{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. Grupo 18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}
== ECUACION DE ONDAS Grupo 18-A ==

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Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

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Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

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[[Archivo:GraficoEjercicio2.png]]
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lo mimo con Heun

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Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|1000px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png]]
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Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|1000px]]
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Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periodicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que F0 = 1/L+0.01 Hz, la energ´ıa cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|1000px]]

Se repite el experimento con F0 = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png]]
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Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energ´ıa para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

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por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|1000px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

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