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Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T16:59:16Z

Fernando.benitez: /* Campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro
Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 10]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada como <center><math> T(x, y)=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center> <center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se corresponden con el campo <math>\vec{u}(\rho, \theta)= \rho sin(\theta)sin(2π\rho/50)e_\vec{\theta}</math>

e_\vec{\theta}
\rho \theta

<center><math> T(\rho, \theta)=\sin(2π\rho)</math></center>

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

== Campo de fuerzas ==
El desplazamiento de la placa viene dado por un vector fuerza <math>\ \vec F </math> que actua en el interior de la placa, El cálculo de dicho vector de fuerzas se realiza haciendo una aproximación de la ecuación de la elasticidad lineal, que es : <math>\ \vec F = \nabla ·\sigma_{ij} </math>, es decir que habrá que aplicar la divergencia a la matriz del antes mencionado tensor tensiones
<math> \ \vec{F}_\rho = -\frac{\partial \sigma_{\rho \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\rho \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\rho - \frac{\sigma_{\theta \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\rho = -\left( \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\rho = -\left(\frac{2\pi}{50}\cos(\theta) \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) + \frac{3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\rho </math> 

<math> \ \vec{F}_\theta = -\frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\rho \theta}}{\rho} \cdot \vec{e}_\theta = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial \theta} + \frac{0}{\rho} \right) \cdot \vec{e}_\theta = -\left(\frac{-3\sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\rho}\right) \cdot \vec{e}_\theta </math> 

<math> \ \vec{F}_z = -\frac{\partial \sigma_{z \rho}}{\partial \rho} \cdot \vec{e}_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \sigma_{z \theta}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_z - \frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \cdot \vec{e}_z = -\left( \frac{\partial 0}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial 0}{\partial \theta} + \frac{\partial \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_z = 0 \cdot \vec{e}_z </math> 

Después de hacer la divergencia vemos que la fuerza no tiene componente \( \vec{F}_z \) ya que es nula es por eso que solo actuará en \( \vec{F}_\rho \) y \( \vec{F}_\theta \)

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T11:32:28Z

Fernando.benitez: /* Campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

== Campo de fuerzas ==
El campo de fuerzas \( \mathbf{F} \) que actúa sobre la placa (y que causa el desplazamiento observado) se aproxima mediante la ecuación de la elasticidad lineal:
<math> \ \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma donde \( \sigma \) es el tensor de tensiones dado por:
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Para calcular el campo de fuerzas, primero obtenemos la divergencia del tensor \( \sigma \). Esto implica calcular las derivadas parciales de las componentes diagonales

<math> \ \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\left( \frac{\partial \sigma_{\rho\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{\rho\theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_{\rho\rho} - \sigma_{\theta\theta}}{\rho} \right) \vec{e}_\rho -\left( \frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_{\theta \rho} + \sigma_{\rho\theta}}{\rho} \right) \vec{e}_\theta -\left( \frac{\partial \sigma_{z\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{z\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \right) \vec{e}_z. </math>

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T11:28:40Z

Fernando.benitez: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

== Campo de fuerzas ==
El campo de fuerzas \( \mathbf{F} \) que actúa sobre la placa (y que causa el desplazamiento observado) se aproxima mediante la ecuación de la elasticidad lineal:
<math> \ \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma

donde \( \sigma \) es el tensor de tensiones dado por:
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Para calcular el campo de fuerzas, primero obtenemos la divergencia del tensor \( \sigma \). Esto implica calcular las derivadas parciales de las componentes diagonales

<math> \ \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\left( \frac{\partial \sigma_{\rho\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{\rho\theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_{\rho\rho} - \sigma_{\theta\theta}}{\rho} \right) \vec{e}_\rho -\left( \frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_{\theta \rho} + \sigma_{\rho\theta}}{\rho} \right) \vec{e}_\theta -\left( \frac{\partial \sigma_{z\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{z\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \right) \vec{e}_z. </math>

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T11:28:18Z

Fernando.benitez: /* Campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.
== Campo de fuerzas ==
El campo de fuerzas \( \mathbf{F} \) que actúa sobre la placa (y que causa el desplazamiento observado) se aproxima mediante la ecuación de la elasticidad lineal:
<math> \ \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma

donde \( \sigma \) es el tensor de tensiones dado por:
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Para calcular el campo de fuerzas, primero obtenemos la divergencia del tensor \( \sigma \). Esto implica calcular las derivadas parciales de las componentes diagonales

<math> \ \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\left( \frac{\partial \sigma_{\rho\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{\rho\theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_{\rho\rho} - \sigma_{\theta\theta}}{\rho} \right) \vec{e}_\rho -\left( \frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_{\theta \rho} + \sigma_{\rho\theta}}{\rho} \right) \vec{e}_\theta -\left( \frac{\partial \sigma_{z\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{z\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \right) \vec{e}_z. </math>

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T11:16:40Z

Fernando.benitez: /* Campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.
== Campo de fuerzas ==
El campo de fuerzas \( \mathbf{F} \) que actúa sobre la placa (y que causa el desplazamiento observado) se aproxima mediante la ecuación de la elasticidad lineal:

\[
\mathbf{F} = -\nabla \cdot \sigma,
\]

donde \( \sigma \) es el tensor de tensiones dado por:
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Para calcular el campo de fuerzas, primero obtenemos la divergencia del tensor \( \sigma \). Esto implica calcular las derivadas parciales de las componentes diagonales

<math> \ \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\left( \frac{\partial \sigma_{\rho\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{\rho\theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_{\rho\rho} - \sigma_{\theta\theta}}{\rho} \right) \vec{e}_\rho -\left( \frac{\partial \sigma_{\theta \rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_{\theta \rho} + \sigma_{\rho\theta}}{\rho} \right) \vec{e}_\theta -\left( \frac{\partial \sigma_{z\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \sigma_{z\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \right) \vec{e}_z. </math>

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T10:59:21Z

Fernando.benitez:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.
== Campo de fuerzas ==
El campo de fuerzas \( \mathbf{F} \) que actúa sobre la placa (y que causa el desplazamiento observado) se aproxima mediante la ecuación de la elasticidad lineal:

\[
\mathbf{F} = -\nabla \cdot \sigma,
\]

donde \( \sigma \) es el tensor de tensiones dado por:

\[
\sigma =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.
\]

Para calcular el campo de fuerzas, primero obtenemos la divergencia del tensor \( \sigma \). Esto implica calcular las derivadas parciales de las componentes diagonales:

1. Para \( \sigma_{\rho\rho} \):
\[
\frac{\partial \sigma_{\rho\rho}}{\partial \rho} = \cos(\theta) \cdot \frac{2\pi}{50} \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right).
\]

2. Para \( \sigma_{\theta\theta} \):
\[
\frac{\partial \sigma_{\theta\theta}}{\partial \rho} = 3\cos(\theta) \cdot \frac{2\pi}{50} \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right).
\]

3. Para \( \sigma_{zz} \):
\[
\frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial \rho} = \cos(\theta) \cdot \frac{2\pi}{50} \cos\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right).
\]

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T10:37:36Z

Fernando.benitez: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: <math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 
donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \).

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos y así podemos determinar si un material soportará las cargas aplicadas o si llegará a fallar.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T10:02:49Z

Fernando.benitez:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

== Tensión de Von Mises ==

La tensión de Von Mises se define mediante la fórmula: 
<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>; 

\[
\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}},
\]

donde \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \) son los autovalores del tensor de tensiones \( \sigma \). En este caso, considerando el tensor de tensiones dado:

\[
\sigma_{VM} = 2\sqrt{2}\cos(\theta) \left|\sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)\right|.
\]

Este resultado permite calcular la tensión de Von Mises indicando los puntos donde la tensión alcanza valores máximos

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T09:58:03Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T09:47:38Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
y luego el segundo sumando \((\vec{e_\rho} \cdot \sigma \cdot \vec{e_\rho}) \vec{e_\rho}\)

\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener las tensiones por medio de la fórmula \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T09:36:47Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

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*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

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[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.
Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
y luego el segundo sumando proyectado en \( \vec{e_\rho} \):

\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T09:32:35Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
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%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos \(\vec{i}\) por \( \vec{e_\rho} \)

Entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.
El vector \( \vec{e_\rho} \) es el: = (1, 0, 0)
Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T09:30:12Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. en la que sustituiremos vec i por \( \vec{e_\rho} \)

entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.
El vector \( \vec{e_\rho} \) es el: = (1, 0, 0)
Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T09:24:07Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=1/10
h=0.1;rho=-1:h:1;tt=0:h:10;
%Mallado
[Mrho,Mtt]=meshgrid(rho,tt);
%Campo de vectores en t=0
rdrho=Mrho;
rdtt=Mrho.*sin(Mtt).*sin(Mrho.*2*pi./50);
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mrho,Mtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdrho,rdtt,Mrho.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,10]);
}}

== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizaremos la fórmula:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math>. , en la que sustituiremos el vector i por \( \vec{e_\rho} \)
entonces para comenzar a operar sabemos que el tensor tensiones es el:
σ=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.
El vector \( \vec{e_\rho} \) es el: = (1, 0, 0)
Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T00:09:56Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \),

donde el tensor de tensiones es:

σ=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

El vector \( \vec{e_\rho} \) es el: = (1, 0, 0)

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.

Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \)=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este caso.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T00:07:15Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \),

donde el tensor de tensiones es:

σ=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

El vector \( \vec{e_\rho} \) es el: = (1, 0, 0)

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):=\begin{pmatrix}\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.

Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\[
\big(\vec{e_\rho} \cdot (\sigma \cdot \vec{e_\rho})\big) \vec{e_\rho} =
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \):

\[
\vec{\tau} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este cas

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T00:05:35Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \),

donde el tensor de tensiones es:

\σ=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

El vector \( \vec{e_\rho} \) es el: = (1, 0, 0)

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):

=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\[
\big(\vec{e_\rho} \cdot (\sigma \cdot \vec{e_\rho})\big) \vec{e_\rho} =
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \):

\[
\vec{\tau} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este cas

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T00:03:35Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
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dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \),

donde el tensor de tensiones es:

\sigma =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

El vector \( \vec{e_\rho} \) es el: = (1, 0, 0)

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):

=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\[
\big(\vec{e_\rho} \cdot (\sigma \cdot \vec{e_\rho})\big) \vec{e_\rho} =
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \):

\[
\vec{\tau} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este cas

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-09T00:02:09Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \),

donde el tensor de tensiones es:

begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.

El vector \( \vec{e_\rho} \) es el: = (1, 0, 0)

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):

=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.

Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\[
\big(\vec{e_\rho} \cdot (\sigma \cdot \vec{e_\rho})\big) \vec{e_\rho} =
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \):

\[
\vec{\tau} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este cas

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T23:53:22Z

Fernando.benitez: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \) */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), utilizamos la fórmula:

\[
\vec{\tau} = \sigma \cdot \vec{e_\rho} - \big(\vec{e_\rho} \cdot (\sigma \cdot \vec{e_\rho})\big) \vec{e_\rho},
\]

donde el tensor de tensiones es:

\[
\sigma =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.
\]

El vector \( \vec{e_\rho} \) está definido como:

\[
\vec{e_\rho} = (1, 0, 0).
\]

Primero, calculamos el producto \( \sigma \cdot \vec{e_\rho} \):

\[
\sigma \cdot \vec{e_\rho} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Luego, obtenemos la componente proyectada en \( \vec{e_\rho} \):

\[
\big(\vec{e_\rho} \cdot (\sigma \cdot \vec{e_\rho})\big) \vec{e_\rho} =
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Finalmente, restamos para obtener \( \vec{\tau} \):

\[
\vec{\tau} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas en este cas

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T23:44:52Z

Fernando.benitez:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Tensiones tangenciales al plano ortogonal al \( \vec{e_\rho} \)==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), se utiliza la fórmula:
\[\vec{\tau} = |\sigma \cdot \vec{e_\rho} - (\sigma \cdot \vec{e_\rho}) \cdot \vec{e_\rho}|,\]

donde el tensor de tensiones es:

\[
\sigma =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.
\]

Multiplicando \( \sigma \) por \( \vec{e_\rho} = (1, 0, 0) \), obtenemos:

\[
\sigma \cdot \vec{e_\rho} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Como hemos calculado, no hay tensiones tangenciales, es decir:

\[
\vec{\tau} = 0.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas a graficar.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T23:36:54Z

Fernando.benitez:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

### Apartado 10: Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \)

Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), se utiliza la fórmula:

\[
\vec{\tau} = |\sigma \cdot \vec{e_\rho} - (\sigma \cdot \vec{e_\rho}) \cdot \vec{e_\rho}|,
\]

donde el tensor de tensiones es:

\[
\sigma =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\
0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\
0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)
\end{pmatrix}.
\]

Multiplicando \( \sigma \) por \( \vec{e_\rho} = (1, 0, 0) \), obtenemos:

\[
\sigma \cdot \vec{e_\rho} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Como hemos calculado, no hay tensiones tangenciales, es decir:

\[
\vec{\tau} = 0.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas a graficar.

Deformaciones de una columna.Grupo 28

2024-12-08T23:35:18Z

Fernando.benitez:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una columna . Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2024-25]] |
*Mateo Navarro Díaz
*María Victoria González Junco
*Fernando Benítez Pérez
*Rodrigo Prado Fornos
*Claudia Elimar Manrique }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

intro

[[Archivo:Mallado Placa.png|944 × 766px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]

== Representación del mallado del sólido ==

Definimos el mallado que representa el interior del sólido mediante dos vectores x e y los cuales representan el intervalo en el que está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla, al representarla con el comando ''surf'', tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %muestreo
x=-1:h:1; %eje x de la placa
y=0:h:10; %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx); %representación de la placa
axis([-2,2,0,10]) %ejes del rectángulo
view(2)

}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>

<center><math> T=\sin(2π\sqrt{x^2 + y^2})</math></center>

<center><math> \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.99996
[[Archivo:Ctempcnivel.jpg|1120 × 840px|miniaturadeimagen|C.Temperatura C.Nivel]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.

[[Archivo:Gradtemp3.jpeg|400px|centro|thumb|Mallado de la placa]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

[[Archivo:enercalorif2.png|1254 × 1247px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]

{{matlab|codigo=

clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:10];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== (titulo 4) ==
== (titulo 5) ==

[[Archivo:Campodesplazamientoscolumnag28.jpeg|500px||miniaturadeimagen|derecha| Campo de desplazamientos y puntos fijos. ]]

{{matlab|codigo=
% Definir la malla
h = 0.3;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;

% Crear la malla en coordenadas cartesianas
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
rho = sqrt(Mx.^2 + My.^2);
theta = atan2(My, Mx);

% Desplazamiento en coordenadas cilíndricas
u_theta = rho .* sin(theta) .* sin((2 * pi * rho) / 50); % Componente en theta

% Convertir a coordenadas cartesianas
up = u_theta .* (-sin(theta)); % Componente en x
uth = u_theta .* cos(theta); % Componente en y

% Graficar el campo de desplazamientos (flechas)
figure;
h_quiver = quiver(Mx, My, up, uth, 1.5, 'Color', [0, 0, 1], 'AutoScale', 'on', 'LineWidth', 0.5);
h_quiver.AutoScaleFactor = 2.5;

hold on;

% Graficar la región [−1, 1] × [0, 10]
plot([-1 1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 1], [10 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-1 -1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 1], [0 10], 'k', 'LineWidth', 2);
% Etiquetas y título
axis equal;
axis([-2, 2, -0.5, 12.5]);
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
title('Campo de Desplazamientos de la Columna');

% Detectar puntos fijos (donde los desplazamientos son cero)
fixed_points = (u_theta == 0); % Puntos fijos cuando u_theta = 0

% Graficar los puntos fijos (solo aquellos donde u_theta es cero)
h_points = plot(Mx(fixed_points), My(fixed_points), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 4);
legend([h_quiver, h_points], {'Campo de desplazamientos', 'Puntos fijos'}, 'Location', 'best');
grid on;
hold off;
}}

== (titulo 6) ==
== Divergencia del campo de desplazamientos ==

La divergencia de un campo vectorial es una medida de la cantidad de flujo que sale o entra en un punto de la región definida.

En este caso la divergencia resultante es <math>
\nabla\cdot\vec u = cosθsin( \frac{2πρ}{50})\
</math>

Puntos mínimo y máximo de la divergencia : <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial θ}=0 </math> ; <math> \frac{\partial \nabla\cdot\vec u}{\partial ρ }=0 </math>

Mínimo(θ,ρ)=(0,-1) ; Máximo(θ,ρ)=(0,1)

Punto nulo de la divergencia : <math> \nabla\cdot\vec u = 0 </math> ; si ρ=0 el <math> sin( \frac{2πρ}{50})\ = 0 </math> lo que anularía el valor de la divergencia.

[[Archivo:Divergenciacolumna.g28.jpg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

[[Archivo:Divergenciacolumna2.g28.jpeg|600 px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la malla en coordenadas cartesianas
x = -1:0.2:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Conversión de la malla cartesiana (x, y) a coordenadas cilíndricas (r, theta)
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en coordenadas cilíndricas

% Definir la divergencia en coordenadas cilíndricas
diver = cos(theta) .* sin(2 * pi * r / 50);

% Encontrar los puntos de divergencia máxima, mínima y nula
[minVal, minIdx] = min(diver(:)); % Valor mínimo y su índice lineal
[maxVal, maxIdx] = max(diver(:)); % Valor máximo y su índice lineal
nullIdx = find(abs(diver) < 1e-6); % Índices donde la divergencia es nula (aproximación)

% Convertir los índices lineales a índices de matriz (para la malla)
[rowMin, colMin] = ind2sub(size(diver), minIdx); % Índices del mínimo
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(diver), maxIdx); % Índices del máximo
[rowNull, colNull] = ind2sub(size(diver), nullIdx); % Índices donde la divergencia es nula

% Coordenadas correspondientes en (x, y)
minPoint = [xx(rowMin, colMin), yy(rowMin, colMin)];
maxPoint = [xx(rowMax, colMax), yy(rowMax, colMax)];
nullPoints = [xx(rowNull, colNull), yy(rowNull, colNull)];

% Mostrar los resultados
fprintf('Divergencia mínima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', minVal, minPoint(1), minPoint(2));
fprintf('Divergencia máxima:\n Valor: %.3f, Punto: (%.3f, %.3f)\n', maxVal, maxPoint(1), maxPoint(2));
fprintf('Divergencia nula en %d puntos:\n', size(nullPoints, 1));
disp(nullPoints);

% Representación de la divergencia
figure;
surf(xx, yy, diver); % Malla original, pero con valores de divergencia corregidos
shading interp; % Suavizado
colorbar; % Barra de colores
hold on;

% Marcar los puntos de interés
plot3(minPoint(1), minPoint(2), minVal, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Mínimo
plot3(maxPoint(1), maxPoint(2), maxVal, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g'); % Máximo
for i = 1:size(nullPoints, 1) % Marcar puntos nulos
plot3(nullPoints(i, 1), nullPoints(i, 2), 0, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'b');
end

% Etiquetas del gráfico
title('Divergencia en coordenadas cilíndricas con puntos de interés');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Divergencia');
legend('Divergencia', 'Mínimo', 'Máximo', 'Nulo');
}}

== Rotacional del campo ==

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix} </math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
0 & p^2 sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) & 0
\end{vmatrix} = (2sin(\theta)sin( \frac{2πρ}{50}) + psin(\theta)cos( \frac{2πρ}{50})*\frac{2πρ}{50})\vec{e}_{z}\\ </math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \| = sin(\theta)\sqrt{4sin^2(\frac{2πρ}{50})+p^2cos^2(\frac{2πρ}{50})*\frac{4π^2}{50^2}+4psin(\frac{2πρ}{50})cos(\frac{2πρ}{50})*\frac{2π}{50}} </math>

[[Archivo:Rotacionalcolumnag28.jpeg|600px||miniaturadeimagen|derecha| Rotacional ]]
{{matlab|codigo=

% Dimensiones de la sección transversal
x = -1:0.1:1; % Coordenadas x
y = 0:0.1:10; % Coordenadas y
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% Convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas
r = sqrt(xx.^2 + yy.^2); % Radio en coordenadas cilíndricas
theta = atan2(yy, xx); % Ángulo en radianes (atan2 para cuadrante correcto)

% Definir los límites de r y theta
r(r == 0) = eps; % Evitar división por cero en r

% Cálculo del rotacional
% (nabla x u)_z = 2 * sin(theta) * sin(2*pi*r/50) + (2*pi*r/50) * sin(theta) * cos(2*pi*r/50)
rot_z = 2 .* sin(theta) .* sin(2 * pi * r / 50) + (2 * pi * r / 50) .* sin(theta) .* cos(2 * pi * r / 50);

% Calcular el valor absoluto del rotacional
abs_rot_z = abs(rot_z);

% Representación gráfica del valor absoluto del rotacional
figure;
contourf(xx, yy, abs_rot_z, 20, 'LineColor', 'none'); % Gráfico de contornos rellenos
colorbar; % Barra de colores
title('Valor absoluto del rotacional (∇ × ⃗u_z) en la sección transversal');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

% Añadir información sobre los ejes
hold on;
quiver(xx, yy, -yy ./ r, xx ./ r, 0.5, 'k'); % Direcciones del campo vectorial (rotacional)
hold off;
}}

== Tensiones Normales ==
El tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> se puede escribir a través de la fórmula: <center> <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ</math></center>
Donde <math>ϵ(\vec{u})= (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2 </math>, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec{u}</math>.

Empezaremos calculando <center><math>ε(\vec u)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>= cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Las tensiones normales en la dirección de los ejes <math>(\vec e_ρ,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> son:

::* <math>\vec e_ρ · σ ·\vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::*<math>\vec e_\theta · σ ·\vec e_\theta = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

::* <math>\vec e_z · σ ·\vec e_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 & 0\\ 0 & 3*cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) & 0 \\ 0 & 0 & cos(\theta)sin(\frac{2\pi*p}{50}) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = cos(\theta)sin(\frac{2\pi*\rho}{50}) </math>

== Apartado 10: Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \)==

Para calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \( \vec{e_\rho} \), se utiliza la fórmula:
\[
\vec{\tau} = |\sigma \cdot \vec{e_\rho} - (\sigma \cdot \vec{e_\rho}) \cdot \vec{e_\rho}|,
\]
donde el tensor de tensiones es:
\[
\sigma=\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 & 0 \\ 0 & 3\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right)\end{pmatrix}.\]
Multiplicando \( \sigma \) por \( \vec{e_\rho} = (1, 0, 0) \), obtenemos:
/[
\sigma \cdot \vec{e_\rho} =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Como hemos calculado, no hay tensiones tangenciales, es decir:

\[
\vec{\tau} = 0.
\]

Por lo tanto, no existen tensiones tangenciales no nulas a graficar.