
Tu=(-u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
Tv=(-3*u.^3-4*u.*v.^2)./(u.^2)+(v.^2);
% Dibujo
figure(1)
quiver(x,y,Tu*0,Tv)
title('Tensión en la dirección de u')
figure(2)
quiver(x,y,Tu,Tv*0)
title('Tensión en la dirección de v')
figure(3)
surf(x,y,rota)
title('Módulo de la rotación')
figure(4)
surf(x,y,dive)
title('Módulo de la divergencia')
}}

[[Archivo:Moduladiverver.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la divergencia]]
[[Archivo:Modularotata.jpg|800px|thumb|centre|Módulo de la rotación]]
[[Archivo:Tensionenuu.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de u]]
[[Archivo:Tensionenvv.jpg|800px|thumb|centre|Tensión en la dirección de v]]

Podemos observar, como es obvio, que donde mayor es la tensión en u, mayor es la divergencia en esos puntos. A la vez, donde mayor es la tensión en v, mayor es la rotación

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
% Apartado 10
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[(-x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;(-y.^3)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),(-3*x.^3-4*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2))),0;0,0,(-x.^3-2.*x.*y.^2)./(4*((x.^2+y.^2).^(3/2)))];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
title('Tensión de Von Mises')
max(max(lambdatotal))
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Ludwigvonmises.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''0,5''' y se alcanza en el '''punto de la placa pertenecientes a la ordenada 0,5 y abscisa nula '''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Ludwigvonmises.jpg

2015-12-05T02:36:50Z

Grupo14:

Archivo:Tensionenvv.jpg

2015-12-05T02:27:12Z

Grupo14:

Archivo:Tensionenuu.jpg

2015-12-05T02:26:25Z

Grupo14:

Archivo:Modularotata.jpg

2015-12-05T02:25:33Z

Grupo14:

Archivo:Moduladiverver.jpg

2015-12-05T02:21:32Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-05T02:13:26Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
% Apartado 5
h=1/20; % Paso de muestreo
uu=1/3:h:1; % Intervalo [1,2]
vv=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi]
[u,v]=meshgrid(uu,vv); % Matrices. TAMAÑO 41 14
x=u.*v; % Parametrización X
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
w=[((-u.^2).*v)./sqrt(u.^2+v.^2),(u.*(v.^2))./sqrt(u.^2+v.^2)];
wx=w(:,1:14); % Componente i del campo de desplazamientos
wy=w(:,15:28); % Componente j del campo de desplazamientos
% Dibujo
subplot(1,3,2)
quiver(x,y,wx,wy)
title('Campo de deformaciones')
axis([-1.2,1.2,-1,1])
% Apartado 6
fx=x+wx;
fy=y+wy;
% Dibujo
subplot(1,3,3)
surf(fx,fy,0*fx)
title('Placa deformada')
view(2)
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*fx)
title('Placa original')
view(2)
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Campodesplazz.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 7
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
div=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 3D')
}}

[[Archivo:Divergenciaas.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 8
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
rot=-v.*(2*u.^2+v.^2)./4.*(((u.^2)+(v.^2)).^(1/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot);colorbar;
title('Rotación en 3D')
}}

[[Archivo:Rotaota.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Vemos que los puntos que sufren una mayor rotación son los situados más a la izquierda de la placa, siendo los de menos rotación los de más a la derecha.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Rotaota.jpg

2015-12-05T02:10:29Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-05T02:08:09Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
% Apartado 5
h=1/20; % Paso de muestreo
uu=1/3:h:1; % Intervalo [1,2]
vv=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi]
[u,v]=meshgrid(uu,vv); % Matrices. TAMAÑO 41 14
x=u.*v; % Parametrización X
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
w=[((-u.^2).*v)./sqrt(u.^2+v.^2),(u.*(v.^2))./sqrt(u.^2+v.^2)];
wx=w(:,1:14); % Componente i del campo de desplazamientos
wy=w(:,15:28); % Componente j del campo de desplazamientos
% Dibujo
subplot(1,3,2)
quiver(x,y,wx,wy)
title('Campo de deformaciones')
axis([-1.2,1.2,-1,1])
% Apartado 6
fx=x+wx;
fy=y+wy;
% Dibujo
subplot(1,3,3)
surf(fx,fy,0*fx)
title('Placa deformada')
view(2)
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*fx)
title('Placa original')
view(2)
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Campodesplazz.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 7
h=1/20;
uu=1/3:h:1;
vv=-1:h:1;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
x=u.*v;
y=(1/2).*((u.^2)-(v.^2));
% Dibujo
div=-u.*(u.^2+2*v.^2)./(4*(u.^2+v.^2).^(3/2));
subplot(1,2,1)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 2D')
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(x,y,div);colorbar;
title('Divergencia en 3D')
}}

[[Archivo:Divergenciaas.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Divergenciaas.jpg

2015-12-05T02:07:14Z

Grupo14:

Archivo:Campodesplazz.jpg

2015-12-05T02:03:56Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-04T18:36:30Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T18:31:01Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua19.png|1100px|thumb|centre]]

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Archivo:Ecua19.png

2015-12-04T18:30:25Z

Grupo14:

Archivo:Ecua18.png

2015-12-04T18:27:32Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T18:26:43Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Como dijimos previamente en el apartado de las bases naturales, para calcular el rotacional vamos a necesitar definir una tercera componenete <math>\vec{g_w}</math>. Los cálculos serán los siguientes:
[[Archivo:Ecua16.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua17.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua18.png|1100px|thumb|centre]]

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Archivo:Ecua17.png

2015-12-04T18:26:24Z

Grupo14:

Archivo:Ecua16.png

2015-12-04T18:16:27Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T18:00:28Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Pasamos a calcularla apoyándonos en cálculos previos.
[[Archivo:Ecua14.png|1100px|thumb|centre]]
Como uu es igual a 0, el cálculo se nos simplifica y finalmente queda:
[[Archivo:Ecua15.png|1100px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Archivo:Ecua15.png

2015-12-04T17:59:28Z

Grupo14:

Archivo:Ecua14.png

2015-12-04T17:55:51Z

Grupo14:

Archivo:Ecua13.png

2015-12-04T17:45:35Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:44:34Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Todo esto llevado a Matlab para obtener las gráficas que nos piden se traduce en esto:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:37:25Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua12.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua13.png|1100px|thumb|centre]]

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Archivo:Ecua12.png

2015-12-04T17:35:56Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:31:42Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|centre]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|centre]]

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:30:50Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1100px|thumb|izquierda]]
[[Archivo:Ecua11.png|1100px|thumb|derecha]]

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:30:10Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|800px|thumb|izquierda]]
[[Archivo:Ecua11.png|800px|thumb|derecha]]

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:28:45Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1000px|thumb|izquierda.]]
[[Archivo:Ecua11.png|1000px|thumb|derecha.]]

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Archivo:Ecua11.png

2015-12-04T17:28:17Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:18:48Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{i} +u \hat{j}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{i} -v \hat{j}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Ahora aplicamos el campo de desplazamientos descrito en la introducción del artículo sobre la placa. Para ver como queda el sólido después de ésta aplicación habrá que hacer una serie de cálculos:

[[Archivo:Ecua10.png|1000px|thumb|izquierda.]]
[[Archivo:Ecua10.png|1000px|thumb|izquierda.]]

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Archivo:Ecua10.png

2015-12-04T17:18:03Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:01:29Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T17:00:39Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:
[[Archivo:Ecua9.png|800px|thumb|centre]]

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas <math>u</math> y <math>v</math>. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Archivo:Ecua9.png

2015-12-04T17:00:07Z

Grupo14:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T16:58:27Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín Sánchez Molina

Íñigo Uraga Palacio

Jorge Martín Sebastián }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas <math>u</math> y <math>v</math>. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T16:58:09Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz 842

Ciro Rodriguez Matamoros 365

Joaquín Sánchez Molina 396

Íñigo Uraga Palacio 556

Jorge Martín Sebastián 262 }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas <math>u</math> y <math>v</math>. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-04T16:08:25Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín

Íñigo Uraga Palacio

Jorge }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas u y v. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo24)

2015-12-04T16:05:31Z

Grupo14: Página creada con «{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | Teoría de Campos|2014-15 | Paula de Sant...»

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín

Íñigo Uraga Palacio

Jorge }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas <math>u</math> y <math>v</math>. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T16:01:11Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 24 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín

Íñigo Uraga Palacio

Jorge }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas <math>u</math> y <math>v</math>. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (grupo 14)

2015-12-04T15:38:13Z

Grupo14:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 16-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Paula de Santos Muñoz

Ciro Rodriguez Matamoros

Joaquín

Íñigo Uraga Palacio

Jorge }}

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad consideramos una placa plana (en 2 dimensiones) que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* P1: 18y -81x2-1=0
* P2: 2y +x2-1=0

Para representarla se utilizará el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas adaptado a la geometría que nos dan:
* x = uv
* y = 1/2(u2-v2)

Considerando que el dominio en el que estarán comprendidas u y v será:

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas. Por un lado la temperatura T(u,v), dependiente de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y por otro lado los desplazamientos <math>vec{u}</math>(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:
[[Archivo:Ecua1.png|800px|thumb|centre|vector posición]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha generado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector desplazamientos
[[Archivo:Ecua2.png|800px|thumb|centre]]
donde <math>vec{a}</math> y <math>vec{b}</math> son vectores dados.

Además, en este trabajo supondremos lo siguiente:
[[Archivo:Ecua3.png|800px|thumb|centre]]

== Situación inicial de la placa==

Primero haremos un mallado para representar los puntos interiores del sólido, utilizando, un paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. El intervalo en el que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Dibujo.
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
}}

[[Archivo:Represent.png|800px|thumb|centre|Representación del sólido.]]

== Líneas Coordenadas y Base Natural==

=== Líneas Coordenadas===

Las líneas coordenadas sirve para entender mejor la transformación a coordenadas curvilíneas, y se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación u o v y manteniendo fija la restante.
Hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a u o a v, dentro de sus respectivos intervalos:

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;
xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % Parametrización X fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % Parametrización Y fijando v (0.5/-0.5/1/-1/0.75/-0.75/0) y cambiando u.
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;
xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));
yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));
yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));
yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % Parametrización X fijando u (0.5/0.4/1/0.9/0.75/0.65/0.333) y cambiando v.
subplot(1,2,1); % Dibujaremos las líneas coordenadas en dos gráficas (u y v) en la misma imagen.
hold on
mesh(xx11,yy11,0*xx);mesh(xx12,yy12,0*xx);mesh(xx13,yy13,0*xx);
mesh(xx14,yy14,0*xx);mesh(xx15,yy15,0*xx);mesh(xx16,yy16,0*xx);
mesh(xx17,yy17,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
subplot(1,2,2);
hold on
mesh(xx21,yy21,0*xx);mesh(xx22,yy22,0*xx);mesh(xx23,yy23,0*xx);
mesh(xx24,yy24,0*xx);mesh(xx25,yy25,0*xx);mesh(xx26,yy26,0*xx);
mesh(xx27,yy27,0*xx);
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
hold off
}}
A continuación se muestra las gráficas resultantes:
[[Archivo:Lineascoordenadas.png|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas fijando la variable v (izquierda) y u (derecha), respectivamente.]]
 

=== Base Natural===

Al realizar una transformación a coordenadas curvilíneas, en nuestro caso de x e y a u y v, el vector de posición <math> \vec{r_o}</math> se expresará así:

[[Archivo:Ecua4.png|800px|thumb|centre]]

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> tiene como vectores la derivada del vector posición <math> \vec{r_o}</math> según las nuevas coordenadas <math>u</math> y <math>v</math>. Al tratarse de una placa plana (2 dimensiones solamente), sólo se requieren los vectores, (<math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>). Aún así, más adelante en el trabajo tendremos que considerar una tercera coordenada, por eso también incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

{{matlab|codigo=
plot(xx,yy); % Dibujo.
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Región que dibujamos.
view(2)
hold off

}}

[[Archivo:Basesnaturales.png|800px|thumb|centre|Vectores de la base natural <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math>]]
 

Sabemos que está bién porque los vectores que acabamos de representar son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> son las derivadas del vector de posición <math> \vec{r_0}</math> respecto u y v).

== Curvas de nivel por influencia de un foco de calor==

La temperatura el producto de un foco de calor dado por el campo escalar
[[Archivo:Ecua5.png|800px|thumb|centre]]

{{matlab|codigo=
T=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);
contour(xx,yy,T,20); % 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,T); colorbar;
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
max(max(T)) % Valor máximo de la temperatura.
}}

[[Archivo:Focotemperatura.png|1000px|thumb|centre|Gráficas de la variación de la temperatura en la placa.]]
 
Por la forma de la función temperatura, el valor máximo de temperatura en la placa va a ser 1, y se da cuando x es igual a y.

== Gradiente de T==

El gradiente de una función escalar es la dirección en la cual el campo crece más rápido. Nuestras curvas de nivel representan los puntos que tienen la misma temperatura. Así que nuestro vector gradiente de temperatura será siempre perpendicular a estas líneas de nivel, y lo obtendremos derivando la función temperatura respecto x e y respectivamente.
[[Archivo:Ecua7.png|800px|thumb|centre|Función temperatura y sus respectivas derevidas parciales respecto x (izquierda) e y (derecha).]]
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=exp(-(xx-yy).^2); % Función Temperatura.
fx=(-2.*xx+2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(2.*xx-2.*yy).*exp(-(xx-yy).^2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Gradtemperatura.png|1000px|thumb|centre|Vectores del gradiente superpuestos sobre las líneas de temperatura.]]
 

== Campo de desplazamientos==

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> y la placa deformada será la siguiente:

{{matlab|codigo=
Ux=-2.*uu.*vv; % Componente x del campo de desplazamientos u.
Uy=-2.*uu.^2; % Componente y del campo de desplazamientos u.
subplot(1,3,1) % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
quiver(xx,yy,Ux,Uy); % Representación del campo vectorial de desplazamientos u.
axis([-1,1,-1,1]); % Selecciona la región a dibujar.
xd=xx+Ux; % Componente x final del sólido deformado.
yd=yy+Uy; % Componente y final del sólido deformado.
subplot(1,3,2), mesh(xx,yy,0*xx); % Muestra varias imágenes (2ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,3,3), mesh(xd,yd,0*xd); % Muestra varias imágenes (3ª Imagen) y mallado completo.
axis([-1,1,-2,1]); % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Las imágenes obtenidas fueron las siguientes:
[[Archivo:Todo0000.jpg|1000px|thumb|centre|Gráficas que muestran, de izquierda a derecha, el campo de vectores de desplazamiento, el mallado original de la placa, y el resultado final de la placa tras la aplicación de la fuerza.]]
 

== Divergencia de un campo==

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión::

<math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \frac{\partial [\sqrt{g} u^{i}] }{\partial u^i}</math>

La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y si la divergencia es negativa se dice que tiene "sumideros" .

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso, recordamos que estaba definido por:

<math>\vec{u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes <math>u^u,u^v,u^w</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión <math>u^i=\vec{u}{g^i}</math>. Recordando que <math>{g^i}</math> son las componentes contravariantes de la base natural <math>\{\vec{g_u},\vec{g_v}\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} , u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}</math>, éstas se hallan a partir de <math>{g^i}=G^{ij}g_j</math> siendo <math>G^{ij}</math> la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural <math>G_{ij}</math>:

<math>G_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}\qquad G^{ij}=G^{-1}_{ij}</math>

Operando la anterior expresión se calculan las <math>g^{i}</math>:

*<math>g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) </math>
*<math>g^{v}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) </math>

De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
*<math>u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u^v=0</math>

Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es <math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>. Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial <math>\vec{u}</math>. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.

{{matlab|codigo=
Divergencia=(-2.*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)); % Campo Divergencia.
surf(xx,yy,Divergencia);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
}}

[[Archivo:Jauja.jpg|800px|thumb|centre|Imagen de la divergencia <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>.]]
Podemos corroborar con la imagen de la placa deformada, que el mayor cambio de área se produce en la zona superior de la misma, la cual se deforma en sentido descendente; mientras que la menor variación se produce en los picos inferiores, los cuales se trasladan al lado opuesto, "doblándose" la placa sobre el eje de ordenadas.

== Cálculo del rotacional de un campo vectorial==

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante :
*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_w}=\hat{e_3}</math> (suponiendo una tercera componente en la transformación <math> z=w</math>).

El término <math>g</math> es el determinante de la matriz de Gram <math>G</math>de la base natural:

<math>G=\begin{bmatrix} \vec{g_u}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_u}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_v}\cdot\vec{g_u} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_v} & \vec{g_v}\cdot\vec{g_w} \\ \vec{g_w}\cdot\vec{g_u} &\vec{g_w}\cdot\vec{g_v}&\vec{g_w}\cdot\vec{g_w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}</math>

De modo que <math>g=(u^2+v^2)^2</math>

Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> había quedado definido por la expresión:

<math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b}\cdot{r_{o}})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})</math>

Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes <math>u_{u},u_{v},u_{w}</math> del campo. Éstas se calculan por la expresión:

<math>u_{i}=\vec{u}{g_{i}}</math>

De esta manera:
*<math>u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)</math>
*<math>u_{v}=0</math>
*<math>u_{w}=0</math>

Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=\vec{0}</math>

El significado físico de esta situación se traduce en que el campo <math>\vec{u}</math> no tiene tendencia a rotación.

== Tensor de tensiones==

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μ\epsilon</math> siendo:

*<math>\epsilon (\vec{u})</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>::

<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\nabla\vec{u}+ \nabla\vec{u}^t}{2}</math>

*<math>λ</math> y <math>μ</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Se utilizarán estas expresiones para dibujar las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección que marca <math>\vec{g_v}</math>, es decir:

<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

Bajo estas instrucciones se empieza a definir <math>\sigma ^ij</math>. Para ello nos serviremos de la fórmula de las derivadas parciales covariantes <math>u^{i}, _j = \frac{\partial u^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}u^k</math>

'''1. Tomaremos <math>λ=μ=1</math>.'''

'''2. Se calcula el tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, <math>\nabla\vec{u}</math>:'''

<math>\nabla\vec{u}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u^u}{\partial u} + \Gamma ^1_{11} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial v} + \Gamma ^1_{12} u^u & \frac{\partial u^u}{\partial w} + \Gamma ^1_{13} u^u \\ \frac{\partial u^v }{\partial u} + \Gamma ^{2}_{11}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial v} + \Gamma ^{2}_{12}u^u & \frac{\partial u^v }{\partial w} + \Gamma ^{2}_{13}u^u \\ \frac{\partial u^w }{\partial u} + \Gamma ^{3}_{11}u^u &\frac{\partial u^w }{\partial v} + \Gamma ^{3}_{12}u^u&\frac{\partial u^w }{\partial w} + \Gamma ^{3}_{13}u^u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}\qquad\nabla \vec{u}^t=\begin{bmatrix}-2- \frac{2u^2}{u^2+v^2} & \frac{2uv}{u^2+v^2} & 0 \\\frac{-2uv}{u^2+v^2} & \frac{-2u^2}{u^2+v^2} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix}</math>:

'''3. Parte simétrica del tensor gradiente <math>\nabla\vec{u}</math>, <math>\epsilon (\vec{u})</math> :'''

Por lo tanto <math>\epsilon (\vec{u})=\begin{bmatrix}\frac{-4u^2-2v^2}{(u^2+v^2)} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-2u^2}{(u^2+v^2)} & 0\\0&0&0 \end{bmatrix} </math>

'''4. Cálculo de <math>σ</math>:'''
Se recuerda que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es
<math>\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}</math>

<math>\sigma ^ij=λ\nabla·\vec{u}1+2μЄ=\begin{bmatrix}\frac{-14u^2-6v^2}{u^2+v^2} & 0 & 0 \\\ 0 & \frac{-10u^2-2v^2}{u^2+v^2} & 0\\0 &0& \frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \end{bmatrix}</math>

Por último, para la representación de las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>, se necesita definir:<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}= \frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}=\frac{u\vec {e_1}-v\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>

Sabiendo esto, se puede proceder en Matlab al cálculo de las matrices que permitirán posteriormente la representación de las tensiones normales en la dirección que marca <math>\vec{g_u}</math> y la dirección de <math>\vec{g_v}</math>:

*<math>\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}·σ·\frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math>
*<math>\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}·σ·\frac{\vec{g}_v}{|\vec{g_v}|}</math>

== Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Miss es una magnitud escalar que se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
La tensión de Von Mises se define por la siguiente fórmula:
[[Archivo:Ecua8.png|800px|thumb|centre|Tensión de Von Mises.]]
En la cual σ1, σ2 y σ3 son autovalores de σ.
{{matlab|codigo=
sigma1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 1.
sigma2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 2.
sigma3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); % Autovalor 3.
Mises=sqrt(((sigma1-sigma2).^2+(sigma2-sigma3).^2+(sigma3-sigma1).^2)./2); % Fórmula de Von Misses.
surf(xx,yy,Mises); % Visualización de superficie en 3D.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
max(max(Mises)) % Valor máximo de la tensión de Von Mises en toda la región.
}}

Este fue el resultado:
[[Archivo:Elele.jpg|800px|thumb|centre|Visualización en 3D de la placa tras la tensión de Von Mises.]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es '''6.9282''' y se alcanza en los '''puntos de la placa pertenecientes al eje de ordenadas'''.

== Masa de la placa==
Por último, hallaremos la masa de la placa utilizando la función densidad que nos dan:
[[Archivo:Ecua6.png|800px|thumb|centre|Función densidad.]]

Para ello utilizaremos el Método del Trapecio en Matlab. Este método se basa en aplicar la función en cada punto y obtener una matriz de valores de la densidad en cada punto de la malla. Después esa matriz hay que multiplicarla por un vector fila y columna y sumando cada uno de los elementos de esa matriz obtendremos finalmente la masa total del sólido.

Como x e y pueden ser valores negativos, la función densidad podría ser negativa en algunos puntos de la placa. Para evitarlo, los resultados finales se obtendrán convirtiendo cada valor de la matriz de densidades en su valor absoluto, multiplicándolos más tarde por los pasos y sumándolos todos entre sí.

{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; % 200 puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Malla.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.^2+yy.^2)*log(1.+1./(xx.^2+1)); % Función Densidad.
D=abs(d); % Valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(N1+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Resultado.
}}

El valor final de la masa obtenido es 34.1843.