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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-12T17:17:09Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p= \mu \triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.33:2;
theta=0:0.33:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=zeros(size(x));

% rotacional
xx=zeros(size(x));
yy=zeros(size(x));
zz=ones(size(y)).*4/3;

%Representación del módulo del rotacional
quiver3(x,y,z,xx,yy,zz);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del módulo del rotacional');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');
}}

[[Archivo:Rotacional1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 5: Representación del rotacional]]

El módulo del rotacional es constante e igual a <math> \frac{4}{3} </math> para cualquier <math> \rho </math> y <math> \theta </math>. Además en la gráfica se puede ver que el rotacional es igual en todos los puntos en dirección <math> \vec e_z </math>.

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura viene dada por:
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Las componentes del gradiente son:
xx=sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2).*(2.*RHO-2.*RHO.^2.*(RHO-3/2));
yy=2.*RHO.*sin(THETA).*cos(THETA).*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,xx,yy)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

{{ referencias }}

<ref>Libro: "Matlab y matemática computacional" Biblioteca Técnica Universitaria by Sagrario Lantarón Sánchez y Bernardo Llanas Juárez]</ref>

<ref>Código LaTex: https://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php?lang=es-es</ref>

<ref>Referencia de "Articles in English" de códigos MATLab básicos: https://mat.caminos.upm.es/wiki/Mesh_of_a_parametrized_2-D_solid; https://mat.caminos.upm.es/wiki/Visualization_of_a_scalar_field_in_a_solid; https://mat.caminos.upm.es/wiki/Visualization_of_a_scalar_field_in_a_solid</ref>

<ref>Fórmula de Laplaciano: https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano</ref>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T19:25:06Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.33:2;
theta=0:0.33:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=zeros(size(x));

% rotacional
xx=zeros(size(x));
yy=zeros(size(x));
zz=ones(size(y)).*4/3;

%Representación del módulo del rotacional
quiver3(x,y,z,xx,yy,zz);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del módulo del rotacional');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');
}}

[[Archivo:Rotacional1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 5: Representación del rotacional]]

El módulo del rotacional es constante e igual a <math> \frac{4}{3} </math> para cualquier <math> \rho </math> y <math> \theta </math>. Además en la gráfica se puede ver que el rotacional es igual en todos los puntos en dirección <math> \vec e_z </math>.

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura viene dada por:
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Las componentes del gradiente son:
xx=sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2).*(2.*RHO-2.*RHO.^2.*(RHO-3/2));
yy=2.*RHO.*sin(THETA).*cos(THETA).*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,xx,yy)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

{{ referencias }}

<ref>Libro: "Matlab y matemática computacional" Biblioteca Técnica Universitaria by Sagrario Lantarón Sánchez y Bernardo Llanas Juárez]</ref>

<ref>Código LaTex: https://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php?lang=es-es</ref>

<ref>Referencia de "Articles in English" de códigos MATLab básicos: https://mat.caminos.upm.es/wiki/Mesh_of_a_parametrized_2-D_solid; https://mat.caminos.upm.es/wiki/Visualization_of_a_scalar_field_in_a_solid; https://mat.caminos.upm.es/wiki/Visualization_of_a_scalar_field_in_a_solid</ref>

<ref>Fórmula de Laplaciano: https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano</ref>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T19:12:09Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.33:2;
theta=0:0.33:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=zeros(size(x));

% rotacional
xx=zeros(size(x));
yy=zeros(size(x));
zz=ones(size(y)).*4/3;

%Representación del módulo del rotacional
quiver3(x,y,z,xx,yy,zz);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del módulo del rotacional');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');
}}

[[Archivo:Rotacional1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 5: Representación del rotacional]]

El módulo del rotacional es constante e igual a <math> \frac{4}{3} </math> para cualquier <math> \rho </math> y <math> \theta </math>. Además en la gráfica se puede ver que el rotacional es igual en todos los puntos en dirección <math> \vec e_z </math>.

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

{{ referencias }}

<ref>Libro: "Matlab y matemática computacional" Biblioteca Técnica Universitaria by Sagrario Lantarón Sánchez y Bernardo Llanas Juárez]</ref>

<ref>Código LaTex: https://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php?lang=es-es</ref>

<ref>Referencia de "Articles in English" de códigos MATLab básicos: https://mat.caminos.upm.es/wiki/Mesh_of_a_parametrized_2-D_solid; https://mat.caminos.upm.es/wiki/Visualization_of_a_scalar_field_in_a_solid; https://mat.caminos.upm.es/wiki/Visualization_of_a_scalar_field_in_a_solid</ref>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T19:01:27Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.33:2;
theta=0:0.33:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=zeros(size(x));

% rotacional
xx=zeros(size(x));
yy=zeros(size(x));
zz=ones(size(y)).*4/3;

%Representación del módulo del rotacional
quiver3(x,y,z,xx,yy,zz);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del módulo del rotacional');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');
}}

[[Archivo:Rotacional1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 5: Representación del rotacional]]

El módulo del rotacional es constante e igual a <math> \frac{4}{3} </math> para cualquier <math> \rho </math> y <math> \theta </math>. Además en la gráfica se puede ver que el rotacional es igual en todos los puntos en dirección <math> \vec e_z </math>.

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

{{ referencias }}

<ref>Libro: "Matlab y matemática computacional" Biblioteca Técnica Universitaria by Sagrario Lantarón Sánchez y Bernardo Llanas Juárez]</ref>

<ref>Código Latex: https://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php?lang=es-es</ref>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:49:52Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.33:2;
theta=0:0.33:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=zeros(size(x));

% rotacional
xx=zeros(size(x));
yy=zeros(size(x));
zz=ones(size(y)).*4/3;

%Representación del módulo del rotacional
quiver3(x,y,z,xx,yy,zz);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del módulo del rotacional');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

{{ referencias }}

<ref>Libro: "Matlab y matemática computacional" Biblioteca Técnica Universitaria by Sagrario Lantarón Sánchez y Bernardo Llanas Juárez]</ref>

<ref>Código Latex: https://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php?lang=es-es</ref>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:45:51Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

{{ referencias }}
[http://Libro:%20"Matlab%20y%20matemática%20computacional"%20Biblioteca%20Técnica%20Universitaria%20by%20Sagrario%20Lantarón%20Sánchez%20y%20Bernardo%20Llanas%20Juárez Libro: "Matlab y matemática computacional" Biblioteca Técnica Universitaria by Sagrario Lantarón Sánchez y Bernardo Llanas Juárez]
[http://Libro:%20Matlab%20y%20Matemática%20computacional https://books.google.es/books?id=_ozqMwEACAAJ&dq=matlab+y+matematica+computacional+biblioteca+tecnica+universitaria+sagrario+lantaron&hl=es-419&sa=X&redir_esc=y]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:43:18Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

{{ referencias }}
[http://Libro:%20"Matlab%20y%20matemática%20computacional"%20Biblioteca%20Técnica%20Universitaria%20by%20Sagrario%20Lantarón%20Sánchez%20y%20Bernardo%20Llanas%20Juárez Libro: "Matlab y matemática computacional" Biblioteca Técnica Universitaria by Sagrario Lantarón Sánchez y Bernardo Llanas Juárez]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:36:56Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

{{ referencias }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:27:54Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:24:39Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{2}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:18:32Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Líneas de corrientes]]

{{matlab|codigo=
h=80; % Número de intervalos
rho=linspace(1,2,h); % Parametro u [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % Parametro v [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % Matrices de coordenadas de U y V
f=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3)); % Campo escalar
X=RHO.*cos(THETA); % Parametrización
Y=RHO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes
view(2)
contour(X,Y,f,20);colorbar % Líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
colormap("cool")
}}

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+RHO.^2.*sin(THETA).^2.*exp(-(RHO-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:14:47Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4_LineasDeCorriente.png|miniaturadeimagen|centro]]

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Variación del módulo de la velocidad en función de <math>\ \rho </math>]]

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T18:07:20Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

[[Archivo:Figura4.png|miniaturadeimagen|centro]]

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3} \rho w - \frac{2w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math>

Por lo que se demuestra que el máximo es alcanzado en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%Módulo de la velocidad
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;

%Representación del módulo de la velocidad
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:MóduloVel.png|miniaturadeimagen|centro]]

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T17:55:51Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el modulo del campo vectorial:

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2}{3\rho } w \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<math>\ </math>

{{matlab|codigo=
}}

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T17:45:42Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

<math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{2}{3}\rho w - \frac{2}{3\rho } w \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{2}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos estan en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

<math>\ </math>

{{matlab|codigo=
}}

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T17:33:59Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

<math>\ </math>

<math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{2}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math> ; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos estan en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

<math>\ </math>

{{matlab|codigo=
}}

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T17:26:04Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} = (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

<math>\ </math>

{{matlab|codigo=
}}

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T17:23:33Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho(f''(\rho)) \rightarrow f'(\rho)+\rho(f''(\rho))=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) = a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

<math>\ </math>

{{matlab|codigo=
}}

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 10: Representación de la sección longitudinal]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T16:51:55Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
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rho=1:0.1:2;
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figure(1)
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y=RHO.*sin(THETA);
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view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f'\left ( \rho \right )} +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

<math>\ </math>

{{matlab|codigo=
}}

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 6: Representación de la temperatura en 3D.]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 7: Representación de la temperatura en 2D.]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 8: Representación de las curvas de nivel.]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 9: Representación del gradiente de la temperatura.]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T16:37:04Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

<math>\ </math>

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T16:25:04Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==

Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO ==

<math>\ </math>

== ROTACIONAL ==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==

La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T16:12:58Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math> se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones:

<math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T16:09:53Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar: <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

Para su representación en matlab el campo escalar <math>\ T </math>
se pasa a coordenadas cartesianas, utilizando las siguientes relaciones: <math>\ \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\rho = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )
\end{matrix}\right. </math>

Resultando el campo: <math>\ T(x,y) = 1 + y^{2} e^{-\left(\sqrt{x^2+y^2} -\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T15:57:43Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

Como comentario, si en vez de haber cogido <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> como la superficie total, se hubiera tomado una de las dos el resultado del caudal sería <math>\ 1 - \frac{2}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ] </math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T15:53:19Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T15:50:48Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = -\frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv - \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = \frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = 2 - \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T15:45:49Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
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view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

La superficie se va a suponer con orientación en la dirección de <math>\ \vec e_\theta </math> , para obtener un caudal positivo.

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

La orientación es "mala", es contraria a la supuesta en la superficie. Para corregir esto, después al calcular la integral de la superficie se le cambia el signo y se le pone negativo.

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -2 + \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T15:36:36Z

Francisco J Vela:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{2}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{2}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{2}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{2}{3}w\rho -\frac{2w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
figure(1)
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
xx=sin(THETA).*(-2/3*(RHO-1./RHO));
yy=cos(THETA).*(2/3*(RHO-1./RHO));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{2}{3}\rho-\frac{2}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

<math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3} & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math>

Vamos a calcular <math>\psi: \vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})\vec e_\rho</math>

<math>\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=(\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})</math>
<math>\psi=\int (\frac{2}{3\rho}-\frac{2\rho}{3})=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\rho}-\rho=\frac{2}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}]</math>

<math>\psi=\frac{2ln(\rho)}{3}-\frac{\rho^2}{3}</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a representar gráficamente las líneas de corriente:

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{2}{3} w\rho - \frac{2w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{2}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{2}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{4}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2} = \frac{4}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
z=1+((y).^2).*exp(-((sqrt((x).^2+(y).^2))-3/2).^2);

%Representación del campo en 3D
figure(1)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
mesh(x,y,z)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

[[Archivo:Temperatura3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, los máximos de la temperatura se consiguen en <math>\ \rho = 2 </math> y en <math>\ \theta = 0 </math> y <math>\ \theta = \pi </math>.

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Representación de las curvas de nivel
contour(x,y,T,15,'r');
title('Curvas de nivel');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');

}}

[[Archivo:CurvasDeNivel1.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all

%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;

%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Paso a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);

%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
T=1+((y).^2).*exp(-(sqrt((x).^2+(y).^2)-3/2).^2);

%Gradiente de la temperatura
[X,Y]=gradient(T,rho,theta);

%Representación del gradiente
hold on
quiver(x,y,X,Y)
contour(x,y,T,15,'r');
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura1.png|miniaturadeimagen|centro]]

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{4}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{4}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -2 + \frac{4}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

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Francisco J Vela:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

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Archivo:Curvas de nivel del campo escalar temperatura.png

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

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Archivo:Representación de la temperatura en 3D.png

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Francisco J Vela: La gráfica tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada. Como se demuestra en 2D los máximos se alcanzan en rho=1, además en la representación 3D se observa los dos máximos alcanzados...

La gráfica tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada. Como se demuestra en 2D los máximos se alcanzan en rho=1, además en la representación 3D se observa los dos máximos alcanzados con su valor