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Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-15T19:46:51Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián

Rafael Garcia Lopez

Gonzalo Ramirez Mateo

Alejandra Martin Moreno

Carlos de Ana de Miguel
}}

== Introducción ==

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
 Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
* La temperatura T(x,y)
* El campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>, producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

==Presentación de la placa==

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen.

Físicamente también puede representar la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.
A continuación se muestra la sección de la placa.

[[Archivo:MALLADO.jpeg|600px|thumb|centre|Mallado de nuestra placa rectangular plana]]
 
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
}}

==Temperatura==
La temperatura viene determinada por la siguiente función:

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

 '''3.1 Curvas de nivel'''

 Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

[[Archivo:Curvas de nivel del campo de temperatura.jpeg|600px|thumb|centre|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]

 En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
}}

'''3.2 Gradiente de la temperatura'''

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 En este caso particular:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura, en el que se puede apreciar como el campo de vectores es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura, ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma.

[[Archivo:Gradiente de temperatura16.jpeg|500px|thumb|center|El gradiente de temperatura]]
 

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')

}}

==Ley de Fourier==
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica <math>\vec Q</math>, afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>

 Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.

[[Archivo:Ley de Fourier15.jpeg|600px|thumb|center|Ley de Fourier aplicada]]

 Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:

{{matlab|codigo=

%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')

}}

==Desplazamiento==

'''5.1 Campo de vectores de desplazamientos'''

El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos15.jpeg|600px|thumb|centre|Campo de vectores de desplazamientos ]]

 El código correspondiente es:

{{matlab|codigo=
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')

}}

'''5.2 Sólido antes y después del desplazamiento'''

El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.

[[Archivo:antes_y_despues15.jpeg|600px|thumb|centre| Sólido antes y después del desplazamiento]]

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

{{matlab|codigo=
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)

%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

}}

==Divergencia==
La divergencia de un campo vectorial es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Se deben considerar dos expresiones a la hora del cálculo:
*El campo de de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t) = -\vec a sin(πk( \vec d\cdot\vec r_0 (x,y) - vt)) = \frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) \vec i </math>
 
*La fórmula de la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

La representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamiento resulta:

[[Archivo:divergencia15.jpeg|750px|thumb|center|1. Divergencia del campo vectorial]]

 
La Divergencia de <math> \vec u </math> es máxima en el eje (x,6) y su valor es igual a 0,333. El mínimo punto de Divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0

[[Archivo:divergencia2.15.jpeg|600px|thumb|right|2. Divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=

%DIVERGENCIA
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= (1/3).*sin((pi*My)/12);
surf(Mx,My, div);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

%Divergencia 3D
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Introducimos la divergencia
div=(1/3).*sin((pi/12).*My);
%Representación
surf(Mx,My,div)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(Mx,My,div)
shading interp
hold on
contour(Mx,My,div,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))

}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo de un camp a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

 Si se aplica el campo de desplazamiento:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\Pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\Pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

 A continuación se muestra una representación gráfica de este resultado :

[[Archivo:Rotacional15.jpeg|600px|thumb|centre|Rotacional del campo escalar]]

 Como puede observarse, la zona en la que el rotacional adopta su valor máximo se encuentran en la esquina inferior izquierda, es decir, en el (x, y)=(-1, 0).

El código empleado para dibujar el rotacional del campo de desplazamientos es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Rotacional
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;
[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Definimos rotacional
Rot = (-Mx .* pi .* cos((My .* pi) / 12)) / 36; % Corrección en la fórmula

% Representamos rotacional
surf(Mx, My, Rot);
axis([-1, 1, 0, 12]);
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Rotacional')

}}

==Tensor de tensiones==
El tensor de tensiones viene determinado por la siguiente expresión: <math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math> 

Desarrollando:
 

<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} (\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
Finalmente resulta: <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>
 
 

'''8.1 Tensiones normales'''

'''8.1.1 Tensiones normales en la dirección <math>\vec i</math> '''
 
El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.1.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en i]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en i
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje i
ti=sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,ti)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

'''8.1.2 Tensiones normales en la dirección <math>\vec j</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec j</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec j · \sigma · \vec j = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.2.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en j]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en j
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje j
tj=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tj)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.1.3 Tensiones normales en la dirección <math>\vec k</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec k</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec k · \sigma · \vec k = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.3.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en k]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en k
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje k
tk=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%Representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tk)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.2 Tensiones tangenciales'''

Para calcular las tensiones tangenciales que sufre la placa en la dirección del plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t = 0.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| (\sigma) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\Pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \left| ( \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) \vec{j} ) \right| </math>

[[Archivo:TENSORESTANGENCIALES15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones tangenciales]]

 

{{matlab|codigo=
%Tensores tangenciales
h= 2/10;
u=-1:h:1;
v= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(Mx*pi/36).*cos((pi/12).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1,1,0,12]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como límite de tensión. En este caso, podemos observar que el punto máximo de tensión es: 0.666667.
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σv=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\sin(\frac{Πy}{12})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}</math>

Como resultado de la tensión de Von Mises obtenemos la siguiente expresión: <center> <math> \ σv = (\frac{2}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

[[Archivo:VonMises15.1.jpeg|500px|thumb|right|Von Mises]]

{{matlab|codigo=

h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos las ytensiones normales previamente obtenidas
Ti=sin((pi/12).*My);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
[P,D]=eig(T);
Autovalor1=D(1,1);
Autovalor2=D(2,2);
Autovalor3=D(3,3);
%Calculamos VON MISES
VonMises=sqrt(((Autovalor1-Autovalor2)^2+(Autovalor2-Autovalor3)^2+(Autovalor3-Autovalor1)^2)*1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end
%Representamos los valores
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
%maxima tensión
maxSIGMA=max(Mz)

}}

==El campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas que actúa sobre la placa y causa el desplazamiento se aproxima usando:
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>

∇·σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ.

Con nuestro vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Sustituimos el vector <math>\vec u</math> y nos da :

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

El tensor deformaciones es igual a:

<center> <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Teniendo en cuenta a matriz anterior, el tensor de tensiones resulta:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18} \cdot cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

Debemos derivar el vector <math>\vec u</math> dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Para que se pueda cumplir

<math>\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Y para ello <math>cos(\frac{Πy}{12}-vt) </math>= 0

Despejando se llega a la igualdad de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

Nuestro nuevo vector sustituído <math>\vec u</math> nos da:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

El tensor deformación en este caso será <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

El nuevo tensor de tensiones es igual a <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{Π}{36}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{Π}{36}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5Π^2}{432}sen(\frac{Π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5Π^2}{432}sen(\frac{Π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Despejando se llega a la misma solución que antes de <math>V= \frac{Π√5}{12}</math>

Con los datos obtenidos en este apartado, podemos decir que la velocidad de propagación de una onda tanto longitudinal, como transversal, resultará cambiar de valor.

==Módulo del desplazamiento transversal==
Para calcular el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec i </math> ) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t ∈ [0,10]</math>. Será necesario recuperar la fórmula obtenida en el apartado anterior, de esta forma se consigue definir la velocidad de propagación.

En nuestro caso, la velocidad de propagación es <math> v = \frac{\Pi}{12} </math>

Resultando una ecuación: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πνt)·\vec{i}</math>.

[[Archivo:deplazamientotransversal.jpeg|600px|thumb|center|Desplazamiento trasversal]]

{{matlab|codigo=

%Definimos los parámetros
h=2/10;
v=(pi/12);
t=0:h:10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Definimos el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Fijamos los puntos
xx=1/2;
yy=1;
U=xx/3*sin((pi*yy/12)-pi.*t.*v);
%Representamos
figure
plot(t,U);
title('U en funcion del tiempo');
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Valor de la funcion');
grid on;
}}

[[Categoría: Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-15T19:37:48Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián

Rafael Garcia Lopez

Gonzalo Ramirez Mateo

Alejandra Martin Moreno

Carlos de Ana de Miguel
}}

== Introducción ==

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
 Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
* La temperatura T(x,y)
* El campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>, producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

==Presentación de la placa==

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen.

Físicamente también puede representar la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.
A continuación se muestra la sección de la placa.

[[Archivo:MALLADO.jpeg|600px|thumb|centre|Mallado de nuestra placa rectangular plana]]
 
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
}}

==Temperatura==
La temperatura viene determinada por la siguiente función:

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

 '''3.1 Curvas de nivel'''

 Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

[[Archivo:Curvas de nivel del campo de temperatura.jpeg|600px|thumb|centre|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]

 En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
}}

'''3.2 Gradiente de la temperatura'''

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 En este caso particular:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura, en el que se puede apreciar como el campo de vectores es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura, ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma.

[[Archivo:Gradiente de temperatura16.jpeg|500px|thumb|center|El gradiente de temperatura]]
 

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')

}}

==Ley de Fourier==
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica <math>\vec Q</math>, afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>

 Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.

[[Archivo:Ley de Fourier15.jpeg|600px|thumb|center|Ley de Fourier aplicada]]

 Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:

{{matlab|codigo=

%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')

}}

==Desplazamiento==

'''5.1 Campo de vectores de desplazamientos'''

El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos15.jpeg|600px|thumb|centre|Campo de vectores de desplazamientos ]]

 El código correspondiente es:

{{matlab|codigo=
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')

}}

'''5.2 Sólido antes y después del desplazamiento'''

El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.

[[Archivo:antes_y_despues15.jpeg|600px|thumb|centre| Sólido antes y después del desplazamiento]]

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

{{matlab|codigo=
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)

%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

}}

==Divergencia==
La divergencia de un campo vectorial es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Se deben considerar dos expresiones a la hora del cálculo:
*El campo de de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t) = -\vec a sin(πk( \vec d\cdot\vec r_0 (x,y) - vt)) = \frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) \vec i </math>
 
*La fórmula de la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

La representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamiento resulta:

[[Archivo:divergencia15.jpeg|750px|thumb|center|1. Divergencia del campo vectorial]]

 
La Divergencia de <math> \vec u </math> es máxima en el eje (x,6) y su valor es igual a 0,333. El mínimo punto de Divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0

[[Archivo:divergencia2.15.jpeg|600px|thumb|right|2. Divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=

%DIVERGENCIA
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= (1/3).*sin((pi*My)/12);
surf(Mx,My, div);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

%Divergencia 3D
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Introducimos la divergencia
div=(1/3).*sin((pi/12).*My);
%Representación
surf(Mx,My,div)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(Mx,My,div)
shading interp
hold on
contour(Mx,My,div,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))

}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo de un camp a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

 Si se aplica el campo de desplazamiento:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\Pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\Pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

 A continuación se muestra una representación gráfica de este resultado :

[[Archivo:Rotacional15.jpeg|600px|thumb|centre|Rotacional del campo escalar]]

 Como puede observarse, la zona en la que el rotacional adopta su valor máximo se encuentran en la esquina inferior izquierda, es decir, en el (x, y)=(-1, 0).

El código empleado para dibujar el rotacional del campo de desplazamientos es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Rotacional
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;
[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Definimos rotacional
Rot = (-Mx .* pi .* cos((My .* pi) / 12)) / 36; % Corrección en la fórmula

% Representamos rotacional
surf(Mx, My, Rot);
axis([-1, 1, 0, 12]);
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Rotacional')

}}

==Tensor de tensiones==
El tensor de tensiones viene determinado por la siguiente expresión: <math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math> 

Desarrollando:
 

<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} (\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
Finalmente resulta: <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>
 
 

'''8.1 Tensiones normales'''

'''8.1.1 Tensiones normales en la dirección <math>\vec i</math> '''
 
El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.1.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en i]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en i
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje i
ti=sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,ti)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

'''8.1.2 Tensiones normales en la dirección <math>\vec j</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec j</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec j · \sigma · \vec j = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.2.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en j]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en j
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje j
tj=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tj)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.1.3 Tensiones normales en la dirección <math>\vec k</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec k</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec k · \sigma · \vec k = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.3.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en k]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en k
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje k
tk=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%Representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tk)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.2 Tensiones tangenciales'''

Para calcular las tensiones tangenciales que sufre la placa en la dirección del plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t = 0.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| (\sigma) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\Pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \left| ( \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) \vec{j} ) \right| </math>

[[Archivo:TENSORESTANGENCIALES15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones tangenciales]]

 

{{matlab|codigo=
%Tensores tangenciales
h= 2/10;
u=-1:h:1;
v= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(Mx*pi/36).*cos((pi/12).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1,1,0,12]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como límite de tensión. En este caso, podemos observar que el punto máximo de tensión es: 0.666667.
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σv=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\sin(\frac{Πy}{12})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}</math>

Como resultado de la tensión de Von Mises obtenemos la siguiente expresión: <center> <math> \ σv = (\frac{2}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

[[Archivo:VonMises15.1.jpeg|500px|thumb|right|Von Mises]]

{{matlab|codigo=

h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos las ytensiones normales previamente obtenidas
Ti=sin((pi/12).*My);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
[P,D]=eig(T);
Autovalor1=D(1,1);
Autovalor2=D(2,2);
Autovalor3=D(3,3);
%Calculamos VON MISES
VonMises=sqrt(((Autovalor1-Autovalor2)^2+(Autovalor2-Autovalor3)^2+(Autovalor3-Autovalor1)^2)*1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end
%Representamos los valores
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
%maxima tensión
maxSIGMA=max(Mz)

}}

==El campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas que actúa sobre la placa y causa el desplazamiento se aproxima usando:
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>

∇·σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ.

El tensor deformaciones es igual a:

<center> <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Teniendo en cuenta a matriz anterior, el tensor de tensiones resulta:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18} \cdot cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

Con nuestro vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Sustituimos y nos da el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Para que se pueda cumplir

<math>\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Y para ello <math>cos(\frac{Πy}{12}-vt) </math>= 0

Despejando se llega a la igualdad de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

Nuestro nuevo vector sustituído <math>\vec u</math> nos da:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

El tensor deformación en este caso será <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

El nuevo tensor de tensiones es igual a <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{Π}{36}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{Π}{36}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5Π^2}{432}sen(\frac{Π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5Π^2}{432}sen(\frac{Π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Despejando se llega a la misma solución que antes de <math>V= \frac{Π√5}{12}</math>

Con los datos obtenidos en este apartado, podemos decir que la velocidad de propagación de una onda tanto longitudinal, como transversal, resultará cambiar de valor.

==Módulo del desplazamiento transversal==
Para calcular el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec i </math> ) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t ∈ [0,10]</math>. Será necesario recuperar la fórmula obtenida en el apartado anterior, de esta forma se consigue definir la velocidad de propagación.

En nuestro caso, la velocidad de propagación es <math> v = \frac{\Pi}{12} </math>

Resultando una ecuación: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πνt)·\vec{i}</math>.

[[Archivo:deplazamientotransversal.jpeg|600px|thumb|center|Desplazamiento trasversal]]

{{matlab|codigo=

%Definimos los parámetros
h=2/10;
v=(pi/12);
t=0:h:10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Definimos el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Fijamos los puntos
xx=1/2;
yy=1;
U=xx/3*sin((pi*yy/12)-pi.*t.*v);
%Representamos
figure
plot(t,U);
title('U en funcion del tiempo');
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Valor de la funcion');
grid on;
}}

[[Categoría: Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-15T19:35:33Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián

Rafael Garcia Lopez

Gonzalo Ramirez Mateo

Alejandra Martin Moreno

Carlos de Ana de Miguel
}}

== Introducción ==

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
 Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
* La temperatura T(x,y)
* El campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>, producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

==Presentación de la placa==

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen.

Físicamente también puede representar la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.
A continuación se muestra la sección de la placa.

[[Archivo:MALLADO.jpeg|600px|thumb|centre|Mallado de nuestra placa rectangular plana]]
 
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
}}

==Temperatura==
La temperatura viene determinada por la siguiente función:

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

 '''3.1 Curvas de nivel'''

 Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

[[Archivo:Curvas de nivel del campo de temperatura.jpeg|600px|thumb|centre|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]

 En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
}}

'''3.2 Gradiente de la temperatura'''

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 En este caso particular:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura, en el que se puede apreciar como el campo de vectores es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura, ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma.

[[Archivo:Gradiente de temperatura16.jpeg|500px|thumb|center|El gradiente de temperatura]]
 

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')

}}

==Ley de Fourier==
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica <math>\vec Q</math>, afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>

 Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.

[[Archivo:Ley de Fourier15.jpeg|600px|thumb|center|Ley de Fourier aplicada]]

 Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:

{{matlab|codigo=

%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')

}}

==Desplazamiento==

'''5.1 Campo de vectores de desplazamientos'''

El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos15.jpeg|600px|thumb|centre|Campo de vectores de desplazamientos ]]

 El código correspondiente es:

{{matlab|codigo=
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')

}}

'''5.2 Sólido antes y después del desplazamiento'''

El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.

[[Archivo:antes_y_despues15.jpeg|600px|thumb|centre| Sólido antes y después del desplazamiento]]

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

{{matlab|codigo=
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)

%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

}}

==Divergencia==
La divergencia de un campo vectorial es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Se deben considerar dos expresiones a la hora del cálculo:
*El campo de de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t) = -\vec a sin(πk( \vec d\cdot\vec r_0 (x,y) - vt)) = \frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) \vec i </math>
 
*La fórmula de la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

La representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamiento resulta:

[[Archivo:divergencia15.jpeg|750px|thumb|center|1. Divergencia del campo vectorial]]

 
La Divergencia de <math> \vec u </math> es máxima en el eje (x,6) y su valor es igual a 0,333. El mínimo punto de Divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0

[[Archivo:divergencia2.15.jpeg|600px|thumb|right|2. Divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=

%DIVERGENCIA
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= (1/3).*sin((pi*My)/12);
surf(Mx,My, div);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

%Divergencia 3D
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Introducimos la divergencia
div=(1/3).*sin((pi/12).*My);
%Representación
surf(Mx,My,div)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(Mx,My,div)
shading interp
hold on
contour(Mx,My,div,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))

}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo de un camp a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

 Si se aplica el campo de desplazamiento:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\Pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\Pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

 A continuación se muestra una representación gráfica de este resultado :

[[Archivo:Rotacional15.jpeg|600px|thumb|centre|Rotacional del campo escalar]]

 Como puede observarse, la zona en la que el rotacional adopta su valor máximo se encuentran en la esquina inferior izquierda, es decir, en el (x, y)=(-1, 0).

El código empleado para dibujar el rotacional del campo de desplazamientos es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Rotacional
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;
[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Definimos rotacional
Rot = (-Mx .* pi .* cos((My .* pi) / 12)) / 36; % Corrección en la fórmula

% Representamos rotacional
surf(Mx, My, Rot);
axis([-1, 1, 0, 12]);
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Rotacional')

}}

==Tensor de tensiones==
El tensor de tensiones viene determinado por la siguiente expresión: <math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math> 

Desarrollando:
 

<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} (\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
Finalmente resulta: <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>
 
 

'''8.1 Tensiones normales'''

'''8.1.1 Tensiones normales en la dirección <math>\vec i</math> '''
 
El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.1.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en i]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en i
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje i
ti=sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,ti)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

'''8.1.2 Tensiones normales en la dirección <math>\vec j</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec j</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec j · \sigma · \vec j = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.2.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en j]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en j
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje j
tj=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tj)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.1.3 Tensiones normales en la dirección <math>\vec k</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec k</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec k · \sigma · \vec k = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.3.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en k]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en k
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje k
tk=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%Representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tk)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.2 Tensiones tangenciales'''

Para calcular las tensiones tangenciales que sufre la placa en la dirección del plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t = 0.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| (\sigma) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\Pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \left| ( \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) \vec{j} ) \right| </math>

[[Archivo:TENSORESTANGENCIALES15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones tangenciales]]

 

{{matlab|codigo=
%Tensores tangenciales
h= 2/10;
u=-1:h:1;
v= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(Mx*pi/36).*cos((pi/12).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1,1,0,12]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como límite de tensión. En este caso, podemos observar que el punto máximo de tensión es: 0.666667.
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σv=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\sin(\frac{Πy}{12})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}</math>

Como resultado de la tensión de Von Mises obtenemos la siguiente expresión: <center> <math> \ σv = (\frac{2}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

[[Archivo:VonMises15.1.jpeg|500px|thumb|right|Von Mises]]

{{matlab|codigo=

h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos las ytensiones normales previamente obtenidas
Ti=sin((pi/12).*My);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
[P,D]=eig(T);
Autovalor1=D(1,1);
Autovalor2=D(2,2);
Autovalor3=D(3,3);
%Calculamos VON MISES
VonMises=sqrt(((Autovalor1-Autovalor2)^2+(Autovalor2-Autovalor3)^2+(Autovalor3-Autovalor1)^2)*1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end
%Representamos los valores
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
%maxima tensión
maxSIGMA=max(Mz)

}}

==El campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas que actúa sobre la placa y causa el desplazamiento se aproxima usando:
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>

∇·σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ.

el tensor deformaciones es igual a:

<center> <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Teniendo en cuenta a matriz anterior, el tensor de tensiones resulta:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18} \cdot cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

Con nuestro vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Sustituimos y nos da el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Para que se pueda cumplir

<math>\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Y para ello <math>cos(\frac{Πy}{12}-vt) </math>= 0

Despejando se llega a la igualdad de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

Nuestro nuevo vector sustituído <math>\vec u</math> nos da:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

<center> <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

El nuevo tensor de tensiones es igual a <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{Π}{36}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{Π}{36}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5Π^2}{432}sen(\frac{Π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5Π^2}{432}sen(\frac{Π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Despejando se llega a la misma solución que antes de <math>V= \frac{Π√5}{12}</math>

Con los datos obtenidos en este apartado, podemos decir que la velocidad de propagación de una onda tanto longitudinal, como transversal, resultará cambiar de valor.

==Módulo del desplazamiento transversal==
Para calcular el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec i </math> ) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t ∈ [0,10]</math>. Será necesario recuperar la fórmula obtenida en el apartado anterior, de esta forma se consigue definir la velocidad de propagación.

En nuestro caso, la velocidad de propagación es <math> v = \frac{\Pi}{12} </math>

Resultando una ecuación: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πνt)·\vec{i}</math>.

[[Archivo:deplazamientotransversal.jpeg|600px|thumb|center|Desplazamiento trasversal]]

{{matlab|codigo=

%Definimos los parámetros
h=2/10;
v=(pi/12);
t=0:h:10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Definimos el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Fijamos los puntos
xx=1/2;
yy=1;
U=xx/3*sin((pi*yy/12)-pi.*t.*v);
%Representamos
figure
plot(t,U);
title('U en funcion del tiempo');
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Valor de la funcion');
grid on;
}}

[[Categoría: Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-15T19:29:02Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián

Rafael Garcia Lopez

Gonzalo Ramirez Mateo

Alejandra Martin Moreno

Carlos de Ana de Miguel
}}

== Introducción ==

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
 Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
* La temperatura T(x,y)
* El campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>, producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

==Presentación de la placa==

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen.

Físicamente también puede representar la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.
A continuación se muestra la sección de la placa.

[[Archivo:MALLADO.jpeg|600px|thumb|centre|Mallado de nuestra placa rectangular plana]]
 
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
}}

==Temperatura==
La temperatura viene determinada por la siguiente función:

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

 '''3.1 Curvas de nivel'''

 Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

[[Archivo:Curvas de nivel del campo de temperatura.jpeg|600px|thumb|centre|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]

 En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
}}

'''3.2 Gradiente de la temperatura'''

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 En este caso particular:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura, en el que se puede apreciar como el campo de vectores es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura, ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma.

[[Archivo:Gradiente de temperatura16.jpeg|500px|thumb|center|El gradiente de temperatura]]
 

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')

}}

==Ley de Fourier==
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica <math>\vec Q</math>, afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>

 Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.

[[Archivo:Ley de Fourier15.jpeg|600px|thumb|center|Ley de Fourier aplicada]]

 Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:

{{matlab|codigo=

%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')

}}

==Desplazamiento==

'''5.1 Campo de vectores de desplazamientos'''

El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos15.jpeg|600px|thumb|centre|Campo de vectores de desplazamientos ]]

 El código correspondiente es:

{{matlab|codigo=
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')

}}

'''5.2 Sólido antes y después del desplazamiento'''

El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.

[[Archivo:antes_y_despues15.jpeg|600px|thumb|centre| Sólido antes y después del desplazamiento]]

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

{{matlab|codigo=
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)

%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

}}

==Divergencia==
La divergencia de un campo vectorial es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Se deben considerar dos expresiones a la hora del cálculo:
*El campo de de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t) = -\vec a sin(πk( \vec d\cdot\vec r_0 (x,y) - vt)) = \frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) \vec i </math>
 
*La fórmula de la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

La representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamiento resulta:

[[Archivo:divergencia15.jpeg|750px|thumb|center|1. Divergencia del campo vectorial]]

 
La Divergencia de <math> \vec u </math> es máxima en el eje (x,6) y su valor es igual a 0,333. El mínimo punto de Divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0

[[Archivo:divergencia2.15.jpeg|600px|thumb|right|2. Divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=

%DIVERGENCIA
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= (1/3).*sin((pi*My)/12);
surf(Mx,My, div);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

%Divergencia 3D
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Introducimos la divergencia
div=(1/3).*sin((pi/12).*My);
%Representación
surf(Mx,My,div)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(Mx,My,div)
shading interp
hold on
contour(Mx,My,div,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))

}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo de un camp a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

 Si se aplica el campo de desplazamiento:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\Pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\Pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

 A continuación se muestra una representación gráfica de este resultado :

[[Archivo:Rotacional15.jpeg|600px|thumb|centre|Rotacional del campo escalar]]

 Como puede observarse, la zona en la que el rotacional adopta su valor máximo se encuentran en la esquina inferior izquierda, es decir, en el (x, y)=(-1, 0).

El código empleado para dibujar el rotacional del campo de desplazamientos es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Rotacional
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;
[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Definimos rotacional
Rot = (-Mx .* pi .* cos((My .* pi) / 12)) / 36; % Corrección en la fórmula

% Representamos rotacional
surf(Mx, My, Rot);
axis([-1, 1, 0, 12]);
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Rotacional')

}}

==Tensor de tensiones==
El tensor de tensiones viene determinado por la siguiente expresión: <math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math> 

Desarrollando:
 

<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} (\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
Finalmente resulta: <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>
 
 

'''8.1 Tensiones normales'''

'''8.1.1 Tensiones normales en la dirección <math>\vec i</math> '''
 
El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.1.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en i]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en i
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje i
ti=sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,ti)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

'''8.1.2 Tensiones normales en la dirección <math>\vec j</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec j</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec j · \sigma · \vec j = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.2.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en j]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en j
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje j
tj=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tj)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.1.3 Tensiones normales en la dirección <math>\vec k</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec k</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec k · \sigma · \vec k = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.3.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en k]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en k
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje k
tk=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%Representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tk)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.2 Tensiones tangenciales'''

Para calcular las tensiones tangenciales que sufre la placa en la dirección del plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t = 0.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| (\sigma) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\Pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \left| ( \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) \vec{j} ) \right| </math>

[[Archivo:TENSORESTANGENCIALES15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones tangenciales]]

 

{{matlab|codigo=
%Tensores tangenciales
h= 2/10;
u=-1:h:1;
v= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(Mx*pi/36).*cos((pi/12).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1,1,0,12]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como límite de tensión. En este caso, podemos observar que el punto máximo de tensión es: 0.666667.
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σv=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\sin(\frac{Πy}{12})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}</math>

Como resultado de la tensión de Von Mises obtenemos la siguiente expresión: <center> <math> \ σv = (\frac{2}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

[[Archivo:VonMises15.1.jpeg|500px|thumb|right|Von Mises]]

{{matlab|codigo=

h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos las ytensiones normales previamente obtenidas
Ti=sin((pi/12).*My);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
[P,D]=eig(T);
Autovalor1=D(1,1);
Autovalor2=D(2,2);
Autovalor3=D(3,3);
%Calculamos VON MISES
VonMises=sqrt(((Autovalor1-Autovalor2)^2+(Autovalor2-Autovalor3)^2+(Autovalor3-Autovalor1)^2)*1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end
%Representamos los valores
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
%maxima tensión
maxSIGMA=max(Mz)

}}

==El campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas que actúa sobre la placa y causa el desplazamiento se aproxima usando:
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>

∇·σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ (previamente calculada)

el tensor deformaciones es finalmente igual a:

<center> <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Teniendo en cuenta a matriz anterior, el tensor de tensiones resulta:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18} \cdot cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

Con nuestro vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Sustituimos y nos da el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Para que se pueda cumplir

<math>\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j}.</math> =0

Y para ello <math>cos(\frac{Πy}{12}) </math>= 0

Despejando se llega a la igualdad de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

Nuestro nuevo vector sustituído <math>\vec u</math> nos da:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

El nuevo tensor de tensiones es igual a <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{Π}{36}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{Π}{36}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5Π^2}{432}sen(\frac{Π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5Π^2}{432}sen(\frac{Π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Despejando se llega a la misma solución que antes de <math>V= \frac{Π√5}{12}</math>

Con los datos obtenidos en este apartado, podemos decir que la velocidad de propagación de una onda tanto longitudinal, como transversal, resultará cambiar de valor.

==Módulo del desplazamiento transversal==
Para calcular el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec i </math> ) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t ∈ [0,10]</math>. Será necesario recuperar la fórmula obtenida en el apartado anterior, de esta forma se consigue definir la velocidad de propagación.

En nuestro caso, la velocidad de propagación es <math> v = \frac{\Pi}{12} </math>

Resultando una ecuación: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πνt)·\vec{i}</math>.

[[Archivo:deplazamientotransversal.jpeg|600px|thumb|center|Desplazamiento trasversal]]

{{matlab|codigo=

%Definimos los parámetros
h=2/10;
v=(pi/12);
t=0:h:10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Definimos el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Fijamos los puntos
xx=1/2;
yy=1;
U=xx/3*sin((pi*yy/12)-pi.*t.*v);
%Representamos
figure
plot(t,U);
title('U en funcion del tiempo');
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Valor de la funcion');
grid on;
}}

[[Categoría: Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-15T19:03:45Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián

Rafael Garcia Lopez

Gonzalo Ramirez Mateo

Alejandra Martin Moreno

Carlos de Ana de Miguel
}}

== Introducción ==

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
 Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
* La temperatura T(x,y)
* El campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>, producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

==Presentación de la placa==

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen.

Físicamente también puede representar la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.
A continuación se muestra la sección de la placa.

[[Archivo:MALLADO.jpeg|600px|thumb|centre|Mallado de nuestra placa rectangular plana]]
 
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
}}

==Temperatura==
La temperatura viene determinada por la siguiente función:

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

 '''3.1 Curvas de nivel'''

 Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

[[Archivo:Curvas de nivel del campo de temperatura.jpeg|600px|thumb|centre|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]

 En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
}}

'''3.2 Gradiente de la temperatura'''

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 En este caso particular:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura, en el que se puede apreciar como el campo de vectores es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura, ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma.

[[Archivo:Gradiente de temperatura16.jpeg|500px|thumb|center|El gradiente de temperatura]]
 

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')

}}

==Ley de Fourier==
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica <math>\vec Q</math>, afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>

 Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.

[[Archivo:Ley de Fourier15.jpeg|600px|thumb|center|Ley de Fourier aplicada]]

 Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:

{{matlab|codigo=

%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')

}}

==Desplazamiento==

'''5.1 Campo de vectores de desplazamientos'''

El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos15.jpeg|600px|thumb|centre|Campo de vectores de desplazamientos ]]

 El código correspondiente es:

{{matlab|codigo=
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')

}}

'''5.2 Sólido antes y después del desplazamiento'''

El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.

[[Archivo:antes_y_despues15.jpeg|600px|thumb|centre| Sólido antes y después del desplazamiento]]

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

{{matlab|codigo=
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)

%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

}}

==Divergencia==
La divergencia de un campo vectorial es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Se deben considerar dos expresiones a la hora del cálculo:
*El campo de de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t) = -\vec a sin(πk( \vec d\cdot\vec r_0 (x,y) - vt)) = \frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) \vec i </math>
 
*La fórmula de la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

La representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamiento resulta:

[[Archivo:divergencia15.jpeg|750px|thumb|center|1. Divergencia del campo vectorial]]

 
La Divergencia de <math> \vec u </math> es máxima en el eje (x,6) y su valor es igual a 0,333. El mínimo punto de Divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0

[[Archivo:divergencia2.15.jpeg|600px|thumb|right|2. Divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=

%DIVERGENCIA
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= (1/3).*sin((pi*My)/12);
surf(Mx,My, div);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

%Divergencia 3D
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Introducimos la divergencia
div=(1/3).*sin((pi/12).*My);
%Representación
surf(Mx,My,div)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(Mx,My,div)
shading interp
hold on
contour(Mx,My,div,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))

}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo de un camp a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

 Si se aplica el campo de desplazamiento:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\Pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\Pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

 A continuación se muestra una representación gráfica de este resultado :

[[Archivo:Rotacional15.jpeg|600px|thumb|centre|Rotacional del campo escalar]]

 Como puede observarse, la zona en la que el rotacional adopta su valor máximo se encuentran en la esquina inferior izquierda, es decir, en el (x, y)=(-1, 0).

El código empleado para dibujar el rotacional del campo de desplazamientos es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Rotacional
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;
[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Definimos rotacional
Rot = (-Mx .* pi .* cos((My .* pi) / 12)) / 36; % Corrección en la fórmula

% Representamos rotacional
surf(Mx, My, Rot);
axis([-1, 1, 0, 12]);
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Rotacional')

}}

==Tensor de tensiones==
El tensor de tensiones viene determinado por la siguiente expresión: <math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math> 

Desarrollando:
 

<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} (\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
Finalmente resulta: <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>
 
 

'''8.1 Tensiones normales'''

'''8.1.1 Tensiones normales en la dirección <math>\vec i</math> '''
 
El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.1.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en i]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en i
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje i
ti=sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,ti)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

'''8.1.2 Tensiones normales en la dirección <math>\vec j</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec j</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec j · \sigma · \vec j = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.2.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en j]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en j
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje j
tj=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tj)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.1.3 Tensiones normales en la dirección <math>\vec k</math>'''

 El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec k</math> nos da como resultado:

<center> <math> \vec k · \sigma · \vec k = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

[[Archivo:tensionesnormales15.3.jpeg|500px|thumb|right|Tensión normal en k]]

{{matlab|codigo=

%Vamos a representar la Tensión Normal en k
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Formulación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos la Tensión Normal en el eje k
tk=(1/3).*sin((pi.*My)/12);
%Representamos la Tensión
figure
surf(Mx,My,tk)
shading flat
colorbar
axis([-1,1,0,12]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

}}

'''8.2 Tensiones tangenciales'''

Para calcular las tensiones tangenciales que sufre la placa en la dirección del plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t = 0.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| (\sigma) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\Pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \left| ( \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) \vec{j} ) \right| </math>

[[Archivo:TENSORESTANGENCIALES15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones tangenciales]]

 

{{matlab|codigo=
%Tensores tangenciales
h= 2/10;
u=-1:h:1;
v= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(Mx*pi/36).*cos((pi/12).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1,1,0,12]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como límite de tensión. En este caso, podemos observar que el punto máximo de tensión es: 0.666667.
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σv=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\sin(\frac{Πy}{12})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}</math>

Como resultado de la tensión de Von Mises obtenemos la siguiente expresión: <center> <math> \ σv = (\frac{2}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

[[Archivo:VonMises15.1.jpeg|500px|thumb|right|Von Mises]]

{{matlab|codigo=

h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Escribimos las ytensiones normales previamente obtenidas
Ti=sin((pi/12).*My);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My);
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
[P,D]=eig(T);
Autovalor1=D(1,1);
Autovalor2=D(2,2);
Autovalor3=D(3,3);
%Calculamos VON MISES
VonMises=sqrt(((Autovalor1-Autovalor2)^2+(Autovalor2-Autovalor3)^2+(Autovalor3-Autovalor1)^2)*1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end
%Representamos los valores
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
%maxima tensión
maxSIGMA=max(Mz)

}}

==El campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas que actúa sobre la placa y causa el desplazamiento se aproxima usando:
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>

∇·σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ (previamente calculada)

el tensor deformaciones es finalmente igual a:

<center> <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Teniendo en cuenta a matriz anterior, el tensor de tensiones resulta:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18} \cdot cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

Con nuestro vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Sustituimos y nos da el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Para que se pueda cumplir

<math>\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j}.</math> =0

Y para ello <math>cos(\frac{Πy}{12}) </math>= 0

Despejando se llega a la igualdad de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>

Nuestro nuevo vector sustituído <math>\vec u</math> nos da:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= v/3 ·cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -v^2/3 (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

El nuevo tensor de tensiones es igual a <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-Π^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{36}cos(\frac{Π*y}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-Π^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Despejando se llega a la misma solución que antes de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Con los datos obtenidos en este apartado, podemos decir que la velocidad de propagación de una onda tanto longitudinal, como transversal, resultará el mismo valor, puesto que es una constante.

==Módulo del desplazamiento transversal==
Para calcular el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec i </math> ) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t ∈ [0,10]</math>. Será necesario recuperar la fórmula obtenida en el apartado anterior, de esta forma se consigue definir la velocidad de propagación.

En nuestro caso, la velocidad de propagación es <math> v = \frac{\Pi}{12} </math>

Resultando una ecuación: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πνt)·\vec{i}</math>.

[[Archivo:deplazamientotransversal.jpeg|600px|thumb|center|Desplazamiento trasversal]]

{{matlab|codigo=

%Definimos los parámetros
h=2/10;
v=(pi/12);
t=0:h:10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Definimos el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Fijamos los puntos
xx=1/2;
yy=1;
U=xx/3*sin((pi*yy/12)-pi.*t.*v);
%Representamos
figure
plot(t,U);
title('U en funcion del tiempo');
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Valor de la funcion');
grid on;
}}

[[Categoría: Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-15T10:47:01Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián

Rafael Garcia Lopez

Gonzalo Ramirez Mateo

Alejandra Martin Moreno

Carlos de Ana de Miguel
}}

== Introducción ==

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
 Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
* La temperatura T(x,y)
* El campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>, producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

==Presentación de la placa==

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen.
A continuación se muestra la sección de la placa.

[[Archivo:MALLADO.jpeg|600px|thumb|centre|Mallado de nuestra placa rectangular plana]]
 
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
}}

==Temperatura==
La temperatura viene determinada por la siguiente función:

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

 '''3.1 Curvas de nivel'''

 Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

[[Archivo:Curvas de nivel del campo de temperatura.jpeg|600px|thumb|centre|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]

 En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
}}

'''3.2 Gradiente de la temperatura'''

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 En este caso particular:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura, en el que se puede apreciar como el campo de vectores es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura, ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma.

[[Archivo:Gradiente de temperatura16.jpeg|500px|thumb|center|El gradiente de temperatura]]
 

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')

}}

==Ley de Fourier==
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica <math>\vec Q</math>, afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>

 Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.

[[Archivo:Ley de Fourier15.jpeg|600px|thumb|center|Ley de Fourier aplicada]]

 Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:

{{matlab|codigo=

%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')

}}

==Desplazamiento==

'''5.1 Campo de vectores de desplazamientos'''

El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos15.jpeg|600px|thumb|centre|Campo de vectores de desplazamientos ]]

 El código correspondiente es:

{{matlab|codigo=
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);

xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')

}}

'''5.2 Sólido antes y después del desplazamiento'''

El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.

[[Archivo:antes_y_despues15.jpeg|600px|thumb|centre| Sólido antes y después del desplazamiento]]

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

{{matlab|codigo=
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO

h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);

title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);

title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);

title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

}}

==Divergencia==
La divergencia de un campo vectorial es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Se deben considerar dos expresiones a la hora del cálculo:
*El campo de de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t) = -\vec a sin(πk( \vec d\cdot\vec r_0 (x,y) - vt)) = \frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) \vec i </math>
 
*La fórmula de la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

La representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamiento resulta:

[[Archivo:divergencia15.jpeg|600px|thumb|centre|Divergencia del campo vectorial]]

 En la imagen anterior se aprecia como el eje (x,6), es la zona de máxima divergencia. El código empleado se muestra a continuación:

{{matlab|codigo=

%DIVERGENCIA
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= (1/3).*sin((pi*My)/12);
surf(Mx,My, div);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo de un camp a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

 Si se aplica el campo de desplazamiento:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\Pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\Pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

 A continuación se muestra una representación gráfica de este resultado :

[[Archivo:Rotacional15.jpeg|600px|thumb|centre|Rotacional del campo escalar]]

 Como puede observarse, las zonas en las que el rotacional adopta su valor máximo se encuentran en los polos de la placa. Es decir, en el (-1 , 0) y en el (1 , 12).

El código empleado para dibujar el rotacional del campo de desplazamientos es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Rotacional
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;
[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Definimos rotacional
Rot = (-Mx .* pi .* cos((My .* pi) / 12)) / 36; % Corrección en la fórmula

% Representamos rotacional
surf(Mx, My, Rot);
axis([-1, 1, 0, 12]);
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Rotacional')

}}

==Tensor de tensiones==
El tensor de tensiones viene determinado por la siguiente expresión: <math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math> 
Desarrollando:
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} (\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
Finalmente resulta: <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>
 
 

'''8.1 Tensiones normales'''
 
Los módulos de las tensiones normales aplicadas según las direcciones dadas son:

<center> <math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 
<center> <math> \vec j · \sigma · \vec j = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 
<center> <math> \vec k · \sigma · \vec k = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 

Las tensiones normales vienen representadas en la siguiente gráfica :

[[Archivo:tensionesnormales15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones normales]]

La imagen ha sido obtenida con el siguiente código:

{{matlab|codigo=

%TENSIONES NORMALES
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;

[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Coeficientes de Lamé
lambda = 1;
mu = 1;

% Tensor de deformaciones
epsilon = zeros(size(Mx, 1), size(Mx, 2), 2, 2);
epsilon(:, :, 1, 1) = gradient(Mx) / h;
epsilon(:, :, 2, 2) = gradient(My) / h;
epsilon(:, :, 1, 2) = 0.5 * (gradient(My) + gradient(Mx)) / h;
epsilon(:, :, 2, 1) = epsilon(:, :, 1, 2);

% Tensor de tensiones
sigma = zeros(size(Mx, 1), size(Mx, 2), 2, 2);
sigma(:, :, 1, 1) = lambda * sum(epsilon(:, :, 1, 1), 3) + 2 * mu * epsilon(:, :, 1, 1);
sigma(:, :, 2, 2) = lambda * sum(epsilon(:, :, 2, 2), 3) + 2 * mu * epsilon(:, :, 2, 2);
sigma(:, :, 1, 2) = 2 * mu * epsilon(:, :, 1, 2);
sigma(:, :, 2, 1) = sigma(:, :, 1, 2);

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot(2, 2, 1)
quiver(Mx, My, sigma(:, :, 1, 1), sigma(:, :, 2, 1));
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2, 2, 2)
quiver(Mx, My, sigma(:, :, 1, 2), sigma(:, :, 2, 2));
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot(2, 2, 3)
quiver(Mx, My, zeros(size(Mx)), zeros(size(Mx))); % No hay componente en la dirección k
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

}}

 

'''8.2 Tensiones tangenciales'''

Para calcular las tensiones tangenciales que sufre la placa en la dirección del plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t = 0.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| (\sigma) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\Pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \left| ( \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) \vec{j} ) \right| </math>

[[Archivo:TENSORESTANGENCIALES15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones tangenciales]]

 

{{matlab|codigo=
%Tensores tangenciales
h= 2/10;
u=-1:h:1;
v= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(Mx*pi/36).*cos((pi/12).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1,1,0,12]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
==La tensión de Von Mises==
==El campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas que actúa sobre la placa y causa el desplazamiento se aproxima usando:
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>

∇·σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ (previamente calculada)

el tensor deformaciones es finalmente igual a:

<center> <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Teniendo en cuenta a matriz anterior, el tensor de tensiones resulta:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18} \cdot cos(\frac{Πy}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

Con nuestro vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Sustituimos y nos da el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= vx/3 ·cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -v^2x/3 (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Para que se pueda cumplir

<math>\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j}.</math> =0

Y para ello <math>cos(\frac{Πy}{12}) </math>= 0

Despejando se llega a la igualdad de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>

Nuestro nuevo vector sustituído <math>\vec u</math> nos da:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= v/3 ·cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -v^2/3 (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

El nuevo tensor de tensiones es igual a <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-Π^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}*cos(\frac{Π*y}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-Π^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Despejando se llega a la misma solución que antes de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-15T10:46:14Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián

Rafael Garcia Lopez

Gonzalo Ramirez Mateo

Alejandra Martin Moreno

Carlos de Ana de Miguel
}}

== Introducción ==

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
 Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
* La temperatura T(x,y)
* El campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>, producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

==Presentación de la placa==

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen.
A continuación se muestra la sección de la placa.

[[Archivo:MALLADO.jpeg|600px|thumb|centre|Mallado de nuestra placa rectangular plana]]
 
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
}}

==Temperatura==
La temperatura viene determinada por la siguiente función:

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

 '''3.1 Curvas de nivel'''

 Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

[[Archivo:Curvas de nivel del campo de temperatura.jpeg|600px|thumb|centre|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]

 En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
}}

'''3.2 Gradiente de la temperatura'''

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 En este caso particular:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura, en el que se puede apreciar como el campo de vectores es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura, ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma.

[[Archivo:Gradiente de temperatura16.jpeg|500px|thumb|center|El gradiente de temperatura]]
 

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')

}}

==Ley de Fourier==
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica <math>\vec Q</math>, afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>

 Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.

[[Archivo:Ley de Fourier15.jpeg|600px|thumb|center|Ley de Fourier aplicada]]

 Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:

{{matlab|codigo=

%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')

}}

==Desplazamiento==

'''5.1 Campo de vectores de desplazamientos'''

El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos15.jpeg|600px|thumb|centre|Campo de vectores de desplazamientos ]]

 El código correspondiente es:

{{matlab|codigo=
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);

xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')

}}

'''5.2 Sólido antes y después del desplazamiento'''

El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.

[[Archivo:antes_y_despues15.jpeg|600px|thumb|centre| Sólido antes y después del desplazamiento]]

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

{{matlab|codigo=
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO

h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);

title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);

title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);

title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

}}

==Divergencia==
La divergencia de un campo vectorial es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Se deben considerar dos expresiones a la hora del cálculo:
*El campo de de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t) = -\vec a sin(πk( \vec d\cdot\vec r_0 (x,y) - vt)) = \frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) \vec i </math>
 
*La fórmula de la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

La representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamiento resulta:

[[Archivo:divergencia15.jpeg|600px|thumb|centre|Divergencia del campo vectorial]]

 En la imagen anterior se aprecia como el eje (x,6), es la zona de máxima divergencia. El código empleado se muestra a continuación:

{{matlab|codigo=

%DIVERGENCIA
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= (1/3).*sin((pi*My)/12);
surf(Mx,My, div);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo de un camp a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

 Si se aplica el campo de desplazamiento:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\Pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\Pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

 A continuación se muestra una representación gráfica de este resultado :

[[Archivo:Rotacional15.jpeg|600px|thumb|centre|Rotacional del campo escalar]]

 Como puede observarse, las zonas en las que el rotacional adopta su valor máximo se encuentran en los polos de la placa. Es decir, en el (-1 , 0) y en el (1 , 12).

El código empleado para dibujar el rotacional del campo de desplazamientos es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Rotacional
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;
[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Definimos rotacional
Rot = (-Mx .* pi .* cos((My .* pi) / 12)) / 36; % Corrección en la fórmula

% Representamos rotacional
surf(Mx, My, Rot);
axis([-1, 1, 0, 12]);
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Rotacional')

}}

==Tensor de tensiones==
El tensor de tensiones viene determinado por la siguiente expresión: <math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math> 
Desarrollando:
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} (\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
Finalmente resulta: <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>
 
 

'''8.1 Tensiones normales'''
 
Los módulos de las tensiones normales aplicadas según las direcciones dadas son:

<center> <math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 
<center> <math> \vec j · \sigma · \vec j = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 
<center> <math> \vec k · \sigma · \vec k = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 

Las tensiones normales vienen representadas en la siguiente gráfica :

[[Archivo:tensionesnormales15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones normales]]

La imagen ha sido obtenida con el siguiente código:

{{matlab|codigo=

%TENSIONES NORMALES
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;

[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Coeficientes de Lamé
lambda = 1;
mu = 1;

% Tensor de deformaciones
epsilon = zeros(size(Mx, 1), size(Mx, 2), 2, 2);
epsilon(:, :, 1, 1) = gradient(Mx) / h;
epsilon(:, :, 2, 2) = gradient(My) / h;
epsilon(:, :, 1, 2) = 0.5 * (gradient(My) + gradient(Mx)) / h;
epsilon(:, :, 2, 1) = epsilon(:, :, 1, 2);

% Tensor de tensiones
sigma = zeros(size(Mx, 1), size(Mx, 2), 2, 2);
sigma(:, :, 1, 1) = lambda * sum(epsilon(:, :, 1, 1), 3) + 2 * mu * epsilon(:, :, 1, 1);
sigma(:, :, 2, 2) = lambda * sum(epsilon(:, :, 2, 2), 3) + 2 * mu * epsilon(:, :, 2, 2);
sigma(:, :, 1, 2) = 2 * mu * epsilon(:, :, 1, 2);
sigma(:, :, 2, 1) = sigma(:, :, 1, 2);

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot(2, 2, 1)
quiver(Mx, My, sigma(:, :, 1, 1), sigma(:, :, 2, 1));
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2, 2, 2)
quiver(Mx, My, sigma(:, :, 1, 2), sigma(:, :, 2, 2));
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot(2, 2, 3)
quiver(Mx, My, zeros(size(Mx)), zeros(size(Mx))); % No hay componente en la dirección k
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

}}

 

'''8.2 Tensiones tangenciales'''

Para calcular las tensiones tangenciales que sufre la placa en la dirección del plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t = 0.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| (\sigma) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\Pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \left| ( \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) \vec{j} ) \right| </math>

[[Archivo:TENSORESTANGENCIALES15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones tangenciales]]

 

{{matlab|codigo=
%Tensores tangenciales
h= 2/10;
u=-1:h:1;
v= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(Mx*pi/36).*cos((pi/12).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1,1,0,12]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
==La tensión de Von Mises==
==El campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas que actúa sobre la placa y causa el desplazamiento se aproxima usando:
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>

∇·σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ (previamente calculada)

el tensor deformaciones es finalmente igual a:

<center> <math> ∈ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Teniendo en cuenta a matriz anterior, el tensor de tensiones resulta:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18} \cdot cos(\frac{Πy}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

Con nuestro vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Sustituimos y nos da el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= vx/3 ·cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -v^2x/3 (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

Siendo <math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Para que se pueda cumplir

<math>\frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j}.</math> =0

Y para ello <math>cos(\frac{Πy}{12}) </math>= 0

Despejando se llega a la igualdad de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>

Nuestro nuevo vector sustituído <math>\vec u</math> nos da:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= v/3 ·cos (\frac{\pi \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -v^2/3 (sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

El nuevo tensor de tensiones es igual a <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Π}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-Π^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}*cos(\frac{Π*y}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3} (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-Π^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Πy}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Despejando se llega a la misma solución que antes de <math>V= \frac{Π}{12}</math>

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T19:48:29Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián

Rafael Garcia Lopez

Gonzalo Ramirez Mateo

Alejandra Martin Moreno

Carlos de Ana de Miguel
}}

== Introducción ==

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
 Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
* La temperatura T(x,y)
* El campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>, producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

==Presentación de la placa==

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen.
A continuación se muestra la sección de la placa.

[[Archivo:MALLADO.jpeg|600px|thumb|centre|Mallado de nuestra placa rectangular plana]]
 
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
}}

==Temperatura==
La temperatura viene determinada por la siguiente función:

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

 '''3.1 Curvas de nivel'''

 Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

[[Archivo:Curvas de nivel del campo de temperatura.jpeg|600px|thumb|centre|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]

 En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
}}

'''3.2 Gradiente de la temperatura'''

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 En este caso particular:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura, en el que se puede apreciar como el campo de vectores es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura, ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma.

[[Archivo:Gradiente de temperatura16.jpeg|500px|thumb|center|El gradiente de temperatura]]
 

El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')

}}

==Ley de Fourier==
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica <math>\vec Q</math>, afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>

 Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.

[[Archivo:Ley de Fourier15.jpeg|600px|thumb|center|Ley de Fourier aplicada]]

 Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:

{{matlab|codigo=

%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')

}}

==Desplazamiento==

'''5.1 Campo de vectores de desplazamientos'''

El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos15.jpeg|600px|thumb|centre|Campo de vectores de desplazamientos ]]

 El código correspondiente es:

{{matlab|codigo=
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);

xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')

}}

'''5.2 Sólido antes y después del desplazamiento'''

El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.

[[Archivo:antes_y_despues15.jpeg|600px|thumb|centre| Sólido antes y después del desplazamiento]]

 El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:

{{matlab|codigo=
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO

h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);

title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);

title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);

title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

}}

==Divergencia==
La divergencia de un campo vectorial es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Se deben considerar dos expresiones a la hora del cálculo:
*El campo de de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t) = -\vec a sin(πk( \vec d\cdot\vec r_0 (x,y) - vt)) = \frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) \vec i </math>
 
*La fórmula de la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

La representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamiento resulta:

[[Archivo:divergencia15.jpeg|600px|thumb|centre|Divergencia del campo vectorial]]

 En la imagen anterior se aprecia como el eje (x,6), es la zona de máxima divergencia. El código empleado se muestra a continuación:

{{matlab|codigo=

%DIVERGENCIA
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
figure(2)
%Representamos la divergencia
div= (1/3).*sin((pi*My)/12);
surf(Mx,My, div);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
title ('Divergencia')

}}

==Rotacional==
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo de un camp a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = |\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_x & \vec u_y & \vec u_z \end{matrix}|</math></center>

 Si se aplica el campo de desplazamiento:

<center> <math> \nabla×\vec u(ρ,θ) = -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math> </center>

 A continuación se muestra una representación gráfica de este resultado :

[[Archivo:Rotacional15.jpeg|600px|thumb|centre|Rotacional del campo escalar]]

 Como puede observarse, las zonas en las que el rotacional adopta su valor máximo se encuentran en los polos de la placa. Es decir, en el (-1 , 0) y en el (1 , 12).

El código empleado para dibujar el rotacional del campo de desplazamientos es el siguiente:

{{matlab|codigo=

%Rotacional
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;
[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Definimos rotacional
Rot = (-Mx .* pi .* cos((My .* pi) / 12)) / 36; % Corrección en la fórmula

% Representamos rotacional
surf(Mx, My, Rot);
axis([-1, 1, 0, 12]);
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Rotacional')

}}

==Tensor de tensiones==
El tensor de tensiones viene determinado por la siguiente expresión: <math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math> 
Desarrollando:
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} (\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
Finalmente resulta: <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>
 
 

'''8.1 Tensiones normales'''
 
Los módulos de las tensiones normales aplicadas según las direcciones dadas son:

<center> <math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 
<center> <math> \vec j · \sigma · \vec j = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 
<center> <math> \vec k · \sigma · \vec k = (\frac{1}{3})· \sin (\frac{y·\Pi}{12}) </math> </center>

 

Las tensiones normales vienen representadas en la siguiente gráfica :

[[Archivo:tensionesnormales15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones normales]]

La imagen ha sido obtenida con el siguiente código:

{{matlab|codigo=

%TENSIONES NORMALES
h = 0.2;
u = -1:h:1;
v = 0:h:12;

[Mx, My] = meshgrid(u, v);

% Coeficientes de Lamé
lambda = 1;
mu = 1;

% Tensor de deformaciones
epsilon = zeros(size(Mx, 1), size(Mx, 2), 2, 2);
epsilon(:, :, 1, 1) = gradient(Mx) / h;
epsilon(:, :, 2, 2) = gradient(My) / h;
epsilon(:, :, 1, 2) = 0.5 * (gradient(My) + gradient(Mx)) / h;
epsilon(:, :, 2, 1) = epsilon(:, :, 1, 2);

% Tensor de tensiones
sigma = zeros(size(Mx, 1), size(Mx, 2), 2, 2);
sigma(:, :, 1, 1) = lambda * sum(epsilon(:, :, 1, 1), 3) + 2 * mu * epsilon(:, :, 1, 1);
sigma(:, :, 2, 2) = lambda * sum(epsilon(:, :, 2, 2), 3) + 2 * mu * epsilon(:, :, 2, 2);
sigma(:, :, 1, 2) = 2 * mu * epsilon(:, :, 1, 2);
sigma(:, :, 2, 1) = sigma(:, :, 1, 2);

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje i
subplot(2, 2, 1)
quiver(Mx, My, sigma(:, :, 1, 1), sigma(:, :, 2, 1));
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección i')
colorbar

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje j
subplot(2, 2, 2)
quiver(Mx, My, sigma(:, :, 1, 2), sigma(:, :, 2, 2));
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección j')
colorbar

% Tensiones normales en la dirección que marca el eje k
subplot(2, 2, 3)
quiver(Mx, My, zeros(size(Mx)), zeros(size(Mx))); % No hay componente en la dirección k
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-1, 1, 0, 12]);
title('Tensiones normales a la dirección k')
colorbar

}}

 

'''8.2 Tensiones tangenciales'''

Para calcular las tensiones tangenciales que sufre la placa en la dirección del plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t = 0.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| (\sigma) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\Pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \left| ( \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) \vec{j} ) \right| </math>

[[Archivo:TENSORESTANGENCIALES15.jpeg|600px|thumb|centre|Tensiones tangenciales]]

 

{{matlab|codigo=
%Tensores tangenciales
h= 2/10;
u=-1:h:1;
v= 0:h:12;
%Creación de matriz x e y
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Tensión tangencial en cada punto
tn=(Mx*pi/36).*cos((pi/12).*My);
%Representación gráfica
quiver(Mx,My,tn,tn.*0);
axis([-1,1,0,12]);
title('Tension tangencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
==Tensión tangencial respecto a plano ortogonal==
==La tensión de Von Mises==
==El campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas que actúa sobre la placa y causa el desplazamiento se aproxima usando:
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>

∇·σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz σ (previamente calculada)

el tensor deformaciones es finalmente igual a: ∈ <math> \mathbb = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

El tensor de tensiones finalmente es igual a <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μ∈</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{Πx}{36}cos(\frac{Πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{Πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

<math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}*cos(\frac{Π*y}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Con nuestro vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Sustituimos y nos da el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Debemos derivarlo dos veces en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= vx/3 ·cos (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -v^2x/3 (sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo los dos términos en la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec F</math> y suponiendo que <math>\vec F</math>=0;

<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = -v^2x/3 (sin(\frac{Πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xΠ^2}{432}sin(\frac{Πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{Π}{18}cos(\frac{Π*y}{12})\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

Para que se pueda cumplir <math>\frac{Π}{18}cos(\frac{Π*y}{12})\vec{j}

debe ser cero

Y para ello cos(\frac{Π*y}{12}) = 0

Despejando se llega a la igualdad de V= \frac{Π}{12}

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T18:14:53Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T18:12:22Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T17:47:05Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T17:41:45Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T17:40:39Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T17:29:23Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T17:27:12Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T17:20:25Z

Grm: /* El campo de fuerzas \vec F */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T17:18:17Z

Grm:

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-14T17:16:06Z

Grm:

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-13T10:52:01Z

Grm:

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-13T10:50:57Z

Grm: /* Tensor de tensiones */

Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

2023-12-04T10:04:49Z

Grm:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Oliver Prada Sanchidrián;
Rafael Garcia Lopez;
Gonzalo Ramirez Mateo;
Alejandra Martin Moreno;
Carlos de Ana de Miguel}}

{| class="wikitable"
|'''Participantes'''
|-
| José Penadés Crespí
|-
| Oliver Prada Sanchidrián
|-
| Jorge Amador Domínguez
|-
| David Pallarés Carrillo
|}