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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-14T09:50:16Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=((Mu.^2).*(Mv.^2).*Mv)./sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
V1=Mu.*Mv./sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad2_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad2_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica. El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0*Mu;
V2=Mv;
fx=0;
fy=(Mu.*Mv)./10;
Mz=0.*Mu;
hold on
axis([-3,3,0,5])
subplot(2,1,1);
surf(Mu,Mv,0*Mu)
view(2)
subplot(2,1,2);
surf(Mu+fx,Mv+fy,0.*Mu)
view(2)
hold off

}}

Y obtenemos el gráfico:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
A=[];
for i=1:length(u)
for j=1:length(v)
A=[Mu(i,j)./10 Mv(i,j)./10 0;Mv(i,j)./10 (3.*Mu(i,j))./10 0;0 0 Mu(i,j)./10];
L=eig(A);
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2);
Mw(i,j)=ecuacion;
end
end
surf(Mu,Mv,Mw)

}}

Obtenemos la representación:

[[Archivo:Vonmises_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones de Von Mises ]]

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

Utilizamos el código:

{{Matlab|codigo=

%F=[-1/5 0 0]
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=-Mu/10-Mv/10;
V2=Mu*0;
V3=Mw*0;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y nos devuelve el siguiente gráfico:

[[Archivo:CampoF_dex.png|800px|center|thumb|Representación del campos de fuerzas F ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h^2);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa2_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Grad2 c dex.png

2016-12-14T09:49:59Z

GA4:

Archivo:Grad2 dex.png

2016-12-14T09:49:38Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-13T08:36:50Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica. El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0*Mu;
V2=Mv;
fx=0;
fy=(Mu.*Mv)./10;
Mz=0.*Mu;
hold on
axis([-3,3,0,5])
subplot(2,1,1);
surf(Mu,Mv,0*Mu)
view(2)
subplot(2,1,2);
surf(Mu+fx,Mv+fy,0.*Mu)
view(2)
hold off

}}

Y obtenemos el gráfico:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
A=[];
for i=1:length(u)
for j=1:length(v)
A=[Mu(i,j)./10 Mv(i,j)./10 0;Mv(i,j)./10 (3.*Mu(i,j))./10 0;0 0 Mu(i,j)./10];
L=eig(A);
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2);
Mw(i,j)=ecuacion;
end
end
surf(Mu,Mv,Mw)

}}

Obtenemos la representación:

[[Archivo:Vonmises_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones de Von Mises ]]

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

Utilizamos el código:

{{Matlab|codigo=

%F=[-1/5 0 0]
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=-Mu/10-Mv/10;
V2=Mu*0;
V3=Mw*0;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y nos devuelve el siguiente gráfico:

[[Archivo:CampoF_dex.png|800px|center|thumb|Representación del campos de fuerzas F ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h^2);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa2_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Masa2 dex.png

2016-12-13T08:36:24Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-05T16:32:53Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica. El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0*Mu;
V2=Mv;
fx=0;
fy=(Mu.*Mv)./10;
Mz=0.*Mu;
hold on
axis([-3,3,0,5])
subplot(2,1,1);
surf(Mu,Mv,0*Mu)
view(2)
subplot(2,1,2);
surf(Mu+fx,Mv+fy,0.*Mu)
view(2)
hold off

}}

Y obtenemos el gráfico:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
A=[];
for i=1:length(u)
for j=1:length(v)
A=[Mu(i,j)./10 Mv(i,j)./10 0;Mv(i,j)./10 (3.*Mu(i,j))./10 0;0 0 Mu(i,j)./10];
L=eig(A);
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2);
Mw(i,j)=ecuacion;
end
end
surf(Mu,Mv,Mw)

}}

Obtenemos la representación:

[[Archivo:Vonmises_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones de Von Mises ]]

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

Utilizamos el código:

{{Matlab|codigo=

%F=[-1/5 0 0]
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=-Mu/10-Mv/10;
V2=Mu*0;
V3=Mw*0;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y nos devuelve el siguiente gráfico:

[[Archivo:CampoF_dex.png|800px|center|thumb|Representación del campos de fuerzas F ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-05T16:31:21Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica. El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vectores u.
V1=0*Mu;
V2=Mv;
fx=0;
fy=(Mu.*Mv)./10;
Mz=0.*Mu;
hold on
axis([-3,3,0,5])
subplot(2,1,1);
surf(Mu,Mv,0*Mu)
view(2)
subplot(2,1,2);
surf(Mu+fx,Mv+fy,0.*Mu)
view(2)
hold off

}}

Y obtenemos el gráfico:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
A=[];
for i=1:length(u)
for j=1:length(v)
A=[Mu(i,j)./10 Mv(i,j)./10 0;Mv(i,j)./10 (3.*Mu(i,j))./10 0;0 0 Mu(i,j)./10];
L=eig(A);
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2);
Mw(i,j)=ecuacion;
end
end
surf(Mu,Mv,Mw)

}}

Obtenemos la representación:

[[Archivo:Vonmises_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones de Von Mises ]]

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

Utilizamos el código:

{{Matlab|codigo=

%F=[-1/5 0 0]
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=-Mu/10-Mv/10;
V2=Mu*0;
V3=Mw*0;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y nos devuelve el siguiente gráfico:

[[Archivo:CampoF_dex.png|800px|center|thumb|Representación del campos de fuerzas F ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-05T16:29:55Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica. El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)
M=max(max(Div*10));
display(M)
m=min(min(Div*10));
display(m)

}}

Y obtenemos el gráfico:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
A=[];
for i=1:length(u)
for j=1:length(v)
A=[Mu(i,j)./10 Mv(i,j)./10 0;Mv(i,j)./10 (3.*Mu(i,j))./10 0;0 0 Mu(i,j)./10];
L=eig(A);
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2);
Mw(i,j)=ecuacion;
end
end
surf(Mu,Mv,Mw)

}}

Obtenemos la representación:

[[Archivo:Vonmises_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones de Von Mises ]]

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

Utilizamos el código:

{{Matlab|codigo=

%F=[-1/5 0 0]
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=-Mu/10-Mv/10;
V2=Mu*0;
V3=Mw*0;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y nos devuelve el siguiente gráfico:

[[Archivo:CampoF_dex.png|800px|center|thumb|Representación del campos de fuerzas F ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:33:40Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
A=[];
for i=1:length(u)
for j=1:length(v)
A=[Mu(i,j)./10 Mv(i,j)./10 0;Mv(i,j)./10 (3.*Mu(i,j))./10 0;0 0 Mu(i,j)./10];
L=eig(A);
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2);
Mw(i,j)=ecuacion;
end
end
surf(Mu,Mv,Mw)

}}

Obtenemos la representación:

[[Archivo:Vonmises_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones de Von Mises ]]

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

Utilizamos el código:

{{Matlab|codigo=

%F=[-1/5 0 0]
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=-Mu/10-Mv/10;
V2=Mu*0;
V3=Mw*0;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y nos devuelve el siguiente gráfico:

[[Archivo:CampoF_dex.png|800px|center|thumb|Representación del campos de fuerzas F ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:33:06Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
A=[];
for i=1:length(u)
for j=1:length(v)
A=[Mu(i,j)./10 Mv(i,j)./10 0;Mv(i,j)./10 (3.*Mu(i,j))./10 0;0 0 Mu(i,j)./10];
L=eig(A);
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2);
Mw(i,j)=ecuacion;
end
end
surf(Mu,Mv,Mw)

}}

Obtenemos la representación:

[[Archivo:Vonmises_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones de Von Mises ]]

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

Utilizamos el código:

{{Matlab|codigo=

%F=[-1/5 0 0]
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=-Mu/10-Mv/10;
V2=Mu*0;
V3=Mw*0;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y nos devuelve el siguiente gráfico:

[[Archivo:CampoF_dex.png|800px|center|thumb|Representación del campos de fuerzas F ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:CampoF dex.png

2016-12-02T12:31:23Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:29:24Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
A=[];
for i=1:length(u)
for j=1:length(v)
A=[Mu(i,j)./10 Mv(i,j)./10 0;Mv(i,j)./10 (3.*Mu(i,j))./10 0;0 0 Mu(i,j)./10];
L=eig(A);
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2);
Mw(i,j)=ecuacion;
end
end
surf(Mu,Mv,Mw)

}}

Obtenemos la representación:

[[Archivo:Vonmises_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones de Von Mises ]]

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Vonmises dex.png

2016-12-02T12:27:44Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:19:14Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

También la tensión de Von Mises:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

y el campo de fuerzas F:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Finalmente,

sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form5_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''.

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form6_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Form6 dex.png

2016-12-02T12:16:52Z

GA4:

Archivo:Form5 dex.png

2016-12-02T12:16:36Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:14:22Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

Finalmente, sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Representación de la tensión de Von Mises==

Utilizamos la fórmula:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''σ1'', ''σ2'' y ''σ3'' son los autovalores de ''σ''

==Dibujar el Campo de Fuerzas F==

Se nos da la fórmula:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

Se trata de una aproximación del campo de fuerzas que actúan sobre la placa, y que son las causantes del desplazamiento, mediante la ecuación de la elasticidad.

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:07:51Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

Finalmente, sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|left]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:07:16Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

Finalmente, sabemos que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es ''d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2''.

El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Ds=(Mu.*Mv).*(1./(2+(Mu.^2)+(Mv.^2)));
ms=abs(Ds.*h);
Masa=sum(sum(ms))

}}

Obtenemos

[[Archivo:Masa_dex.png|sinmarco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Masa dex.png

2016-12-02T12:06:24Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:02:58Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

Finalmente, sabemos que la densidad de la placa es d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2.

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T12:01:41Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

==Cálculo de la masa total de la placa==

Para finalizar, calculamos la masa de la placa, sabiendo que la densidad de la placa es d(x,y)= 1 + e-|x|/(y+1)2.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T11:56:45Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX (azul) y OY (verde) ]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ''i'', es decir ''|σ·ī-(ī·σ·ī)ī|''.

El código es:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES TANGENCIALES DEL EJE X
ty=Mu*0;
tx=Mv/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones tangenciales eje x')

}}

Y obtenemos:

[[Archivo:Tetan_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones tangentes al plano ortogonal a ī ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Tetan dex.png

2016-12-02T11:51:41Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T11:44:30Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

Si combinamos las dos representaciones en un solo gráfico obtenemos:

[[Archivo:Mix_dex.png|800px|center|thumb|Representación de las Tensiones en las direcciones OX y OY ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Mix dex.png

2016-12-02T11:42:49Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T11:40:43Z

GA4:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | María Guadalupe Aranda Sánchez, Ignacio Blázquez González, Javier Alejandro Chirivella Colosso, María Lucía Cueva Duarte, Javier Palomares Alonso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a representar y analizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Para ello consideramos una placa plana rectangular en dos dimensiones. La placa está acotada por x=-2 y x=2, y por y=0 e y=4.

Para representar la placa utilizaremos coordenadas cartesianas. Para ello hemos pasado los datos del enunciado que nos venían en coordenadas polares a cartesianas.

Tenemos

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

y

[[Archivo:Form2.png|sinmarco|centro]]

Entonces:

[[Archivo:Form3.png|sinmarco|centro]]

Por otro lado, consideramos el campo de desplazamiento ū, sabiendo:

-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j

Por otro lado nos dan la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos λ=μ=1 (coeficientes de Lamé)

==Creación del mallado==

En primer lugar dibujaremos un mallado que contenga todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo definido por <math> -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. Para ello utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%1.Crear un mallado que represente los puntos del sólido

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mz=0.*Mu;
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mz)
view(2)

}}

Obtenemos un mallado, que será la base sobre la que trabajaremos:

[[Archivo:Mallado_dex.png|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de la temperatura==

Seguidamente representamos, dentro de ese mallado, la función temperatura, que depende de las variables ''x'' e ''y''. Como ya hemos dicho, la función temperatura es:

[[Archivo:Form1.png|sinmarco|centro]]

Para representarla, dibujamos las curvas de nivel de la función dentro del sólido. En nuestro caso, hemos decidido representar 100 curvas de nivel.

{{Matlab|codigo=

%Curvas de nivel Temperatura

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mw=Mv.*(sqrt(Mu.^2+Mv.^2));
%Creamos la placa
axis([-3,3,0,5])
figure(1)
surf(Mu,Mv,Mw)
contour3(Mu,Mv,Mw,100)
view(2)

}}

[[Archivo:Temperatura_dex.png|800px|center|thumb|Curvas de nivel de la función temperatura]]

Para deducir dónde es máxima la temperatura, acudimos a la siguiente imagen en 3 dimensiones, generada por Matlab:

[[Archivo:Temperatura3d_dex.png|800px|center|thumb|Representación 3D. Se ven con facilidad los máximos]]

Como podemos ver en la imagen, las temperaturas máximas se dan en los puntos (-2,4) y (2,4).

==Cálculo del gradiente de temperaturas==

A continuación, calculamos el gradiente de temperaturas y lo representamos como un campo vectorial.

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
%Definimos los vectores posicion de la placa
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
V2=2.*Mv;
V1=Mu.*sqrt((Mu.^2)+(Mv.^2));
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Obtenemos el campo vectorial del gradiente:

[[Archivo:Grad_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas]]

Podemos comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel superponiendo las dos representaciones:

[[Archivo:Grad_c_dex.png|800px|center|thumb|Gradiente de temperaturas y Curvas de Nivel]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Esta vez se nos pide obtener el campo de desplazamientos ū, con las condiciones citadas en el enunciado:
-ū=x·f(y)j
-[[Archivo:Form4.png|sinmarco]]
-Los puntos del eje y=0 no se desplazan en el sentido de j
Con estas condiciones podemos calcular el campo ū analíticamente:

ū=x·y/10

==Campo de vectores de los puntos del mallado==

Ahora lo que haremos es representar el campo de vectores de los puntos del mallado calculado anteriormente. Para ello elaboramos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%Definimos e campo de vetores u.
V1=0*Mu;
V2=Mu.*Mv./10;
quiver(Mu,Mv,V1,V2)
view(2)

}}

Y el resultado que sale por pantalla es el siguiente:

[[Archivo:vect_desp_dex.png|800px|center|thumb|Representación de los campos de los puntos del mallado ]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Seguidamente tenemos que el sólido antes de la aplicación del desplazamiento, así como el resultado de aplicarlo después. Aplicamos el comando subplot, como se nos indica, para que las dos representaciones queden sobre la misma gráfica:

[[Archivo:desplazamiento_dex.png|800px|center|thumb|Representación del sólido antes y después del desplazamiento ]]

==Representación la Divergencia de ū==
La divergencia nos sirve para analizar cambios locales de volumen producidos por el desplazamiento.

Para calcularlo utilizamos el siguiente código:

{{Matlab|codigo=
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Div=Mu/10;
surf(Mu,Mv,Div)

}}

La imagen que obtenemos es:

[[Archivo:diver_dex.png|800px|center|thumb|Representación dela divergencia de ū ]]

Podemos observar como la divergencia tiene relación con la dirección del campo de desplazamiento de cada uno de los puntos, de forma que es negativa hasta x=0,donde el volumen se reduce, y positiva a partir de x=0, ya que el volumen aumenta. En x=0, la divergencia también es 0 pues no hay desplazamiento.

==Cálculo del módulo del rotacional de ū en los puntos del sólido==

Calculamos el módulo del rotacional de ū utilizando el siguiente código:

{{Matlab|codigo=

%Paso
h=0.1;
u=[-2:h:2];
v=[0:h:4];
w=u.*0;
[Mu,Mv,Mw]=meshgrid(u,v,w);
%Definimos el campo de vectores u.
V1=0.*Mu;
V2=0.*Mu;
V3=Mv./10;
quiver3(Mu,Mv,Mw,V1,V2,V3)

}}

Y obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Modrot_dex.png|800px|center|thumb|Representación del módulo del rotacional en los puntos del sólido ]]

Podemos observar que los valores máximos del rotacional se alcanzan cuando ''y''=-4.

==Representación las tensiones normales en la dirección del eje X, del eje Y y del eje Z==

Se nos da la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento:

[[Archivo:Form4_dex.png|sinmarco|centro]]

donde ''ε(ū)=(grad ū+grad ūt)/2'', y tomamos ''λ''=''μ''=1 (coeficientes de Lamé).

Primero escribimos el código para calcular la tensión en el eje X:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=Mv*0;
tx=Mu/10;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')

}}

Y para el eje Y:

{{Matlab|codigo=

h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0:h:4;
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=3*Mu/10;
tx=0*Mv;
% dibujamos %
quiver(Mu,Mv,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje y')

}}

Para el eje Z no hay tensión, así que no lo consideramos.

Las representaciones resultantes son:

[[Archivo:Tensionejex_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OX ]]

[[Archivo:Tensionejey_dex.png|800px|center|thumb|Representación de la Tensión en la dirección OY ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Modrot dex.png

2016-12-02T11:36:19Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T11:31:39Z

GA4:

Archivo:Tensionejey dex.png

2016-12-02T11:29:54Z

GA4:

Archivo:Tensionejex dex.png

2016-12-02T11:29:36Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T11:21:42Z

GA4:

Archivo:Form4 dex.png

2016-12-02T11:12:43Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T11:06:48Z

GA4:

Archivo:Diver dex.png

2016-12-02T10:56:49Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T10:56:18Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T10:43:23Z

GA4:

Archivo:Desplazamiento dex.png

2016-12-02T10:39:54Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T10:34:04Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T10:20:31Z

GA4:

Archivo:Vect desp dex.png

2016-12-02T10:19:28Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T10:11:18Z

GA4:

Archivo:Grad c dex.png

2016-12-02T10:10:39Z

GA4:

Archivo:Grad dex.png

2016-12-02T10:04:37Z

GA4:

Archivo:Temperatura3d dex.png

2016-12-02T09:52:18Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T09:47:57Z

GA4:

Archivo:Temperatura dex.png

2016-12-02T09:45:12Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T09:38:58Z

GA4:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A-4)

2016-12-02T09:37:40Z

GA4:

Archivo:Mallado dex.png

2016-12-02T09:35:26Z

GA4: